精品解析：四川省内江市2025—2026学年上学期期末考试 八年级数学试题

内江市2025—2026学年度第一学期期末考试初中八年级 数 学 试 题 本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．全卷满分120分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题 共48分） 注意事项： 1、答第Ⅰ卷时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答Ⅱ卷时，用0．5毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区域内作答，字体工整，笔迹清楚；不能答在测评卷上． 2、测评结束后，检测员将答题卡收回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．以下每小题都给出了A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．） 1. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. “少年强则国强，强国有我，请党放心．”这14个字中，“强”字出现的频率是（ ） A. B. C. D. 4. 等腰三角形的一个角为，则这个等腰三角形的底角为（ ） A. B. 或 C. D. 或 5. 根据图中及相应的条件，下列四个选项中，不能判定两个三角形全等的是（ ） A. 如图1，线段相交于点O，，，和 B. 如图2，，，和 C. 如图3，线段相交于点E，已知，，和 D. 如图4，已知，，和 6. 如图，正方形网格中的，若小方格边长为1，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上答案都不对 7. 下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 8. 若中不含的一次项，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 9. 小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB=3(如图)．以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于( ) A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 10. 如图，若正方体盒子的棱长为2，M为的中点，则一只蚂蚁从M点沿盒子的表面爬行到A点的最短距离为（ ） A. 3 B. C. D. 11. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，，，点D在线段上运动，以 为边在左侧作等腰，使，取的中点F，连接，当的值最小时，的长为（ ） A. B. 2 C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共72分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分．请将最后答案直接填在横线上） 13. 分解因式：a3－a=___________ 14. 已知、满足等式，则_______； 15. 如图，折叠等腰三角形纸片，使点C落在边上的点F处，折痕为DE．已知，，，，则的长为__________； 16. 如图，在中，D为的中点，，平分，于点F，，，则的长为___________． 三、解答题（本大题6个小题，共56分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤．） 17. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中， 18. 如图，、是等边三角形，B、C、D在同一条直线上．求证： （1）； （2）． 19. 年“川超”联赛开赛以来热度高涨，某体育媒体针对参赛球员构成开展调研，涵盖：A、企业职工球员；B、中学生球员；C、大学生球员；D、退役运动员球员；E、自由职业者球员五类群体．调研员从支参赛队伍中随机抽取若干人，统计其身份类型，并将结果绘制成如下不完整的统计图． 根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）在本次抽样调查中，样本容量是 ，在扇形统计图中，“A”所在扇形圆心角的度数为； （2）计算大学生球员的人数，并将条形统计图补充完整； （3）若“川超”联赛参赛球员总数为人，根据抽查结果，估计“大学生球员”共有多少人？ 20. 在物理力学实验探究活动中，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A的正下方物体C上．滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，实验初始状态如图1所示，物体C到定滑轮A的垂直距离，（定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 21. 图形是一种重要的数学语言，能有效地表示一些数量关系，请利用数形结合的思想解答下列问题： （1）用两种不同方法表示图①中大长方形的面积，可得等式为 ． （2）如图②，一张大长方形纸按图中线分割成9块，其中2块是边长为m cm的大正方形，2块是边长为n cm的小正方形，5块是长为m cm、宽为n cm的全等的小长方形． ①观察图形，代数式可以因式分解为 ． ②若阴影部分图形的面积为，大长方形纸的周长为42cm，求图②中空白部分图形的面积． 22. 【阅读材料】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【初步探索】 （1）小明遇到这样一个问题：如图1，中，，，点D为的中点，求的取值范围．小明发现“倍长中线法”可以解决这个问题，他的做法是：延长到E，使，连接，则得到，用到的判定定理是： （用字母表示）；边上的中线的取值范围是 ． 【灵活运用】 （2）如图2，以的边为边向外作和，使，，，M是的中点，连接．求证：； 【拓展应用】 （3）如图3，在和，使，，，连接，若M是的中点，连接．试探究线段与的关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内江市2025—2026学年度第一学期期末考试初中八年级 数 学 试 题 本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．全卷满分120分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题 共48分） 注意事项： 1、答第Ⅰ卷时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答Ⅱ卷时，用0．5毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区域内作答，字体工整，笔迹清楚；不能答在测评卷上． 2、测评结束后，检测员将答题卡收回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．以下每小题都给出了A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．） 1. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平方根和立方根的概念，注意算术平方根是非负的，而立方根有唯一实数值. 【详解】解：A选项：，，故A选项正确； B选项：根据算术平方根的定义可得：，故B选项错误； C选项：根据算术平方根的定义可得：，故C选项错误； D选项：根据平方根的定义可得：，故D选项错误． 故选：A． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，幂的乘方，完全平方公式，同底数幂的除法，熟练掌握公式和运算法则是解答本题的关键．根据合并同类项，幂的乘方，完全平方公式，同底数幂的除法法则逐项分析即可． 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，故不正确； B．，故不正确； C．，故不正确； D．，正确； 故选D． 3. “少年强则国强，强国有我，请党放心．”这14个字中，“强”字出现的频率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了频率的求解，根据频率是频数与总数的比值，计算“强”字出现次数与总字数的比即可． 【详解】解：总字数为14，“强”字出现3次， 频率为， 故选：B． 4. 等腰三角形的一个角为，则这个等腰三角形的底角为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和，由于未指定是顶角或底角，分类讨论，利用等腰三角形性质及内角和定理求解． 【详解】解：等腰三角形有两个相等的角， 当为顶角时，底角 ； 当为底角时，另一个底角也为， 底角为或， 故选：D． 5. 根据图中及相应的条件，下列四个选项中，不能判定两个三角形全等的是（ ） A. 如图1，线段相交于点O，，，和 B. 如图2，，，和 C. 如图3，线段相交于点E，已知，，和 D. 如图4，已知，，和 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定方法成为解题的关键．根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A. 在图1中，由，根据“”证明，可判断A不符合题意； B. 在图2中，由，根据“”证明，可判断B不符合题意； C. 在图3中，不符合全等三角形判定定理的条件，因此不能判断与全等，可判断C符合题意； D. 在图4中，由，根据“”证明，可判断D不符合题意； 故选：C. 6. 如图，正方形网格中的，若小方格边长为1，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上答案都不对 【答案】A 【解析】 【分析】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．根据勾股定理求得各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状． 【详解】解：正方形小方格边长为1， ， ， ， 在中， ，， ， 是直角三角形． 故选：A 7. 下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了乘法公式，熟练掌握公式是解答本题的关键．根据平方差公式逐项分析即可． 【详解】解：选项A：，符合平方差公式，故不符合题意； 选项B：，符合平方差公式，故不符合题意； 选项C：，不符合平方差公式，故符合题意； 选项D：，符合平方差公式，故不符合题意． 故选：C． 8. 若中不含的一次项，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】先根据多项式乘以多项式把式子化简，然后根据题意，求出，即可． 【详解】 ， ∴含的一次项为：， ∴当不含的一次项时，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查多项式与多项式相乘的乘法法则，计算时注意待定系数法的运用． 9. 小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB=3(如图)．以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于( ) A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理求出AB的长，再根据无理数的估算即可求得答案. 【详解】由作法过程可知，OA=2，AB=3， ∵∠OAB=90°， ∴OB=， ∴P点所表示的数就是， ∵， ∴， 即点P所表示的数介于3和4之间， 故选C. 【点睛】本题考查了勾股定理和无理数的估算，熟练掌握勾股定理的内容以及无理数估算的方法是解题的关键. 10. 如图，若正方体盒子的棱长为2，M为的中点，则一只蚂蚁从M点沿盒子的表面爬行到A点的最短距离为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了两点之间线段最短、正方体的展开图、勾股定理等知识，先利用展开图确定最短路径，再由勾股定理求解即可，牢记相关概念和灵活应用是解题的关键． 【详解】解：如图，蚂蚁沿路线爬行路程最短， ∵ ，M为的中点， ∴， ∴ ． 故选：B． 11. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求代数式的值，通过变量代换简化方程，利用平方展开和合并同类项求解．掌握相应的运算法则和公式是解题的关键． 【详解】解：设， ∴，， ∴， ∴， ∴ 解得：， ∴． 故选：C． 12. 如图，在中，，，点D在线段上运动，以 为边在左侧作等腰，使，取的中点F，连接，当的值最小时，的长为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是证明以确定E点运动的轨迹；根据等腰三角形的性质证明，求出，可得，则点E在过点A且垂直于的直线上运动，再根据垂线段最短可知当时，最短，根据勾股定理求出，进而求出即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是等腰直角三角形，，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴点在过点且垂直于的直线上运动 当时，最短，则， ，点F为中点 故选：D. 第Ⅱ卷（非选择题 共72分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分．请将最后答案直接填在横线上） 13. 分解因式：a3－a=___________ 【答案】 【解析】 【详解】解：a3－a =a(a2-1) = 故答案为： 14. 已知、满足等式，则_______； 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，积的乘方的逆运算，根据题意可得，由非负数的性质可求出a、b的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ， ∴，且 解得， ∴， 故答案为：1． 15. 如图，折叠等腰三角形纸片，使点C落在边上的点F处，折痕为DE．已知，，，，则的长为__________； 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形中的折叠问题，涉及勾股定理、三角形内角和等知识，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练应用勾股定理列方程解决问题． 由，折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处，可得，即得，而，则；再根据，得，设，则，在中，可列方程，即可解得． 【详解】解：∵ ∴ ∴折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处 ∴ ∴ ∴，即 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴， 设，则， ∵ 折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得， ， 故答案为：5. 16. 如图，在中，D为的中点，，平分，于点F，，，则的长为___________． 【答案】11 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，角平分线的性质等．连接，过点作于点，证明垂直平分线段，得出，证明和，得出相等的边，然后利用线段的和差进行求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， ∵，且D为中点， ∴垂直平分线段， ∴， ∵平分， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 故答案为：11． 三、解答题（本大题6个小题，共56分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤．） 17. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中， 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，整式的乘除运算， （1）先计算乘方，算术平方根、立方根、绝对值，再合并即可． （2）先计算多项式乘以多项式，多项式除以单项式，得到化简的结果，再代值计算． 【详解】（1）计算： 解：原式 （2）先化简，再求值：，其中， 解：原式 当，时，原式. 18. 如图，、是等边三角形，B、C、D在同一条直线上．求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：、是等边三角形 ，， 即 在和中 ； （2） ． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，等边三角形性质，熟练地掌握边角边公理和三角形的外角等于不相邻的两内角之和是解决本题的关键． （1）根据都是等边三角形，得到，，，推出得到； （2）由（1）知：，根据三角形外角性质即可求出的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 年“川超”联赛开赛以来热度高涨，某体育媒体针对参赛球员构成开展调研，涵盖：A、企业职工球员；B、中学生球员；C、大学生球员；D、退役运动员球员；E、自由职业者球员五类群体．调研员从支参赛队伍中随机抽取若干人，统计其身份类型，并将结果绘制成如下不完整的统计图． 根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）在本次抽样调查中，样本容量是 ，在扇形统计图中，“A”所在扇形圆心角的度数为； （2）计算大学生球员的人数，并将条形统计图补充完整； （3）若“川超”联赛参赛球员总数为人，根据抽查结果，估计“大学生球员”共有多少人？ 【答案】（1）， （2），补全条形统计图如下： （3）人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，样本容量，用样本估计总体等知识点，解题的关键是正确读懂统计图． (1)根据B的人数除以占比即可求解样本容量，再由乘以A的占比即可求解圆心角； (2)先求出C组人数，即可补全条形统计图； (3)用样本估计总体的方法求解即可． 【小问1详解】 解：样本容量为， 表示“企业职工球员”的扇形的圆心角度数为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：C组人数：（人） 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计“大学生球员”共有人． 20. 在物理力学实验探究活动中，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A的正下方物体C上．滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，实验初始状态如图1所示，物体C到定滑轮A的垂直距离，（定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 【答案】（1）绳子的总长度为 （2）滑块B向左滑动了，此时物体C升高了 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解“绳子总长度固定”的条件是解题关键． （1）利用勾股定理求出的长，即可解决问题； （2）先求出的长，再利用勾股定理求出的长即可进一步求解． 【小问1详解】 解：根据题意可知，，，， 则 故绳子的总长度是． 答：绳子的总长度为； 【小问2详解】 解：滑块B向左滑动了 ， 据（1）知绳子总长为 物体C上升高度为． 答：滑块B向左滑动了，此时物体C升高了 21. 图形是一种重要的数学语言，能有效地表示一些数量关系，请利用数形结合的思想解答下列问题： （1）用两种不同方法表示图①中大长方形的面积，可得等式为 ． （2）如图②，一张大长方形纸按图中线分割成9块，其中2块是边长为m cm的大正方形，2块是边长为n cm的小正方形，5块是长为m cm、宽为n cm的全等的小长方形． ①观察图形，代数式可以因式分解为 ． ②若阴影部分图形的面积为，大长方形纸的周长为42cm，求图②中空白部分图形的面积． 【答案】（1） （2）①；②图②中空白部分图形的面积为 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，解题的关键是求出的长． （1）观察图形将图①中的大正方形拆分成不同的小正方形和长方形，得出表示的面积式子，再通过图①中的大长方形的长与宽表示出面积的式子，此时两个式子相等； （2）①即为大长方形的面积，然后观察出大长方形的长和宽，根据面积相等得到因式分解的结果； ②根据题中条件得出，的值，通过完全平方公式变形求出最终面积． 【小问1详解】 解：由题意知，将图①中的大长方形拆分成不同的小正方形和长方形，此时表示的面积为，已知图①大长方形的长为，宽为，则面积为， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：①由图②可知，， 故答案为：． ②由题意知，阴影面积表示为， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∴． ∴． ∴图②中空白部分图形的面积为． 22. 【阅读材料】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【初步探索】 （1）小明遇到这样一个问题：如图1，中，，，点D为的中点，求的取值范围．小明发现“倍长中线法”可以解决这个问题，他的做法是：延长到E，使，连接，则得到，用到的判定定理是： （用字母表示）；边上的中线的取值范围是 ． 【灵活运用】 （2）如图2，以的边为边向外作和，使，，，M是的中点，连接．求证：； 【拓展应用】 （3）如图3，在和，使，，，连接，若M是的中点，连接．试探究线段与的关系，并说明理由． 【答案】（1），； （2）证明：如图：延长，使得，连接， 由（1）可得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：线段与的关系是：， ， 延长至F，使得，连接， 由（1）可得：， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 延长交于点N， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，三角形内角和定理，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由三角形中线的性质可得，再利用即可证明，从而得解； （2）延长，使得，连接，延长交于，由（1）可得：，得出，，证明，得出，再求出，即可得证； （3）延长至F，使得，连接，延长交于点N ，由（1）可得，得出，再证明，据此求解即可． 【详解】（1）解：延长到点E，使，连接， ∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）略 （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $