7.1.2 两条直线垂直（分层题型专练，4夯基题型+4进阶题型+拓展培优）2025-2026学年人教版数学七年级下册

第七章 相交线与平行线 7.1.2 两条直线垂直 （分层题型专练） 题型一 垂线的定义与理解 1．如图，直角的个数为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角的定义．根据直角的定义解答即可． 【详解】解：直角的个数为． 故选：D 2．如图，于点E，是过点E的直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了对顶角相等，垂直的定义，由对顶角相等可得，再由可知，由此即可解出的度数． 【详解】解：和是对顶角， ， ， ， ． 故选：A． 3．如图，在平面内过点作已知直线的平行线和垂线，可作的条数分别是条和条，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了画垂线和平行线，同一平面内，过直线外一点作已知直线的平行线和垂线，都只能作一条，据此可得答案． 【详解】解：同一平面内，过直线外一点作已知直线的平行线和垂线，都只能作一条， ∴， ∴， 故选：B． 4．如图，直线与交于点，于点，若，则 ． 【答案】/度 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 5．如图，用三角板经过直线外一点画这条直线的垂线，这样的垂线只能画出一条．这里面蕴含的数学道理是 ． 【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【详解】解：由题意，蕴含的数学道理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 题型二 画垂线 1．在数学课上，同学们在练习过点B作线段所在直线的垂线段时，有部分同学画出了下列四种图形，其中画法正确的是（   ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 【答案】A 【分析】本题考查画垂线．满足两个条件：①经过点B，②垂直；由此即可判断． 【详解】解：根据垂线段的定义可知，图①线段，是过点B作线段所在直线的垂线段， 故选：A． 2．如图，在同一平面上，如果直线垂直于直线，直线垂直于直线，垂足为点，那么直线与直线重合的理由是（   ） A．垂线段相等 B．两点确定一条直线 C．在同一平面上，已知直线的垂线只有一条 D．在同一平面上，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 【答案】D 【详解】解：在同一平面内，，，垂足为，则直线和直线重合的理由是：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：． 3．如图，两个画图过程，直观的刻画了一个几何定理，这个定理指的是（   ） A．两点确定一条直线 B．在连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．同位角相等，两直线平行 【答案】C 【详解】解：由画图过程可知，直观的刻画了一个几何定理，这个定理指的是在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：C 4．下面是夕夕的作业纸，通过作图痕迹判断她做对了几个（    ） 题目：过点P画出线段的垂线 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查作图-基本作图，解题的关键是理解垂线段的概念及作法．根据垂线的定义判断即可． 【详解】解：根据题意：她做对了2个，分别是（1）和（3）， 故选：C． 题型三 垂线段最短 1．体育课上，老师测量某个同学的跳远成绩的依据是（    ） A．点到直线的距离相等 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】C 【详解】解：跳远成绩是测量运动员落地点到起跳线的垂直距离， ∵从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短， ∴测量跳远成绩的依据是垂线段最短． 故选：C． 2．如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一超市，现要建一个汽车站，且有，，，四个地点可供选择．若要使超市距离汽车站最近，则汽车站应建在________处，其依据是（    ） A．处，经过一点有无数条直线 B．处，垂线段最短 C．处，两点之间，线段最短 D．处，两点确定一条直线 【答案】B 【详解】解：根据题意，若要使超市距离汽车站最近，则汽车站应建在C处，依据是“垂线段最短”． 故选：． 3．如图，要把水渠中的水引到点，在渠岸的（   ）处开沟，才能使沟最短 A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了垂线段的性质（直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短），解题的关键是将“引水到C点使沟最短”的实际问题转化为“找直线上到点C的垂线段的垂足”的几何问题． 要使沟最短，需依据垂线段最短的性质，找到直线上与点C连接形成垂线段的点；由题意知E是点C到直线的垂足，即为垂线段，故在E处开沟最短． 【详解】解：点E是点C到直线的垂足，连接的线段是垂线段，根据“垂线段最短”，在此处开沟最短； 故选：B． 4．投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题主要考查了垂线的性质．根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短求解即可． 【详解】解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 5．如图运动会上，甲、乙两名同学测得黎明的跳远成绩分别为米，米，米，则黎明的跳远成绩应该为 米． 【答案】 【详解】解：∵甲、乙两名同学测得黎明的跳远成绩分别为米，米，米， ∴黎明的跳远成绩应该为米， 故答案为：． 题型四 点到直线的距离 1．如图，在中，，于点D，于点E，则点B到的距离是（　　） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】C 【详解】解：∵， ∴点B到的距离是线段的长度． 故选：C． 2．跳远成绩是起跳线到沙坑中留下最近着地点的垂直距离．如图，这是李明同学在体育课上立定跳远后留下的脚印，则他的成绩是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点到直线的距离，根据跳远成绩是起跳线到沙坑中留下最近着地点的垂直距离求解即可． 【详解】解：∵跳远成绩是起跳线到沙坑中留下最近着地点的垂直距离， ∴过沙坑中留下最近着地点A向起跳线作垂线，则的长就是跳远成绩， 由图可得， ∴他的成绩是． 故选：A 3．如图，四点在直线上，点在直线外，，若，，，，则点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴点到直线的距离是， 故选：． 4．如图，在三角形中，，，则点C到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查点到直线的距离，难度不大，理解题意是解题关键． 直接利用点到直线的距离求法，进而得出答案． 【详解】解：∵，， ∴点C到直线的距离为：． 故选C． 5．如图，点在直线外，，已知，，，则点到直线的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点到直线的距离，直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，据此解答即可求解，理解点到直线的距离的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴点到直线的距离即为垂线段的长，等于， 故答案为：． 题型一 根据垂线的定义与角平分线的性质求角度 1．如图，直线相交于点O，平分，于点O，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的计算，角的和差计算，垂直的定义，邻补角等知识点． 先由垂直，则，再由角平分线得到，最后根据邻补角求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，直线，相交于点，分别作射线，，使得，平分，，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的关系，角平分线的定义，垂直的定义以及对顶角的性质．运用以上知识点求出的度数，再根据角的和差关系得出所求角的度数． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， ． 故选． 3．如图，直线、相交于点，，垂足为，．则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂线和对顶角，根据垂直定义可得，再根据角的和差关系可得，再根据对顶角相等可得结论．解题的关键是掌握当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 4．如图，直线相交于点平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了几何中角度的计算、角平分线的定义、垂直的定义等知识点，求出是解题的关键． 先根据垂直的性质以及平角的定义可得，再由角平分线的定义求出，最后根据邻补角的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选A． 5．如图，直线，相交于点O，平分，．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂线的定义理解，利用邻补角互补求角度，角平分线的有关计算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先根据垂线的定义、结合已知角求得，再根据邻补角的意义求得，然后根据角平分线的意义求得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴． 故答案为：． 6．如图，三条直线相交于O，且，，若平分，则 度． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：55． 7．如图，直线、相交于点，平分，，，求的度数． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 8．如图，已知直线相交于点O，，点O为垂足，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，垂线的定义，熟知角平分线的定义是解题的关键． （1）由角平分线的定义可得的度数，由垂线的定义可得的度数，据此可得答案； （2）设，，则可推出，根据垂线的定义可推出，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵平分，， ， ， ， ； （2）解：， ∴可设，， 平分， ， ， ， ， ， 即， ∴，即． 题型二 垂线的定义中的综合判断 1．下列语句中：①有公共顶点且相等的角是对顶角；②直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；③两点之间直线最短；④经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角，点到直线的距离，两点之间线段最短及垂线的定义，平行公理，熟练掌握这些数学概念是解题的关键． 根据对顶角、点到直线的距离、线段性质、垂线性质及平行公理逐一判断． 【详解】①错误：对顶角需满足有公共顶点且两边互为反向延长线，仅公共顶点且相等不成立，如两个直角共顶点但非对顶角． ②错误：点到直线的距离是垂线段的长度，而非垂线段本身，描述缺少“长度”这一关键条件． ③错误：两点之间最短的是线段，而非直线，直线无限延伸，无法比较长度． ④错误：垂线性质需明确“同一平面内”，题干未限定平面，故描述不严谨． ⑤正确：平行公理指出，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，符合题意． 综上，仅⑤正确，正确个数为1个． 故选：A． 2．下列说法： 有且只有一条直线垂直于已知直线； 两条直线相交时，如果对顶角的和是，那么这两条直线互相垂直； 过直线外一点作，垂足为，则线段的长度是点到直线的距离； 在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线． 其中正确的说法有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直线之间的位置关系，在平面内，能作无数条直线与已知直线垂直，可知错误，正确，根据对顶角相等和对顶角的和是，可知这两条直线垂直，故正确，根据点到直线的距离的定义，可知正确． 【详解】解：在平面内，能作无数条直线与已知直线垂直，故错误； 两直线相交，对顶角相等，若对顶角的和是，则每个角都是，即两直线相交形成的夹角是，两条直线互相垂直，故正确； 根据点到直线的距离的定义，可知：过直线外一点作，垂足为，则线段的长度是点到直线的距离，故正确； 在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故正确． 综上所述，正确的说法有． 故选：B． 3．如图所示，直线，相交于点，，平分，下列结论： ①的余角是，补角是； ②； ③； ④． 其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】结合余角、补角的定义，垂线的定义、角平分线的定义可判断结论①、②正误；分别找出、和之间的关系，代入后即可判断结论③；根据结论③可判断结论④． 【详解】解：直线，相交于点，， 的补角是，余角是， 结论①错误； 平分， ， 结论②正确； ， ， ，， 、、在同一条直线上， ， 即， ， 即， 结论③正确， ， ， 则当时，有， 但题中没有该条件，结论④错误． 综上，正确的结论有个． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是几何图形中角度的计算，余角、补角的定义，角平分线的定义，垂线的定义，解题关键是结合图形找出角和角之间的关系． 4．如图：已知直线、直线相交于点，，则下列结论：①；②的补角是；③若，则；④若平分，则；⑤若，则．其中正确结论有 ． 【答案】①③④⑤ 【分析】本题考查了对顶角性质、角平分线定义、垂线定义、余角和补角的知识，解题关键是熟练掌握相关概念和性质，准确分析角之间的关系．利用对顶角相等、角平分线的定义、垂线定义以及余角、补角的概念，对每个结论逐一进行分析判断即可． 【详解】解：①∵， ∴，故①正确，符合题意； ②∵， ∴的补角不是，故②错误，不符合题意； ③∵， ∴，故③正确，符合题意； ④∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确，符合题意； ⑤∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 综上，正确的有①③④⑤． 故答案为：①③④⑤． 5．如图，，，平分，平分，，则下列结论： ； ； ； ．其中正确结论的是______（填写序号）．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线定义，垂直定义，由，则，得，再通过角平分线定义即可判断；通过角平分线定义，角度和差即可判断；由垂直定义得出，所以，从而判断；通过角度和差即可判断；掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵平分， ∴，故错误； ∵平分， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故错误； 故结论正确的是， 故选：． 题型三 与垂线段最短有关的应用与计算 1．如图，要把河里的水引到A点，村民选择线段，理由是（ ） A．垂线段最短 B．两点之间的所有连线中线段最短 C．经过两点有且只有一条直线 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】A 【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短进行判断即可，理解垂线段最短是正确解答的关键． 【详解】解：根据题意可知，要把河里的水引到A点，村民选择线段，理由是垂线段最短， 故选： 2．如图，在河旁边有一村庄，现要建一个码头．为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在（   ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 【答案】C 【分析】本题考查了垂线段最短，掌握垂线段最短性质是解答本题的关键． 根据垂线段最短即可解答． 【详解】解：从村庄向小河作垂线，村庄到垂足得距离最短，即码头应建在点处， 故选：C． 3．有下列说法：①如图①，把弯曲的河道BCA改成直道BA，可以缩短航程；②如图②，把渠水引到水池C中，可以在渠岸AB边上找到一点D，使，沿CD挖水沟，水沟最短；③如图③，甲、乙两辆汽车分别从A，B两地沿道路AC，BC同时出发开往C城，其中．若两车速度相同，则甲车先到C城．其中运用“垂线段最短”这个数学知识的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】先明确 “垂线段最短”、“两点之间线段最短” 的区别，再逐一分析每个说法对应的数学知识：“垂线段最短”：直线外一点到直线的所有线段中，垂线段长度最短；“两点之间线段最短”：两点之间的所有连线中，线段最短． 【详解】解：①把弯曲的河道改成直道，缩短航程，运用的是 “两点之间线段最短”，不是 “垂线段最短”； ②在渠岸边上找使，沿挖水沟最短，运用的是 “垂线段最短”（到直线的垂线段最短）； ③∵ ，∴ 是点 到直线的垂线段，根据 “垂线段最短”，，两车速度相同，甲车路程更短，所以甲车先到城，运用的是 “垂线段最短”． 因此，运用 “垂线段最短” 的是②③． 故选：C． 4．在，，，，．点是边上的动点，则的长不可能为（   ） A．2.5 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段，利用垂线段最短是解题关键． 从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，根据垂线段最短，可得答案． 【详解】解：如图，，点是边上的动点， ，即． ， 的长不可能为． 故选：A． 5．如图，，垂足为是线段上一点，连接的长不可能是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考点垂线段最短，关键是由垂线段最短得到． 作于，由三角形面积公式得到的面积，而，即可求出 ，又，即可得到答案． 【详解】解：作于， ∵， ∴的面积， ∵， ∴， ∵， ∴的长不可能4． 故选：A． 6．如图，，于，，，，则点到的距离是 ，点到的距离是 ，的依据是 ． 【答案】 垂线段最短 【分析】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，由，求出，然后根据点到直线的距离，垂线段最短即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离是，点到的距离是， ∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， ∴， 故答案为：，，垂线段最短． 7．如图，在中，，于点D，，若点E在边（不与点A，B重合）移动，则线段最短为 【答案】6 【分析】此题主要考查了垂线段的性质，三角形的面积公式，根据“垂线段最短”得：当时，为最短，然后根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】根据“垂线段最短”得：当时，为最短． ∵， ∴， ∵，， ∴． ∴的最短为． 故答案为：． 题型四 跨学科融合 1．如图是光的反射定律示意图，，，分别是入射光线、反射光线和法线，其中反射角与入射角相等，于点O．若平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了垂直定义，余角的性质，角平分线的计算，理解垂直定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． 因为所以，再根据平分，得出，即可得出答案． 【详解】解：， ∴， ∵平分 ∴ ∵反射角与入射角相等 ∴ 故选：C． 2．跨物理学科    如图，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置．已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一个角的余角与补角、垂直、对顶角相等，熟练掌握求一个角的余角与补角的方法是解题关键．先求出，再求出，根据垂直的定义可得，从而可得，最后根据对顶角相等即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角， ∴， ∵， ∴， ∴， 由对顶角相等得：， 故选：B． 3．图1是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即（如图2）反射光线与入射光线、法线在同一平面上，法线垂直于平面镜，反射光线和入射光线位于法线的两侧，反射角等于入射角．如图3，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜，利用光的反射原理找到了乒乓球的位置，已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂直的定义，等角的余角相等以及对顶角相等．由垂直的定义得，根据平面镜反射规律及等角的余角相等得到，由对顶角相等得到，即可得解．解题的关键是理解并掌握平面镜反射规律． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故选：B． 4．如图是光的反射规律示意图，是入射光线，是反射光线，法线，是入射角，是反射角，．若，则的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】此题主要考查了角的计算，垂直的定义，由，得，再根据得，据此可求出的度数，准确识图，理解垂直的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． 【详解】解：，， ， ， ， ， 即， ． 故答案为：． 1．已知和互为邻补角，平分，射线在内部，且，，，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了垂线，角平分线的定义，邻补角的定义，根据等量关系，利用方程思想求得的度数是解决问题的关键．分两种情况进行讨论：在上方，或在下方，先依据已知条件求得的度数，再根据，即可得到结果． 【详解】解：分两种情况进行讨论：①如图1所示，若在上方， 平分， ， ， ，即， 设，则，， 为平角， ， 即， 解得， ， 又， ， ； ②如图2所示，若在下方， 同理可得，， 又， ， ， 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 2．如图，中，，D为BC边上的一点，连接AD，E为线段AD上的一个动点，过点E作，垂足为F．如果，则的最小值为 ． 【答案】4.8 【分析】本题主要考查了垂线段最短，点到直线的距离，解题关键是熟练掌握利用线段的性质解决最短路径问题．根据两点之间线段最短，当，，三点在同一直线上时，的值最短，过点作于点，交于点，利用已知条件和直角三角形的面积公式，列出关于的方程，解方程即可． 【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点， 根据两点之间线段最短，当，，三点在同一直线上时，的值最短， ， ， ，，， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 3．如图，点O在直线上，过O在上方作射线，，直角三角板的直角顶点与点O重合，边与重合，边在直线的下方．如果三角板绕点O按10度/秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 秒时，． 【答案】12或30 【分析】本题考查了垂线的定义，与三角板有关的角度的计算，解题的关键是分两种情况进行讨论，分别依据在右边和左边两种情况，画出示意图，得到三角板旋转的度数，进而得到的值． 【详解】解：当在右边时，如图： ，， ∴此时，重合， ， ∴三角板旋转的角度为， （秒）； 当在左边时，如图： ，， ∴此时，与延长线重合， ∴ 三角板旋转的角度为， （秒）； 的值为：12或30． 故答案为：12或30． 4．如图，于点O，，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，同时，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，当、中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设，（、均小于），则x与y之间的数量关系为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角度的几何计算、垂直的定义等知识，正确分两种情况讨论是解题关键．先根据垂直的定义、角的运算可得，再设旋转运动时间为秒，则，，求出，然后分两种情况：①当时，则，②当时，则，分别求出、的大小，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， 设旋转运动时间为秒，则，， ∵射线从出发向终边旋转所需时间为（秒），射线从出发向终边旋转所需时间为（秒）， ∴， 当与在一条直线上时，则，即， 解得． ①如图1，当时，则， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴； ②如图2，当时，则， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴； 综上，或， 故答案为：或． 5．如图1，是直线上的一点，，平分．    (1)若，求的度数； (2)将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置． ①探究和的度数之间的关系，并说明理由； ②在的内部有一条射线，内部有一条射线，且，试确定与的度数之间的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；② 【分析】（1）由垂线的定义得，从而得到，由邻补角的定义计算可得，最后由角平分线的性质即可得到答案 （2）①先分别表示出和，再找出其中的关系即可；②根据题意得出，，代入得到，再将，代入进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 平分， ； （2）解：①， 理由如下： 根据题意可得：， ， ， 平分， ， ， ； ②画出图如图所示：   ， 则，， ， 整理得：， ， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 相交线与平行线 7.1.2 两条直线垂直 （分层题型专练） 题型一 垂线的定义与理解 1．如图，直角的个数为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 2．如图，于点E，是过点E的直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平面内过点作已知直线的平行线和垂线，可作的条数分别是条和条，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．无法确定 4．如图，直线与交于点，于点，若，则 ． 5．如图，用三角板经过直线外一点画这条直线的垂线，这样的垂线只能画出一条．这里面蕴含的数学道理是 ． 题型二 画垂线 1．在数学课上，同学们在练习过点B作线段所在直线的垂线段时，有部分同学画出了下列四种图形，其中画法正确的是（   ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 2．如图，在同一平面上，如果直线垂直于直线，直线垂直于直线，垂足为点，那么直线与直线重合的理由是（   ） A．垂线段相等 B．两点确定一条直线 C．在同一平面上，已知直线的垂线只有一条 D．在同一平面上，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 3．如图，两个画图过程，直观的刻画了一个几何定理，这个定理指的是（   ） A．两点确定一条直线 B．在连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．同位角相等，两直线平行 4．下面是夕夕的作业纸，通过作图痕迹判断她做对了几个（    ） 题目：过点P画出线段的垂线 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型三 垂线段最短 1．体育课上，老师测量某个同学的跳远成绩的依据是（    ） A．点到直线的距离相等 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 2．如图，某地进行城市规划，在一条新修公路旁有一超市，现要建一个汽车站，且有，，，四个地点可供选择．若要使超市距离汽车站最近，则汽车站应建在________处，其依据是（    ） A．处，经过一点有无数条直线 B．处，垂线段最短 C．处，两点之间，线段最短 D．处，两点确定一条直线 3．如图，要把水渠中的水引到点，在渠岸的（   ）处开沟，才能使沟最短 A．点 B．点 C．点 D．点 4．投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是 ． 5．如图运动会上，甲、乙两名同学测得黎明的跳远成绩分别为米，米，米，则黎明的跳远成绩应该为 米． 题型四 点到直线的距离 1．如图，在中，，于点D，于点E，则点B到的距离是（　　） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 2．跳远成绩是起跳线到沙坑中留下最近着地点的垂直距离．如图，这是李明同学在体育课上立定跳远后留下的脚印，则他的成绩是（    ） A． B． C． D． 3．如图，四点在直线上，点在直线外，，若，，，，则点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在三角形中，，，则点C到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 5．如图，点在直线外，，已知，，，则点到直线的距离是 ． 题型一 根据垂线的定义与角平分线的性质求角度 1．