21.2平行四边形学案2025-2026学年 人教版八年级数学下册

该初中数学导学案聚焦平行四边形及三角形中位线，涵盖概念、性质、判定及中位线定理。通过图片欣赏、动手画图导入，以性质探究为基础，引导学生从定义出发猜想并证明对边对角关系，再通过性质逆命题过渡到判定方法，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料突出探究式学习，让学生经历猜想、度量、推理过程，培养几何直观与推理意识。结合铁轨枕木、池塘测距等实际问题，发展应用意识，分层练习与多样证法设计，助力学生提升逻辑思维，落实核心素养。

第21章平行四边形 21.2平行四边形 第一课时：平行四边形及其性质（1） 一、教学目标 (一)知识与技能：理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质. (二)过程与方法：会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证. (三)情感态度价值观：培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力. 二、教学重点、难点 重点：1.理解平行四边形的概念；2.掌握平行四边形边、角的性质. 难点：利用平行四边形边、角的性质解决问题. 三、教学过程 图片欣赏 相关概念 1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2.记作：□ABCD 3.读作：平行四边形ABCD 4.对边、对角、对角线 5.几何语言：(双重含义) Ⅰ ∵ AB∥CD，AD∥BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形 Ⅱ ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC 探究 根据定义画一个平行四边形，观察它，除了“两组对边分别平行”外，它的边之间还有什么关系？它的角之间有什么关系？度量一下，和你的猜想一致吗？ 平行四边形的对边相等； 平行四边形的对角相等. 已知：四边形ABCD是平行四边形. 求证：AB=CD，BC=DA；∠B=∠D，∠A=∠C. 证明：连接AC ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AD∥BC，AB∥CD ∴ ∠1=∠2，∠3=∠4 又 AC是△ABC和△CDA的公共边 ∴ △ABC≌△CDA (ASA) ∴ AB=CD，BC=DA，∠B=∠D 又 ∵∠1=∠2，∠3=∠4 ∴ ∠1+∠4=∠2+∠3 即 ∠BAD=∠DCB 不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的定义，证明其对角相等？ 证明： ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AD∥BC，AB∥CD ∴ ∠B+∠A=180°，∠B+∠C=180° ∴ ∠A=∠C 同理，∠B=∠D 形成定理 平行四边形性质定理1：平行四边形的对边平行且相等 平行四边形性质定理2：平行四边形的对角相等 定理应用格式： ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC，∠A=∠C，∠B=∠D 例1 如图，在□ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F. 求证AE=CF. 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ ∠A=∠C，AD=CB ∵ DE⊥AB，BF⊥CD ∴ ∠AED=∠CFB=90° ∴ △ADE≌△CBF (AAS) ∴ AE=CF 探究 如图，在□ABCD中，连接AC，BD，并设它们相交于点O，OA与OC，OB与OD有什么关系？你能证明发现的结论吗？ 猜想：在□ABCD中，OA=OC，OB=OD. 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O. 求证：OA=OC，OB=OD. 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AD∥BC，AD=BC ∴ ∠1=∠2，∠3=∠4 ∴ △AOD≌△COB (ASA) ∴ OA=OC，OB=OD 形成定理 平行四边形性质定理3：平行四边形的对角线互相平分 定理应用格式： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AO=OC，BO=OD 练习 1.如图，在□ABCD中，BC=10，AC=8，BD=14. △AOD的周长是多少？△ABC与△DBC的周长哪个长？长多少？ 解：∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ BC=AD=10，AB=CD OA=OC=AC=×8=4 OB=OD=BD=×14=7 ∴ △AOD的周长=OA+OD+AD=4+7+10=21 ∵ △ABC的周长=AB+BC+AC=AB+10+8=AB+18 △DBC的周长=CD+BC+BD=CD+10+14=CD+24=AB+24 ∴ △DBC的周长比△ABC的周长更长，长6cm. 2.如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F.求证OE=OF. 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AB∥CD，OA=OC ∴ ∠OAE=∠OCF 又 ∠AOE=∠COF ∴ △AOE≌△COF (ASA) ∴ OE=OF 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 五、课堂检测 1.平行四边形的一条边长是14cm，它的两条对角线长可以是( ) A．12cm,16cm B.20cm ,22cm C.10cm,16cm D.14cm,12cm 2.如图2所示，ABCD的对角线相交于点O,且ABBC,过点O作OEAC交BC于点E,如果ABE的周长为b,则ABCD的周长为是( ) A、b B、1.5b C、2b D、3b 3.如图3所示，在ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC=12，BD=10，AB=m,那么m的取值范围是 。 4. 在ABCD中，A=600，DE平分ADC并交AB于点E,DE=3，BE=2,.求ABCD各边的长、各角的度数和面积。 5. 如图所示，在ABCD中，对角线AC、BD交于点O,已知AB=10,AC=8,BD=,AD=,试求和的取值范围。 6、如图12所示，在ABCD中，对角线BDAB, A=300,DE平分ADC交AB的延长线于点E,连接CE. （1） 求证：ＡＤ＝ＡＥ．（２）设ＡＤ＝１２，连接ＡＣ交ＢＤ于点Ｏ，求ＡＣ的长。 第二课时：平行四边形的性质(2) 一、教学目标 (一)知识与技能： 1.能通过观察、测量、试验获得数学猜想，并进一步给出证明，得出“平行四边形对角线互相平分”的结论；2.会用平行四边形的性质进行有关证明和计算. (二)过程与方法：通过经历平行四边形性质的探索过程，发展学生观察、试验、归纳等合情推理能力和演绎推理能力. (三)情感态度价值观：1.学生在数学学习活动中获得成功的体验，激励他们锲而不舍的探究精神，形成积极参与、合作学习的学习习惯；2.通过平行四边形性质的应用，进一步认识数学与生活的密切联系. 二、教学重点、难点 重点：行四边形对角线互相平分的性质. 难点：利用平行四边形对角线互相平分解决有关问题. 三、教学过程 知识回顾 上节课我们学习了平行四边形的一些性质，现在来回忆一下：如图，四边形ABCD是平行四边形，请同学们说出□ABCD的有关性质.相关概念 平行四边形的对边平行且相等 平行四边形的对角相等 定理应用格式： ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC，∠A=∠C，∠B=∠D 1.两点间的距离：连接两点的线段的长度. 2.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度. 如图，a∥b，c∥d，c，d与a，b分别相交于A，B，C，D四点.由平行四边形的概念和性质可知，四边形ABDC是平行四边形，AB=CD.也就是说，两条平行线之间的任何两条平行线段都相等. 如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等. 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线间的距离.两条平行线间的距离处处相等. 两条平行线间的距离与点与点之间的距离，点到直线的距离有何联系与区别？ 例2 如图，在□ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC. 求BC，CD，AC，OA的长，以及□ABCD的面积. 解：∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ BC=AD=8，CD=AB=10 ∵ AC⊥BC，∴ △ABC是直角三角形 根据勾股定理，AC===6 又 OA=OC，∴ OA=AC=3，S□ABCD=BC•AC=8×6=48 练习 1.在□ABCD中，(1)已知AB=5，BC=3，求它的周长；(2)已知∠A=38°，求其余各内角的度数. 解：(1)□ABCD的周长为：5+5+3+3=16； (2)∠B=142°，∠C=38°，∠D=142°. 2.如图，剪两张对边平行的的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形.转动其中一张纸条，线段AD和BC的长度有什么关系？为什么？ 解：AD=BC. 理由：两条平行线之间的任何两条平行线段都相等. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 1.如图1所示，a//b,AB//CD,CEb,FGb,点E、G为垂足，则下列说法中错误的是( ) A．AB=CD B.CE=FG C.A、B两点之间的距离就是线段AB的长 D.直线a、b之间的距离就是线段CD的长 2.已知ABCD的周长为52，自顶点D作DEAB于点E,DFBC于点F,若DE=5，DF=8，求BE+BF的长？ 3.已知如图7所示，在ABCD中，点E在AC上，AE=2EC,点F在AB上，BF=2AF,若BEF的面积为2cm2,求ABCD的面积。 4. 如图8所示，在ABCD中，点E是AD的中点，CE交BA 的延长线于点F.若BC=2AB, FBC=700，求EBC的度数。 第三课时：平行四边形的判定(1) 一、教学目标 (一)知识与技能： 1.经历并了解平行四边形判别方法的探索过程，使学生逐步掌握说理的基本方法；2.探索并掌握平行四边形的判别方法，能根据判别方法进行有关的应用. (二)过程与方法：1.通过实验、观察、猜想、验证、推理、交流等探究活动，进一步培养学生的动手能力、合情推理能力；2.在运用平行四边形的判定方法解决问题的过程中，体验教学活动充满着探索性和挑战性，进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力. (三)情感态度价值观：1.经过自主探素与合作交流，敢于发表自己的观点，养成一种勇于探索、勇于质疑的精神及严密的数学逻辑推理论证的科学态度；2.体验数学活动来源于生活又服务于生活，提高学生的学习兴趣. 二、教学重点、难点 重点：掌握平行四边形的判定定理 难点：综合运用平行四边形的性质与判定解决问题. 三、教学过程 知识回顾 平行四边形的性质： 边：平行四边形的对边平行且相等； ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC 角：平行四边形的对角相等； ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ，∴ ∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC 对角线：平行四边形的对角线互相平分. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OA=OC，OB=OD 思考 反过来，对边相等，或对角相等，或对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？也就是说，平行四边形的性质定理的逆命题成立吗？ 平行四边形判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 平行四边形判定定理2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形 平行四边形判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形(证明过程) 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：连接BD. ∵ AB=CD，AD=CB，BD=DB ∴ △ABD≌△CDB (SSS) ∴ ∠ABD=∠CDB，∠ADB=∠CBD ∴ AB∥CD，AD∥CB ∴ 四边形ABCD是平行四边形 定理应用格式： ∵ AB=CD，AD=CB ∴ 四边形ABCD是平行四边形 平行四边形判定定理2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形(证明过程) 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：∵ ∠A+∠B+∠C+∠D=360° 又 ∠A=∠C，∠B=∠D ∴ ∠A+∠D=180°，∠A+∠B=180° ∴ AB∥CD，AD∥CB ∴ 四边形ABCD是平行四边形 定理应用格式： ∵ ∠A=∠C，∠B=∠D ∴ 四边形ABCD是平行四边形 平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形(证明过程) 如图，在四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：∵ OA=OC，OB=OD，∠AOD=∠COB ∴ △AOD≌△COB (SAS) ∴ ∠OAD=∠OCB ∴ AD∥BC 同理 AB∥DC ∴ 四边形ABCD是平行四边形 定理应用格式： ∵ OA=OC，OB=OD ∴ 四边形ABCD是平行四边形 例3 如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形. 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AO=CO，BO=DO ∵ AE=CF ∴ AO-AE=CO-CF 即 EO=FO 又 BO=DO ∴ 四边形BFDE是平行四边形 你还有其它证明方法吗？ 练习 1.如图，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF，图中有哪些互相平行的线段？并说明理由. 答：AD∥BC，DE∥CF，AB∥DC∥EF. 理由： ∵ AB=DC，AD=BC ∴ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AD∥BC，AB∥DC ∵ DC=EF，DE=CF ∴ 四边形DCFE是平行四边形 ∴ DE∥CF，DC∥EF 因此，AD∥BC，DE∥CF，AB∥DC∥EF. 2.如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点，求证BE=DF. 证法1：∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ OA=OC，OB=OD ∵ E，F分别是OA，OC的中点 ∴ OE=OA，OF=OC ∴ OE=OF 又 ∠BOE=∠DOF ∴ △BOE≌△DOF (SAS) ∴ BE=DF 证法2：连接DE，BF. ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ OA=OC，OB=OD ∵ E，F分别是OA，OC的中点 ∴ OE=OA，OF=OC ∴ OE=OF ∴ 四边形DEBF是平行四边形 ∴ BE=DF 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 五、课堂检测 1.如图1所示，在四边形ABCD中，Q是CD上的一定点，点P是BC上的一动点，点E、F分别是PA、PQ两边的中点，点P在BC边上移动的过程中，线段EF的长度将( ) A．先变大，后变小 B.保持不变 C.先变小，后变大 D.无法确定 2.已知，如图2所示，在ABCD中，对角线AC、BD相交于O,E、F是对角线上的两点，给出下列四个条件:（1）OE=OF（2）DE=BF（3）ABE= CDF（4）ADE= CBF,其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有( ) A．0个 B。1个 C。2个 D。3个 3. 如图4所示，已知AO是BAC中BAC的角平分线，BDAO交AO的延长线于点D,点E是BC的中点，求证:DE=（AB-AC） 4. 如图5所示,BD、CE是ABC的两条中线，BD、CE交于点O, 求证:OD=OB,OE=OC. 第四课时：平行四边形的判定(2) 一、教学目标 (一)知识与技能： 1.掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法；2.会综合运用平行四边形的四种判定方法和性质来证明. (二)过程与方法：在学生熟练掌握平行四边形的判定方法的基础上，通过定理、习题的分析和证明，提高学生的逻辑思维能力，进一步掌握平行四边形性质与判定之间的区别与联系. (三)情感态度价值观：1.通过平行四边形的性质与判定的应用，启迪学生的思维，提高分析问题的能力；2.培养学生的合情推理能力及严谨的书写表达，体会几何思维的真正内涵. 二、教学重点、难点 重点：平行四边形各种判定方法及其应用，尤其是根据不同条件能正确地选择判定方法. 难点：综合运用平行四边形的四种判定方法和性质来证明. 三、教学过程 知识回顾 我们学过的平行四边形的判定有哪些： 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 判定1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 判定2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 判定3：对角线互相平分的四边形是平行四边形 思考 我们知道，两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形.如果只考虑四边形的一组对边，它们满足什么条件时这个四边形能成为平行四边形呢？ 如果一个四边形是平行四边形，那么它的任意一组对边平行且相等.反过来，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？ 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：连接AC. ∵ AB∥CD ∴ ∠1=∠2 又∵ AB=CD，AC=CA ∴ △ABC≌△CDA (SAS) ∴ BC=DA ∴ 四边形ABCD的两组对边分别相等，它是平行四边形. 判定4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 定理应用格式： ∵ AB∥CD，AB=CD ∴ 四边形ABCD是平行四边形 例4 如图，在□ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，求证：四边形EBFD是平行四边形. 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AB=CD，EB∥FD ∵ E，F分别是AB，CD的中点 ∴ EB=AB，FD=CD ∴ EB=FD ∴ 四边形EBFD是平行四边形 练习 3.为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了.你能说出其中的道理吗？ 理由：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 4.如图，在□ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点分别作AE⊥BD，CF⊥BD，E，F为垂足.