精品解析：上海市闸北第八中学2025-2026学年高一上学期期末质量检测数学试题

上海市闸北八中2025学年第一学期期末质量检测 高一数学 2026.1 (满分:150分 考试时间:120分钟) 一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分) 1. 已知集合，，且，则实数的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由集合包含关系得到即可求解； 【详解】由题意可知， 解得：， 故答案为： 2. 已知角，则的终边在第_____象限 【答案】一 【解析】 【分析】把角化成到间角表示即可求出所在象限. 【详解】，即角与角终边相同，而角是第一象限， 所以的终边在第一象限. 故答案为：一 3. 已知某扇形的半径为2，弧长为，则该扇形的圆心角为______. 【答案】## 【解析】 【分析】设出圆心角，利用弧长公式得到方程，求出答案. 【详解】设圆心角为，则，解得. 故答案为： 4. 函数，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】先计算，再计算即可. 【详解】因为， 所以， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了分段函数求函数值，属于基础题. 5. 已知角的终边经过点，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】由终边上的点的坐标结合三角函数的定义即可求解. 【详解】因为角的终边经过点，所以. 故答案为：. 6. 命题“若，则”是真命题，则实数a的取值范围为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据命题的真假得出结论． 【详解】命题“若，则”是真命题，则， 故答案为：． 7. 函数的最小值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三角不等式求解作答. 【详解】因为，当且仅当，即时取等号， 所以当时，函数取得最小值4. 故答案为：4 8. 化简 ________. 【答案】 【解析】 【分析】根据诱导公式化简即可. 【详解】 . 故答案为：. 9. 已知，则 ______． 【答案】1 【解析】 【分析】利用指数式与对数式的互化和换底公式即可求值． 【详解】，则，， ． 故答案为：． 10. 已知函数是定义域为R的偶函数.当时，，若函数有且仅有4个不同的零点，则实数a的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】转化为函数的图象与直线有两个不同的交点，利用图象可得结果. 【详解】因为函数有且仅有4个不同的零点， 所以函数的图象与直线有四个不同的交点， 因为函数是定义域为R的偶函数， 所以函数的图象与直线有两个不同的交点， 作出函数的图象如图： 由图可知，. 故答案为： 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 11. 幂函数y=xa，当a取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线（如图），设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xa，y=xb的图象三等分，即有BM=MN=NA，那么ab=______. 【答案】 【解析】 【分析】求得的坐标，进而求得，从而求得. 【详解】依题意，，所以是线段的三等分点， 而，所以， 所以， . 故答案为： 12. 已知，若实数且，则的最小值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】先证明为奇函数，由可得，利用基本不等式常数代换技巧求解的最小值. 【详解】函数，定义域为R， ，则为奇函数， 若实数且，函数单调递增， 则有，即， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 二、单选题(本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分) 13. 若实数a，b，c满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质，即可逐一求解. 【详解】对于A, 由于，，故，故A错误， 对于B, 由于，,则，故B错误， 对于C，由于，则，故C错误， 对于D，由于，则，，则，故D正确. 故选：D 14. “”是“（）”成立的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】判断和（）之间的逻辑关系，即得答案. 【详解】当时，有， 当时，， 故是（）的必要非充分条件. 故选：B. 15. 函数（，且）单调递增且图象不经过第四象限，则、满足的条件为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性结合函数的图象不经过第四象限，判断a， b的范围. 【详解】因为函数 (且)单调递增， 所以，图象不经过第四象限，则当时，，所以，， 故选：B. 16. 给出以下命题： （1）函数 与函数 是同一个函数； （2）已知指数函数，若关于的方程 有负根，则实数的取值范围是 ； （3）设函数 为奇函数，则； （4）设集合函数的零点为整数，，则的所有元素之和为15. 其中所有正确命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】对于（1）根据同一函数的定义和性质进行判断，对于（2）结合指数函数的取值范围进行求解即可，对于（3）根据函数奇偶性的性质，利用转化法进行求解，对于（4）根据根与系数之间的关系进行判断即可． 【详解】对于（1）函数的定义域为R，函数的定义域为R， 且，故是同一个函数；（1）正确， 对于（2）当时，， 由0＜＜1，即， 由可得或， 由得，即， 取交集可得， 即实数的取值范围，故（2）正确， 对于（3），函数 为奇函数， 则，即， 即当时，． 则， 则，故（3）正确， 对于（4）设集合函数的零点为整数， ∵函数的零点为整数， ∴判别式，解得或， 设的根为，且，（为整数） 由韦达定理可得：， 即， 即 因为为整数，故均为整数， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 故M的所有元素之和为，故（4）错误． 故正确命题的个数为3， 故选：C 三、解答题(本大题共5题，满分78分，17-19题每题14分，第20-21题每题18分) 17. 已知集合 ，集合 （1）求、； （2）求 、. 【答案】（1）或，； （2），或. 【解析】 【分析】（1）求解分式不等式和绝对值不等式即可； （2）根据集合的交，并，补运算法则运算即可. 【小问1详解】 不等式等价于，解得或， 或. 不等式等价于，解得， . 【小问2详解】 由（1）可知或，， 根据交集的定义可得， 又或， 根据并集的定义可得，或. 18. 已知函数． （1）求函数的定义域并判断函数的奇偶性； （2）解不等式． 【答案】（1），偶函数 （2）当时不等式解集为，，当时不等式解集为. 【解析】 【分析】（1）定义域，根据对数函数真数大于$0$的性质，列出不等式组求解；判断奇偶性，通过计算并与比较，依据奇偶性定义得出结论；  （2）对于解不等式，先化简不等式，再根据对数函数单调性（分和两种情况）求解. 【小问1详解】 由题意得解得：， 函数的定义域是，定义域关于原点对称，， 所以函数是偶函数； 【小问2详解】 即， 化简得：， 当时，由题意得：， 解得：， 当时，由题意得：， 解得， 综上所述当时不等式解集为，， 当时不等式解集为. 19. 某企业为了响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经过测算，企业计划安装一种新型的污水净化设备，这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为2.预计安装后该企业需缴纳的总水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为 ，将该企业的净水设备购置费与安装后需缴水费之和合计为（单位：万元）. （1）要使不超过27万元，求设备占地面积的取值范围； （2）当设备占地面积为多少平方米时，的值最小，并求出此最小值. 【答案】（1） （2）当设备占地面积为平方米时，的值最小，最小值为万元. 【解析】 【分析】（1）根据题意，直接写出关于的解析式，令，求得的取值范围； （2）利用基本不等式求得的最小值，及取最小值时的值. 【小问1详解】 由题意得：. 要使不超过27万元，则，所以， 即，解得. 故设备占地面积的取值范围为. 【小问2详解】 由题意，得， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以. 即当设备占地面积为平方米时，的值最小，最小值为万元. 20. 已知函数 （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； （3）若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）为定义域上的奇函数，证明如下： 易知为定义域为，关于原点对称， 又由，故为奇函数； （2）为上的增函数，证明如下： 任取，且， 可得， 分子， 当、同号时，不妨设，，则， 此时， 当、异号时，不妨设，， 则，且， 此时， 又因为，所以， 即，故为上的增函数； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据奇偶性的定义判断即可； （2）根据函数单调性的定义证明即可； （3）通过奇偶性和单调性去掉符号“”，得到不等式恒成立，列出不等式求解. 【小问1详解】 为定义域上的奇函数， 证明略； 【小问2详解】 函数在上单调递增， 证明略； 【小问3详解】 由为奇函数， 由，可得， 又因为为定义域上的增函数，从而有对于任意实数恒成立， 即对于任意实数恒成立， 当时，不等式化为恒成立； 当时，要使对于任意实数恒成立， 则需要满足， 解不等式组得， 综上所述，的取值范围为. 21. 定义：如果函数 在定义域内给定区间上存在实数 ，满足 ，那么称函数 是区间 上的“平均值函数”， 是它的一个均值点. （1）判断函数 是否是区间上的“平均值函数”，并说明理由； （2）若函数 是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围； （3）设函数 是区间 上的“平均值函数”，1是函数 的一个均值点，求所有满足条件的数对. 【答案】（1）函数是区间上的“平均值函数”，理由如下： 由题意，，得，则， 所以函数是区间上的“平均值函数”； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平均值函数的定义，由函数解析式，得到，求出，即可判断出结果； （2）由题意，根据平均值函数的定义，得到存在，使，利用换元法，结合二次函数的性质，即可求出结果； （3）先由题意，得到，推出，结合题中条件，即可得出结果. 【小问1详解】 函数是区间上的“平均值函数”，理由略； 【小问2详解】 因为函数是区间上的“平均值函数”， 所以存在，使， 即存在，使得， 即， 令， 则， 因为，故 因此； 即实数的取值范围； 【小问3详解】 因为函数是区间的“平均值函数”， 是函数的一个均值点， 所以， 即， 所以，又因为，， 所以或， 因为是函数的一个均值点，根据均值点的定义，可得， 所以满足条件的数对只有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市闸北八中2025学年第一学期期末质量检测 高一数学 2026.1 (满分:150分 考试时间:120分钟) 一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分) 1. 已知集合，，且，则实数的值为__________. 2. 已知角，则的终边在第_____象限 3. 已知某扇形的半径为2，弧长为，则该扇形的圆心角为______. 4. 函数，则_______. 5. 已知角的终边经过点，则______． 6. 命题“若，则”是真命题，则实数a的取值范围为______ 7. 函数的最小值为______． 8. 化简 ________. 9. 已知，则 ______． 10. 已知函数是定义域为R的偶函数.当时，，若函数有且仅有4个不同的零点，则实数a的取值范围是___________. 11. 幂函数y=xa，当a取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线（如图），设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xa，y=xb的图象三等分，即有BM=MN=NA，那么ab=______. 12. 已知，若实数且，则的最小值是______． 二、单选题(本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分) 13. 若实数a，b，c满足，，则（ ） A. B. C. D. 14. “”是“（）”成立的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 函数（，且）单调递增且图象不经过第四象限，则、满足的条件为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 16. 给出以下命题： （1）函数 与函数 是同一个函数； （2）已知指数函数，若关于的方程 有负根，则实数的取值范围是 ； （3）设函数 为奇函数，则； （4）设集合函数的零点为整数，，则的所有元素之和为15. 其中所有正确命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三、解答题(本大题共5题，满分78分，17-19题每题14分，第20-21题每题18分) 17. 已知集合 ，集合 （1）求、； （2）求 、. 18. 已知函数． （1）求函数的定义域并判断函数的奇偶性； （2）解不等式． 19. 某企业为了响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经过测算，企业计划安装一种新型的污水净化设备，这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为2.预计安装后该企业需缴纳的总水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为 ，将该企业的净水设备购置费与安装后需缴水费之和合计为（单位：万元）. （1）要使不超过27万元，求设备占地面积的取值范围； （2）当设备占地面积为多少平方米时，的值最小，并求出此最小值. 20. 已知函数 （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； （3）若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围. 21. 定义：如果函数 在定义域内给定区间上存在实数 ，满足 ，那么称函数 是区间 上的“平均值函数”， 是它的一个均值点. （1）判断函数 是否是区间上的“平均值函数”，并说明理由； （2）若函数 是区间上的“平均值函数”，求实数的取值范围； （3）设函数 是区间 上的“平均值函数”，1是函数 的一个均值点，求所有满足条件的数对. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $