2025-2026学年人教版八年级数学上册 寒假练习九 等边三角形

八年级数学上册专题练习（九） 等边三角形要点复习 1. 定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。 2. 性质：   （1）等边三角形的三个内角都相等，且每一个角都等于60°。   （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的一切性质。   （3）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴（每条边的垂直平分线）。   （4）等边三角形的重心、内心、外心、垂心重合于一点（称为中心）。 3. 判定：   （1）三条边都相等的三角形是等边三角形。   （2）三个角都相等的三角形是等边三角形。   （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 等边三角形是（ ）。 A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 2. 【性质应用】等边三角形的一个内角等于（ ）。 A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° 3. 已知△ABC是等边三角形，D是BC边上一点，连接AD，则∠ADB不可能是（ ）。 A. 60° B. 90° C. 120° D. 150° 4. 【判定识别】下列条件中，不能判定一个三角形是等边三角形的是（ ）。 A. 三个角都相等的三角形 B. 有一个角是60°的等腰三角形 C. 有两个角是60°的三角形 D. 腰和底边相等的等腰三角形 5. 如图，在等边△ABC中，AD是BC边上的高，若AB=6，则BD的长为（ ）。 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 【实际应用】用等边三角形地砖铺满地面时，围绕一点的正三角形地砖的块数是（ ）。 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 【综合判断】下列说法正确的是（ ）。 A. 等边三角形只有一条对称轴 B. 等边三角形的高、中线、角平分线都相等 C. 等边三角形的每一条边上的高都是它的对称轴 D. 有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形 8. 【探究问题】在等边三角形ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F，则∠AFE的度数为（ ）。 A. 45° B. 60° C. 75° D. 80° 二、填空题（每空3分，共30分） 9. 等边三角形的三条边都 ，三个内角都 。 10. 等边三角形有 条对称轴。 11. 若等边三角形的边长为4cm，则它的周长为 cm。 12. 等腰三角形的一个底角为60°，则这个三角形是 三角形。 13. 在△ABC中，若AB=AC=BC=5，则∠A= °，∠B= °。 14. 等边△ABC中，AD是高，若AB=10，则AD的长为 。（结果可保留根号） 15. 等边三角形的边长与高的比是 。 16. 在平面直角坐标系中，等边三角形的一个顶点在原点，一条边在x轴上，且边长为2，则另外两个顶点的坐标为 。（写出一个即可） 三、解答题（共46分） 17. （8分）如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且AE=CD，AD与BE相交于点F。 （1）求证：△ABE≌△CAD； （2）求∠BFD的度数。 18. （8分）【判定证明】已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D、E在BC上，且AD⊥AC，AE⊥AB。 （1）求证：△ADE是等边三角形； （2）若DE=2，求BC的长。 19. （10分）【综合应用】等边三角形ABC的边长为6，点P从点A出发沿AB运动，点Q从点B出发沿BC运动，且两点速度相同。连接AQ、CP，交于点M。 （1）在运动过程中，∠CMQ的大小是否发生变化？若不变，求出其度数；若变化，说明理由。 （2）当△PBQ是直角三角形时，求点P运动的时间（假设点P的速度为1单位/秒）。 20. （10分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，P为三角形内一点，若∠PBC＝10°，∠PCB＝30°，求∠PAB的度数。 21. （10分）【探究拓展】在等边三角形ABC中，点P是三角形内一点，连接PA、PB、PC。 （1）若PA=PB=PC，求证：点P是△ABC的中心； （2）若∠APB=150°，∠BPC=120°，求∠APC的度数； 专题练习（九）参考答案 一、选择题 1. A 锐角三角形（三个角都是60°） 2. B 60° 3. D 150°（等边三角形内角60°，∠ADB可能为60°、90°、120°） 4. D  5. A 3（等边三角形三线合一，BD=½BC=3） 6. D 6（等边三角形每个内角60°，围绕一点需要360°÷60°=6块） 7. D 有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形（因为外角120°，则内角60°，且是等腰三角形，所以是等边三角形） 8. B 60°（可通过全等证明∠BFD=∠BAD+∠ABE=∠CAD+∠ABE=60°） 二、填空题 9. 相等；相等（或都是60°） 10. 3 11. 12 12. 等边 13. 60；60 14. 5 15. 2:（或2:3） 16. (1, )和(2,0) 或 (1,-)等（符合条件即可） 三、解答题 17. （1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=∠C=60°。 ∵AE=CD，∴△ABE≌△CAD（SAS）。 （2）∠BFD=60°（由全等得∠ABE=∠CAD，∠BFD=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=60°）。 18. （1）证明：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°。 ∵AD⊥AC，∴∠DAC=90°，∴∠BAD=30°=∠B，∴AD=BD。 同理，AE=CE。又∠DAE=60°，∴△ADE是等边三角形。 （2）BC=6。 19. （1）不变，∠CMQ=60°（可证△ABQ≌△BCP，得∠BAQ=∠CBP，∠CMQ=∠CAQ+∠ACP=60°）。 （2）当△PBQ是直角三角形时，∠BQP=90°或∠BPQ=90°。 若∠BQP=90°，则BQ=BP，设运动时间为t，则6-t=t，t=4。 若∠BPQ=90°，则BP=BQ，t= (6-t)，t=2。 故t=2秒或4秒。 20.  70°。 21. （1）证明：若PA=PB=PC，则点P在三条边的垂直平分线上，等边三角形三边垂直平分线交于一点（中心）。 （2）∠APC=90°（周围360°，∠APB+∠BPC+∠APC=360°，所以∠APC=360°-150°-120°=90°）。 2/2 学科网（北京）股份有限公司 $