函数与方程 讲义-2026届高三数学一轮复习

第十讲 函数与方程第 - 1 - 页 一、基础知识梳理 1、函数的零点与方程的解 （1）函数零点的概念 对于一般函数y＝f(x)，我们把使 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． （2）函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有 ⇔函数y＝f(x)的图象与 有交点． （3）零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在x0∈(a，b)，使得 ，这个x0也就是方程f(x)＝0的根． 2、二分法 对于在区间上连续不断且 的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间 ，使区间的两个端点逐步逼近 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 【常用结论】 1．若函数f(x)的图象在x＝x0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点． 2．若函数f(x)的图象在x＝x0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点． 3．若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点． 4．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． 5．连续不断的函数的图象通过一重零点时(与x轴不相切)，函数值变号；通过二重零点时，函数值不变号． 二、典型例题 题型一 函数零点所在区间的判断 例1 (1)已知函数，则的零点所在的区间为( ) A． B． C． D． (2)若函数的图象与函数的图象交点的横坐标所在的区间为，则整数k可能为( ) A． B．0 C．1 D．2 题型二 函数零点个数的判断 例2 (1)函数的零点个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 (2)当时，曲线与的交点个数为( ) A．3 B．4 C．6 D．8 题型三 根据函数零点个数求参数 例3 (1)设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则( ) A． B． C．1 D．2 (2)若函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 三、课堂练习 1.方程的根所在区间是( ) A． B． C． D． 2.已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为( ) A． B． C． D． 3.已知函数，若函数有五个零点，则实数的取值范围是 . 4.设函数，且，求证：函数在内至少有一个零点. 四、课后作业 1．函数的零点所在的区间为( ) A． B． C． D． 2．函数在区间上的零点个数是( ) A．3 B．4 C．5 D．6 3．曲线与交点个数是( ) A．3 B．4 C．5 D．6 4．函数的一个零点在内，另一个零点在( )内. A． B． C． D． 5．“”是“函数在区间上存在零点”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知正数a，b，c满足，则a，b，c大小关系是( ) A． B． C． D． 7．已知函数在R上没有零点，则实数a的取值范围是( ) A． B． C． D． 8．(多选)已知是方程的实根，则下列各数为正数的是( ) A． B． C． D． 9．(多选)下列函数在区间内存在唯一零点的是( ) A． B． C． D． 10．已知函数在区间有零点，则的取值范围是 . 参考答案 1．C 【详解】由已知得为上的递增函数， ，， ，， 由零点存在定理可知，在区间内存在唯一零点. 2．A 【详解】求函数在区间上的零点个数，转化为方程在区间上的根的个数.由，得或，解得：或或， 所以函数在区间上的零点个数为3. 3．A 【详解】作出曲线与大致图象，可知，而， 由曲线与图象知，曲线与有个交点. 4．C 【详解】因为函数的一个零点在内， 所以，又因为函数在连续不断，根据零点存在性定理另一个零点在内. 5．A 【详解】因为在区间上存在两个零点，所以,解得或, 因为集合是集合或的真子集， 所以“”是“函数在上存在零点”的充分不必要条件. 6．B 【详解】记， 则a，b，c分别为函数的图象与图象交点的横坐标， 由图可知，. 7．A 【详解】设 ，的图象如图所示， 问题转化为与函数 的图象没有交点，所以或,解得或, 8．BC 【详解】因为是方程的实根，令，当时，，当时，，可得 对于A，因为，所以，则，A错误； 对于B，因为，所以，则，B正确；对于C，. 因为，所以，C正确； 对于D，因为，所以，则，D错误； 9．BCD 【详解】对于A，因为的解为或4，所以在区间内没有零点，故A错误； 对于B，因为在上为增函数，且，， 即，所以在区间内存在唯一零点，故B正确； 对于C，因为在R上为增函数，且，，即， ∴在区间内存在唯一零点，故C正确； 对于D，因为在上为减函数， 且，，即， 所以在区间内存在唯一零点，故D正确； 10． 【详解】令，当时，，当且仅当时取等，且， 所以若在区间有零点，只需与函数有交点即可, 所以的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $