由三角函数的性质求参数期末专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

由三角函数的性质求参数专项训练 由三角函数的性质求参数专项训练 考点目录 由三角函数的奇偶性求参数 由三角函数的对称性求参数 由三角函数的对称轴、对称中心、零点数量求参数 由三角函数的单调性求参数 由三角函数的值域求参数 考点一 由三角函数的奇偶性求参数 例1．（2026·陕西西安·三模）若函数是奇函数，则（   ） A．0 B． C． D． 例2．（2026·河南鹤壁·一模）已知是偶函数，则（　　） A．2 B． C．1 D．0 例3．（25-26高一上·江苏常州·月考）把函数的图像向右平移个单位，所得的图像的函数是偶函数，则的最小正值是 ． 例4．（25-26高一上·甘肃白银·期末）已知是偶函数，则的一个值是 . 变式1．（2025·湖北·二模）函数的图象向右平移个单位长度后，其图象关于轴对称，则（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高三上·江苏南通·月考）将函数图象向右平移个单位得到奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式3．（24-25高一下·北京朝阳·期中）将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位，得到偶函数的图象，则的最小值是 . 变式4．（25-26高一上·广西柳州·月考）已知函数是奇函数，则时， ． 考点二 由三角函数的对称性求参数 例1．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·期末）“”是“函数的图象关于点对称”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例2．（25-26高三上·湖南·月考）函数的图象关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 例3．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数的最小正周期为，若函数图象关于直线对称，则 ． 例4．（2026·广西·模拟预测）已知函数（），若曲线关于点中心对称，则的最小值为 . 变式1．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，若的图象关于对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三上·四川泸州·月考）已知函数，其图象关于直线对称，且在上有最大值，则的最小值为（   ） A．1 B．4 C．7 D．11 变式3．（2025·河南开封·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，那么的最小值为 ． 变式4．（25-26高一上·河南鹤壁·月考）若点是函数的图像的一个对称中心，则的最小值 ． 考点三 由三角函数的对称轴、对称中心、零点数量求参数 例1．（25-26高一上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）设函数在区间内恰有三条对称轴、两个零点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 例2．（25-26高一上·江苏常州·月考）已知函数：；有一个零点是，对应的图象有一条对称轴是，且在有且仅有一个零点，则的最大值是（   ） A．5 B．7 C．9 D．11 例3．（24-25高三下·福建龙岩·月考）若函数在内有且仅有两条对称轴，则的取值范围是 . 例4．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知函数的图像关于点对称，且在上有且只有两条对称轴，则 . 变式1．（25-26高一上·河北承德·月考）已知函数在上恰有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知函数（ω＞0），若f（x）在区间上有且仅有3个零点和2条对称轴，则ω的取值范围是（　　） A． B． C． D． 变式3．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知函数在区间上有且仅有2个零点，则实数的取值范围是 . 变式4．（25-26高一上·广西南宁·月考）设函数在上恰有2个零点，且的图象在上恰有2个最高点，则的取值范围是 . 考点四 由三角函数的单调性求参数 例1．（25-26高三上·贵州·月考）设函数在区间上单调递增，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D．2 例2．（25-26高三上·江西南昌·月考）若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一上·浙江宁波·月考）若对任意的，函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 . 例4．（25-26高一上·广东东莞·月考）已知函数（）在上单调递增，则的取值范围是 . 变式1．（25-26高一上·江苏南京·月考）若函数在上单调递减，则的最大值为（   ） A． B． C． D．1 变式2．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数的图象关于原点对称，且在上单调，在处取得极值，则（   ） A．1 B． C．2 D．3 变式3．（24-25高三下·江苏泰州·开学考试）已知，函数在区间上单调递减，则的最大值为 . 变式4．（25-26高一上·广东深圳·月考）在上是增函数，则实数a的最小值为 ． 考点五 由三角函数的值域求参数 例1．（25-26高一上·甘肃庆阳·期末）已知函数的图象关于直线对称. (1)求的值； (2)求的单调递增区间； (3)若在上的值域是，求m的取值范围. 例2．（25-26高一上·黑龙江·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)若函数在区间上的值域为，求的取值范围； (3)若，都有，求的取值范围． 例3．（25-26高三上·河南·月考）已知函数. (1)求的最小正周期及对称中心坐标； (2)已知函数在区间上的最大值为1，最小值为，求的取值范围. 变式1．（24-25高一下·北京海淀·期末）已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为. (1)求的值； (2)求的单调递增区间； (3)若在上的值域为，求的值. 变式2．（24-25高一下·甘肃平凉·期末）已知函数. (1)若的最小正周期为. （i）求的单调递增区间和图象的对称中心； （ii）若，且，求的值； (2)若在区间上的值域为，求的取值范围. 变式3．（24-25高一下·北京西城·期末）已知函数的一个零点为． (1)求c； (2)当时，若的值域为，求t的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $由三角函数的性质求参数专项训练 由三角函数的性质求参数专项训练 考点目录 由三角函数的奇偶性求参数 由三角函数的对称性求参数 由三角函数的对称轴、对称中心、零点数量求参数 由三角函数的单调性求参数 由三角函数的值域求参数 考点一 由三角函数的奇偶性求参数 例1．（2026·陕西西安·三模）若函数是奇函数，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是奇函数， 故，，检验符合，所以. 故选：D. 例2．（2026·河南鹤壁·一模）已知是偶函数，则（　　） A．2 B． C．1 D．0 【答案】D 【详解】函数是R上的偶函数，而是奇函数， 则函数是奇函数，，解得，此时是奇函数， 所以. 故选：D 例3．（25-26高一上·江苏常州·月考）把函数的图像向右平移个单位，所得的图像的函数是偶函数，则的最小正值是 ． 【答案】 【详解】函数的图像向右平移个单位， 则所得的函数是， 又因为是偶函数，所以， 则，则当时，取得最小正值是. 故答案为：. 例4．（25-26高一上·甘肃白银·期末）已知是偶函数，则的一个值是 . 【答案】（答案不唯一） 【详解】因为是偶函数，所以，， 即，， 因为，所以，解得， 因为，可取，得， 所以的一个值是. 故答案为：（答案不唯一）. 变式1．（2025·湖北·二模）函数的图象向右平移个单位长度后，其图象关于轴对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】把函数（）的图象向右平移个单位长度， 所得图象对应的函数是（），且它是偶函数， 所以（），，（）， 又因为，所以. 故选：B． 变式2．（24-25高三上·江苏南通·月考）将函数图象向右平移个单位得到奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意可得： 为奇函数， ， 故选：B 变式3．（24-25高一下·北京朝阳·期中）将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位，得到偶函数的图象，则的最小值是 . 【答案】/ 【详解】将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）， 可得到函数的图象， 再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象， 因为函数为偶函数，则，可得， 故当时，取最小值. 故答案为：. 变式4．（25-26高一上·广西柳州·月考）已知函数是奇函数，则时， ． 【答案】 【详解】因为函数是奇函数， 所以,即, 又因为，所以令，， 故答案为：. 考点二 由三角函数的对称性求参数 例1．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·期末）“”是“函数的图象关于点对称”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】正切函数的对称中心为，， 令，解得， 所以函数的对称中心为. 所以“”是“函数的图象关于点对称”的充要条件. 故选：C． 例2．（25-26高三上·湖南·月考）函数的图象关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】函数的图象关于直线对称， 所以，，得，， 因为，所以当时，取最小值，为， 故选：A. 例3．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数的最小正周期为，若函数图象关于直线对称，则 ． 【答案】 【详解】因为的最小正周期为，所以，解得， 因为图象关于直线对称， 所以，解得， 因为，所以令，则， 所以，则. 故答案为： 例4．（2026·广西·模拟预测）已知函数（），若曲线关于点中心对称，则的最小值为 . 