5.3.1 单调性（第2课时 已知函数单调性求参数）分层同步练习-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

5.3.1　单调性 第2课时　已知函数单调性求参数 一、基础达标练 1.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在(-∞,+∞)上是单调函数,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,-) B.[-] C.(,+∞) D.(-) 2.函数f(x)=x3+ax+b在区间(-1,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,则(　　) A.a=1,b=1 B.a=1,b∈R C.a=-3,b=3 D.a=-3,b∈R 3.若f(x)=x3-ax2的单调递减区间是(0,2),则正数a的值是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 4.函数f(x)=x2-9ln x在区间(m,m+1)上单调递减,则实数m的取值范围是　　　　　.  5.若函数f(x)=sin x+cos x在[0,a]上单调递增,则a的取值范围为　　　　　.  6.已知函数f(x)=ln x-ax2-2x+1,a∈R. (1)若曲线f(x)在x=2处的切线与直线2x+y=0垂直,求a的值; (2)若f(x)存在单调递减区间,求实数a的取值范围. 二、能力提升练 7.已知函数f(x)=ax+ln x+3在区间(1,2)上不单调,则实数a的取值范围为(　　) A.() B.(,1) C.(-1,-) D.(-,-) 8.已知函数f(x)=ex(x2-bx)(b∈R)在区间上存在单调递增区间,则实数b的取值范围是(　　) A. B. C. D. 9.已知函数f(x)=x3+x2+x+1在(-∞,0),(3,+∞)上单调递增,在(1,2)上单调递减,则实数a的取值范围为(　　) A.[-,-] B.(-∞,-2] C.(-,-2] D.(-,-) 10.(多选题)已知函数f(x)=x2-aln x+x在[1,+∞)上单调递增,则实数a的所有可能取值是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 11.已知函数f(x)=2x3-mx2+2(m>0)的单调递减区间为(a,b),若b-a≤2,则m的最大值为　　　　.  12.已知函数f(x)=ln x,g(x)=ax2+2x. (1)若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求实数a的取值范围; (2)若函数h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上单调递减,求实数a的取值范围. 三、拓展探究练 13.若函数f(x)=loga(x3-ax)(a>0且a≠1)在区间(-,0)内单调递增,则a的取值范围是(　　) A.[,1) B.[,1) C.(,+∞) D.(1,) 14.已知函数f(x)=ax-ln x,g(x)=eax+2x,其中a∈R.若存在区间D⊆(0,+∞),使得f(x)与g(x)在区间D上具有相同的单调性,求实数a的取值范围. 参考答案 1.B　2.D　3.A　4.[0,2]　5.(0,] 6.解 (1)因为f(x)=ln x-ax2-2x+1,a∈R,所以f'(x)=-ax-2, 所以f'(2)=-2a-,所以曲线f(x)在x=2处的切线的斜率为k=f'(2)=-2a-. 因为曲线f(x)在x=2处的切线与直线2x+y=0垂直, 所以(-2a-)×(-2)=-1, 即2a+=-,解得a=-1. (2)因为f(x)=ln x-ax2-2x+1,所以f'(x)=-ax-2. f(x)存在单调递减区间等价于f'(x)=-ax-2<0在(0,+∞)上有解,即a>在(0,+∞)上有解. 令g(x)=(x>0),所以只需a>g(x)min. 因为g(x)=-2=-1≥-1,即g(x)min=-1,所以实数a的取值范围为(-1,+∞). 7.C　8.A 9.A　解析 由f(x)=x3+x2+x+1,得f'(x)=x2+ax+1. 因为f(x)在(-∞,0),(3,+∞)上单调递增,在(1,2)上单调递减,所以方程f'(x)=0的两个根分别位于区间[0,1]和[2,3]上, 所以 解得-≤a≤-. 10.ABC　解析 由题意,得f'(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,即f'(x)=x-+1≥0,整理得a≤x2+x,即a≤.又x2+x=在[1,+∞)上单调递增,所以最小值为1+1=2,故a≤2,结合选项知,a可取0,1,2.故选ABC. 11.6　解析 由f(x)=2x3-mx2+2(m>0),得f'(x)=6x2-2mx(m>0). 令f'(x)<0,即6x2-2mx<0,解得0<x<,所以函数f(x)=2x3-mx2+2(m>0)的单调递减区间为(0,),所以b-a=≤2,解得m≤6,所以m的最大值为6. 12.解 h(x)=ln x-ax2-2x,x>0,所以h'(x)=-ax-2. (1)若函数h(x)在(0,+∞)上存在单调递减区间,则当x>0时,-ax-2<0有解,即a>有解.设G(x)=,所以只要a>G(x)min.又G(x)=-1,所以G(x)min=-1,所以a>-1,即实数a的取值范围是(-1,+∞). (2)因为h(x)在[1,4]上单调递减,所以当x∈[1,4]时,h'(x)=-ax-2≤0恒成立,则a≥恒成立.设G(x)=,x∈[1,4],所以a≥G(x)max.又G(x)=-1,x∈[1,4],因为x∈[1,4],所以∈[,1],所以G(x)max=-(此时x=4),所以a≥-.又当a=-时,h'(x)=x-2=.因为x∈[1,4],所以h'(x)=≤0,当且仅当x=4时,等号成立,所以h(x)在[1,4]上单调递减.故实数a的取值范围是[-,+∞). 13.B　解析 函数f(x)=loga(x3-ax)(a>0,a≠1)在区间(-,0)内有意义,则(-)3+a≥0, ∴a≥,设t=x3-ax,则y=logat,t'=3x2-a. (1)当a>1时,y=logat是增函数, 要使函数f(x)=loga(x3-ax)(a>0,a≠1)在区间(-,0)内单调递增,需使t=x3-ax在区间(-,0)内单调递增,则需使t'=3x2-a≥0,对任意x∈(-,0)恒成立,即a≤3x2对任意x∈(-,0)恒成立; 因为x∈(-,0)时,0<3x2<,所以a<0与a>矛盾,此时不成立. (2)当0<a<1时,y=logat是减函数,要使函数f(x)=loga(x3-ax)(a>0,a≠1)在区间(-,0)内单调递增,需使t=x3-ax在区间(-,0)内单调递减,则需使t'=3x2-a≤0对任意x∈(-,0)恒成立,即a≥3x2对任意x∈(-,0)恒成立,因为x∈(-,0)时,0<3x2<,所以a≥, 又a<1,所以≤a<1. 综上,a的取值范围是≤a<1. 14.解 由题意,知f'(x)=a-,g'(x)=aeax+2.当a>0时,g'(x)>0,即g(x)在R上单调递增,而f(x)在(,+∞)上单调递增,故必存在区间D⊆(0,+∞),使得f(x)与g(x)在区间D上单调递增;当a=0时,f'(x)=-<0,故f(x)在(0,+∞)上单调递减,而g(x)在(0,+∞)上单调递增,故不存在满足条件的区间D;当a<0时,f'(x)=a-<0,即f(x)在(0,+∞)上单调递减,而g(x)在(-∞,ln(-))上单调递减,在(ln(-),+∞)上单调递增,若存在区间D⊆(0,+∞),使得f(x)与g(x)在区间D上具有相同的单调性,则有ln(-)>0,解得a<-2.综上,实数a的取值范围为(-∞,-2)∪(0,+∞). 5 学科网（北京）股份有限公司 $