精品解析：天津市实验中学2025-2026学年高一上学期第二次月考数学试题

2028届创新实验年级统练（二）数学 一、单选题 1. 已知函数（且）的图象经过定点A，且点A在角θ的终边上，则（ ） A. B. 0 C. 7 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数运算的性质，结合三角函数的定义、同角三角函数的商关系进行求解即可. 【详解】对于函数（且），当时，，即， 因为点A在角θ的终边上， 所以， 于是， 故选：D 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式化简可得的值，再利用弦化切可求得所求代数式的值. 【详解】解：由诱导公式可得，所以，. 因此，. 故选：D. 3. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，分别求出，再根据题中公式即可得出答案. 【详解】解：如图，连接， 因为是的中点， 所以， 又，所以三点共线， 即， 又， 所以， 则，故， 所以. 故选：B. 4. 若，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，再利用平方关系和商数关系求解. 【详解】解：由得，∴或， 因为，，所以. 由及得，∴， 所以． 故选：A 5. 若，是第二象限角，则（ ） A. B. 3 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题知，再根据诱导公式与半角公式计算即可得答案. 【详解】解：因为，是第二象限角， 所以， 所以. 故选：C 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】 ， ，，，解得， ，. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，应用诱导公式及已知即可求解. 【详解】由， 所以. 故选：B 8. 2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】计算出单位圆内接正边形和外切正边形的周长，利用它们的算术平均数作为的近似值可得出结果. 【详解】单位圆内接正边形的每条边所对应的圆心角为，每条边长为 ， 所以，单位圆的内接正边形的周长为， 单位圆的外切正边形的每条边长为，其周长为， ， 则. 故选：A. 【点睛】本题考查圆周率的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正边形和外切正边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题. 三、填空题 9. 函数，若a，b，c，d互不相同，且，则abcd的取值范围是________. 【答案】． 【解析】 【分析】 作出函数的图象，得出的单调性，作出一直线与的图象有四个交点，得的关系，由此可求得的范围． 【详解】由的解析式知在和上递减，在和上递增，作函数的图象，再作一直线与的图象有四个交点，横坐标从小到大依次为， 由图知，，，，， ∴，此函数在上递增， ∴，即． 故答案为： 【点睛】方法点睛：本题考查函数零点与方程根的问题，解题方法是数形结合思想方法，作出函数图象，确定函数的性质，得出四个数的关系及范围，由此易求得结论． 10. 已知，则的值是_____. 【答案】. 【解析】 【分析】由题意首先求得的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可. 【详解】由， 得， 解得，或. ， 当时，上式 当时，上式= 综上， 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题. 11. ，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用指对互化得，变形得，解二次方程求得，即可得解. 【详解】设，则， 所以，因为，所以， 所以，即， 解得或（负根舍去）， 所以. 故答案为： 12. 函数是定义域为R的奇函数，满足，且当时，，给出下列四个结论： ① ； ② 是函数的周期； ③ 函数在区间上单调递增； ④ 函数所有零点之和为. 其中，正确结论的序号是___________. 【答案】① ③ ④ 【解析】 【分析】由可得直接计算即可判断① ；根据函数的奇偶性和对称性即可求得周期，从而可判断② ；先判断在的单调性，再根据奇函数关于原点对称的区间单调性相同即可判断③ ；根据对称性以及函数图象交点的个数即可判断④. 【详解】对于①：由可得，故①正确； 对于② ：由可得关于直线对称， 因为是定义域为R的奇函数，所以 所以， 所以函数的周期为，故② 不正确； 对于③ ：当时，单调递增，且， 在单调递减，且， 所以在单调递增，因为是奇函数， 所以函数在区间上单调递增；故③ 正确； 对于④ ：由可得关于直线对称，作出示意图 函数所有零点之和即为函数与两个函数图象交点的横坐标之和，当时，两图象交点关于对称，此时两根之和等于 ，当时两图象交点关于对称，此时两根之和等于，当时两图象交点关于对称，此时两根之和等于时两图象无交点 ， 所以函数所有零点之和为.故④ 正确； 故答案为：① ③ ④ 【点睛】求函数零点的方法：画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数；将函数拆成两个函数，和的形式，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象交点个数；零点之和即为两个函数图象交点的横坐标之和. 三、解答题 13. 已知是第三象限角， . （1）化简； （2）若，求的值； （3）若，求的值. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的诱导公式进行化简，即可得到答案； （2）由诱导公式，化简得，进而利用三角函数的基本关系式，求得的值，即可求解； （3）利用诱导公式，化简，即可求解，得到答案. 【详解】（1）由题意，利用三角函数的诱导公式， 化简得. （2）由诱导公式，得，且， 所以， 又因为是第三象限角，所以， 所以. （3）因为，则 . 【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式的化简、求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 14. 已知，，，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用，求出相关的三角函数值即可求解； （2）求出相关角的范围，利用，求解即可. 【小问1详解】 ，且，，， ，， 且，，，， ； 【小问2详解】 ，.，， ，∴， ，. 15. （1）若，且，求的值. （2）已知，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据角的范围与三角恒等式，可求得，再对所求式子进行齐次化处理，代入运算即可； （2）根据三角函数诱导公式进行变形，代入运算即可. 【详解】（1），， 则. 所以. （2）因为， 所以. 16. 求不等式的解集：． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的运算法则、运算性质化简不等式，由对数的单调性转化为分式不等式及一元二次不等式求解. 【详解】由 可得：， 即， 可得， 所以或， 解不等式组，得； 解不等式组，得. 综上得或， 故不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2028届创新实验年级统练（二）数学 一、单选题 1. 已知函数（且）的图象经过定点A，且点A在角θ的终边上，则（ ） A. B. 0 C. 7 D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2 3. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ） A. B. C. D. 4. 若，且满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 若，是第二象限角，则（ ） A. B. 3 C. 5 D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（ ）． A. B. C. D. 三、填空题 9. 函数，若a，b，c，d互不相同，且，则abcd的取值范围是________. 10. 已知，则的值是_____. 11. ，，则______． 12. 函数是定义域为R的奇函数，满足，且当时，，给出下列四个结论： ① ； ② 是函数的周期； ③ 函数在区间上单调递增； ④ 函数所有零点之和为. 其中，正确结论的序号是___________. 三、解答题 13. 已知是第三象限角， . （1）化简； （2）若，求的值； （3）若，求的值. 14. 已知，，，. （1）求的值； （2）求的值. 15. （1）若，且，求的值. （2）已知，求的值. 16. 求不等式的解集：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $