2.4一元一次不等式组讲义 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

本讲义聚焦一元一次不等式组的概念、解集、解法及应用，承接一元一次不等式知识，通过实际问题引入概念，构建从识别要素、数轴表示解集到求解步骤的学习支架，帮助学生系统掌握知识脉络。 以“烧煤取暖”等实际问题驱动探究，培养抽象能力与模型意识，课堂通过例题解析与口诀强化推理能力，检测与作业分层设计覆盖选择、填空及实际应用题，课中助力教师引导思维，课后帮助学生查漏补缺，强化应用意识。

2025-2026学年北师大版八年级数学下 《第二章不等式与不等式组第四节一元一次不等式组》讲义 ( 一． 学习 目标 1.理解一元一次不等式组的概念，能准确识别一元一次不等式组的构成要素； 2.掌握一元一次不等式组解集的定义，会用数轴表示不等式组的解集； 3.熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤，能准确求解简单的一元一次不等式组； 4.能运用一元一次不等式组解决简单的实际问题，体会数形结合思想与建模思想的应用。 ) ( 二．重点难点 （一）重点 1.一元一次不等式组的概念及解集的含义； 2.解一元一次不等式组的步骤及数轴表示解集的方法。 难点 1.理解不等式组解集的取法（ “ 同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找 ” ）； 2.运用一元一次不等式组解决实际问题时，准确建立不等关系并确定解集的实际意义。 ) 三．课前预习 1.由几个含有________的一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组； 2.一元一次不等式组中所有不等式的解集的________，叫做这个一元一次不等式组的解集； 3.求不等式组解集的过程，叫做________； 4.用数轴表示不等式组的解集时，要注意“空心圆圈”表示________，“实心圆点”表示________，数轴上重叠的部分即为不等式组的________； 5.解一元一次不等式组的基本步骤：第一步，分别解不等式组中的________；第二步，将每个不等式的解集在______上表示出来；第三步，找出解集的________，即为不等式组的解集。 【答案】 1.同一个未知数；2. 公共部分；3. 解不等式组；4. 不包含该点；包含该点；解集；5. 每个一元一次不等式；数轴；公共部分 四．课堂探秘 探究一：一元一次不等式组的概念 某校今年冬季烧煤取暖时间为4个月.如果每月比计划多烧5t煤，那么取暖用煤总量将超过100t;如果每月比计划少烧5t煤，那么取暖用煤总量不足68t.若该校计划每月烧煤xt，则x满足怎样的关系式? 根据题意，得 4(x+5)>100,且4(x-5)<68. 未知数x同时满足两个条件.把两个不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组， 观察下列式子： 思考： （1）式子①和②有什么共同特征？它们是否为一元一次不等式组？为什么？ （2）式子③是否为一元一次不等式组？请说明理由。 1.一元一次不等式组的概念 由几个含有同一个未知数的一元一次不等式联立组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。 2.理解： （1）双条件，缺一不可 ① 组成不等式组的每个不等式都必须是一元一次不等式（只含一个未知数、未知数次数为1、两边为整式）； ② 所有不等式必须含同一个未知数，多未知数、不同未知数均不满足。 （2）易混点区分 如是一元一次不等式组（满足双条件）；如（含2个未知数）、（未知数次数为2）、（左边非整式），均不是一元一次不等式组。 （3）数量与形式 组成不等式组的一元一次不等式数量至少2个，形式上用大括号联立，本质是求多个不等式解集的公共部分。 探究二：一元一次不等式组的步骤 例1.解不等式组 例2.解不等式组 例3.解不等式组 1.解一元一次不等式组的步骤: (1)分别求出不等式组中各个不等式的解集; (2)利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集. 法则：“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解。” 2.两个一元一次不等式组的解集的四种情况(a、b为实数,且a<b) 一元一次不等式 解集 图示 叙述语言表达 x>b 两大取较大 x>a 两小取小 a<x<b 大小交叉中间找 无解 在大小分离没有解 (是空集) 五．课堂检测 （一）．选择题 1. 不等式组的解集是（　　） A．x＞1 B．x＜2 C．1≤x≤2 D．1＜x＜2 2．若不等式组恰有两个整数解，则m的取值范围是（　　） A．-1≤m＜0 B．-1＜m≤0 C．-1≤m≤0 D．-1＜m＜0 3．若不等式组无解，则实数a的取值范围是（　　） A．a≥-1 B．a＜-1 C．a≤1 D．a≤-1 4. 有数颗等重的糖果和数个大、小砝码，其中大砝码皆为5克、小砝码皆为1克，且图是将糖果与砝码放在等臂天平上的两种情形．判断下列哪一种情形是正确的（　　） A． B． C． D． 5．若关于x的不等式组的其中一个整数解为x=2，则a的值可能为（　　） A．-3 B．-2 C．-1 D．0 6. 一宾馆有二人间，三人间，四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准备同时租用这三种客房共7间，如果每个房间都住满，租房方案有（　　） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 7. 若a＜b＜c，则关于x的不等式组 的解集是（　　） A．a＜x＜b B．a＜x＜c C．b＜x＜c D．无解 8．不等式组的整数解有(　C　) A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 9．若不等式组的解集为0＜x＜1，则a的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 10．某市某化工厂现有A种原料52 kg，B种原料64 kg，现用这些原料生产甲、乙两种产品共20件．已知生产1件甲种产品需要A种原料3 kg，B种原料2 kg；生产1件乙种产品需要A种原料2 kg，B种原料4 kg，则生产方案的种数为( ) A． 4　　 B． 5 C． 6　　 D． 6 （二）．填空题 11．关于x的不等式组的解集为1＜x＜3，则a的值为 _________． 12.若点P（x，y）在平面直角坐标系xOy中第四象限内的一点，且满足2x-y=4，x+y=m，则m的取值范围是 __________ ． 13. 对于任意实数m、n，定义一种运运算m※n=mn-m-n+3，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：3※5=3×5-3-5+3=10．请根据上述定义解决问题：若a＜2※x＜7，且解集中有两个整数解，则a的取值范围是 _________． 14．已知关于x的不等式组的整数解共有6个，则a的取值范围是__________． 15．若关于x的不等式组的解集为x<2，则a的取值范围是________． 16．已知不等式组在同一条数轴上表示不等式①②的解集如图11－X－3所示，则b－a的值为________． 17．已知“x的3倍大于5，且x的一半与1的差不大于2”，则x的取值范围是________． 18.已知关于x的方程＝m的解满足(0<n<3)，若y>1，则m的取值范围是______． 19不等式组的解集是________． 20．小菲受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量杯和体积相同的小球进行了如下操作，请根据图中给出的信息计算，量杯中至少放入________个小球时有水溢出． （三）．解答题 21．解下列不等式组： (1) (2) 22.阅读理解 先阅读理解下面例题，再按要求完成作业． 例题：解一元二次不等式(3x－2)(2x＋1)>0. 解：(3x－2)(2x＋1)>0，由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有 ①或②解不等式组①，得x>；解不等式组②，得x<－. 所以不等式(3x－2)(2x＋1)>0的解集为x>或x<－. 作业题：(1)求分式不等式<0的解集； (2)通过阅读例题和做作业题(1)，你学会了什么知识和方法？ 23．已知关于x，y的二元一次方程组的解中，x为非正数，y为负数．(1)求a的取值范围． (2)化简：|a－3|＋|a＋2|． (3)在a的取值范围中，当a为何整数时，不等式2ax＋x＜2a＋1的解为x＞1? 24．已知方程的解x为非正数，y为负数． (1)求a的取值范围； (2)在（1）的条件下，若不等式的解为，求整数a的值． 25. 县政府响应“建设环保节约型社会”的号召，决定资助部分村镇修建一批沼气池，使农民用到经济、环保的沼气能源．幸福村共有264户村民，政府补助村里34万元，不足部分由村民集资．修建A型、B型沼气池共20个．两种型号沼气池每个修建费用、可供使用户数、修建用地情况如下表： 沼气池 修建费用（万元/个） 可供使用户数（户/个） 占地面积（m2/个） A型 3 20 48 B型 2 3 6 政府相关部门批给该村沼气池修建用地708平方米．设修建A型沼气池x个，修建两种型号沼气池共需费用y万元． （1）用含有x的代数式表示y； （2）不超过政府批给修建沼气池用地面积，又要使该村每户村民用上沼气的修建方案有几种； （3）若平均每户村民集资700元，能否满足所需费用最少的修建方案． 26．某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车． （1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ （2）如果工厂招聘n（0＜n＜10）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ （3）在（2）的条件下，工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发2000元的工资，给每名新工人每月发1200元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能地少？ 答案：4，2 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.由几个含有同一个未知数的________________组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。 2.一元一次不等式组中所有不等式的解集的________________，叫做这个一元一次不等式组的解集。 3.求不等式组解集的过程，叫做________________。 4.解一元一次不等式组的步骤：第一步，分别求出不等式组中每个不等式的_____________；第二步，利用_____________找出这些解集的公共部分；第三步，写出这个一元一次不等式组的________________。 5.用数轴表示不等式组的解集时，要注意“空心圆圈”表示________________，“实心圆点”表示________________，线的方向表示解集的延伸范围。 6.一元一次不等式组的解集有四种基本类型（设a < b）： 不等式组的解集是________________，用口诀表示为“同大取________________”； 不等式组的解集是________________，用口诀表示为“同小取________________”； 不等式组的解集是________________，用口诀表示为“大小小大________________”； 不等式组的解集是________________，用口诀表示为“大大小小________________”。 7.当一元一次不等式组的解集为空集时，说明这个不等式组中各个不等式的解集________________公共部分。 8.列一元一次不等式组解决实际问题时，关键是找出题目中的________________关系，设出未知数后，列出相应的不等式组，再求解并检验解的________________。 