求证：四边形AFCE是平行四边形. 证明：∵ AE⊥BD，CF⊥BD ∴ ∠AED=∠CFB=90°，∠AEF=∠CFE=90° ∴ AE∥CF ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AD∥BC，AD=BC ∴ ∠ADE=∠CBF ∴ △ADE≌△CBF (AAS) ∴ AE=CF ∴ 四边形AFCE是平行四边形 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 五、课堂检测 1. 如图11所示，已知:在ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，FC与BE交于G。求证:GF=GC. 2. 如图所示，在ABCD中，F是AD的中点,延长BC到点E，使CE=BC,连接DE、CF。(1)求证:四边形CEDF是平行四边形；(2)若AB=4，AD=6，B=600，求DE的长。 3. 如图所示，在四边形ABCD中，DB平分ADC, ABC=1200，C=600，BDC=300,延长CD到点E,连接AE,使得E=C.（1）求证:四边形ABDE是平行四边形；(2)若DC=12，求AD的长。 第五课时：三角形的中位线 一、教学目标 (一)知识与技能： 1.掌握三角形的中位线的概念和定理； 2.能正确应用三角形的中位线定理. (二)过程与方法：通过问题让学生猜想三角形的中位线与第三边的关系，进而用推理论证的方法证明猜想是否正确. (三)情感态度价值观：结合实际问题，进一步理解三角形中位线的概念及性质，培养学生的 创造性思维. 二、教学重点、难点 重点：三角形的中位线定理以及定理的证明过程，应用三角形中位线. 难点：中位线定理的证明方法. 三、教学过程 做一做 你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗？ 猜想：增加的线段与它所对的边有什么关系？ 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE.像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 一个三角形有几条中位线？三角形的中位线和中线一样吗？ 探究 观察上图，你能发现△ABC的中位线DE与边BC的位置关系吗？度量一下，DE与BC之间有什么数量关系？ 猜想：DE∥BC，且DE=BC. 定理证明 如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点.求证：DE∥BC，且DE=BC. 证明：延长DE到F，使EF=DE，连接FC，DC，AF. ∵ AE=EC，DE=EF ∴ 四边形ADCF是平行四边形 ∴ CF∥DA，CF=DA ∴ CF∥BD，CF=BD ∴ 四边形DBCF是平行四边形 ∴ DF∥BC，DF=BC 又∵ DE=DF ∴ DE∥BC，且DE=BC 你还有其它证法吗？ 证明：延长DE到F，使EF=DE，连接FC. ∵ AE=CE，∠AED=∠CEF ∴ △ADE≌△CFE (SAS) ∴ AD=CF，∠ADE=∠F ∴ AD∥CF ∴ BD∥CF，BD=CF ∴ 四边形BCFD是平行四边形 ∴ DF∥BC，DF=BC 又∵ DE=DF ∴ DE∥BC，且DE=BC 三角形的中位线定理： 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 定理应用格式： ∵ DE是△ABC的中位线 ∴ DE∥BC，且DE=BC. 练习 1.如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点.以这些点为顶点，在图中，你能画出多少个平行四边形？为什么？ 解：连接DE，DF，EF，可以得到，□DECF，□BEFD，□ADEF， 3个平行四边形.理由如下： ∵ DE，DF，EF是△ABC的中位线 ∴ DE∥AC，DE=AC，DF∥BC，DF=BC，EF∥AB， EF=AB ∴ DE∥FC，DE=FC，DF∥BE，DF=BE，EF∥AD，EF=AD ∴ 四边形DECF，BEFD，ADEF是平行四边形 2.如图，直线 l1∥l2，在 l1，l2上分别截取AD，BC，使AD=BC，连接AB，CD. AB和CD有什么关系？为什么？ 解：AB∥CD，AB=CD. 理由如下： ∵ l1∥l2 ∴ AD∥BC 又∵ AD=BC ∴ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ AB∥CD，AB=CD 3.如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC.怎样测出A，B两点间的距离？根据是什么？ 解：分别取AC，BC的中点D，E，连接DE，测量出DE的距离，然后根据三角形的中位线定理可知AB=2DE. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 五、课堂检测 1、已知，ABCD中，E、F分别为AB、CD上的点，且AE=AB，CF=CD， 试说明BD与EF互相平分 2． 若顺次连结ABCD各边中点所得四边形是什么四边形？请证明。 学科网（北京）股份有限公司 $