如图，直线相交于点O，平分，于点O，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线，相交于点，分别作射线，，使得，平分，，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，直线、相交于点，，垂足为，．则的度数为（  ） A． B． C． D． 4．如图，直线相交于点平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，直线，相交于点O，平分，．若，则的度数为 ． 6．如图，三条直线相交于O，且，，若平分，则 度． 7．如图，直线、相交于点，平分，，，求的度数． 8．如图，已知直线相交于点O，，点O为垂足，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 题型二 垂线的定义中的综合判断 1．下列语句中：①有公共顶点且相等的角是对顶角；②直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；③两点之间直线最短；④经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列说法： 有且只有一条直线垂直于已知直线； 两条直线相交时，如果对顶角的和是，那么这两条直线互相垂直； 过直线外一点作，垂足为，则线段的长度是点到直线的距离； 在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线． 其中正确的说法有（    ） A． B． C． D． 3．如图所示，直线，相交于点，，平分，下列结论： ①的余角是，补角是；②；③； ④．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．如图：已知直线、直线相交于点，，则下列结论：①；②的补角是；③若，则；④若平分，则；⑤若，则．其中正确结论有 ． 5．如图，，，平分，平分，，则下列结论： ； ； ； ．其中正确结论的是______（填写序号）．（    ） A． B． C． D． 题型三 与垂线段最短有关的应用与计算 1．如图，要把河里的水引到A点，村民选择线段，理由是（ ） A．垂线段最短 B．两点之间的所有连线中线段最短 C．经过两点有且只有一条直线 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2．如图，在河旁边有一村庄，现要建一个码头．为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在（   ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 3．有下列说法：①如图①，把弯曲的河道BCA改成直道BA，可以缩短航程；②如图②，把渠水引到水池C中，可以在渠岸AB边上找到一点D，使，沿CD挖水沟，水沟最短；③如图③，甲、乙两辆汽车分别从A，B两地沿道路AC，BC同时出发开往C城，其中．若两车速度相同，则甲车先到C城．其中运用“垂线段最短”这个数学知识的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 4．在，，，，．点是边上的动点，则的长不可能为（   ） A．2.5 B．3.5 C．4 D．4.5 5．如图，，垂足为是线段上一点，连接的长不可能是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 6．如图，，于，，，，则点到的距离是 ，点到的距离是 ，的依据是 ． 7．如图，在中，，于点D，，若点E在边（不与点A，B重合）移动，则线段最短为 题型四 跨学科融合 1．如图是光的反射定律示意图，，，分别是入射光线、反射光线和法线，其中反射角与入射角相等，于点O．若平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．跨物理学科    如图，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置．已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角）（   ） A． B． C． D． 3．图1是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即（如图2）反射光线与入射光线、法线在同一平面上，法线垂直于平面镜，反射光线和入射光线位于法线的两侧，反射角等于入射角．如图3，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜，利用光的反射原理找到了乒乓球的位置，已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（    ） A． B． C． D． 4．如图是光的反射规律示意图，是入射光线，是反射光线，法线，是入射角，是反射角，．若，则的度数为 ． 1．已知和互为邻补角，平分，射线在内部，且，，，则 ． 2．如图，中，，D为BC边上的一点，连接AD，E为线段AD上的一个动点，过点E作，垂足为F．如果，则的最小值为 ． 3．如图，点O在直线上，过O在上方作射线，，直角三角板的直角顶点与点O重合，边与重合，边在直线的下方．如果三角板绕点O按10度/秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 秒时，． 4．如图，于点O，，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，同时，射线从出发，绕点O以每秒的速度顺时针向终边旋转，当、中有一条射线到达终边时，另一条射线也随之停止．在旋转过程中，设，（、均小于），则x与y之间的数量关系为 ． 5．如图1，是直线上的一点，，平分．    (1)若，求的度数； (2)将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置． ①探究和的度数之间的关系，并说明理由； ②在的内部有一条射线，内部有一条射线，且，试确定与的度数之间的关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $