19.3.2 菱形 第2课时 菱形的判定课件2025-2026学年沪科版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦菱形的判定，通过复习菱形定义及边、角、对角线性质，自然引出判定问题，衔接旧知形成学习支架，系统呈现定义法、四边相等及对角线垂直的平行四边形三种判定方法。 其亮点在于通过尺规作图猜想、木条实验操作，培养学生几何直观与空间观念（数学眼光），证明过程强化推理意识（数学思维），例题练习规范几何语言表达（数学语言）。采用探究式教学，小结系统梳理判定方法，助力学生提升数学探究与推理能力，为教师提供丰富教学资源。

19.3 矩形、菱形、正方形 第19章 四边形 沪科版 八年级下册 19.3.2 菱形 第2课时 菱形的判定 复习导入 一组邻边相等 有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形. 平行四边形 菱形的性质 菱形 两组对边平行 四条边相等 两组对角分别相等 邻角互补 两条对角线互相垂直平分 每一条对角线平分一组对角 边 角 对角线 问题 菱形的定义是什么？性质有哪些？ 根据菱形的定义，可得菱形的第一个判定的方法： 且 AB = AD， ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ 四边形 ABCD 是菱形. 数学语言 有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形. A B C D 思考 还有其他的判定方法吗？ 复习导入 知识讲解 知识点1 四边相等的四边形是菱形 小刚：分别以 A，C 为圆心，以大于 AC 的长为半径画弧，两条弧分别相交于点 B，D，依次连接 A，B，C，D 四点. 已知线段 AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形 ABCD，并使 AC 为该菱形的一条对角线吗？ C A B D 想一想：根据小刚的作法你有什么猜想？你能验证小刚的作法对吗？ 猜想：四条边相等的四边形是菱形. 证明：∵ AB = BC = CD = AD， ∴ AB = CD，BC = AD. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 又∵ AB = BC， ∴ 四边形 ABCD 是菱形. 已知：如图，四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = AD. 求证：四边形 ABCD 是菱形. A B C D 证一证 四边相等的四边形是菱形. AB = BC = CD = AD 几何语言描述： 在四边形 ABCD 中，∵ AB = BC = CD = AD， ∴ 四边形 ABCD 是菱形. A B C D 菱形 ABCD 菱形的判定定理1 归纳总结 四边形 ABCD A B C D 例题解读 证明：∵∠1 =∠2，AE = AC，AD = AD， ∴△ACD≌△AED (SAS). 同理，△ACF≌△AEF. ∴ CD = ED，CF = EF. 又∵ EF = ED， ∴ CD = ED = CF = EF. ∴ 四边形 CDEF 是菱形. 2 例1 如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，点 E、F 分别在 AB、 AD 上，且 AE = AC，EF = ED. 求证：四边形 CDEF 是菱形. A C B E D F 1 例2 如图，在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm. 将△ABC 沿射线 BC 方向平移 10 cm，得到△DEF，A，B，C 的对应点分别是 D，E，F，连接AD. 求证：四边形 ACFD 是菱形． 证明：由平移的性质得 CF＝AD＝10 cm，DF＝AC. ∵∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm， ∴ AC＝DF＝AD＝CF. ∴ 四边形 ACFD 是菱形． 四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便. 归纳 例题解读 知识点2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 你能证明这一猜想吗？ 我们用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，可得到一个平行四边形. 那么转动木条，这个平行四边形什么时候变成菱形? 对此你有什么猜想？ 知识讲解 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA = OC. 又∵ AC⊥BD， ∴ BD 是线段 AC 的垂直平分线. ∴ BA = BC. ∴ □ABCD 是菱形（菱形的定义）. A B C O D 已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，AC⊥BD.求证：□ABCD 是菱形. 证一证 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. AC⊥BD 几何语言描述： 在 □ABCD 中，∵ AC⊥BD， ∴ □ABCD 是菱形. A B C D 菱形 ABCD A B C D □ABCD 菱形的判定定理： 归纳总结 例3 如图，在□ABCD中， 对角线 AC，BD相交于点 O，AC = 8，BD= 6，AB = 5，求AD的长. A B C D O ∵ 四边形ABCD是平行四边形， OA=AC=4，OB=BD=3. 解： 又∵AB=5， ∴AB2=OA2+OB2. ∴△AOB 是直角三角形，即OA⊥OB. ∴□ABCD是菱形. ∴AD=AB=5. 例题解读 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 四边相等的四边形是菱形 运用定理进行计算和证明 菱形的判定 定义法 判定定理 课堂小结 1. 依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是 （　C　） C 随堂练习 2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8， D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，则四边形ADCE的周长 为 ⁠. 20　 3. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，过点C作 CE⊥AB，交AB的延长线于点E，作CF⊥AD，交AD的延长 线于点F. 若CE＝CF，求证：四边形ABCD是菱形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC， ∴∠CBE＝∠CDF. ∵CE⊥AB，CF⊥AD， ∴∠CEB＝∠CFD＝90°. 在△CBE和△CDF中， ∴△CBE≌△CDF （AAS），∴CB＝CD，∴四边形ABCD是菱形. 4. 如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，分别交∠A的 两边于点M，N，再分别以点M，N为圆心，AM的长为半径 画弧，两弧交于点B，连接MB，NB. 若∠A＝40°，则 ∠MBN＝（　A　） A. 40° B. 50° C. 60° D. 140° A 5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，点E，F 在射线AD上，且BE＝BF，连接CE，CF. 求证：四边形 BECF是菱形. 证明：∵AB＝AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC，BD＝CD， ∴BE＝CE，BF＝CF. ∵BE＝BF，∴BE＝CE＝BF＝CF， ∴四边形BECF是菱形. 6. 如图，添加下列条件中的一个，能使平行四边形ABCD是菱 形的为（　D　） ①AC＝BD；②AC平分∠BAD；③AB＝BC；④AC⊥BD. A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ D 7. 如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O. 添 加一个条件： ，使四边形ABCD 成为菱形.（写出一个即可） AD∥BC（答案不唯一）　 8. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD， BC分别交于点E，F. 求证：四边形AFCE是菱形. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AE∥FC，∴∠EAC＝∠FCA. ∵EF垂直平分AC，∴AO＝CO，∠AOE＝∠COF＝90°， ∴△AOE≌△COF，∴EO＝FO， ∴四边形AFCE是平行四边形. 又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE是菱形. 9. 如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点， G，H分别是BD，AC的中点，下列选项能够判定四边形 EGFH是菱形的是（　A　） A. AB＝CD B. AB∥CD C. AC＝BD D. AD＝BC A 10. 如图，两张宽度均为3 cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形 成的锐角为60°，则重合部分构成的四边形ABCD的周长 为 cm. 8 　 11. 将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使 得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片，如图1所示；再次 折叠该三角形纸片，使得点A与点D重合，折痕为EF，再次展 平后连接DE，DF，如图2所示. （1）四边形AEDF的形状是 ⁠； 菱形　 （2）当∠BAC＝60°时， ＝ 　 　. 　 12. （2025·亳州期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC， CD＝BC，对角线AC，BD交于点O，CA平分∠BCD，过点 C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE. （1）求证：四边形ABCD是菱形； 证明：∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB. ∵CA平分∠BCD， ∴∠ACD＝∠ACB， ∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD. ∵CD＝BC，∴AD＝BC. ∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵AD＝CD，∴四边形ABCD是菱形. （2）若OE＝8，BD＝12，求BC的长. 解：∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°. ∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC＝ AC，OB＝OD＝ BD，AC⊥BD， ∴AC＝2OE＝16，∴OC＝ AC＝8. ∵BD＝12，∴OB＝ BD＝6， ∴BC＝ ＝ ＝10. 13. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝11 cm，点P 从点D出发向终点A运动，同时点Q从点B出发向终点C运动. 当P，Q两点其中有一点到达终点时，另一点随之停止运 动，点P，Q的速度分别为 1 cm/s，2 cm/s.设点P，Q运动的 时间为t s. （1）如图1，连接PQ，AQ，CP，当t为何值时，四边形 ABQP是矩形？ 解：（1）由题意，得DP＝t cm，BQ＝2t cm， 则AP＝（11－t）cm. 若四边形ABQP是矩形，则AP＝BQ， ∴11－t＝2t，解得t＝ ， ∴当t＝ 时，四边形ABQP是矩形. （2）如图2，若点E为边AD上一点，当AE＝3 cm 时，四边 形EQCP可能为菱形吗？若能，请求出t的值；若不能，请说 明理由. 解：（2）四边形EQCP能为菱形. 由题意，得PE＝（8－t）cm，CQ＝（11－2t）cm. 在Rt△PDC中，CP＝ ＝ cm. 若四边形EQCP为菱形，则PE＝CQ＝CP. 由PE＝CQ，得8－t＝11－2t，解得t＝3. 当t＝3时，PE＝CQ＝CP＝5， ∴当t＝3时，四边形EQCP为菱形. $