【答案】/ 【详解】由正切函数性质可知，函数的对称中心为， 因为曲线关于点中心对称， 所以，即 因为，所以，解得， 因为，所以，故. 故答案为： 变式1．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，若的图象关于对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，图象关于对称， ， ，解得， ， ，故A正确． 故选：A． 变式2．（25-26高三上·四川泸州·月考）已知函数，其图象关于直线对称，且在上有最大值，则的最小值为（   ） A．1 B．4 C．7 D．11 【答案】C 【详解】 因为图象关于直线对称，所以，解得， 因为，且在上有最大值， 所以存在，使得， 当，，则，解得 又且，当时，满足 所以的最小值为 故选：C. 变式3．（2025·河南开封·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，那么的最小值为 ． 【答案】 【详解】的图象关于点对称， ，即， 令，可得的最小值为． 故答案为： 变式4．（25-26高一上·河南鹤壁·月考）若点是函数的图像的一个对称中心，则的最小值 ． 【答案】/ 【详解】令， 则其对称中心为，所以， 又因为，所以当 时，. 故答案为：. 考点三 由三角函数的对称轴、对称中心、零点数量求参数 例1．（25-26高一上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）设函数在区间内恰有三条对称轴、两个零点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知，， 当时，. 正弦函数的对称轴满足（）， 要使在内恰有三条对称轴， ，，，， 因此， 正弦函数的零点满足（）， 要使在内恰有两个零点， 则，，， 因此， 联立两式：， 解得. 故选：C 例2．（25-26高一上·江苏常州·月考）已知函数：；有一个零点是，对应的图象有一条对称轴是，且在有且仅有一个零点，则的最大值是（   ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】C 【详解】因为有一个零点是，对应的图象有一条对称轴是， 所以，解得， 因为，所以为非负整数， 又因为在有且仅有一个零点，所以，解得， 当时，， 由的图象有一条对称轴是可得，结合解得， 此时，当时，有两个零点，不符合题意； 当时，， 同理可得，结合解得， 此时，当时，有一个零点，符合题意； 所以的最大值是， 故选：C 例3．（24-25高三下·福建龙岩·月考）若函数在内有且仅有两条对称轴，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】对于函数，令， 解关于的方程： ， 因为， 当时，； 当时，； 当时，. 由于在内有且仅有两条对称轴，则. 解不等式，得. 解不等式，得. 所以的取值范围是. 故答案为：. 例4．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知函数的图像关于点对称，且在上有且只有两条对称轴，则 . 【答案】8 【详解】函数关于点对称， 所以，所以， 要使函数在区间上有且只有两条对称轴，所以, 因为，所以，所以，所以或或； 当时，，则函数只有一个对称轴不合题意； 当时，，则函数有且只有两条对称轴符合题意； 当时，，则函数有三条对称轴不符合题意； 所以. 故答案为：. 变式1．（25-26高一上·河北承德·月考）已知函数在上恰有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得， 则根据题余弦函数性质可得，解得. 故选：C 变式2．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知函数（ω＞0），若f（x）在区间上有且仅有3个零点和2条对称轴，则ω的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数 ， 因为， 所以， 由于函数在区间上有且仅有3个零点和2条对称轴， 根据函数的图像：      所以，整理得：． 故选：D． 变式3．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知函数在区间上有且仅有2个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为上有且仅有2个零点， 所以， 所以. 故答案为： 变式4．（25-26高一上·广西南宁·月考）设函数在上恰有2个零点，且的图象在上恰有2个最高点，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为，则， 而函数在上恰有2个零点，且的图象在上恰有2个最高点， 因此，即， 当时，不符合题意， 当时，不等式组为，不等式组无解， 当时，不等式组为，解得， 当时，不等式组无解， 所以的取值范围是. 故答案为： 考点四 由三角函数的单调性求参数 例1．（25-26高三上·贵州·月考）设函数在区间上单调递增，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】因为，所以， 又函数在区间上单调递增， 结合正弦函数的图象与性质可知，得， 则的最大值为. 故选：C. 例2．（25-26高三上·江西南昌·月考）若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】； 当时，， ，，， 在上单调递增，，解得：， 即的取值范围为. 故选：D. 例3．（25-26高一上·浙江宁波·月考）若对任意的，函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意可知，即，∴. 当时，∵，∴， 由题意可知， 即，解得 当时，取最小值， 当时，取最大值， 当，即时，， 取则，且，则， 取则，. 当，为常数函数，不合题意. 当时，∵，∴， 由题意可知， 即，解得 当时，取最小值， 当时，取最大值， 当，即时，， 取则， ∴ 故答案为： 例4．（25-26高一上·广东东莞·月考）已知函数（）在上单调递增，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】令，， 解得，， 所以的单调递增区间为，， 因为在上单调递增，所以，解得，所以， 即的取值范围是. 故答案为：. 变式1．（25-26高一上·江苏南京·月考）若函数在上单调递减，则的最大值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】令，因为，所以， 因为函数在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 根据余弦函数在上是单调递减的。 则有，解得，所以的最大值为． 故选：A. 变式2．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数的图象关于原点对称，且在上单调，在处取得极值，则（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】由题意可得函数为奇函数，所以，， 又因为在处取得极值， 即关于对称，所以，，即，， 由为奇函数且在上单调，可得在上单调， 所以的周期，所以，又，所以. 故选：B. 变式3．（24-25高三下·江苏泰州·开学考试）已知，函数在区间上单调递减，则的最大值为 . 【答案】 【详解】已知，，所以 因为函数在上单调递减， 而函数在上单调递减，所以 由此可得不等式组，解得 则的最大值为 故答案为： 变式4．（25-26高一上·广东深圳·月考）在上是增函数，则实数a的最小值为 ． 【答案】 【详解】，由，即的增区间为， 依题意，由于且求最小值，故当时上述关系才能或立． 即， 即，故正数a的最小值为． 故答案为：. 考点五 由三角函数的值域求参数 例1．（25-26高一上·甘肃庆阳·期末）已知函数的图象关于直线对称. (1)求的值； (2)求的单调递增区间； (3)若在上的值域是，求m的取值范围. 【答案】(1) (2)，. (3) 【详解】（1）因为的图象关于直线对称，所以，， 解得，. 因为，所以. （2）由（1）得. 由，，得，， 所以的单调递增区间为，. （3）由，可得. 因为的值域是，所以， 解得.故m的取值范围是. 例2．（25-26高一上·黑龙江·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)若函数在区间上的值域为，求的取值范围； (3)若，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） ， 所以函数的最小正周期. （2）因为，所以， 因为函数在区间上的值域为， 所以结合正弦函数的图象可得，解得， 所以的取值范围为； （3）当时，， 所以的最大值为，最小值为0，即， ， 因为，都有， 所以， 所以，， 所以，解得. 故的取值范围为． 例3．（25-26高三上·河南·月考）已知函数. (1)求的最小正周期及对称中心坐标； (2)已知函数在区间上的最大值为1，最小值为，求的取值范围. 【答案】(1)最小正周期为，对称中心坐标为， (2) 【详解】（1）因为， 所以的最小正周期， 令，，解得，， 所以的对称中心的坐标为，； （2）当时，， 因函数在区间上的最大值为1，最小值为， 则在上的最大值为1，最小值为， 因，结合正弦函数图象可知，，得， 所以的取值范围为. 变式1．（24-25高一下·北京海淀·期末）已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为. (1)求的值； (2)求的单调递增区间； (3)若在上的值域为，求的值. 【答案】(1) (2)，． (3) 【详解】（1）. （2） . 因为相邻两条对称轴之间的距离为，故， 且，. 所以． 所以． 令， 解得，． 所以的单调递增区间为，． （3）因为， 所以． 因为在上的值域是为， 所以在上的值域为． 所以． 所以． 变式2．（24-25高一下·甘肃平凉·期末）已知函数. (1)若的最小正周期为. （i）求的单调递增区间和图象的对称中心； （ii）若，且，求的值； (2)若在区间上的值域为，求的取值范围. 【答案】(1)（i），；（ii）； (2). 【详解】（1）若的最小正周期为，则，解得，所以. （i）由题意，令，， 解得，，即的单调递增区间为. 令，，解得，， 即图象的对称中心为. （ii），， 又，，， . （2）当时，，又在区间上的值域为， ，解得， 即的取值范围是. 变式3．（24-25高一下·北京西城·期末）已知函数的一个零点为． (1)求c； (2)当时，若的值域为，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题，， 所以. （2）由（1）， ， 因为，所以， 若的值域为，则，解得， 所以的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $