第1章 二次根式 单元测试培优卷 2025-2026学年浙教版八年级数学下册

八年级数学下册 第1章 二次根式 单元测试培优卷 浙教版 一、选择题（每题3分，共30分） 1．若式子 有意义，则m 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．下列各式中，不属于二次根式的是 （　　） A． B． C． D． 3．下列二次根式中是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．若x，y都是实数，且 ，则xy的值是（　　） A．0 B． C． D．不能确定 6．已知，，则的值为（　　） A． B． C． D． 7．若存在，则可化简为（　　） A． B． C． D． 8．已知 ， ，则a与b的关系为（　　）. A．a=b B．ab=1 C．a=－b D．ab=－1 9．已知，，则用a，b表示为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分是一个小正方形，其面积为2，则空白部分的面积为（　　） A．6 B．8 C． D． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．要使代数式有意义，则x应满足的条件是　 　． 12．化简二次根式的结果等于　 　． 13．若 则A　 　B(填“>”“<”或“=”). 14．按图所示的程序计算，若开始输入的n值为 ，则最后输出的结果是　 　. 15．若与最简二次根式是同类二次根式，则　 　． 16．定义：对于一组关于x的多项式，，，，当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差为常数p时（不含字母x），称这样的四个多项式是一组黄金多项式，常数p的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子．若多项式，，，是一组黄金多项式，黄金因子为2，则n的值为　 　． 三、解答题（共8题，共72分） 17．计算： （1）； （2）． 18．计算： （1） （2）． 19．淇淇玩一个摸球计算游戏，在一个密闭的容器中放入四个小球，小球分别标有如图所示的数．现从容器中摸取小球，规定：若摸取到白色球，就加上球上的数：若摸到灰色球，就减去球上的数． （1）若淇淇摸取到如下两个小球，请计算出结果． （2）若淇淇摸出全部的四个球，计算结果为x，嘉嘉说x的值与属于同类二次根式，你认为嘉嘉的说法对吗？并说明理由． 20．如图，从帐篷支撑杆AB的顶部A 向地面拉一根绳子AC 固定帐篷.若绳子的长度为5.5米，地面固定点C到帐篷支撑杆底部B 的距离为 a 米，用二次根式表示帐篷支撑杆的高AB.若a=4.5，则帐篷支撑杆的高是多少? 21．阅读下列引例的解答过程： 引例：已知x，y为实数，且 求x+y的值. 解：由题意，得x-2025≥0且2025-x≥0， ∴x≥2025且x≤2025， ∴x=2025，∴y=1， ∴x+y=2026. 结合引例，请挖掘下列问题中所蕴含的条件并解决问题： （1）已知 求（x+y）3的值； （2）已知 求x-y的值； （3）已知 求x-20252的值. 22．先阅读，然后回答问题. 化简： 由于题中没有给出x的取值范围，所以要分类讨论. ， 令x-3 = 0，x+2 =0，分别求出x=3，x = -2(称3，-2分别为，的零点值)，然后在数轴上标出表示3和-2的点，如图所示，数轴被分成三段，即x＜ -2，-2≤x＜3 ，x≥3. 当x＜ -2 时，原式=-(x-3)-(x+2)=-x+3-x-2=-2x+1； 当-2≤x＜3时，原式=-(x-3)+(x+2)=-x+3+x+2=5； 当x≥3时，原式=(x-3)+(x+2)=x-3+x+2=2x-1. （1）分别求出和的零点值； （2）化简：. 23．已知，． （1）求和ab的值； （2）求的值； （3）若a的小数部分是x，b的整数部分是y，求的值． 24．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值. 对于该题，小明是这样解答的： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴. 请你根据小明的解题过程，解决以下问题： （1）　 　；　 　 （2）化简：. （3）若，求的值. 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：∵ 式子 有意义， ∴2m-3≥0， ∴m≥， 故答案为：C. 【分析】根据二次根式有意义的条件为a≥0求解作答. 2．【答案】B 【解析】【解答】解：A选项，被开方数15>0，故是二次根式； B选项，3<π，被开方数3-π<0，故不是二次根式； C选项，a2≥0，被开方数a2+2>0，故是二次根式； D选项，被开方数>0，故是二次根式. 故答案为：B. 【分析】根据二次根式定义作出判断即可（（a≥0））. 3．【答案】B 【解析】【解答】解：A、，故本选项不符合题意； B、是最简二次根式，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故答案为：B 【分析】利用最简二次根式的定义对每个选项一一判断即可。 4．【答案】D 【解析】【解答】解：A．，故该选项错误，不合题意； B．不能合并，故该选项错误，不符合题意； C．，故该选项错误，不符合题意； D．，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 【分析】根据二次根式的加法、减法、除法运算，平方差公式逐项判断即可． 5．【答案】C 【解析】【解答】解：根据二次根式有意义的条件可得： 解得： ∴ 将 代入 中得： 解得： ∴ 故答案为：C． 【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此求出x值，再代入求出y值，从而求出结论. 6．【答案】A 【解析】【解答】解： ， ∵，， ∴原式， 故选：． 【分析】 二次根式的加法运算，先分别分母有理化，再通分化原式为，然后把，代入求值即可． 7．【答案】C 【解析】【解答】解：由题意知，∵存在， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 【分析】由题意得，然后根据的化简，平方差公式约分化简解答即可． 8．【答案】A 【解析】【解答】解：因为b= ，所以a=b， 故答案为：A. 【分析】利用分母有理化，可求出b=+1，然后与a比较即可. 9．【答案】D 【解析】【解答】解：. 故选：D. 【分析】转化为，然后替换为a，b即可解题. 10．【答案】D 【解析】【解答】解：三个小正方形的面积分别为18、12、2， 三个小正方形的边长分别为、、， 由题图知：大正方形的边长为：， ． 故选：D． 【分析】根据正方形的面积得到三个小正方形的边长，即可得到大正方形的边长，然后列式计算空白的面积即可． 11．【答案】 【解析】【解答】解：代数式有意义， 可得：， 解得， 故答案为：． 【分析】根据分式，二次根式有意义的条件即可求出答案. 12．【答案】3 【解析】【解答】解：， 故答案为：3． 【分析】利用二次根式的性质进行求解即可. 13．【答案】> 【解析】【解答】解：∵===， 又， ∴>5-4=1， 即A>B， 故答案为：>. 【分析】先对A进行分母有理化进行化简并估算，再与B对比即可. 14．【答案】8+5 【解析】【解答】解：将 n= 代入n(n+1)，得2+， ∵ 2+ <15， ∴再将n=2+代入n(n+1)，得8+5. ∴≈1.414， ∴8+5≈15.07>15， ∴最后输出的结果是 8+5. 故答案为 8+5. 【分析】根据程序图进行计算，将所得结果与15比较大小：如果大于15，直接输出结果，反之，将结果再次当成n的值进行运算. 15．【答案】 【解析】【解答】解：与最简二次根式是同类二次根式， 解得 故答案为：. 【分析】先化简，根据最简二次根式与同类二次根式的定义得到a+1=3，求出a的值解答即可． 16．【答案】 【解析】【解答】解：若多项式，，，（是实数）是一组黄金多项式，有三种情况， ① ． ∵这是一组黄金多项式， ∴， ∴． 此时：舍去， ② ． ∵这是一组黄金多项式， ∴， ∴． 此时，符合题意； ③ ． ∵这是一组黄金多项式， ∴， ∴． 此时； 综上所述，的值为． 故答案为： 【分析】 按照新定义的概念分三种情况进行讨论，即：①；②；③，再进一步计算并检验即可. 17．【答案】解：（1） = =0； （2） = = =6 【解析】【分析】（1）根据二次根式的加减即可求出答案. （2）根据平方差公式即可求出答案. 18．【答案】解：（1）原式 （2） ． 【解析】【分析】（1）根据二次根式的减法即可求出答案. （2）利用二次根式的混合运算的计算方法及步骤（①有括号先算括号内；②再算二次根式的乘除；③最后计算二次根式的加减法）分析求解即可. 19．【答案】（1）解：依题意，得； （2）解：嘉嘉的说法对，理由如下： 依题意，得， ，与是同类项， 故嘉嘉的说法对． 【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质化简计算即可求出答案. （2）根据二次根式加减混合运算法则计算即可求出答案. 20．【答案】解：由题意，知∠ABC=90°， ∴AB2=AC2-BC2. ∵AB>0， ∴AB==米. 当a=4.5时，AB===(米)， 即当a=4.5时，帐篷支撑杆的高是 米. 【解析】【分析】根据勾股定理表示出AB的长，并计算当a=4.5时AB的长. 21．【答案】（1）解：由题意，得x-4≥0且4-x≥0， ∴x≥4且x≤4， ∴x=4， ∴y=-2， ∴(x+y)3=(4-2)3=8. （2）解：由题意，得-x2≥0， ∴x=0， ∴y=-1， ∴x-y=0-(-1)=1. （3）解：由题意，得x-2026≥0， ∴x≥2026， ∴2025-x<0， ∴|2025-x|+=x-2025+=x， ∴=2025， ∴x-2026=20252， ∴x-20252=2026. 【解析】【分析】⑴根据二次根式的被开方数非负性确定x的值，从而得y的值，再根据题意代入求值即可. ⑵根据二次根式的被开方数非负性确定x的值，从而得y的值，再根据题意代入求值即可. ⑶根据二次根式的被开方数非负性确定x的取值，从而化简含绝对值的方程，再根据题意代入求值即可. 22．【答案】解：(1)，，令x＋1＝0，得x＝-1，令x-2＝0，得x＝2，∴的零点值为-1，的零点值为2.(2)令x＋1＝0，得x＝-1，令x-2＝0，得x＝2.在数轴上标出表示-1和2的点，如图所示，数轴被分成三段，即x＜-1，-1≤x＜2，x≥2.当x＜-1时，原式＝-(x＋1)-(x-2)＝-x-1-x＋2＝-2x＋1；当-1≤x＜2，原式＝(x＋1)-(x-2)＝x＋1-x＋2＝3；当x≥2，原式＝(x＋1)＋(x-2)＝x＋1＋x-2＝2x-1 （1）解：，， 令x＋1＝0，得x＝-1，令x-2＝0，得x＝2， ∴的零点值为-1，的零点值为2. （2）解： 令x＋1＝0，得x＝-1，令x-2＝0，得x＝2. 在数轴上标出表示-1和2的点，如图所示，数轴被分成三段，即x＜-1，-1≤x＜2，x≥2. 当x＜-1时，原式＝-(x＋1)-(x-2)＝-x-1-x＋2＝-2x＋1； 当-1≤x＜2，原式＝(x＋1)-(x-2)＝x＋1-x＋2＝3； 当x≥2，原式＝(x＋1)＋(x-2)＝x＋1＋x-2＝2x-1 【解析】【分析】（1）根据题意令x＋1＝0，得x＝-1，令x-2＝0，得x＝2，再根据零点值定义即可求出答案. （2）根据完全平方公式化简代数式，令x＋1＝0，得x＝-1，令x-2＝0，得x＝2，在数轴上标出表示-1和2的点，如图所示，数轴被分成三段，即x＜-1，-1≤x＜2，x≥2，再分类同类即可求出答案. 23．【答案】（1）解：∵，，∴，； （2）解：由（1）得：，，∴； （3）解：∵a的小数部分是x，∴， ∵b的整数部分是y， ∴， ∴． 【解析】【分析】（1）直接把，代入计算即可； （2）把变形为，再整体代入计算即可； （3）先判断，，再代入计算即可． 24．【答案】（1）；；； （2）解：原式= = （3）解：， ∴， ∴ 的值 为：. 【解析】【解答】 解：（1）； ； 故答案为：；； 【分析】(1)根据小明得解答方法： 对 分子分母分别乘以计算即可解答；对 分子分母分别乘以，计算即可解答； （2）根据（1）的化简规律，先化简然后在进行加减运算即可解答； （3）根据（1）的化简规律化简得到，对 使用配方法得到，再代值计算即可解答. 学科网（北京）股份有限公司 $