2025-2026学年苏科版八年级数学上册项目式学习期末试题汇编

答案 1. 解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长度是米， 在中，米，米， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：旗杆的高度为12米．  2. 解： ， 由得，  所以   3. 证明：平分， ， 在和中， ， ≌， ； 解：是等边三角形，且， ， 在中，， ， ， ， 答：发射中心D向下滑动的距离是  4. 解：； 第二小组的方案可行，理由如下： 是BE中点， ， ，， ， 在和中， ， ≌， ， 河宽AB的长度就是线段EF的长度； 见表格， 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器仪器的高度忽略不计，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观测者从B点向正东走到C点，此时恰好测得： 观测者从B点向正东走到E点，O是BE的中点，继续从点E沿垂直于BE的EF方向走，直到点A，O，F在一条直线上. 观测者从B点向正西走到C点，使用测量角度的仪器测得，CD交AB延长线于 测量示意图 只要测出BD的长，就能推算出河宽AB长，理由如下： ， ， 在和中， ， ≌， ， 河宽AB的长等于线段BD的长．  5. 解：任务一：； 任务二：在直角中，，周长为8cm， 故可设，则， 由勾股定理得，， 解得， ， ； 任务三：； 项目总结：钝角； 理由如下：设的周长一定，AB边的长固定不变，，则a为定值， 边固定，即的值一定，要使形成的总面积最大，的值最大即可， 设，，则， 如图： ， ①， 由①可以看出，m的值越大，的值越大，即的值越大， 当是钝角三角形时，形成的总面积最大.  6. 见解析；   当CD为直角三角形ABC斜边上的高时，或CD为直角三角形ABC斜边上的中线时，CD为的“完美线”；   或  7. 【小题1】 解：描点画出图象如下： 观察图象可知，当时，， ，这组数据是错误的． 【小题2】 设，由表格得： ， 解得：， ， 当时，， 所以秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为14cm时，秤钩所挂物重是斤．   8. 【小题1】 电动汽车的平均速度为 【小题2】 小聪到达塔林的时间是 【小题3】 80   9. 解：任务一：由表格可知，每隔小时，电池电量的增加量为； 任务二：由表格可知两个函数均为一次函数，设，， 对于，当时，，当时，， ，解得：， ； 对于，当时，，当时，， ，解得：， ； 任务三：， 当时，； 到达目的地，还需要千米， 还需消耗电量， 至少需充电， 当时，， ， 即：要保证司机在最短的时间快速到达目的地，则至少要在服务区充电小时．  10. 【小题1】 解：设关于x的函数表达式为 由图象可知直线经过， ， 解得 关于x的函数表达式为 【小题2】 当时，设关于x的正比例函数表达式为 将代入，得 当甲、乙印刷厂费用相等时，则 解得 即：印制750份时，甲、乙两厂的印刷费用相同． 【小题3】 当时，甲、乙图象均经过点， 当时，两厂的费用都是3300元． 由目标2可知印制750份时，两厂费用相同． 结合图象可得： 当或时，选择乙厂更优惠． 当时，选择甲厂更优惠． 当或时，选择甲、乙厂都可以．   11. 设，代入，得， 解得：，所以：， 方案一：把代入，解得：； 把代入，解得：，所以物品中重 方案二：，把代入，解得：； 把代入，解得：，所以物品中重 方案三：由题：，把代入，解得：； 把代入，解得：，所以物品中重 令方案一大米25kg，方案二大米25kg，方案三大米 时，，代入，解得：，所以方案一读数； 时，，所以方案三读数6V； ，，，，，， 所以，当第三档读数大于4时，商家缺斤少两．  12. 解：任务1：设OA段h关于s的函数解析式为， ， ， 当时，， 段h关于s的函数解析式为； 2号机从O点到达A点飞行的路程为，所用时间为， 号机的爬升速度为 任务2：B点的横坐标为， 点的坐标为 设BC段h关于s的函数解析式为、b为常数，且 将坐标和分别代入， 得，解得， 段h关于s的函数解析式为 当时，，解得， 预计2号机着陆点的坐标为 任务3：当2号机在OA段，且时，，解得； 当2号机在BC段，且时，，解得， 根据图象可知，当时，两机距离PQ不超过3km， 两机距离PQ不超过3km的时长是  13. 选择A套餐的有13人，选择B套餐的有7人 当订购A套餐15份，B套餐16份时，订餐总费用最低，为740元   14. 【小题1】 解：由题意，得甲商店为  乙商店：当时，；  当时，设y与x之间的函数关系式为，将，代入，得 解得乙商店为 【小题2】 解：由题意可知，当时，选择甲商店更合算；由，得当时，选择甲商店更合算；  由，得当时，选择两个商店的付款金额相同；  由，得当时，选择乙商店更合算．  综上所述，当时，选择甲商店更合算；当时，选择两个商店一样；当时，选择乙商店更合算．   15. 解：任务一：设直线MN函数解析式为 由题意可得：， 直线MN函数解析式为 任务二：由题意可得：乙葡萄的进货量为x，甲葡萄的进货量为 乙葡萄的利润 甲葡萄的利润 ， 时，利润最大 即乙葡萄的进货量为10000斤，甲葡萄的进货量为10000斤． 任务三：当利润最大时，甲、乙葡萄的进货量都为10000斤 总成本元 让利给购买者后的利润元 总销售额为：元 销售价元/斤 即销售价应定为：元/斤直接分数也对   16. 解：任务一：当且x为整数，设此时函数解析式为， 把代入可得：， 解得：， 此时解析式为， 当且为整数时，设此时函数解析式为， 把，代入可得： ， 解得：， 此时函数解析式为：； 任务二：某顾客有资金30元，想购买任意种类包子6个，豆浆2碗． 选套餐A：2菜包肉包豆浆，2份，付12元，满足题意， 选套餐A：2菜包肉包豆浆，1份，付6元， 再购买3个肉包，1份豆浆，付元，满足题意， 选套餐B：1菜包肉包豆浆，1份，再买4个肉包，付元，符合题意， 他最多能买肉包的5个数、此时菜包1个数，豆浆2碗． 任务三：计划购买肉包不少于20个，菜包不多于20个，在买包子的钱最少的前提下， 肉包买20个，菜包买0个， 设购买豆浆x碗， 选择方案一：， 解得：， 的最大值为：28， 选择方案二：购买20个肉包，赠送了8个菜包， ， 解得：， 的最大值为：23， 选择方案三：选择A套餐10份，则肉包有20个， ， 解得：， 此时购买豆浆的最大数量为碗， 选择B套餐10份，则肉包有20个， ， 解得：， 此时购买豆浆的最大数量为碗， 同理可得：选择A，B套餐共10份，购买豆浆的数量不会超过27碗， 综上：在买包子的钱最少的前提下，顾客所能买的最多28豆浆碗，此时按方案一购买20个肉包，0个菜包，28碗豆浆即可．  17. 【小题1】 【小题2】 【小题3】 【小题4】 或或或   第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏科版2025-2026学年八年级上项目式学习期末试题汇编 姓名 __________ 班级_________ 学号_______ 一、解答题 1.某数学兴趣小组开展测量学校旗杆的实践活动. 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知. 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米； 第二步：如图，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆AB的底部点之间的距离为5米. 【问题解决】求旗杆的高度. 2.某学习小组参照教材上的材料进行勾股定理的项目式探究，并制表如下： 利用剪拼法证明勾股定理 背景 意大利著名画家达芬奇证明勾股定理的剪拼法． 步骤 ①在纸片上绘制两个边长分别为a，b的正方形 ②将左右两部分剪开 ③将右侧部分翻折，并平移 ④左右两部分拼接在一起 说明：①中大小正方形公共顶点的邻边分别在一条直线上；步骤①中多边形的面积为，步骤④中多边形的面积为 问题解决 任务 请用含a，b，c的代数式分别表示， 请利用等积法证明勾股定理． 3.某综合实践小组设计了一个简易发射器，其示意图如图1所示，发射杆AP始终平分同一平面内两条固定轴所成的，且，，发射中心D能沿着发射杆滑动，DE、DF为橡皮筋. 证明：； 当由图2中的等边变成直角的过程中，发射中心D向下滑动的距离是多少？ 4.如图，为了测量一条两岸平行的河流宽度，由于跨河测量困难，所以，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点B处，测得河北岸的一棵树底部A点恰好在点B的正北方向，测量方案如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器仪器的高度忽略不计，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观测者从B点向正东走到C点，此时恰好测得： 观测者从B点向正东走到E点，O是BE的中点，继续从点E沿垂直于BE的EF方向走，直到点A，O，F在一条直线上. 测量示意图 第一小组认为，河宽AB的长度就是线段______的长度. 第二小组方案灵感来源于古希腊哲学家泰勒斯，他们认为只要测得EF的长就是所求河宽AB的长，你认为第二小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由. 请你代表第三小组，设计一个测量方案，把测量方案和测量示意图填入上表，然后指明你画的示意图中，只要测出哪条线段的长，就能推算出河宽AB长，并说明方案的可行性. 5. 项目 背景 我校八年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，结合本阶段学习内容知识点，他们对“勾股树”产生了浓厚的兴趣．   素材一 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”．是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形．因为重复数次后的形状好似一棵树，被称为毕达哥拉斯树．   素材二 经过小组讨论，制定了如下规则：画出不同类型三角形形成的树形图；所画的基础三角形周长为8cm，其中一条边长固定为根据规则，三位同学分别画出了不同类型的树形图并进行探究．     素材三                    类型①                       类型②                       类型③ 解决问题   任务一 小明画出了锐角，，，则          . 任务二 小金画出了直角，，，计算的值，并写出过程． 任务三 小山画出了钝角，，，则          . 项目总结 综合以上三位同学的图形以及计算结果，小组成员大胆猜想结论：周长一定的情况下，由______三角形形成的总面积最大．填锐角、直角或钝角这个猜想，聪明的同学你会证明吗． 6.根据项目素材，探索解决问题. 项目主题 如何剪出直角三角形的完美线？ 项目背景 新课标版要求学校教育要坚持“立德树人”，实施“跨学科学习、项目式学习”在学习完三角形的证明后，某校组织了该次项目式学习. 项目素材 在直角三角形中，过直角顶点剪一刀，剪痕将直角分成两个锐角，若这两个锐角分别等于此直角三角形中的另外两个内角，则称这条剪痕为直角三角形的“完美线”.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 问题解决 项目一 如图，有一张直角三角形纸片，，，图1中的CE是完美线，请在图2中画出与图1不相同的“完美线”剪法，并标出两个锐角的度数. 项目二 如图，在直角三角形纸片中，，过点C剪一刀，剪痕与AB交于点你发现CD满足什么条件时，CD是直角三角形的“完美线”，请说明理由. 项目三 在中，，，，的“完美线”与AB交于点D，将沿“完美线”翻折得到，求的长度. 7.秤是我们传统的计重工具．如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为时，秤钩所挂物重为斤，则y是x的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据． 1 2 4 7 11 12 斤 在上表x，y的数据中，发现有一对数据记录错误．在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的? 根据的发现，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为14cm时，秤钩所挂物重是多少? 8.根据素材，探索完成任务． 项目主题：如何设计游览时间方案？ 素材1：某风景区内的公路如图①所示．景区内有一班免费的电动汽车匀速在飞瀑和古刹之间不间断地来回载客上下车时间忽略不计 素材2：小聪在景区飞瀑游览完后，乘坐电动汽车前往草甸，小聪和电动汽车离飞瀑的路程与经过的时间的函数关系如图②所示，小聪游玩古刹后需在之前返回到飞瀑处，且在古刹和塔林的游览时间均不少于 【问题解决】 确定车速：求电动汽车的平均速度； 探究时间：求小聪到达塔林的时间； 拟定游览时间方案：若小聪想在塔林尽可能游览更多时间，则他最多能在塔林待          ，他需要在          时间点从古刹坐车返回飞瀑处． 9.【问题背景】新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的. 【实验操作】 为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验，实验一：探究电池充电状态下汽车仪表盘显示电量与时间小时的关系，数据记录如表 实验二：探究充满电量状态下汽车行驶过程中仪表盘显示电量与行驶里程千米的关系，数据记录如表 电池充电状态 时间小时 1 2 电量 25 50 75 100 表1 汽车行驶过程 已行驶里程千米 0 80 100 140 电量 100 60 50 30 表2 任务一：计算表1中每隔小时电池电量的增加量； 【建立模型】 任务二：请结合表1、表2的数据，选择合适的数学模型，求出关于t的函数表达式及关于s的函数表达式； 【解决问题】 任务三：某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点250千米处的目的地，若电动车平均每小时行驶40千米，行驶3小时后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后汽车以原速度继续行驶，若要保证司机在最短的时间快速到达目的地，则至少要在服务区充电多长时间？ 10.综合与实践：如何选择印刷厂更优惠？ 【情境】某校准备印刷一批《新生手册》，咨询了甲、乙两个印刷厂，他们给出的收费标准如图所示．设印制数量为份，甲、乙两印刷厂的收费分别为元和元 【项目解决】 目标1：确定甲厂收费标准．求关于x的函数表达式． 目标2：初步比较印刷费用．当印刷份数在1200份以下时，印多少份两厂费用相同？ 目标3：给出最终选择方案．根据印制数量的不同，如何选择较优惠的印刷厂？ 11.项目化成果展示了一款简易电子秤：可变电阻上装有托盘质量忽略不计，测得物品质量与可变电阻的多组对应值，画出函数图象如图图2是三种测量方案，电源电压恒为8V，定值电阻为，与可变电阻串联． 【链接】串联电路中，通过两个电阻的电流I相等，可变电阻、定值电阻两端的电压之和为8V，则有 求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围． 三个托盘放置不同物品后，电表A，，的读数分别为，6V，请从以下方案中选择一个，求出对应物品的质量是多少kg？ 小明家买了某散装大米65kg，为了检验商家是否存在缺斤少两的情况，请你将大米分批称重，用方案一、二、三来进行检验，设大米为，前两次称合适的千克数，第3次用含a的代数式表示，请填写如表． 第1次方案一 第2次方案二 第3次方案三 大米 ______ ______ ______ 读数 ______ A ______ V ______ V 12.某校八年级学生在数学课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下： 【提出驱动性问题】机场监控问题. 【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”，设计了“任务1”“任务2”“任务3”的实践活动.请你尝试帮助他们解决相关问题. 机场监控问题的思考 素材1 如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机看成点始终以的速度在离地面5km高的上空匀速向右飞行. 素材2 2号试飞机看成点一直保持在1号机P的正下方从原点O处沿角爬升，到高4km的A处便立刻转为水平飞行，再过到达B处开始沿直线BC降落，要求后到达处. 问题解决 任务1 求解析式和速度 求出OA段h关于s的函数解析式，直接写出2号机的爬升速度； 任务2 求解析式和坐标 求出BC段h关于s的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标； 任务3 计算时长 通过计算说明两机距离PQ不超过3km的时长是多少. 13.根据以下素材，探索完成任务。 如何制定订餐方案？ 素材1 某班级组织春日研学活动，需提前为同学们订购午餐，现有A，B两种套餐可供选择，套餐信息及团购优惠方案如下表所示： 套餐类别 套餐单价 团体订购优惠方案 A：米饭套餐 30元 方案一：A套餐满20份及以上打9折； 方案二：B套餐满12份及以上打8折； 方案三：总费用满850元立减110元。 B：面食套餐 25元 注：方案三不可与方案一、方案二叠加使用。 素材2 该班级共31位同学，每人都从A，B两种套餐中选择一种，一人订一份餐，杜绝浪费。经统计，有20人已经确定A或B套餐，其余11人两种套餐皆可。若已经确定套餐的20人先下单，三种团购优惠条件均不满足，费用合计为565元。 问题解决 任务1 计算选择人数 已经确定套餐的20人中，分别有多少人选择A套餐和B套餐？ 任务2 分析变量关系 设两种套餐皆可的同学中有m人选择A套餐，该班订餐总费用为w元。当全班选择A套餐的人数不少于20，且选择方案一为优惠方案时，请求出w与m之间的函数表达式。 任务3 制定最优方案 要使得该班订餐总费用最低，则A，B套餐应各订多少份？并求出最低总费用。 14.项目化学习 项目主题：玉米种子购买方案的选择． 项目背景：种子是植物世界的起源，是农业生产的基础，是保障粮食安全最重要的因素之一．优质种子的生产、繁殖和利用，能够提高粮食生产的质量和效益．某校综合实践活动小组以探究“玉米种子的购买方案”为主题开展项目学习． 驱动任务：探究玉米种子的付款金额与购买量之间的函数关系． 研究步骤： ①收集区域内甲、乙两个种子商店销售同一玉米种子的信息； ②对收集的信息进行整理、描述； ③信息分析，形成结论． 数据信息： 信息1：甲商店这种玉米种子的售价为4元，无论购买多少均不打折； 信息2：乙商店这种玉米种子的售价如下表： 购买量 3 kg以内含 超过3 kg 售价 5元 超过3 kg的部分打折销售 信息3：乙商店销售这种玉米种子的部分小票统计表如下： 购买量 1 2 3 4 5 6 7 15 31 … 付款金额/元 5 10 15 22 29 57 113 … 问题解决： 请分别写出在甲、乙两个商店购买玉米种子的付款金额元与购买量之间的函数关系式． 现需购买一批这种玉米种子，请通过计算说明选择哪个商店更合算． 15.葡萄是本地区重要农业经济产业，种植葡萄能增加农民的收入．根据提供的材料解决问题． 材料一 内容 某商贸公司经销甲、乙两个品种的葡萄，甲种葡萄进价为5元/斤：乙品种葡萄的进货总金额单位：元与乙品种葡萄的进货量单位：斤之间的关系如图所示，经过试销，在H城市销售甲、乙两个品种葡萄的售价分别为7元/斤和14元/斤． 材料二 在葡萄节开节当日，该商贸公司收购了甲、乙两个品种的葡萄共20000斤，其中乙品种的收购量不低于4000斤，且不高于10000斤． 材料三 葡萄运到H城市，商场发现顾客对甲、乙两个品种葡萄都很喜欢，于是决定把两种葡萄进行混合销售，并适当让利给消费者． 任务一 求图中直线MN函数解析式． 任务二 若从收购点运到商场的其他各种费用还需要18000元，收购的葡萄能够全部卖完，设销售完甲、乙两个品种的葡萄所获总利润为w元利润=销售额-成本求出单位：元与乙品种葡萄的进货量单位：斤之间的函数关系式，并为该商贸公司设计出获得最大利润的收购方案． 任务三 在任务二获得的最大利润的基础上，商场把最大利润的让利给购买者，那么混合销售葡萄的销售价应定为多少？ 16.浦江“包子计划”开展的如火如荼，众多居民希望通过卖包子增加收益.根据提供的材料解决问题. 项目 内容 材料一 “沁园包子”店铺开张，经营早餐销售，有菜包、肉包、豆浆等类型早餐，客户可自行搭配.菜包2元/个，豆浆2元/碗，肉包的总金额单位：元随购买个数单位：个之间的关系如图所示，坐标，均经过该分段函数. 材料二 经过试销，“沁园包子”店铺推出套餐A和套餐B，如下： 套餐A：2菜包肉包豆浆，6元套餐B：1菜包肉包豆浆，7元 现在某顾客有资金30元，想购买任意种类包子6个，豆浆2碗. 材料三 为了吸引顾客，扩大市场，“沁园包子”店铺决定开办线上外卖运费在3km以内4元，超过3km后每1km收费1元，并对包子和豆浆进行优惠，具体方案如下： 方案一：全场九折不包括运费 方案二：①每买5个肉包赠送2个菜包 ②每买3个菜包赠送1碗豆浆 方案三：每购买材料二中的套餐任意2份，赠送肉包2个 任务一 求购买肉包的总价单位：元与购买肉包个数单位：个之间的函数关系式，并写明自变量的取值范围. 任务二 在材料二中，若该顾客想要在一定资金内买到心仪的早餐，求他最多能买肉包的个数、菜包的个数以及豆浆的碗数. 任务三 家住距离早餐店14km的某客户想要在“沁园包子”店铺购买早餐，该客户用预算100元的资金购买早餐，计划购买肉包不少于20个，菜包不多于20个，用买包子剩下的钱买豆浆.若该客户想用材料三中的一种方案购买早餐，在买包子的钱最少的前提下，求他所能买的最多的豆浆碗数，并列举此时该客户的购买方案. 17. 项目学习 关于两直线垂直与k的关系的探究 在数学课“合作学习”环节，郑老师要求同学们通过观察如图①所示的平面直角坐标系中一次函数的图象，从而来发现某些规律． 同学们通过讨论，积极发言，把k进行分类，得出一次函数的部分性质： 对于一次函数为常数，且，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 【跟进练习】对于函数，当时，y的取值范围是          . 爱思考的小敏同学提出了看法，说：“我还发现与这两条直线是互相垂直的．这是一种巧合还是存在着某种联系？”郑老师说：“这两者确实存在着某种联系，同学们不妨再举几个类似的例子，看看能否证实你们的猜想．”通过讨论，同学们最终达成共识，得到结论：“若两条直线的函数表达式为与均不为，当时，两条直线互相垂直；反之亦成立．” 【结论理解】若直线与直线互相垂直，则          . 【灵活运用】如图②，的斜边BC在x轴上，且点，，延长CA交y轴于点求点A的坐标． 【延伸拓展】在平面直角坐标系中，已知直线经过点，与y轴的交点为F，点G在坐标轴上，若以D，F，G为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出点G的坐标． 第19页，共19页 学科网（北京）股份有限公司 $