9.若一元一次不等式组有解，则m与n的大小关系是________________。 10.已知一元一次不等式组的解集为3 < x ≤5，则这个不等式组中两个不等式的解集分别可能是x > 3和________________。 （二）强化训练 一．选择题 1.关于x的不等式组的解集为x＜3，那么m的取值范围为（　　） A．m=3 B．m＞3 C．m＜3 D．m≥3 2．使不等式x-1≥2与3x-7＜8同时成立的x的整数值是（　　） A．3，4 B．4，5 C．3，4，5 D．不存在 3．定义[x]为不超过x的最大整数，如[3.6]=3，[0.6]=0，[-3.6]=-4．对于任意实数x，下列式子中错误的是（　　） A．[x]=x（x为整数） B．0≤x-[x]＜1 C．[x+y]≤[x]+[y] D．[n+x]=n+[x]（n为整数） 4．把一些笔记本分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本．则共有学生（　　） A．4人 B．5人 C．6人 D．5或6人 5. 不等式组的解集是3＜x＜a+2，则a的取值范围是（　　） A．a＞1 B．a≤3 C．a＜1或a＞3 D．1＜a≤3 6. 若不等式组无解（a≠b），则不等式组的解集是（　　） A．2-b＜x＜2-a B．b-2＜x＜a-2 C．2-a＜x＜2-b D．无解 7. 已知实数x、y同时满足三个条件：①3x-2y=4-p，②4x-3y=2+p，③x＞y，那么实数p的取值范围是（　　） A．p＞-1 B．p＜1 C．p＜-1 D．p＞1 8．若关于x的不等式组有实数解，则a的取值范围是(　　) A．a＜4 B．a≤4 C．a＞4 D．a≥4 9．若关于x的一元一次不等式组的解是x<5，则m的取值范围是(　　) A．m≥5 B．m>5 C．m≤5 D．m<5 10．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是( ) A. a<3 B. a≤3 C. a>3 D. a≥3 二．填空题 11. 不等式组的解集为________ 12. 已知关于x的不等式只有四个整数解，则实数a的取值范是__________ 13．若不等式组有解，则a的取值范围是_____． 14.不等式组的解集为________． 15.若关于x的不等式组的解集是x>2，则m的取值范围是________． 16．如果不等式组的解集是0≤x＜1，那么a＋b的值为________． 17．已知关于x的不等式组只有四个整数解，则a的取值范围是________． 18．已知不等式组如果这个不等式组无解，则a的取值范围是________． 19．若关于y的不等式组有解，且关于x的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数k的和为______ 20．球迷一行56人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有A、B两个出租车队，A队比B队少3辆车，若全部安排乘A队的车，每辆坐5人，车不够，每辆坐6人，有的车未坐满；若全部安排B队的车，每辆坐4人，车不够，每辆坐5人，有的车未坐满，则A队有出租车_______辆. 三．解答题 21.解不等式组： (1) (2) 22．如图，在数轴上，点A，B分别表示数1，－2x＋3. (1)求x的取值范围； (2)数轴上表示数－x＋2的点应落在(　　) A．点A的左边 B．线段AB上 C．点B的右边 23. 探究题已知不等式组 (1)分别求出当k＝，k＝3，k＝－2时不等式组的解集； (2)由(1)可知不等式组的解集随k值的变化而变化，当k为任意数时，写出不等式组的解集． 24.我们用[a]表示不大于a的最大整数，例如：[2.5]＝2，[3]＝3，[－2.5]＝－3；用<a>表示大于a的最小整数，例如：<2.5>＝3，<4>＝5，<－1.5>＝－1.解决下列问题： (1)[－4.5]＝________，<3.5>＝________． (2)若[x]＝2，则x的取值范围是________； 若<y>＝－1，则y的取值范围是________． (3)已知x，y满足方程组求x，y的取值范围． 25．为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1 900本科技类书籍和1 620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本． (1)问符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来； (2)若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，试说明在(1)中哪种方案费用最低？最低费用是多少元？ 26．为了抓住文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元． （1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？ （2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，那么该商店共有几种进货方案？ （3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年北师大版八年级数学下 《第二章不等式与不等式组第四节一元一次不等式组》讲义 ( 一． 学习 目标 1.理解一元一次不等式组的概念，能准确识别一元一次不等式组的构成要素； 2.掌握一元一次不等式组解集的定义，会用数轴表示不等式组的解集； 3.熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤，能准确求解简单的一元一次不等式组； 4.能运用一元一次不等式组解决简单的实际问题，体会数形结合思想与建模思想的应用。 ) ( 二．重点难点 （一）重点 1.一元一次不等式组的概念及解集的含义； 2.解一元一次不等式组的步骤及数轴表示解集的方法。 难点 1.理解不等式组解集的取法（ “ 同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找 ” ）； 2.运用一元一次不等式组解决实际问题时，准确建立不等关系并确定解集的实际意义。 ) 三．课前预习 1.由几个含有________的一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组； 2.一元一次不等式组中所有不等式的解集的________，叫做这个一元一次不等式组的解集； 3.求不等式组解集的过程，叫做________； 4.用数轴表示不等式组的解集时，要注意“空心圆圈”表示________，“实心圆点”表示________，数轴上重叠的部分即为不等式组的________； 5.解一元一次不等式组的基本步骤：第一步，分别解不等式组中的________；第二步，将每个不等式的解集在______上表示出来；第三步，找出解集的________，即为不等式组的解集。 【答案】 1.同一个未知数；2. 公共部分；3. 解不等式组；4. 不包含该点；包含该点；解集；5. 每个一元一次不等式；数轴；公共部分 四．课堂探秘 探究一：一元一次不等式组的概念 某校今年冬季烧煤取暖时间为4个月.如果每月比计划多烧5t煤，那么取暖用煤总量将超过100t;如果每月比计划少烧5t煤，那么取暖用煤总量不足68t.若该校计划每月烧煤xt，则x满足怎样的关系式? 根据题意，得 4(x+5)>100,且4(x-5)<68. 未知数x同时满足两个条件.把两个不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组， 观察下列式子： 思考： （1）式子①和②有什么共同特征？它们是否为一元一次不等式组？为什么？ 【解析】共同点：① 每个式子都是由两个不等式联立组成的；② 每个不等式都只含一个未知数x，且未知数的次数为1，两边都是整式。①和②为一元一次不等式组： 理由：它们都满足“由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成”。 （2）式子③是否为一元一次不等式组？请说明理由。 【解析】式子③不是一元一次不等式组。 理由：它含有两个未知数x和y，不满足“只含同一个未知数”的条件，因此不是一元一次不等式组。 1.一元一次不等式组的概念 由几个含有同一个未知数的一元一次不等式联立组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。 2.理解： （1）双条件，缺一不可 ① 组成不等式组的每个不等式都必须是一元一次不等式（只含一个未知数、未知数次数为1、两边为整式）； ② 所有不等式必须含同一个未知数，多未知数、不同未知数均不满足。 （2）易混点区分 如是一元一次不等式组（满足双条件）；如（含2个未知数）、（未知数次数为2）、（左边非整式），均不是一元一次不等式组。 （3）数量与形式 组成不等式组的一元一次不等式数量至少2个，形式上用大括号联立，本质是求多个不等式解集的公共部分。 探究二：一元一次不等式组的步骤 例1.解不等式组 解:解不等式①，得x> 解不等式②，得x<6. 在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图. 因此，原不等式组的解集为<x<6. 例2.解不等式组 解:解不等式①，得x< 解不等式②，得x< 在同一条数轴上表示不等式12的解集，如图. 所以，原不等式组的解集是x< 例3.解不等式组 解:解不等式①，得x> 解不等式②，得x>4. 在同一条数轴上表示不不等式①②的解集，如图 所以，原不等式组的解集是x>4. 1.解一元一次不等式组的步骤: (1)分别求出不等式组中各个不等式的解集; (2)利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集. 法则：“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解。” 2.两个一元一次不等式组的解集的四种情况(a、b为实数,且a<b) 一元一次不等式 解集 图示 叙述语言表达 x>b 两大取较大 x>a 两小取小 a<x<b 大小交叉中间找 无解 在大小分离没有解 (是空集) 五．课堂检测 （一）．选择题 1. 不等式组的解集是（　　） A．x＞1 B．x＜2 C．1≤x≤2 D．1＜x＜2 【答案】：D 【解析】：∵解不等式①得：x＜2，解不等式②得：x＞1，∴不等式组的解集为1＜x＜2，故选D． 2．若不等式组恰有两个整数解，则m的取值范围是（　　） A．-1≤m＜0 B．-1＜m≤0 C．-1≤m≤0 D．-1＜m＜0 【答案】：A 【解析】：∵不等式组的解集为m-1＜x＜1又∵不等式组恰有两个整数解∴-2≤m-1＜-1，解得：-1≤m＜0恰有两个整数解，故选A． 3．若不等式组无解，则实数a的取值范围是（　　） A．a≥-1 B．a＜-1 C．a≤1 D．a≤-1 【答案】：D 【解析】：由①得，x≥-a，由②得，x＜1，∵不等式组无解，∴-a≥1， 解得：a≤-1．故选：D． 4. 有数颗等重的糖果和数个大、小砝码，其中大砝码皆为5克、小砝码皆为1克，且图是将糖果与砝码放在等臂天平上的两种情形．判断下列哪一种情形是正确的（　　） A． B． C． D． 【答案】：D 【解析】： 设1个糖果的质量为x克则解得5＜x＜．则10＜2x＜；15＜3x＜16；20＜4x＜．故只有选项D正确．故选D． 5．若关于x的不等式组的其中一个整数解为x=2，则a的值可能为（　　） A．-3 B．-2 C．-1 D．0 【答案】：A 【解析】：∵解不等式①得：解不等式②得：x＞4+a，∵关于x的不等式组的其中一个整数解为x=2，∴不等式组的解集为：4+a＜A，把a=-3代入得：1＜x＜3，符合题意，故本选项正确；B，把a=-2代入得：2＜x＜2.5，此时没有整数解x=2，故本选项错误；C，把a=-1代入得出3＜x，且x＜2，此时没有整数解，故本选项错误；D，把a=0代入得：4＜x，且x＜1.5，此时没有整数解，故本选项错误；故选A． 6. 一宾馆有二人间，三人间，四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准备同时租用这三种客房共7间，如果每个房间都住满，租房方案有（　　） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】：C 【解析】：设租二人间x间，租三人间y间，则四人间客房7-x-y．依题意得：解得：x＞1．∵2x+y=8，y＞0，7-x-y＞0，∴x=2，y=4，7-x-y=1；x=3，y=2，7-x-y=2．故有2种租房方案．故选C． 7. 若a＜b＜c，则关于x的不等式组 的解集是（　　） A．a＜x＜b B．a＜x＜c C．b＜x＜c D．无解 【答案】：A 【解析】：∵a＜b＜c，∴不等式组的解集是a＜x＜b，故选A． 8．不等式组的整数解有(　C　) A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】：C 【解析】：解不等式3x＋7≥2，得x≥－，解不等式2x－9＜1，得x＜5，∴不等式组的解集为－≤x<5，∴不等式组的整数解为－1，0，1，2，3，4，共6个． 9．若不等式组的解集为0＜x＜1，则a的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】：A 【解析】：解2x＋a－1＞0，得x＞，解2x－a－1＜0，得x＜，∴解得a＝1. 10．某市某化工厂现有A种原料52 kg，B种原料64 kg，现用这些原料生产甲、乙两种产品共20件．已知生产1件甲种产品需要A种原料3 kg，B种原料2 kg；生产1件乙种产品需要A种原料2 kg，B种原料4 kg，则生产方案的种数为( ) A． 4　　 B． 5 C． 6　　 D． 6 【答案】：B 【解析】：设生产甲产品x件，则生产乙产品(20－x)件，由题意，得 解得8≤x≤12．∵x为整数，∴x＝8，9，10，11，12，∴共有5种生产方案． （二）．填空题 11．关于x的不等式组的解集为1＜x＜3，则a的值为 _________． 【答案】：4 【解析】：∵解不等式①得：x＞1，解不等式②得：x＜a-1∵不等式组的解集为1＜x＜3∴a-1=3，∴a=4故答案为：4． 12.若点P（x，y）在平面直角坐标系xOy中第四象限内的一点，且满足2x-y=4，x+y=m，则m的取值范围是 __________ ． 【答案】：-4＜m＜2 【解析】：根据题意得：解得：根据题意知： 解得：-4＜m＜2．故答案是：-4＜m＜2． 13. 对于任意实数m、n，定义一种运运算m※n=mn-m-n+3，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：3※5=3×5-3-5+3=10．请根据上述定义解决问题：若a＜2※x＜7，且解集中有两个整数解，则a的取值范围是 _________． 【答案】：4≤a＜5 【解析】：解答：根据题意得：2※x=2x-2-x+3=x+1，∵a＜x+1＜7，即a-1＜x＜6解集中有两个整数解，∴a的范围为4≤a＜5，故答案为：4≤a＜5． 14．已知关于x的不等式组的整数解共有6个，则a的取值范围是__________． 【答案】：－5≤a<－4 【解析】解不等式组得∵满足不等式组的整数解有6个，即－4，－3，－2，－1，0，1，∴－5≤a<－4. 15．若关于x的不等式组的解集为x<2，则a的取值范围是________． 【答案】：a≤－2 【解析】先用含有a的式子把原不等式组的解集表示出来，然后和已知解集进行比对，最终求出a的取值范围．由第一个不等式得x<2，由第二个不等式得x<－a，因为解集为x＜2，借助数轴可知2≤－a，从而求得a≤－2.故答案为a≤－2. 16．已知不等式组在同一条数轴上表示不等式①②的解集如图11－X－3所示，则b－a的值为________． 【答案】： 【解析】解不等式①，得x≥－a－1.解不等式②，得x≤b.由数轴可得原不等式组的解集是－2≤x≤3，所以解得所以b－a＝3－1＝.故答案为. 17．已知“x的3倍大于5，且x的一半与1的差不大于2”，则x的取值范围是________． 【答案】<x≤6 【解析】　由题意，得解得<x≤6． 18.已知关于x的方程＝m的解满足(0<n<3)，若y>1，则m的取值范围是______． 【答案】<m< 【解析】　解方程组，得∵y>1，∴2n－1>1，即n>1．又∵0<n<3，∴1<n<3．∵m＝，x＝n＋2，∴n＝－2，∴1<－2<3，解得<m<． 19不等式组的解集是________． 【答案】 【解析】：；解不等式①得x；解不等式②得x；综上此方程组的解集为：．故答案为：． 20．小菲受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量杯和体积相同的小球进行了如下操作，请根据图中给出的信息计算，量杯中至少放入________个小球时有水溢出． 【答案】10 【解析】由题意可得每添加一个球，水面上升2 cm，设放入x个小球时有水溢出，则 2x＋30＞49，解得x＞9.5，即至少放入10个小球时有水溢出. （三）．解答题 21．解下列不等式组： (1) (2) 解：（1）解不等式①，得x＞；解不等式②，得x≤4.在数轴上表示各不等式的解集如下.所以不等式组的解集是＜x≤4. （2）解不等式①，得x≤3；解不等式②，得x＞－2.在数轴上表示各不等式的解集如下.所以不等式组的解集为－2＜x≤3. 22.阅读理解 先阅读理解下面例题，再按要求完成作业． 例题：解一元二次不等式(3x－2)(2x＋1)>0. 解：(3x－2)(2x＋1)>0，由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有 ①或②解不等式组①，得x>；解不等式组②，得x<－. 所以不等式(3x－2)(2x＋1)>0的解集为x>或x<－. 作业题：(1)求分式不等式<0的解集； (2)通过阅读例题和做作业题(1)，你学会了什么知识和方法？ 解：（1）由有理数的除法法则“两数相除，异号得负”，有 ①或② 解不等式组①，得－<x<；解不等式组②，得不等式组②无解.因此，分式不等式<0的解集为－<x<. （2）通过阅读例题和做作业题（1），学会了分类讨论的思想和解一元二次不等式、分式不等式的一种方法（答案合理即可）. 23．已知关于x，y的二元一次方程组的解中，x为非正数，y为负数．(1)求a的取值范围． (2)化简：|a－3|＋|a＋2|． (3)在a的取值范围中，当a为何整数时，不等式2ax＋x＜2a＋1的解为x＞1? 解：(1)得∵x为非正数，y为负数， ∴即解得∴a的取值范围是－2＜a≤3． (2)∵－2＜a≤3，∴a－3≤0，a＋2＞0，∴|a－3|＋|a＋2|＝3－a＋a＋2＝5． (3)不等式2ax＋x＜2a＋1可化简为(2a＋1)x＜2a＋1．∵不等式的解为x＞1，∴2a＋1＜0，∴a＜－．又∵－2＜a≤3，∴－2＜a＜－．∵a为整数，∴a＝－1． 24．已知方程的解x为非正数，y为负数． (1)求a的取值范围； (2)在（1）的条件下，若不等式的解为，求整数a的值． 解：（1），得，，解得：，得，，解得：，∵x为非正数，y为负数，∴，由③得，，由④得，，所以a的取值范围是； （2）∵的解为，∴，则，∴，又∵，∴,∴整数a的值为． 25. 县政府响应“建设环保节约型社会”的号召，决定资助部分村镇修建一批沼气池，使农民用到经济、环保的沼气能源．幸福村共有264户村民，政府补助村里34万元，不足部分由村民集资．修建A型、B型沼气池共20个．两种型号沼气池每个修建费用、可供使用户数、修建用地情况如下表： 沼气池 修建费用（万元/个） 可供使用户数（户/个） 占地面积（m2/个） A型 3 20 48 B型 2 3 6 政府相关部门批给该村沼气池修建用地708平方米．设修建A型沼气池x个，修建两种型号沼气池共需费用y万元． （1）用含有x的代数式表示y； （2）不超过政府批给修建沼气池用地面积，又要使该村每户村民用上沼气的修建方案有几种； （3）若平均每户村民集资700元，能否满足所需费用最少的修建方案． 解：（1）； （2）由题意得解①得x≥12解②得x≤14∴不等式的解为12≤x≤14是正整数∴x的取值为12，13，14即有3种修建方案：①A型12个，B型8个；②A型13个，B型7个；③A型14个，B型6个 ； （3）∵y＝x＋40中，随的增加而增加，要使费用最少，则x＝12 ∴最少费用为y＝x＋40＝52（万元）村民每户集资700元与政府补助共计：700×264＋340000＝524800＞520000∴每户集资700元能满足所需要费用最少的修建方案 26．某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车． （1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ （2）如果工厂招聘n（0＜n＜10）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ （3）在（2）的条件下，工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发2000元的工资，给每名新工人每月发1200元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能地少？ 答案：4，2 解：（1）设每名熟练工和新工人每月分别可以安装x、y辆电动汽车．根据题意，得解得 答：每名熟练工和新工人每月分别可以安装4、2辆电动汽车． （2）设工厂有a名熟练工．根据题意，得12（4a+2n）=240，2a+n=10，n=10-2a，又a，n都是正整数，0＜n＜10，所以n=8，6，4，2．即工厂有4种新工人的招聘方案．n=8，a=1，即新工人8人，熟练工1人；n=6，a=2，即新工人6人，熟练工2人；n=4，a=3，即新工人4人，熟练工3人；n=2，a=4，即新工人2人，熟练工4人． （3）结合（2）知：要使新工人的数量多于熟练工，则n=8，a=1；或n=6，a=2；或n=4，a=3．根据题意，得W=2000a+1200n=2000a+1200（10-2a）=12000-400a．要使工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能地少，则a应最大．显然当n=4，a=3时，工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能地少． 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.由几个含有同一个未知数的________________组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。 2.一元一次不等式组中所有不等式的解集的________________，叫做这个一元一次不等式组的解集。 3.求不等式组解集的过程，叫做________________。 4.解一元一次不等式组的步骤：第一步，分别求出不等式组中每个不等式的_____________；第二步，利用_____________找出这些解集的公共部分；第三步，写出这个一元一次不等式组的________________。 5.用数轴表示不等式组的解集时，要注意“空心圆圈”表示________________，“实心圆点”表示________________，线的方向表示解集的延伸范围。 6.一元一次不等式组的解集有四种基本类型（设a < b）： 不等式组的解集是________________，用口诀表示为“同大取________________”； 不等式组的解集是________________，用口诀表示为“同小取________________”； 不等式组的解集是________________，用口诀表示为“大小小大________________”； 不等式组的解集是________________，用口诀表示为“大大小小________________”。 7.当一元一次不等式组的解集为空集时，说明这个不等式组中各个不等式的解集________________公共部分。 8.列一元一次不等式组解决实际问题时，关键是找出题目中的________________关系，设出未知数后，列出相应的不等式组，再求解并检验解的________________。 9.若一元一次不等式组有解，则m与n的大小关系是________________。 10.已知一元一次不等式组的解集为3 < x ≤5，则这个不等式组中两个不等式的解集分别可能是x > 3和________________。 【答案】1.一元一次不等式 2.公共部分 3.解不等式组 4.解集；数轴；解集 5.不包含该点；包含该点 6. x > b；大；x < a；小；a < x < b；中间找；无解；无处找 7.没有 8.不等；实际意义 9.m ≤ n 10. x ≤ 5（答案不唯一，合理即可） （二）强化训练 一．选择题 1.关于x的不等式组的解集为x＜3，那么m的取值范围为（　　） A．m=3 B．m＞3 C．m＜3 D．m≥3 【答案】：D 【解析】：不等式组变形得：由不等式组的解集为x＜3，得到m的范围为m≥3， 故选D． 2．使不等式x-1≥2与3x-7＜8同时成立的x的整数值是（　　） A．3，4 B．4，5 C．3，4，5 D．不存在 【答案】：A 【解析】：根据题意得：得：3≤x＜5，则x的整数值是3，4；故选A． 3．定义[x]为不超过x的最大整数，如[3.6]=3，[0.6]=0，[-3.6]=-4．对于任意实数x，下列式子中错误的是（　　） A．[x]=x（x为整数） B．0≤x-[x]＜1 C．[x+y]≤[x]+[y] D．[n+x]=n+[x]（n为整数） 【答案】：C 【解答】：A、∵[x]为不超过x的最大整数，∴当x是整数时，[x]=x，成立；B、∵[x]为不超过x的最大整数，∴0≤x-[x]＜1，成立；C、例如，[-5.4-3.2]=[-8.6]=-9，[-5.4]+[-3.2]=-6+（-4）=-10，∵-9＞-10，∴[-5.4-3.2]＞[-5.4]+[-3.2]，∴[x+y]≤[x]+[y]不成立，D、[n+x]=n+[x]（n为整数），成立；故选：C． 4．把一些笔记本分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本．则共有学生（　　） A．4人 B．5人 C．6人 D．5或6人 【答案】：C 【解析】：假设共有学生x人，根据题意得出：5（x-1）+3＞3x+8≥5（x-1），解得：5＜x≤6.5．故选：C． 5. 不等式组的解集是3＜x＜a+2，则a的取值范围是（　　） A．a＞1 B．a≤3 C．a＜1或a＞3 D．1＜a≤3 【答案】：D 【解析】： 根据题意可知a-1≤3，即a+2≤5所以a≤3又因为3＜x＜a+2即a+2＞3所以a＞1所以1＜a≤3故选：D． 6. 若不等式组无解（a≠b），则不等式组的解集是（　　） A．2-b＜x＜2-a B．b-2＜x＜a-2 C．2-a＜x＜2-b D．无解 【答案】：C 【解析】：∵不等式组无解∴a≥b，∴-a≤-b，∴2-a≤2-b，∴不等式组的解集是2-a＜x＜2-b，故选C． 7. 已知实数x、y同时满足三个条件：①3x-2y=4-p，②4x-3y=2+p，③x＞y，那么实数p的取值范围是（　　） A．p＞-1 B．p＜1 C．p＜-1 D．p＞1 【答案】：D 【解析】：①×3-②×2得：x=8-5p，把x=8-5p代入①得：y=10-7p，∵x＞y，∴8-5p＞10-7p， ∴p＞1．故选D． 8．若关于x的不等式组有实数解，则a的取值范围是(　　) A．a＜4 B．a≤4 C．a＞4 D．a≥4 【答案】：A 【解析】：解不等式2x＞3x－3，得x＜3，解不等式3x－a＞5，得x＞，∴＜x＜3，则＜3，得a＜4. 9．若关于x的一元一次不等式组的解是x<5，则m的取值范围是(　　) A．m≥5 B．m>5 C．m≤5 D．m<5 【答案】：A 【解析】：解不等式2x－1>3(x－2)，得x<5，又x<m，且不等式组的解是x<5，根据解不等式组的口诀“同小取小”，∴m的取值范围是m≥5. 10．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是( ) A. a<3 B. a≤3 C. a>3 D. a≥3 【答案】：D 【解析】：解不等式组得∵不等式组无解，∴a≥3. 二．填空题 11. 不等式组的解集为________ 【答案】：-3≤x＜2 【解析】：解①得x＞2，解②得x≥-3，所以不等式组的解集为-3≤x＜2．故答案为-3≤x＜2． 12. 已知关于x的不等式只有四个整数解，则实数a的取值范是__________ 【答案】：：-3＜a≤-2 【解析】：解①得：x≥a，解②得：x＜2．∵不等式组有四个整数解，∴不等式组的整数解是：-2，-1，0，1．则实数a的取值范围是：-3＜a≤-2．故答案是：-3＜a≤-2． 13．若不等式组有解，则a的取值范围是_____． 【答案】．a＞﹣1 【解析】：∵由得x≥﹣a；由得x＜1∴解集为﹣a≤x＜1．∴﹣a＜1，即a＞﹣1．∴a的取值范围是a＞﹣1． 14.不等式组的解集为________． 【答案】－1<x≤1. 【解析】解不等式①得x>－1，解不等式②得x≤1，∴原不等式组的解集为－1<x≤1. 15.若关于x的不等式组的解集是x>2，则m的取值范围是________． 【答案】m≤2. 【解析】根据大大取大，得m≤2. 16．如果不等式组的解集是0≤x＜1，那么a＋b的值为________． 【答案】1 【解析】 由①得x≥4－2a，由②得x＜.又不等式组的解集为0≤x＜1，所以4－2a＝0，＝1，解得a＝2，b＝－1，所以a＋b＝1. 17．已知关于x的不等式组只有四个整数解，则a的取值范围是________． 【答案】 －3＜a≤－2 【解析】解不等式组得a≤x＜2.因为原不等式组只有四个整数解，可见其整数解为－2，－1，0，1，结合数轴可以发现a只能在－3和－2之间，但当a＝－3时有5个整数解，当a＝－2时有4个整数解，所以a的取值范围是－3＜a≤－2. 18．已知不等式组如果这个不等式组无解，则a的取值范围是________． 【答案】a≤1　 【解析】解不等式组得因为不等式组无解，所以a≤1. 19．若关于y的不等式组有解，且关于x的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数k的和为______ 【答案】-5 【解析】：，由得：，由得：，不等式有解，，解得：， 又，解得：，方程有非负整数解，当时，，最简公分母为0，不符合题意，舍，当时，，时，，． 20．球迷一行56人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有A、B两个出租车队，A队比B队少3辆车，若全部安排乘A队的车，每辆坐5人，车不够，每辆坐6人，有的车未坐满；若全部安排B队的车，每辆坐4人，车不够，每辆坐5人，有的车未坐满，则A队有出租车_______辆. 【答案】10 【解析】设A队有车x辆，则B队有车(x＋3)辆，由题意得，，且，解不等式组取正整数得x＝10. 三．解答题 21.解不等式组： (1) (2) 解：（1）由3x≥x＋2，解得x≥1，由x＋4＜2（2x－1），解得x＞2， 所以不等式组的解集为x＞2. （2）解不等式①，得x＜2，解不等式②，得x≥－3，不等式①②的解集在数轴上的表示如图：所以原不等式组的解集为－3≤x＜2. 22．如图，在数轴上，点A，B分别表示数1，－2x＋3. (1)求x的取值范围； (2)数轴上表示数－x＋2的点应落在(　　) A．点A的左边 B．线段AB上 C．点B的右边 解：（1）由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得－2x＋3＞1，解得x＜1. （2）B　【解析】由x＜1，得－x＞－1，－x＋2＞－1＋2，解得－x＋2＞1.故数轴上表示数－x＋2的点在点A的右边；作差，得－2x＋3－（－x＋2）＝－x＋1，由x＜1，得－x＞－1，－x＋1＞0，－2x＋3－（－x＋2）＞0，所以－2x＋3＞－x＋2，故数轴上表示数－x＋2的点在点B的左边.综上，数轴上表示数－x＋2的点落在线段AB上.故选B. 23. 探究题已知不等式组 (1)分别求出当k＝，k＝3，k＝－2时不等式组的解集； (2)由(1)可知不等式组的解集随k值的变化而变化，当k为任意数时，写出不等式组的解集． 解：（1）①当k＝时，原不等式组可化为原不等式组的解集是－1<x<. ①当k＝3时，原不等式组可化为原不等式组无解. ②当k＝－2时，原不等式组可化为原不等式组的解集是－1<x<1. （2）若k为任意数，则不等式组的解集可分以下三种情况：当1－k≤－1，即k≥2时，原不等式组可化为原不等式组无解；当1－k≥1，即k≤0时，原不等式组可化为原不等式组的解集为－1<x<1；当－1<1－k<1，即0<k<2时，原不等式组可化为原不等式组的解集为－1<x<1－k. 24.我们用[a]表示不大于a的最大整数，例如：[2.5]＝2，[3]＝3，[－2.5]＝－3；用<a>表示大于a的最小整数，例如：<2.5>＝3，<4>＝5，<－1.5>＝－1.解决下列问题： (1)[－4.5]＝________，<3.5>＝________． (2)若[x]＝2，则x的取值范围是________； 若<y>＝－1，则y的取值范围是________． (3)已知x，y满足方程组求x，y的取值范围． 解：(1)－5　4(2)2≤x＜3　－2≤y＜－1 (3)解方程组得 所以x，y的取值范围分别为－1≤x<0，2≤y<3. 25．为打造“书香校园”，某学校计划用不超过1 900本科技类书籍和1 620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本． (1)问符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来； (2)若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，试说明在(1)中哪种方案费用最低？最低费用是多少元？ 解：(1)设组建中型图书角x个，则组建小型图书角为(30－x)个．由题意，得解这个不等式组得18≤x≤20.由于x只能取整数，∴x的取值是18,19,20.当x＝18时，30－x＝12；当x＝19时，30－x＝11；当x＝20时，30－x＝10.故有三种组建方案：方案一，组建中型图书角18个，小型图书角12个；方案二，组建中型图书角19个，小型图书角11个；方案三，组建中型图书角20个，小型图书角10个．(2)方法一：由于组建一个中型图书角的费用大于组建一个小型图书角的费用，因此组建中型图书角的数量越少，费用就越低，故方案一费用最低．最低费用是860×18＋570×12＝22 320(元)． 方法二：①方案一的费用是：860×18＋570×12＝22 320(元)；②方案二的费用是：860×19＋570×11＝22 610(元)；③方案三的费用是：860×20＋570×10＝22 900(元)；故方案一费用最低，最低费用是22 320元． 26．为了抓住文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元． （1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？ （2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，那么该商店共有几种进货方案？ （3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ 解：（1）设该商店购进一件A种纪念品需要a元，购进一件B种纪念品需要b元， 根据题意得方程组得：8a+3b=350 5a+6b=800 得：a=100 b=50，∴购进一件A种纪念品需要100元，购进一件B种纪念品需要50元…4分； （2）设该商店购进A种纪念品x个，则购进B种纪念品有（100﹣x）个， ∴100x+50（100-x）7500 100x+50（100-x）7650 解得：50≤x≤53，∵x 为正整数，x=50，51，52，53∴共有4种进货方案，分别为：方案1：商店购进A种纪念品50个，则购进B种纪念品有50个；方案2：商店购进A种纪念品51个，则购进B种纪念品有49个；方案3：商店购进A种纪念品52个，则购进B种纪念品有48个；[来源:学§科§网]方案4：商店购进A种纪念品53个，则购进B种纪念品有47个．…8分； （3）因为B种纪念品利润较高，故B种数量越多总利润越高，因此选择购A种50件，B种50件．总利润=50×20+50×30=2500（元）∴当购进A种纪念品50件，B种纪念品50件时，可获最大利润，最大利润是2500元． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $