7.1.1 两条直线相交（分层题型专练，4夯基题型+4进阶题型+拓展培优）2025-2026学年人教版数学七年级下册

第七章 相交线与平行线 7.1.1 两直线相交 （分层题型专练） 题型一 对顶角的定义 1．下列图中与是对顶角的是（        ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．成对顶角的两个角不可能是直角 C．三条直线相交于同一点，共可构成6对对顶角 D．若，则与是对顶角 3．如图，直线、、、相交于一点，则图中对顶角一共有 对． 4．下列各图中的直线都相交于一点． 若n条直线相交于一点，则共有 对对顶角． 5．观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）： （1）如图1，图中共有 对对顶角； （2）如图2，图中共有 对对顶角； （3）如图3，图中共有 对对顶角； （4）研究（1）~（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成 对对顶角； （5）若有2025条直线相交于一点，则可形成 对对顶角． 题型二 对顶角相等 1．如图，直线，相交于点O，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，直线，相交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，直线、相交于点，射线平分，若，则的大小为 ． 4．如图，直线，相交于点，将量角器的中心与点重合，发现表示的点在直线上，表示的点在直线上，则 ． 5．如图，，，分别平分和，交于点O， °． 6．如图，直线相交于点，，若，求的度数． 题型三 邻补角的定义与理解 1．如图，下列各组角中，是邻补角的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．下列图形中，与是邻补角的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，是直线上一点，，则图中互余的角、互补的角分别有（   ） A．3对、3对 B．4对、7对 C．4对、4对 D．4对、5对 4．如图，直线、、相交于点O，的对顶角是 ，的邻补角是 ． 5．如图，直线、、相交于点，则图中邻补角共有 对． 6．如图，已知，点P为a与b之间一点，过点P作9条不同的直线均与直线a相交，探究图中相交线形成的所有角中，互为邻补角的对数是（　　） A． B．180 C． D． 题型四 利用邻补角求角的度数 1．镇安城区主要道路“迎宾路”与“永安路”相交，形成的四个角中其中一个角的度数是48度，则它的邻补角的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，直线a，b相交于点O，，则（   ） A． B． C． D． 3．如图：三条直线交于一点，，则（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知直线相交于点平分．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．如图，，，的延长线交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，是直线上的一点，，则 度． 7．如图，点B，O，D在同一直线上，点A，C分别在直线两侧，若，，则 ． 题型一 角平分线在邻补角中的应用 1．如图，直线、相交于点O，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．下列说法中，正确的是（    ） A．两点之间线段叫做这两点之间的距离 B．如果，那么余角的度数为 C．如果一个角的余角和补角都存在，那么这个角的余角比这个角的补角小 D．相等的角是对顶角 3．如图，已知直线、相交于点O，平分，平分，，则 ． 4．如图，点是直线上一点，射线、分别是的平分线． (1)若，求的度数； (2)求的度数． 5．如图，点在直线上，平分，，，则 ． 题型二 跨学科融合 1．光线从空气射入玻璃时，光的传播方向发生了改变，一部分光线通过玻璃表面反射形成反射光线，一部分光线穿过玻璃发生了折射，如图所示，由科学实验知道，，，下列结论正确的是（    ）    A．与是对顶角 B．与是对顶角 C． D． 2．当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是折射现象（如图所示），若，，则光的传播方向改变了（   ） A． B． C． D． 3．汉代初期的《淮南万毕术》记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．图1是古人利用光的反射定律改变光路的方法．如图2，入射光线、法线、反射光线在同一平面上，法线垂直于平面镜，反射角等于入射角，即．如图3，李想的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜，利用光的反射原理找到了乒乓球的位置，已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（　　） A． B． C． D． 4．光线从空气斜射向水中时会发生折射现象，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点射向水面上的点，折射后照到水槽底部的点．测得，，若、、三点在同一条直线上，则的度数为（ ） A． B． C． D． 题型三 根据对顶角、邻补角进行综合判断 1．如图，A、O、B三点在同一直线上，且平分，平分，下列结论：①与互余；②与互补；③④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，O为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，下列结论：①与互为余角；②；③与互为补角；④；其中正确的是（   ） A．①②③④ B．③④ C．②③ D．②③④ 3．如图，直角三角板的直角边与直线重合，过点作射线，使，现将直角三角板绕顶点按每秒的速度逆时针旋转一周，在旋转过程中，下列结论：①；②；③当旋转时间为2秒时，平分；④当边与射线相交，直角边与直线不重合时，，其中正确的是 ． 4．如图，是直线上一点，，在直线上方，在直线下方，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，，若平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 5．已知，顶点O在直线上，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)将绕点O逆时针旋转至射线在直线的两侧，且，其他条件不变，即，平分． ①在图2中补全图形； ②若，求的度数． 题型四 根据对顶角、邻补角综合求角度 1．如图，过直线上一点作直线，已知，（   ）                         A． B． C． D． 2．如图，直线、相交于点O，平分，平分，，则的度数为 3．如图，直线，相交于点O，平分． （1）若，则 （用含的式子表示）； （2）若，，则 ． 4．已知直线相交于点，点在内部，作射线． （1）如图①，，则 ； ； （2）如图②，，则 ； （3）如图③，平分，则 ，点到直线的距离为 ． 5．如图，已知直线， 相交于点，． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 6．如图，直线，相交于点，平分． (1)若，，垂足为，求的度数； (2)若平分． ①求证：； ②当时，直接写出的度数． 1．如图，直线AB，CD相交于点O，OE，OF分别在，内部，且OD平分． (1)的补角是____________． (2)若，，则的度数为____________． (3)若，试说明． (4)若OB平分，，则的度数为____________． 2．点在直线AB上． (1)如图1，，求的度数； (2)如图2，，分别为的平分线，猜想的度数并证明； (3)如图3，在（2）的条件下，为同一平面内的射线，将射线绕点O逆时针旋转得到射线，，求的度数． 3．（1）观察图中的各个角，寻找对顶角（不含平角）： ①图①中共有________对对顶角； ②图②中共有________对对顶角； ③图③中共有________对对顶角； ④探究①～③各题中直线条数与对顶角对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成________________对对顶角． （2）若n条直线两两相交于不同的点时，可形成________________对对顶角． （3）请你将上述两种情形归纳一下． 4．已知O是直线上的一点，，平分． (1)如图1，邻补角有______对，互补的角有______对． (2)如图1，设，求的度数（结果用含的代数式表示）； (3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转到图2的位置． ①设，则______． ②在的内部有一条射线，满足：，试确定与的度数之间的关系，并说明理由． 5．如图1，在平面内，已知点O在直线上，射线均在直线的上方，（），平分与互余． (1)若，则 ； (2)当在内部时， ①若，请在图2中补全图形，求的度数； ②判断射线是否平分，并说明理由； (3)若，请直接写出α的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 相交线与平行线 7.1.1 两直线相交 （分层题型专练） 题型一 对顶角的定义 1．下列图中与是对顶角的是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、B、C中，与的两边都不互为反向延长线，所以不是对顶角，是对顶角的只有D． 故选：D． 2．下列说法正确的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．成对顶角的两个角不可能是直角 C．三条直线相交于同一点，共可构成6对对顶角 D．若，则与是对顶角 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的定义，掌握其定义是解题的关键； 直接根据对顶角的定义解答即可． 【详解】A，对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故该选项错误，不符合题意； B，对顶角可以是直角，故该选项错误，不符合题意； C，三条直线相交于同一点，每两条直线构成2对对顶角，共构成对对顶角； D，相等的角不一定是对顶角，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 3．如图，直线、、、相交于一点，则图中对顶角一共有 对． 【答案】12 【分析】本题考查了对顶角的定义，注意对顶角是两条直线相交而成的四个角中，没有公共边的两个角．根据对顶角的定义找出规律，再判断对顶角的对数． 【详解】解：两条直线相交于一点，形成对对顶角， 三条直线相交于一点，有对不同的对顶角， 四条直线相交于一点，有对不同的对顶角， 故答案为：12． 4．下列各图中的直线都相交于一点． 若n条直线相交于一点，则共有 对对顶角． 【答案】 【详解】解：①两条直线相交共对对顶角； ②三条直线相交，在2对的基础上再加4对，共对； ③四条直线相交，在6对的基础上再加6对，共对； ④五条直线相交，在12对的基础上再加8对，共对； ……， 以此类推，当n条直线相交时，对顶角的总对数为：； 故答案为：． 5．观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）： （1）如图1，图中共有 对对顶角； （2）如图2，图中共有 对对顶角； （3）如图3，图中共有 对对顶角； （4）研究（1）~（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成 对对顶角； （5）若有2025条直线相交于一点，则可形成 对对顶角． 【答案】 2 6 12 4098600 【分析】本题考查了探究多条直线相交于一点，所形成的对顶角的个数的计算规律．认真观察图形，发现其中蕴含的规律是解题的关键． 根据对顶角的定义，认真分析所给的图形可得． （1）两条直线相交于一点，形成2对对顶角； （2）三条直线相交于一点，形成6对对顶角； （3）4条直线相交于一点，形成12对对顶角； （4）由，，，据此规律，即可得出n条直线相交于一点，可形成对顶角的对数； （5）根据（4）发现的规律将代入，即可得2025条直线相交于一点可形成的对顶角的对数． 【详解】解：（1）如图1，图中共有与，与，共2对对顶角； 故答案为：2； （2）如图2，图中共有与，与，与，与，与，与，共6对对顶角； 故答案为：6； （3）如图3，图中共有与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，共12对对顶角； 故答案为：12； （4）研究（1）~（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系， 2条直线相交于一点，形成对对顶角； 3条直线相交于一点，形成对对顶角； 4条直线相交于一点，形成对对顶角； ……； n条直线相交于一点，形成对对顶角； ∴若有n条直线相交于一点，则可形成对对顶角； 故答案为：； （5）若有2025条直线相交于一点，则由（4）知，可形成对对顶角． 故答案为：4098600． 题型二 对顶角相等 1．如图，直线，相交于点O，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角相等，几何图形中角度的计算，解题的关键是掌握对顶角相等． 根据对顶角相等可得，再根据角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 2．如图，直线，相交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的性质，根据对顶角相等，即可求解． 【详解】解：∵， ∴    ， 故选：B． 3．如图，直线、相交于点，射线平分，若，则的大小为 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查了角平分线、对顶角的定义，根据对顶角的定义可得，结合平分，即可求解． 【详解】解：直线、相交于点，， ， 平分， ， 故答案为：． 4．如图，直线，相交于点，将量角器的中心与点重合，发现表示的点在直线上，表示的点在直线上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，对顶角相等，熟练掌握对顶角相等这条性质是解题的关键． 先计算的度数，后利用对顶角相等确定即可． 【详解】解：如图， 根据题意，得， ∵， ∴， 故答案为：． 5．如图，，，分别平分和，交于点O， °． 【答案】 【分析】此题考查了角平分线和对顶角的性质，根据角平分线定义得到，，则，再利用对顶角相等即可得到答案． 【详解】解：∵分别平分和， ∴， ∴， ∵交于点O， ∴ 故答案为： 6．如图，直线相交于点，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角的性质，角的和差倍运算，属于基础题；由对顶角相等得，进而求得，再由即可求解． 【详解】解： 因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以． 题型三 邻补角的定义与理解 1．如图，下列各组角中，是邻补角的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】此题考查了邻补角，熟知邻补角的定义是解题的关键；根据邻补角的定义：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，求解判断即可． 【详解】解：A．和是邻补角，故此选项符合题意； B．和是同旁内角，不是邻补角，故此选项不符合题意； C．和是对顶角，不是邻补角，故此选项不符合题意； D．和是同位角，不是邻补角，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．下列图形中，与是邻补角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查邻补角的判定，掌握邻补角需同时具备公共顶点、公共边、另一边互为反向延长线是解题的关键． 先明确邻补角的条件：两个角需有公共顶点、一条公共边，且另一边互为反向延长线，再逐个分析选项，判断是否满足这些条件． 【详解】解：邻补角需同时满足：有公共顶点、一条公共边、另一边互为反向延长线． A：∠1与∠2无公共顶点，不符合题意； B：∠1与∠2无公共顶点，不符合题意； C：∠1与∠2的和不等于180°，不符合题意； D：∠1与∠2有公共顶点、公共边，且另一边互为反向延长线，符合邻补角定义，符合题意． 故选：D． 3．如图，是直线上一点，，则图中互余的角、互补的角分别有（   ） A．3对、3对 B．4对、7对 C．4对、4对 D．4对、5对 【答案】B 【分析】本题考查了余角和补角的判断，掌握根据角的和为找互余的角，和为找互补的角是解题的关键； 先根据已知的直角条件，找出互余的角，即和为的角对；再找出互补的角，即和为的角对，然后统计对数． 【详解】解：已知， ∴，，，， ∴，， 由此可知： 互余的角有：与，与，与，与，共对； 互补的角有：与，与，与，与，与，与，与，共对 故选：B． 4．如图，直线、、相交于点O，的对顶角是 ，的邻补角是 ． 【答案】 / 或 【详解】解：由图可知：的对顶角是， ∵， ∴的邻补角是或； 故答案为：，或． 5．如图，直线、、相交于点，则图中邻补角共有 对． 【答案】12 【分析】本题主要考查了邻补角的定义； 根据邻补角定义判断即可，注意：两直线相交，邻补角有四对． 【详解】解：∵直线、、相交于点， ∴与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角；与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角； ∴共12对邻补角， 故答案为：12． 6．如图，已知，点P为a与b之间一点，过点P作9条不同的直线均与直线a相交，探究图中相交线形成的所有角中，互为邻补角的对数是（　　） A． B．180 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线，相交线和邻补角，根据两条直线相交有对邻补角，即可解决问题． 【详解】解：∵两条直线相交有对邻补角， ∴过点作9条直线，从条直线中选条的组合数为，则邻补角对数为； 9条不同的直线分别与直线、、相交，确定邻补角对数是， ∴总共对， 故选：D． 题型四 利用邻补角求角的度数 1．镇安城区主要道路“迎宾路”与“永安路”相交，形成的四个角中其中一个角的度数是48度，则它的邻补角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用邻补角互补求角度．根据互为邻补角的两个角的和为．已知一个角为，则其邻补角，即可作答． 【详解】解：依题意，邻补角， 故选：C． 2．如图，直线a，b相交于点O，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 3．如图：三条直线交于一点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平角定理和对顶角的性质，熟知对顶角相等是解题的关键． 如图，，得到，再根据求解即可． 【详解】如图， 则，即， 解得， （对顶角相等）． 故选：C． 4．如图，已知直线相交于点平分．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角相等的性质，邻补角的定义，角平分线的定义等知识，熟记概念与性质是解题的关键． 根据邻补角的定义列式计算即可得到，再根据对顶角相等可得，然后根据角平分线的定义求解． 【详解】解：∵, ∴ ∴ ∵平分， ∴ 故选：C ． 5．如图，，，的延长线交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角度的计算和邻补角的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据角度的计算和邻补角的知识，进行作答，即可求解 【详解】解：由题意可得：， ∵， ∴， ∴， 故选：B 6．如图，是直线上的一点，，则 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了邻补角的定义，关键是根据图形得出．根据邻补角的定义得出，代入求出即可． 【详解】解：， ， 故答案为：127． 7．如图，点B，O，D在同一直线上，点A，C分别在直线两侧，若，，则 ． 【答案】/度 【详解】解：点，，在同一直线上，， ， 又， ， 故答案为：． 题型一 角平分线在邻补角中的应用 1．如图，直线、相交于点O，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查对顶角的性质和角平分线的定义，牢记对顶角的性质和角平分线的定义是解题的关键． 根据对顶角的性质可证得，根据角平分线的定义可求得的度数，再根据即可求得． 【详解】直线、相交于点，， ． 平分， ． ． 故选：B. 2．下列说法中，正确的是（    ） A．两点之间线段叫做这两点之间的距离 B．如果，那么余角的度数为 C．如果一个角的余角和补角都存在，那么这个角的余角比这个角的补角小 D．相等的角是对顶角 【答案】C 【分析】本题考查距离定义、角度计算及余角补角性质，需注意单位换算和定义细节；A选项错误，因为两点之间的距离是线段的长度，而非线段本身；B选项错误，的余角应为，换算后约为，而非；C选项正确，余角总比补角小；D选项错误，相等的角不一定是对顶角，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：A、两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离，故该选项不符合题意； B、如果，的余角，故该选项不符合题意； C、设角为，余角，补角，则余角-补角，得余角总比补角小，故该选项符合题意； D、对顶角需有公共顶点且两边互为反向延长线，相等的角不一定满足此条件，故该选项不符合题意； 故选：C． 3．如图，已知直线、相交于点O，平分，平分，，则 ． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义得到，，根据邻补角的概念求出、，根据对顶角相等求出，计算即可． 本题考查的是对顶角、邻补角、角平分线的定义，熟记对顶角相等是解题的关键． 【详解】解：平分， ， ∵， ， ，， ， 平分， ， ， ， 故答案为：． 4．