直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、阿氏圆问题专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、阿氏圆问题专项训练 直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、阿氏圆问题专项训练 考点目录 直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 阿氏圆问题 考点一 直线与圆的位置关系 例1．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·期末·多选）已知圆，直线，则（    ） A．圆C的圆心坐标为 B．直线l的方向向量和共线 C．当直线l与圆C相切时，或 D．当时，l与圆C的相交弦长度为2 例2．（2026·广西南宁·一模·多选）已知圆，直线，则下列结论正确的是（   ） A．直线过定点 B．直线被圆截得的最短弦长是 C．当点在圆上时，的取值范围是 D．设过的直线与圆的两个交点为，，则线段的中点的轨迹为圆 例3．（2026·福建漳州·模拟预测·多选）已知点在圆上，点，分别为直线与轴，轴的交点，则下列结论正确的是（   ） A．圆截轴所得的弦长为 B．的最大值为 C．直线的斜率最大值为 D．的面积的最小值为 例4．（25-26高二上·甘肃张掖·期末·多选）已知直线，圆，则下列说法正确的有（   ） A．直线过定点 B．圆心到直线距离的最大值是 C．直线被圆截得的弦长的最小值是2 D．若点在圆上，则的取值范围是 变式1．（25-26高二上·河南周口·月考·多选）已知直线和圆，则（    ） A．若直线和圆相切，则 B．若直线被圆所截得弦长为2，则 C．若圆上的点到直线的距离的最小值为1，则 D．若，圆上存在四个点到直线的距离为1 变式2．（25-26高二上·福建厦门·期中·多选）已知点，直线，圆，下列命题正确的是（ ） A．若点P在直线l上，则点P在圆O上 B．若点P在圆O上，则直线l与圆O相切 C．若直线与圆O有两个公共点，则点P在圆内 D．若直线与圆O相切，则切点为P 变式3．（25-26高二上·甘肃兰州·期末·多选）已知直线与圆，则下列说法正确的是（   ） A．直线恒过定点（2，1） B．圆的半径为2 C．存在实数，使得直线与圆相切 D．若，则直线被圆截得的弦长为2 考点二 圆与圆的位置关系 例1．（25-26高二上·山东济南·月考·多选）记圆：，圆：，则（   ） A． B．若坐标原点在圆上，则点在圆上 C．若圆与圆内切，则 D．当时，圆与圆的相交弦方程为 例2．（25-26高二上·辽宁沈阳·期末·多选）点M在圆上，点N在圆上，则下列说法正确的是（   ） A．两个圆的公切线有3条 B．的取值范围为 C．圆上任意一点关于直线的对称点仍在该圆上 D．两个圆的公共弦所在直线的方程为 例3．（25-26高三上·安徽·期末·多选）已知圆，圆，则（   ） A．的半径为4 B．若相切，则 C．当时，相交弦所在直线的方程为 D．当时，相交弦的长度为 例4．（25-26高二上·河北唐山·月考·多选）已知圆与圆，则（    ） A．若圆与轴相切，则 B．若，则圆与圆相交 C．当时，两圆的公共弦长为 D．直线与圆始终有两个交点 变式1．（25-26高二上·贵州六盘水·月考·多选）已知圆，圆，下列说法正确的是（   ） A．当时，圆与圆外离 B．圆关于直线对称的圆的方程为： C．若圆与圆恰有三条公切线，则 D．若圆与圆相交，则公共弦长的最大值为2 变式2．（25-26高二上·湖北武汉·月考·多选）已知圆与圆，则（    ） A．点在圆内 B．两圆相交，公共弦的方程为 C．圆与圆有三条公切线 D．圆平分圆的周长 变式3．（25-26高三上·江西南昌·月考·多选）已知曲线，曲线由组成，圆，则（    ） A．当时，与圆无公共点 B．当与圆有6个公共点时， C．不存在过原点的直线与无公共点 D．上仅有4个点到直线的距离为 变式4．（25-26高二上·江西南昌·月考·多选）已知圆O：和圆M：有两个公共点A，B，则下列结论正确的是（） A．两圆相交 B．直线AB的方程为 C．两圆有两条公切线 D．线段AB的长为 考点三 阿氏圆问题 例1．（25-26高二上·河北邢台·月考）阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，他在《平面轨迹》中提出，平面内到两定点距离之比为非1定值的点的轨迹是圆（后人称为“阿氏圆”）.已知在平面Oxy内，，，，且，则当取得最小值时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·广西·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点到，的距离之比为，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C．1 D．3 例3．（25-26高二上·山西太原·期中）平面内到两个定点距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆，该圆被称为阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是关于定点的阿波罗尼斯圆，其方程为，，且．若点，则的最小值为 ． 例4．（25-26高二上·江西景德镇·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，距离之比为定值且的点所形成的图形是圆，后来人们将这个圆以他名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知中，，，动点满足，则面积最大值是 . 例5．（25-26高二上·贵州六盘水·月考）设是平面上两个定点，则满足（其中为常数，且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知，且，此时，点的轨迹记为圆． (1)求圆的方程； (2)若直线． （i）证明：直线恒过定点； （ii）若点在圆上，直线与圆交于两点，当弦的长度最短时，求面积的最大值． 例6．（25-26高二上·福建泉州·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们以他的名字命名该种圆，称之为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，点满足，设点所构成的曲线为. (1)求曲线的标准方程，及其对应的圆心的坐标与半径长； (2)过点作直线与曲线交于，两点，若，求的方程； (3)设斜率为直线与曲线交于，两点（不与原点重合），直线，斜率分别为，，若，证明：直线恒过定点. 变式1．（25-26高二上·安徽合肥·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，，，点满足.设点的轨迹为，则下列说法错误的是（   ） A．轨迹的方程为 B．在上存在点，使得 C．在轴上存在异于，的两点，，使得 D．当，，三点不共线时，射线是的角平分线 变式2．（25-26高二上·广东广州·期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果．其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点，，动点满足，则点的轨迹与圆的公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式3．（25-26高二上·江苏无锡·期中）阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期的数学三巨匠.“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上动点到两定点A，B的距离之比满足且，为常数），则点的轨迹为圆.已知在平面直角坐标系中，，动点满足，则点的轨迹为圆，该圆的标准方程为 ；过点A的直线交圆于两点C，D，且，则 . 变式4．（25-26高二上·江苏无锡·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点，的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，已知动点与定点和定点的距离之比为2，其方程为，则 ，若点，则的最小值为 . 变式5．（25-26高二上·黑龙江绥化·月考）阿波罗尼斯圆是古希腊数学家阿波罗尼斯的一个研究成果：平面内到两定点距离之比为常数（，）的点的轨迹是圆，这个圆也称为阿氏圆.已知O为坐标原点，动点P到点的距离是到点的距离的2倍，记动点P的轨迹是曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)已知直线l过定点，且与曲线C交于M，N两点，设直线OM，ON的斜率分别为，，请问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 变式6．（25-26高二上·广西钦州·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点，，且该平面内的点P满足. (1)求点P的轨迹C的方程；并指出轨迹C表示什么图形？ (2)设为曲线C上任一点，求的取值范围； (3)设直线与曲线C交于M、N两点，是否存在实数m，使得以MN为直径的圆过原点，若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、阿氏圆问题专项训练 直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、阿氏圆问题专项训练 考点目录 直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 阿氏圆问题 考点一 直线与圆的位置关系 例1．（25-26高三上·内蒙古呼和浩特·期末·多选）已知圆，直线，则（    ） A．圆C的圆心坐标为 B．直线l的方向向量和共线 C．当直线l与圆C相切时，或 D．当时，l与圆C的相交弦长度为2 【答案】BCD 【详解】对于A，圆的圆心坐标为，A错误； 对于B，直线的方向向量为和共线，B正确； 对于C，圆的圆心坐标为，半径， 当直线l与圆C相切时，圆心到直线的距离等于半径，即， 解得或，C正确； 对于D，当时，，即， 计算圆心到直线的距离为，说明直线l过圆心， 此时直线与圆C的相交弦长度为2，D正确； 故选：BCD. 例2．（2026·广西南宁·一模·多选）已知圆，直线，则下列结论正确的是（   ） A．直线过定点 B．直线被圆截得的最短弦长是 C．当点在圆上时，的取值范围是 D．设过的直线与圆的两个交点为，，则线段的中点的轨迹为圆 【答案】ACD 【详解】对于A，直线可化为， 令，解得， 所以直线过定点，故A正确； 对于B，当圆心与定点连线垂直于时，此时弦长最短， 圆的圆心，半径 即圆心到直线最大距离为， 所以最短弦长为，故B错误； 对于C，由题意得表示到原点距离的平方， 且原点到圆心的距离为， 因为点在圆上，所以， 故，故C正确； 对于D，因为是线段的中点，所以， 因为直线过定点，所以， 故线段的中点的轨迹是以线段为直径的圆，故D正确. 故选：ACD.    例3．（2026·福建漳州·模拟预测·多选）已知点在圆上，点，分别为直线与轴，轴的交点，则下列结论正确的是（   ） A．圆截轴所得的弦长为 B．的最大值为 C．直线的斜率最大值为 D．的面积的最小值为 【答案】ABD 【详解】易得，，圆，圆心，半径． 圆截轴所得的弦长为，故选项A正确； 因为，所以的最大值为，故选项B正确； 因为当直线与圆相切于轴上方时，设此时切线的斜率为 ， 切线方程为：， 圆心 到切线的距离等于半径：， 即，化简得：，即， 解得：，所以直线的斜率取得最大值，故选项C错误； 因为圆心到直线的距离为， 所以点到直线的最小距离， 所以的面积的最小值为，故选项D正确. 故选：ABD． 例4．（25-26高二上·甘肃张掖·期末·多选）已知直线，圆，则下列说法正确的有（   ） A．直线过定点 B．圆心到直线距离的最大值是 C．直线被圆截得的弦长的最小值是2 D．若点在圆上，则的取值范围是 【答案】BCD 【详解】由题意，直线的点斜式方程为， 所以直线是斜率为，且过点的直线，所以直线过定点．故A错误． 圆的圆心为，半径． 因为，所以点在圆内． 设圆心到直线的距离为，则当时，取最大值，且最大值为． 因为直线的斜率为，所以当取得最大值时，，符合题意， 所以圆心到直线距离的最大值是．故B正确． 设直线被圆截得的弦长为，则，当取最大值时，取最小值． 由B选项的分析知，的最大值是，所以的最小值是．故C正确． 设坐标原点为，则．因为，所以点在圆内． 由圆的几何性质得，， 即，所以．故D正确． 故选：BCD． 变式1．（25-26高二上·河南周口·月考·多选）已知直线和圆，则（    ） A．若直线和圆相切，则 B．若直线被圆所截得弦长为2，则 C．若圆上的点到直线的距离的最小值为1，则 D．若，圆上存在四个点到直线的距离为1 【答案】ACD 【详解】圆，所以圆心，半径为，则圆心到直线的距离． 对A，若直线和圆相切，则，所以，所以A正确； 对B，若直线被圆所截得弦长为2，则，所以，所以B错误； 对C，若圆上的点到直线的距离的最小值为1，则直线与圆相离，所以，所以，所以C正确； 对D，若上存在四个点到直线的距离为1，则有，即，所以选项D正确． 故选:ACD． 变式2．（25-26高二上·福建厦门·期中·多选）已知点，直线，圆，下列命题正确的是（ ） A．若点P在直线l上，则点P在圆O上 B．若点P在圆O上，则直线l与圆O相切 C．若直线与圆O有两个公共点，则点P在圆内 D．若直线与圆O相切，则切点为P 【答案】ABD 【详解】A：若点P在直线l上，则， 圆的方程为，把点代入圆方程，满足方程， ∴点在圆上，故A正确； B：若点P在圆O上，则，圆的圆心为，半径为1， ∴点到直线的距离为， ∴直线与圆相切，故B正确； C：若直线l与圆O有两个公共点，则， ∴，所以点在圆外，故C错误； D：若直线l与圆O相切，则， ∴， ∴圆心到直线的距离等于两点间的距离， ∴切点为，故D正确．　　 故选：ABD 变式3．（25-26高二上·甘肃兰州·期末·多选）已知直线与圆，则下列说法正确的是（   ） A．直线恒过定点（2，1） B．圆的半径为2 C．存在实数，使得直线与圆相切 D．若，则直线被圆截得的弦长为2 【答案】AB 【详解】对于选项A，由直线，得，故直线恒过定点，故A选项正确； 对于选项B，由，得，所以圆的半径为，故B选项正确； 对于选项C，将点代入圆的方程，得， 所以（2，1）在圆内， 所以直线与圆相交，故不存在实数，使得直线与圆相切，故C选项错误； 对于选项D，若，直线方程为，圆心（1，2）在直线上，故直线被圆截得的弦长为直径4，故D选项错误． 故选：AB 考点二 圆与圆的位置关系 例1．（25-26高二上·山东济南·月考·多选）记圆：，圆：，则（   ） A． B．若坐标原点在圆上，则点在圆上 C．若圆与圆内切，则 D．当时，圆与圆的相交弦方程为 【答案】ABD 【详解】A选项，圆的圆心为，圆的圆心为， 则，A正确； B选项，若坐标原点在圆上，则，故， 故圆的方程为， 将代入可得，故点在圆上，B正确； C选项，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 由A知，， 若圆与圆内切，则，解得，C错误； D选项，时，圆：，圆：， 两圆相减得，D正确. 故选：ABD 例2．（25-26高二上·辽宁沈阳·期末·多选）点M在圆上，点N在圆上，则下列说法正确的是（   ） A．两个圆的公切线有3条 B．的取值范围为 C．圆上任意一点关于直线的对称点仍在该圆上 D．两个圆的公共弦所在直线的方程为 【答案】AB 【详解】圆的圆心，半径， 由圆，得， 所以圆的圆心，半径， 对于A，， 所以两圆相外切，故这两个圆有3条公切线，故A正确； 对于B，，即， 所以的取值范围为，故B正确； 对于C，，所以不过点， 所以圆上任意一点关于直线的对称点不一定在该圆上，故C错误； 对于D，由两圆相外切，故两圆不存在公共弦，故D错误. 故选：AB. 例3．（25-26高三上·安徽·期末·多选）已知圆，圆，则（   ） A．的半径为4 B．若相切，则 C．当时，相交弦所在直线的方程为 D．当时，相交弦的长度为 【答案】AC 【详解】对于A，整理为， 所以的半径为4，A选项正确； 对于B，由A的判断可得，而，故且的半径为1， 若相切，则或，故或， 解得或，B选项错误； 对于C，当时，将两圆方程相减可得即， 故相交弦所在直线方程为，故C选项正确； 对于D，由C可得相交弦方程为, 故到直线的距离为， 所以相交弦的长度为，D选项错误， 故选：AC． 例4．（25-26高二上·河北唐山·月考·多选）已知圆与圆，则（    ） A．若圆与轴相切，则 B．若，则圆与圆相交 C．当时，两圆的公共弦长为 D．直线与圆始终有两个交点 【答案】BCD 【详解】根据题意，圆，圆心为，半径， 圆， 即，圆心为，半径． 对于A，若圆与轴相切，则，则，故A错误； 对于B，若，圆的圆心为，两圆的圆心距为， ，因为，所以两圆相交，故B正确； 对于C，若，圆的方程为， 圆的方程为， ，圆与圆相交， 两圆方程相减得：，即两圆的公共弦所在直线的方程为， 圆心到的距离为1，则两圆的公共弦长，故C正确； 对于D，直线，即， 故直线恒过定点， 点到的距离为，即点在圆内， ∴直线与圆始终相交，有两个交点，故D正确． 故选：BCD 变式1．（25-26高二上·贵州六盘水·月考·多选）已知圆，圆，下列说法正确的是（   ） A．当时，圆与圆外离 B．圆关于直线对称的圆的方程为： C．若圆与圆恰有三条公切线，则 D．若圆与圆相交，则公共弦长的最大值为2 【答案】ABD 【详解】圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径. 选项A： 当时，圆心距， 因，故圆与圆外离，A正确. 选项B： 圆心关于直线的对称点为，半径保持不变， 故对称圆的方程为，B正确. 选项C： 圆与圆恰有三条公切线，对应两圆外切， 此时，即，解得，并非，C错误. 选项D： 圆的方程展开为，圆的方程展开为， 两式相减得公共弦所在直线方程为. 公共弦长最大时，公共弦为圆的直径（长度为2）， 此时直线过圆心， 代入得，解得. 验证圆心距， 满足，两圆相交，公共弦存在，故公共弦长的最大值为2，D正确. 故选：ABD 变式2．（25-26高二上·湖北武汉·月考·多选）已知圆与圆，则（    ） A．点在圆内 B．两圆相交，公共弦的方程为 C．圆与圆有三条公切线 D．圆平分圆的周长 【答案】BD 【详解】圆， 则圆的圆心坐标为，半径为. 圆， 则圆的圆心坐标为，半径为. A：因为， 所以点在圆外，因此本选项说法不正确； B：, 因为， 所以两圆相交， ， 所以本选项说法正确； C：由上可知两圆相交，故公切线有两条，所以本选项说法不正确； D：因为， 所以圆心在圆上， 又因为， 所以圆心在公共弦所在直线上， 因此圆平分圆的周长，所以本选项说法正确， 故选：BD 变式3．（25-26高三上·江西南昌·月考·多选）已知曲线，曲线由组成，圆，则（    ） A．当时，与圆无公共点 B．当与圆有6个公共点时， C．不存在过原点的直线与无公共点 D．上仅有4个点到直线的距离为 【答案】ABC 【详解】依题意可知为圆 为圆为圆， 这3个圆的半径均为2，且. 当时，，则圆与这3个圆都外离，所以与圆无公共点，A正确. 当与圆有6个公共点时，圆与这3个圆都相交，则，解得，B正确. 设过原点的直线为直线，若直线曲线都相交， 则， 即，无解， 不存在过原点的直线与无公共点所，C正确. 因为到直线的距离为且与其平行的直线为， 且到直线的距离为，到直线的距离为， 到直线的距离为，到直线的距离为， 到直线的距离为，到直线的距离为， 所以直线与共有6个公共点，即上有6个点到直线的距离为，D错误. 故选：ABC. 变式4．（25-26高二上·江西南昌·月考·多选）已知圆O：和圆M：有两个公共点A，B，则下列结论正确的是（） A．两圆相交 B．直线AB的方程为 C．两圆有两条公切线 D．线段AB的长为 【答案】AC 【详解】对于A，由圆：，可得其圆心为，半径， 圆：，配方得， 即该圆的圆心为，半径， 圆心距，由知两圆相交，故A正确； 对于B，将两圆方程左右相减得， 即，化简得，故B错误； 对于C，因两圆相交，则两圆有且仅有两条公切线，故C正确； 对于D，圆心到直线的距离，则，故D错误. 故选：AC 考点三 阿氏圆问题 例1．（25-26高二上·河北邢台·月考）阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，他在《平面轨迹》中提出，平面内到两定点距离之比为非1定值的点的轨迹是圆（后人称为“阿氏圆”）.已知在平面Oxy内，，，，且，则当取得最小值时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 当且仅当点在线段上时，等号成立. 设.因为，所以， 所以，即. 因为，，所以直线的方程为. 由得或 因为在线段上，所以，则的坐标为. 故选：A 例2．（25-26高二上·广西·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点到，的距离之比为，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【详解】设，因为，所以，即， 所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆. 则点到直线的距离， 故点到直线的距离的最小值为. 故答案为：B 例3．（25-26高二上·山西太原·期中）平面内到两个定点距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆，该圆被称为阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是关于定点的阿波罗尼斯圆，其方程为，，且．若点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】设，依题意，， 即， 整理得， 与对照得，解得， 因此； 由，得在圆内， 在圆外， 于是，当且仅当共线时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 例4．（25-26高二上·江西景德镇·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，距离之比为定值且的点所形成的图形是圆，后来人们将这个圆以他名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知中，，，动点满足，则面积最大值是 . 【答案】 【详解】由题意可得，化简得， 则点在圆上， 则有，即， 又，故. 故答案为：. 例5．（25-26高二上·贵州六盘水·月考）设是平面上两个定点，则满足（其中为常数，且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知，且，此时，点的轨迹记为圆． (1)求圆的方程； (2)若直线． （i）证明：直线恒过定点； （ii）若点在圆上，直线与圆交于两点，当弦的长度最短时，求面积的最大值． 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）设，则由得，整理得， 即圆的方程为. （2）（i）由直线，可得， 所以直线恒过直线与直线的交点， 由解得，即直线恒过定点； （ii）由（1）圆的方程为，即，圆心，半径. 设直线恒过的定点为N，则当时，弦最短， 由，所以直线的斜率为，方程为，即 此时圆心到直线的距离，弦长. 又点到直线的最大距离为， 所以 例6．（25-26高二上·福建泉州·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们以他的名字命名该种圆，称之为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，点满足，设点所构成的曲线为. (1)求曲线的标准方程，及其对应的圆心的坐标与半径长； (2)过点作直线与曲线交于，两点，若，求的方程； (3)设斜率为直线与曲线交于，两点（不与原点重合），直线，斜率分别为，，若，证明：直线恒过定点. 【答案】(1)，圆心坐标为，半径为2． (2) (3)证明见解析 【详解】（1）设点，因为，所以， 整理得．    该圆对应的圆心坐标为，半径为2． （2）当斜率为0时，即，不符合题意； 当斜率不为0时，设其方程为，设，， 由消去得， ②，③．        由，，得， 所以，，①， 联立①②③，可得，即， ∴直线的方程为． （3） 设直线的方程为，，， 由得， 所以，，     所以 ，       所以，所以直线方程为， 令，解得， 即直线过定点. 变式1．（25-26高二上·安徽合肥·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，，，点满足.设点的轨迹为，则下列说法错误的是（   ） A．轨迹的方程为 B．在上存在点，使得 C．在轴上存在异于，的两点，，使得 D．当，，三点不共线时，射线是的角平分线 【答案】B 【详解】选项A：在平面直角坐标系中，，，点满足， 设，则，化简可得，故A正确； 选项B，若在上存在点，使得， 设，则， 化简得， 联立，解得， 将代入，得，方程组无解， 故在上不存在点，使得，因此B错； 选项C：假设在轴上存在异于，的点，，使得， 设，，可得， 化简可得， 由的轨迹方程为， 因此，解得或（舍）， 即在轴上存在异于，的两点，使得，故C正确； 选项D：当，，三点不共线时，， 可知射线是的角平分线，故D正确. 故选：B. 变式2．（25-26高二上·广东广州·期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果．其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点，，动点满足，则点的轨迹与圆的公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由题意设， 知，即可得， 整理得点的轨迹方程为， 其轨迹是以为圆心，以2为半径的圆， 而圆的圆心坐标为，半径为1， 可得两圆的圆心距为2，由， 则动点的轨迹与圆的位置关系是相交. 故公切线的条数为2. 故选：B 变式3．（25-26高二上·江苏无锡·期中）阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期的数学三巨匠.“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上动点到两定点A，B的距离之比满足且，为常数），则点的轨迹为圆.已知在平面直角坐标系中，，动点满足，则点的轨迹为圆，该圆的标准方程为 ；过点A的直线交圆于两点C，D，且，则 . 【答案】 【详解】设，则，整理得到， 即. 因为，故为的中点，过圆心作的垂线，垂足为， 则为的中点，则，故， 解得， 故答案为：，.    变式4．（25-26高二上·江苏无锡·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点，的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，已知动点与定点和定点的距离之比为2，其方程为，则 ，若点，则的最小值为 . 【答案】 2 【详解】设，依题意，，即， 整理得，则，解得，因此； 点，由，得在圆外，由，得在圆外， 于是，当且仅当共线时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：2； 变式5．（25-26高二上·黑龙江绥化·月考）阿波罗尼斯圆是古希腊数学家阿波罗尼斯的一个研究成果：平面内到两定点距离之比为常数（，）的点的轨迹是圆，这个圆也称为阿氏圆.已知O为坐标原点，动点P到点的距离是到点的距离的2倍，记动点P的轨迹是曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)已知直线l过定点，且与曲线C交于M，N两点，设直线OM，ON的斜率分别为，，请问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)是， 【详解】（1）设，因，所以， 整理得曲线C的方程； （2）当l斜率不存在时，l：，此时l与C只交于一点，不符合题意； 当l斜率存在时，设直线l的方程为，，， 联立，得， 由得，且，， 所以 ， 所以为定值. 变式6．（25-26高二上·广西钦州·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点，，且该平面内的点P满足. (1)求点P的轨迹C的方程；并指出轨迹C表示什么图形？ (2)设为曲线C上任一点，求的取值范围； (3)设直线与曲线C交于M、N两点，是否存在实数m，使得以MN为直径的圆过原点，若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，点P的轨迹C是圆心为，半径为的圆 (2) (3)存在， 【详解】（1）设，因为， 故， 化简得：， 整理可得， 配方得：， 点P的轨迹C是圆心为，半径为的圆； （2）设，则， 由直线l：与圆C有公共点， 由（1）知圆C方程为， 则， 化简得：，解得， 故的取值范围是； （3）设，，联立， 消去y得， 由，得    ①， 根据韦达定理得：，， 由以MN为直径的圆过原点，得到， 所以 ， 解得满足①式， 所以存在实数，使得以MN为直径的圆过原点.    2 学科网（北京）股份有限公司 $