第十 章三角形起始课教学设计 2025-2026 学年人教版 数学八年级上册

第十三章 三角形 【单元划分】 三角形是平面几何中最简单、最具典型性的一类图形，其研究的基本框架可以迁移到其它图形的研究中，研究中体现的一般观念、思想方法在平面几何中具有普遍的适用性.本章内容在整个平面几何中具有奠基作用. 本章以线段和角这两类基本几何元素的基本性质及其度量为基础，研究三角形的组成要素（边、角）、相关要素（中线、角平分线与高等）的相互关系，包括位置关系和大小关系等.首先，在小学直观认识三角形的基础上，从具体三角形中抽象出三角形的构成要素（三边）及其位置关系（不在同一条直线上、首尾相接），给出三角形的定义和表示，并对三角形进行分类，从而形成三角形概念，使对三角形的认识达到理性认识层次；接着，从概念出发，以“两点之间线段最短”为依据，推出三角形三边的不等关系；利用平行线的基本性质，证明三角形内角和定理，并推出外角的性质；同时，还研究了三角形中的一些重要线段——中线、角平分线和高的位置关系.本章内容的基本研究框架是： 研究内容：三角形的概念，三角形组成要素（边、角）、相关要素（外角、中线、角平分线、高）之间的相互关系. 研究过程：背景——概念——性质——应用. 研究方法：先从背景中抽象出三角形的定义，确定研究对象；再从定义出发，通过度量、观察、实验发现规律，概括得出命题（性质的猜想），再通过证明确定命题，得出性质。通过三角形要素的特殊化（一个内角为90°），得到特殊三角形——直角三角形，得出它的内角之间的特殊关系. 另外，本章还要研究三角形的稳定性和重心等相关要素的性质． 本单元的知识结构图如下： ①概念 三角形 定义、表示、分类 ③应用 ②性质 基本要素 相关要素 根据上述分析和结构图，可将本章内容分为3个单元：第一单元 三角形的概念（1课时）；第二单元 三角形的边（2课时）；第三单元 三角形的角（3课时）. 另外，根据教科书的安排，设置：第四单元 数学活动（2课时）；第五单元 小结（2课时）． 三角形章起始课 【内容与内容解析】 1.内容 三角形的概念． 2.内容解析 （1）内容的本质 初中平面几何课程中研究的图形主要是直线、三角形、四边形和圆。这些图形可以分为封闭图形（三角形、四边形、圆）和不封闭图形（直线），也可以分为直线型（直线、三角形、四边形）和非直线型（圆）。三角形是一类封闭的直线型平面图形，由不在同一条直线上的三条线段首尾相接而成。这里，“三条线段”是三角形的组成要素，称为三角形的三边，“不在同一条直线上”且“首尾相接”是三边的基本关系（位置关系）；由这样的三边可以形成三个角，称为三角形的三个内角.三角形的三条边、三个内角是三角形的基本要素。从三角形的定义出发研究它的性质，首先要研究它的要素之间的关系，即三角形的边与边的关系、角与角的关系、边与角的关系，可以按从定性到定量的路径展开研究.在此基础上，再对三角形的外角、中线、角平分线和高等相关要素的相互关系展开研究。本单元研究三角形概念，是研究三角形的开端。 （2）蕴含的数学思想和方法 研究三角形的概念按 “定义——表示——分类” 展开，其中蕴含着定义一个几何图形的基本思想，即从具体例证中分析其组成要素及基本关系，通过定义明确其内涵，再用符号表示，最后通过分类明确其外延． （3）知识的上下位关系 本单元的认知基础是小学学习中形成的对三角形的直观认识，包括三角形的直观表象、三角形内角和为180°、三角形的面积公式等；还有在线段、角、相交线和平行线等知识的学习中形成的研究经验．本单元正式开始从实验几何进入论证几何，也就是要先给出几何图形的概念（包括定义、表示和分类），然后基于概念进行推理，得出几何图形的性质。三角形概念的抽象过程是抽象其他几何图形概念的范式，包括几何图形的定义方式、图形本质特征的抽象过程与方法（图形的组成元素、元素的基本关系等），以及定义、表示和分类中体现的数学方式。 （4）内容的育人价值 本单元的主要育人价值是使学生体验抽象一类几何图形的数学方式，即从三角形的组成元素及其基本关系入手，观察三角形具体例证的共性，明确三角形的内涵进而给出三角形的定义，再用“三种语言”进行表示，最后通过分类明确三角形的外延.这样，不仅能使学生领悟数学基本思想，积累定义数学对象的活动经验，而且能提升学生的抽象能力、空间观念以及发现和提出问题的能力. 3.单元教学重点 抽象三角形的概念，提出三角形研究的基本问题，规划研究思路． 【目标与目标解析】 1.单元目标 理解三角形及相关概念． 2.目标解析 （1）能从数学的角度观察具体事例，从中归纳共性，抽象出三角形的概念，体会定义一类几何图形的数学方式，能阐释抽象几何对象的过程和方法，提升抽象能力、空间观念等素养。 （2）能用三角形的定义进行判断，会用符号表示三角形及其边、角、顶点等，能按照边和角对三角形进行分类． 【教学问题诊断分析】 　 1.问题诊断 （1）认知基础 学生在小学通过观察、实验操作，直观地认识了三角形，能识别三角形，能依据角的取值范围对三角形进行简单分类，初步认识了等腰三角形、等边三角形．在点、线、面、角的学习中，已经知道几何图形的组成元素；在相交线、平行线的学习中，已经初步了解了几何图形的研究内容，初步经历了研究一个几何对象的过程，了解了相应的方法，积累了一定的数学活动经验． （2）认知困难 ①学生不知道怎么观察图形，不知道定义一类几何图形的数学方式，在归纳并用语言表达构成三角形的三条线段关系共性时会遇到困难. ②在三角形的分类中，一个难点是分类标准的确立，二是以边的大小关系为标准进行分类时，采用的是“二分法”，学生有一定的经验（如有理数的分类），但还不够熟练． （3）应对策略 应对困难①，要在教学中注重调动已有的刻画一个几何对象基本特征的经验，教师要在如何观察三角形的本质特征上加强引导，必要时可以直接讲解：观察一个几何图形一般有三个角度，第一看它的组成元素（平面图形是由点、线组成的），第二看组成元素的形状（三角形是由线段围成的，线段是“直”的，而围成圆的线就不直），第三看组成元素的位置关系。因为学生很难想到描述三条线段位置关系的语言，所以教师可以通过作图示范，在作图过程中渗透“线段的首尾相接”，通过反例辨析让学生认识“三条线段不在同一条直线上”，在此基础上再给出三角形的定义。 为了化解难点②，教师首先要引导学生回顾小学以内角的大小为标准对三角形进行分类的经验，将其上升到“角是三角形的要素”，再强调从定义出发探索分类标准的一般意义，引导学生想到也可以从要素“边”的角度思考，以边的大小关系为标准进行分类，由此确定分类标准：第一步按“是否有边相等”分类，第二步再按“底边与腰是否相等”对等腰三角形进行分类． 2单元教学难点 （1）定义三角形的数学方式，（2）确定三角形的分类标准． 【教学支持条件分析】 借助实物模型和信息技术展示要素关系，通过教具画出三角形． 【教学路径】 【教学过程设计】 环节一 创设情境，梳理路径 引言：小学我们学习了三角形的一些知识。三角形是一种基本的几何图形，从古代埃及的金字塔到卢浮宫，从巨大的高压电塔到微小的分子结构，到处都有三角形的形象。为什么工程建造、机械设计中经常采用三角形的结构呢？ 师生活动 这与三角形的性质有着密切的关系，本章开始我们将进一步研究三角形．如何展开研究呢？ 问题1 你能说说自己知道了哪些三角形的知识？小学是通过什么方法得到这些知识的？ 师生活动 学生独立思考后，教师请几个学生回答。在学生答出三角形的两边和大于第三边、内角和等于180°、面积S=等结论后，进行追问： 追问1 小学是通过什么方法得到这些性质的呢？ 师生活动 通过测量、剪拼等方法得出这些结论的，不够严谨。 追问2 那我们是否有系统地研究过什么几何图形呢？ 师生活动 我们系统研究过相交线。 追问3 回顾“相交线”的研究过程，你能说说它是按什么路径展开研究的吗？ 师生活动 教师展示“相交线”的研究过程，帮助学生回顾、作答： 研究路径：具体→抽象，一般→特殊，定性→定量 学生独立思考、作答，教师指出：从一些具体事例中得出的结论对所有三角形不一定成立。教师带领学生回顾相交线与平行线的研究过程与方法，并指出：在“相交线”的学习中，我们通过具体例子发现，两条直线相交可以形成“对顶角”和“邻补角”两种位置关系，并且发现“对顶角相等”，然后通过推理得出这个结论对所有对顶角都成立。也就是说，要确认一个命题的正确性，必须通过推理证明．相交线的研究中，先定义两个角的“邻补”、“对顶”的位置关系，再通过推理得出对顶角的数量关系，即“对顶角相等”；然后研究两条直线相交的特殊情况——垂直，其研究路径是先定义垂直，再根据垂直的定义进行推理：因为两条直线相交所成的四个角中的某一个角是90°，所以它们垂直；反过来，因为两条直线垂直，所以这两条直线相交所成的四个角中任意一个角都是直角．与垂直相关的有两个基本事实：第一，“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，体现了垂线的存在性和唯一性；第二，“垂线段最短”，体现了垂线的特殊性。最后给出点到直线的距离的概念． 追问4 类比相交线的研究过程，你认为可以按怎样的路径研究三角形？ 师生活动 学生独立思考、作答，教师帮助归纳： 研究路径：从具体例子中归纳共性，抽象出三角形概念，再从概念出发研究三角形的性质，并用概念、性质解决问题；从一般到特殊，研究特殊的三角形（概念——性质——判定）； 设计意图 通过对实际情境的创设，发现研究三角形的性质的必要性，而小学阶段在研究三角形的性质的过程中，又缺少系统性的路径梳理，从而通过类比“相交线”的研究路径与方法，形成研究三角形的先行组织者，为后续研究提供整体框架和思想方法,这个研究过程实现了定义确立研究对象；基本事实确立逻辑起点；证明建立逻辑链条；命题作为结论输出这一基本几何学习发展路径. 环节二 抽象概念，符号表征 问题2 按照前面确定的路径，我们要先研究三角形的概念。请画出几个三角形，观察自己画出的三角形，并和同桌比较，这些三角形有什么共性和差异性？ 师生活动 学生画出三角形并进行观察、比较。为了帮助学生发现三角形的内涵，教师可以提示：几何是研究图形的形状、大小、位置关系的科学，在“几何图形初步”一章中我们知道，平面图形是由线围成的，所以观察三角形，可以从观察它的形状、大小、围成三角形的线的特征及其位置关系等入手。学生在独立思考的基础上小组讨论，教师再组织全班交流，并帮助学生归纳得出：三角形的形状、大小各异，但它们都是由三条线段组成的，这些线段不在同一条直线上且首尾顺次相接． 教师给出三角形的定义，并指出：“三条线段”是三角形的组成要素，“不在同一条直线上”、“首尾顺次相接”则是要素之间的位置关系． 追问 三角形的定义中有哪些关键词？你是怎么理解这些关键词的？ 师生活动 学生独立思考、小组讨论后进行全班交流，教师帮助总结：“三条线段”、“不在同一直线上”、“首尾顺次连接”都是关键词。如果三条线段在同一条直线上，或者不是首尾顺次相接，就不能组成三角形，如图13.1-1所示．图13.1-1 （2） （3） （1） 设计意图 学生通过作图，对所作三角形进行观察、比较，教师引导学生以几何的研究内容、平面图形的概念为引领，观察三角形的形状、大小以及围成三角形的三条线段的位置关系，使学生领悟观察一类几何图形、归纳共性、抽象几何对象、获得图形的概念的方法，在获得数学基本思想、积累基本活动经验的同时，发展抽象能力. 问题3 为了便于研究，在用严谨的文字语言定义三角形后，还要用图形语言、符号语言表示三角形的组成元素，这些元素包括相关的点、线、面、角。阅读教科书，在自己作出的三角形上标出相应的符号。图13.1-2 师生活动 学生阅读教科书，并在自己作出的三角形中标出相应的符号，教师通过投影学生的作品，帮助学生进一步明确三角形的边、顶点、角等及其符号表示（如图13.1-2所示）． 教师可以指出：三角形是平面图形，组成平面图形的基本元素是点、线、面、角，几何中要把这些组成元素都用符号表示出来，使后续对三角形的研究更加方便、简洁。由三条边围成的部分就是三角形的“面”，记作△ABC。 设计意图 通过阅读教科书、教师讲解，在提高阅读理解能力的同时，帮助学生进一步领悟三角形的组成元素，几何图形的三种语言表示的意义，提升学生的数学思维抽象水平. 环节三 探索分类，深化理解 引导语：认识一个数学对象，首先要理解它的概念。理解三角形概念要明确三件事情，一是定义，我们通过定义明确了三角形的组成要素和它们的位置关系；二是三种语言表示，这样就可以用简洁的数学语言表达关于三角形的命题、推理过程和结论等；三是要对三角形进行分类，通过分类可以明确三角形的外延，即明确三角形这类图形的类型和范围，并且可以明确研究的顺序（先研究一般三角形，再研究特殊三角形）。 问题4我们从共性中抽象出了三角形的概念，而同学们画出的三角形互有差异，所以为了体现差异性，我们需要对其进行分类，对一个数学对象进行分类的关键是确定分类标准，然后按这个标准进行既不重复也不遗漏的划分。小学已对三角形进行过分类，你能回忆起来吗？这是按什么标准分类的？ 师生活动 学生回顾小学的分类结果：，并明确这是按三角形内角的取值范围，以特殊角90°为界作出的分类。在此基础上，教师进行追问。 追问1 前面的研究中我们知道，角是三角形的要素，这表明我们可把三角形的要素作为分类标准。三角形还有什么要素？以此为标准可以对三角形进行怎样的分类？ 师生活动 学生独立思考、小组交流，然后进行全班交流，师生共同归纳总结：从三角形的边入手，因为线段的大小关系有相等和不等，所以可以按照“是否有边相等”为标准进行分类，得到： 在三角形中，有的三角形三边都不相等（图13.1-3（1）），有的三角形有两边相等（图13.1-3（2）），有的三角形三边都相等（图13.1-3（3））． （1） （2） （3） 图13.1-3 追问2 阅读教科书，给出这三类三角形的名称。等腰三角形和等边三角形有怎样的关系？ 师生活动 学生阅读教科书，明确三类三角形的名称以及等腰三角形与等边三角形的关系。教师可以强调这种分类方法的特征，即以“是”与“非”为界对三角形进行分类，可以做到不重复且不遗漏，使不同类型的三角形的逻辑关系非常清晰，从而可以为后续研究奠定逻辑基础。三角形的这种分类还可以用图表达（如图13.1-4）．图13.1-4 追问3 完成三角形的分类之后，我们就对三角形的概念也就是三角形的第一层性质进行了详细的研究，所以同学们认为按照几何图形研究路径我们接下来应该要进入到哪些内容的学习呢？ 师生活动 教师展示教科书中后续小节安排，再次让学生体会几何路径设计的合理性。 设计意图 分类是研究数学对象的重要一环，通过分类促进学生进一步明确三角形概念的外延，深化对概念的理解，并且为后续研究奠定逻辑基础．在此过程中，使学生掌握确定数学对象分类标准的方法，理解“二分法”的基本特征，培养学生思维的逻辑性、条理性。并体会前面学习过程中对几何图形教学路径梳理的合理性，并能从概念教学（几何性质的第一层次）自然地启发边（性质的第二层次）和角（性质的第三层次）的下一步研究准备。 环节四 典例分析，学以致用图13.1-5 例1 如图13.1-5，△ABC的三边都不相等，点D在边BC上（点D不与端点重合）． （1）写出以点C为顶点的三角形； （2）写出以AB为边的三角形； （3）如果BD=AD=DC=AC，找出图中的等腰三角形和等边三角形． 师生活动 教师让学生根据题意作出图形，并提示：回答每一个问题时都要有根据，就是要从相关概念出发思考和回答问题。对于（1）要写出以点C为顶点的三角形，就是要在图中找到三角形的另外两个顶点，可以固定点C，在图中找另外的顶点；对于（2），要写出以AB为边的三角形，就是要找到三角形的另外两边，当然也可以转化为找三角形的另一个顶点；对于（3），要找出图中的等腰三角形、等边三角形，关键是要按一定的顺序，做到不重不漏．在此基础上，让学生独立完成。 设计意图 让学生体验从概念出发思考和解决问题的数学思维方式，掌握有序探究问题的方法，培养思维的逻辑性。 环节五 小结提升，形成结构 问题五 请带着下列问题回顾本课的学习内容，并给出回答： 1.为什么要对三角形进行再研究？我们是如何确定三角形的研究路径和方法的？ 2.研究三角形概念要完成哪些事情？为什么？ 3.接下来，你想研究三角形的什么？ 师生活动 学生独立思考、作答，在学生代表进行班级交流的基础上，教师予以补充完善． 1.因为小学阶段是通过实验的方法得出三角形的性质，这样的结论不一定成立，所以要对三角形重新进行研究，就是要先严格定义三角形，给出三角形的概念，然后从概念出发探究性质，并通过逻辑推理进行证明，这样才能获得具有严谨性的数学结论。我们通过类比“相交线与平行线”的研究路径和方法，得到三角形的研究路径与方法。类比是获得数学思想方法的最有效手段。 2.研究三角形的概念要完成三件事：定义、表示和分类。通过定义明确三角形的内涵，具体而言是明确三角形的组成要素、要素之间的位置关系；通过三种语言表示三角形及其要素，为后续简洁表示研究过程和结果奠定基础；通过分类明确三角形的外延，也就是明确三角形的类型和范围，在深化理解三角形内涵的同时，为后续研究奠定逻辑基础。 3.发散学生的思维，学会类比思考，将研究的策略，目标，方向的主导交给学生，学生可能会想研究三角形的三边关系，三内角关系，也可能会想研究勾股定理，研究两个三角形之间的关系，这都是合理的联想，也都符合我们在几何图形教学中的路径引导. 设计意图 本课是本章的开篇，通过3个问题，引导学生调动已有的知识经验，以研究的整体架构、抽象数学对象的思维方式、定义几何对象的数学方式、以及为什么要分类和如何分类等一般观念为引领，使学生提高三角形概念理解水平的同时，领悟抽象数学对象、形成数学概念的过程与方法． 环节五 目标检测，检验效果 1.图中有几个三角形？用符号表示这些三角形． 2.如图，在△ABC中，AB=BC=CA，点O在△ABC内，OA=OB=OC，找出图中的等腰三角形和等边三角形．（第2题图） （第3题图） （第1题图） 3.如图，在△ABC中，∠BAC和∠ADC都是直角，点E在线段BD上，找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 参考答案： 　　1.共有五个三角形；分别是△ABE，△CDE，△BCE，△ABC，△BCD． 　　2.等腰三角形分别是△AOB，△AOC，△BOC，△ABC；等边三角形是△ABC． 　　3.锐角三角形是△ACE；直角三角形分别是△ABD，△ACD，△ABC，△AED；钝角三角形是△ABE． 设计意图：检测学生对三角形及相关概念的掌握情况． 环节六 布置作业，应用迁移 1.教科书习题13.1第2，3，4题。 2.我们知道，在抽象出三角形概念后，接着要研究三角形的性质。以“一个图形要素之间确定的关系就是性质” 为指导，你能猜想出三角形的哪些性质？请你带着自己的猜想，阅读教科书，检验自己的猜想是否正确。 学科网（北京）股份有限公司 $