如图，点是直线上一点，射线、分别是的平分线． (1)若，求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了几何图形中的角度计算、角的平分线的定义等知识点，掌握各角之间的关系是解答本题的关键． （1）根据补角的定义即可解答； （2）先根据角平分线的定义表示出、，再根据补角的定义整理即可解答． 【详解】（1）解：∵， 又∵， ∴． （2）∵射线、分别是、的平分线， ∴，， ∴． ∵， ∴． 5．如图，点在直线上，平分，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线、邻补角，熟练掌握角平分线的运算是解题关键． 先根据角平分线的定义可得，根据邻补角的定义求出的度数，再根据即可得． 【详解】解：∵平分，且， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 故答案为： 题型二 跨学科融合 1．光线从空气射入玻璃时，光的传播方向发生了改变，一部分光线通过玻璃表面反射形成反射光线，一部分光线穿过玻璃发生了折射，如图所示，由科学实验知道，，，下列结论正确的是（    ）    A．与是对顶角 B．与是对顶角 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了对顶角的定义、余角的定义等知识点，掌握对顶角和余角的定义成为解题的关键．根据对顶角的性质可判定A、B选项，再根据余角的定义可判定C、D选项． 【详解】解：由对顶角的定义可知∠1和∠2不是对顶角，∠3和∠4也不是对顶角，即A、B选项不符合题意； ∵，， ∴，即C选项符合题意； ∵， ∴，即D选项不符合题意． 故选C． 2．当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是折射现象（如图所示），若，，则光的传播方向改变了（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，熟知对顶角相等是解题的关键． 【详解】解：设所改变的角为x， 则所得的角与互为对顶角，即， ∴ ∴， ∴光的传播方向改变了17， 故选：C． 3．汉代初期的《淮南万毕术》记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．图1是古人利用光的反射定律改变光路的方法．如图2，入射光线、法线、反射光线在同一平面上，法线垂直于平面镜，反射角等于入射角，即．如图3，李想的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜，利用光的反射原理找到了乒乓球的位置，已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4．光线从空气斜射向水中时会发生折射现象，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点射向水面上的点，折射后照到水槽底部的点．测得，，若、、三点在同一条直线上，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意得：， ∵，， ∴， 故选：D． 题型三 根据对顶角、邻补角进行综合判断 1．如图，A、O、B三点在同一直线上，且平分，平分，下列结论：①与互余；②与互补；③④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查角平分线的定义及邻补角，熟练掌握角平分线的定义及邻补角是解题的关键；由题意易得，，然后根据角的和差关系及邻补角可进行求解． 【详解】解：∵， ∴，③正确； ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴与互余，①正确； ∵， ∴， ∴与互补，②正确； ∵， ∴；④正确； 综上所述：正确的有①②③④，共4个； 故选D． 2．如图，O为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，下列结论：①与互为余角；②；③与互为补角；④；其中正确的是（   ） A．①②③④ B．③④ C．②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了余角和补角的定义及性质，角平分线定义，角的和差计算，根据余角和补角的定义以及角平分线的定义计算出各选项的结果判断即可． 【详解】解：∵平分，平分， 平分， 设，，， 如图： ∵为直角，即， ∴， ∵O为直线上一点， ∴， ∴， ，， ∵ ∴，故①错误； ∵，， ∴， 即，故②正确； ∵，， ∴， 即与互为补角，故③正确； ∵，，， ∴， 即，故④正确； 正确的有②③④； 故选：D． 3．如图，直角三角板的直角边与直线重合，过点作射线，使，现将直角三角板绕顶点按每秒的速度逆时针旋转一周，在旋转过程中，下列结论：①；②；③当旋转时间为2秒时，平分；④当边与射线相交，直角边与直线不重合时，，其中正确的是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查角的和差，角平分线，邻补角，掌握知识点是解题的关键． 根据角的和差，角平分线，平角，逐项分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； 不一定成立，反例：当旋转10秒时，，则，故②错误； 当旋转时间为2秒时，，则平分，故③正确； 如图，设旋转时间为t秒，当边与射线相交，则，有， ∴， ∴．故④正确． 综上所述，正确的有①③④． 故答案为：①③④． 4．如图，是直线上一点，，在直线上方，在直线下方，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，，若平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，进而得到，据此解答即可； （2）设，根据角平分线的性质得到及，进而得到，从而得到． 【详解】（1）解：是直线上一点，， ， 平分， ， ， ； （2）解：猜想：，理由如下： 设， 平分， ， ， 平分， ， ， ， ． 5．已知，顶点O在直线上，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)将绕点O逆时针旋转至射线在直线的两侧，且，其他条件不变，即，平分． ①在图2中补全图形； ②若，求的度数． 【答案】(1) (2)①见解析，② 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，找准角度之间的和差关系是解题的关键． （1）根据角的和差关系求出的度数，由角平分线定义求出的度数，再根据邻补角的定义求出的度数即可； （2）①根据题意补全图形即可； ②根据邻补角的定义求出，根据角平分线的定义求出，结合角的和差关系即可求解． 【详解】（1）解：因为，， 所以， 因为平分， 所以， 所以； （2）解：①补全图形，如图； ②因为， 所以， 因为平分， 所以， 所以． 题型四 根据对顶角、邻补角综合求角度 1．如图，过直线上一点作直线，已知，（   ）                         A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了邻补角的定义，对顶角相等，根据邻补角的定义求得，根据对顶角相等得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 故选：C． 2．如图，直线、相交于点O，平分，平分，，则的度数为 【答案】110 【详解】∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：110． 3．如图，直线，相交于点O，平分． （1）若，则 （用含的式子表示）； （2）若，，则 ． 【答案】 或 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：如图1： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图2： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上，或． 故答案为：或． 4．已知直线相交于点，点在内部，作射线． （1）如图①，，则 ； ； （2）如图②，，则 ； （3）如图③，平分，则 ，点到直线的距离为 ． 【答案】 100 50 60 30 2 【分析】本题考查了角度的和差计算，角平分线，对顶角相等，图形结合分析是解题的关键． （1）根据补角的概念可得，图形结合分析即可求解； （2）根据垂直的性质可得，由此即可求解； （3）根据对顶角相等可得，根据角平分线的性质可得，再根据角平分线的性质定理即可求出点到直线的距离即为线段的长，由此即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴当时，， ∵， ∴， 故答案为：①，②； （2）∵， ∴， ∴， 故答案为：③； （3）∵，平分， ∴， ∵，， ∴点到直线的距离等于的长，即为， 故答案为：④，⑤． 5．如图，已知直线， 相交于点，． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，根据邻补角的定义得，即可得出答案； （2）根据邻补角的定义得，可得，然后由对顶角相等得，最后由可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 6．如图，直线，相交于点，平分． (1)若，，垂足为，求的度数； (2)若平分． ①求证：； ②当时，直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)①见解析；②． 【分析】本题考查了对顶角相等，邻补角互补，角平分线的定义． （1）利用对顶角相等求得，利用角平分线的定义求得，再利用余角的性质求解即可； （2）①设，则，再利用邻补角的性质求得，再利用角平分线的定义证明即可；②设，求得，利用平角的性质得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）①证明：设， ∵平分， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； ②解：设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 解得， ∴． 1．如图，直线AB，CD相交于点O，OE，OF分别在，内部，且OD平分． (1)的补角是____________． (2)若，，则的度数为____________． (3)若，试说明． (4)若OB平分，，则的度数为____________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】（1）根据补角的定义解答即可； （2）根据角平分线的定义得出 （3）根据对顶角的性质以及角平分线的定义解答即可； （4）根据，可得，根据角平分线的定义可得，由平角为可求出的度数，最后根据角平分线的定义与角度的和差关系即可求出的度数． 【详解】（1）解：图中的补角是， 故答案为：； （2）解：∵OD平分，， ∴， ∴． 故答案为：； （3）解：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，即． （4）解：∵， ∴， 即． ∵平分， ∴， ∴， 解得， ∴． 又∵平分， ∴， ∴． 2．点在直线AB上． (1)如图1，，求的度数； (2)如图2，，分别为的平分线，猜想的度数并证明； (3)如图3，在（2）的条件下，为同一平面内的射线，将射线绕点O逆时针旋转得到射线，，求的度数． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，角平分线的定义，角的和差关系，合理分类讨论是解题的关键． （1）根据角的和差关系求解即可； （2）根据角的平分线的定义，以及角的和差关系即可求解； （3）分以下几种情况讨论：当在内部，在内部时；当在内部，在内部时；当在内部，在内部时；当在内部，在下方时；当在下方，在下方时；当在下方，在内部时，然后根据角的和差关系并结合，构造方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， （2）解：， 理由：∵，分别为的平分线 ∴，， ∵， ∴， 即； （3）解：∵ ∴设，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 当在内部，在内部时，如图， ∵， ∴， 解得（不符合题意，舍去）； 当在内部，在内部时，如图， ∵， ∴， 解得， ∴； 当在内部，在内部时，如图， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴在内部，故不符合题意，舍去； 当在内部，在内部时，如图， ∵， ∴， 解得（不符合题意，舍去）； 当在内部，在下方时，如图， 或 此时，不符合题意舍去； 当在下方，在下方时，如图， ∵， ∴， 解得， ∴； 当在下方，在内部时，如图， ∵， ∴， 解得（不符合题意舍去）， 综上，的度数为或． 3．（1）观察图中的各个角，寻找对顶角（不含平角）： ①图①中共有________对对顶角； ②图②中共有________对对顶角； ③图③中共有________对对顶角； ④探究①～③各题中直线条数与对顶角对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成________________对对顶角． （2）若n条直线两两相交于不同的点时，可形成________________对对顶角． （3）请你将上述两种情形归纳一下． 【答案】（1）①2  ②6  ③12  ④（2）（3）归纳结论：n条直线相交于一点或两两相交于不同的点时，共形成对对顶角． 【分析】（1）根据对顶角定义，认真观察图①②③，求出答案即可，根据①②③对顶角的个数进行探究即可； （2）依据规律可以推测出若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角； （3）根据（1）（2）得到的结论，进行归纳即可． 【详解】解：（1）①图①中对顶角是与，与，共有对对顶角． ②图②中对顶角是与，与，与，与，与，与，共有对对顶角． ③图③中有条直线相交于点，共有对对顶角． ④根据以上总结，2条直线相交于一点，对顶角有（对）； 条直线相交于一点，对顶角有（对）； 条直线相交于一点，对顶角有（对）． 以此类推，条直线相交于一点，可形成的对顶角对数为 ． 故答案为：①；②；③；④． （2）若条直线两两相交于不同的点，则有（个）交点，有对对顶角； 条直线两两相交于不同的点，有（个）交点，有对对顶角； ……； 条直线两两相交于不同的点，有（个）交点，共有对对顶角． 故答案为：． （3）归纳结论：条直线相交于一点或两两相交于不同的点时，共形成对对顶角． 【点睛】本题考查了对顶角的定义，熟记概念并准确识图，按照一定的顺序计算对顶角的对数是解题的关键． 4．已知O是直线上的一点，，平分． (1)如图1，邻补角有______对，互补的角有______对． (2)如图1，设，求的度数（结果用含的代数式表示）； (3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转到图2的位置． ①设，则______． ②在的内部有一条射线，满足：，试确定与的度数之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)3，4 (2) (3)①；②，理由见解析 【分析】本题考查几何图形中的角度计算，角平分线的定义，邻补角的定义等． （1）根据邻补角和互补的定义求解即可； （2）由互补可得，由角平分线的定义可得，再结合即可求解； （3）① 由，得，进而可得，最后根据互补的定义求解；②设，， 则，再用含m和n的式子表示出，即可求解． 【详解】（1）解：邻补角有：与，与，与，共3对； 互补的角有：与，与，与，与，共4对； 故答案为：3，4； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （3）解：①∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：； ②， 理由：设，， 由①得， ， ∴， ∴， 即． 5．如图1，在平面内，已知点O在直线上，射线均在直线的上方，（），平分与互余． (1)若，则 ； (2)当在内部时， ①若，请在图2中补全图形，求的度数； ②判断射线是否平分，并说明理由； (3)若，请直接写出α的值． 【答案】(1)10； (2)①图见解析，；②平分，理由见解析； (3)或 【分析】（1）根据，，得，根据，得； （2）①根据与互余，得，根据平分，得，得∠； ②根据，得，即得平分； （3）当点F在上方时，证明，根据 ， ，得，得；当点F在下方时，根据，得，得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：10． （2）解：① ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②∵， ∴； ∴； ∴平分； （3）解：当点F在上方时， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点F在下方时， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，或． 学科网（北京）股份有限公司 $