20.2勾股定理的逆定理及其应用学案-2025-2026学年 人教版八年级数学下册

该初中数学导学案聚焦勾股定理的逆定理，涵盖逆定理的探索、证明、应用及互逆命题、勾股数等内容。课堂导入通过古埃及画直角实例引发兴趣，引导学生用3,4,5等边长动手画图验证，从具体实例猜想逆定理，搭建勾股定理与逆定理的互逆知识支架。 该资料注重“观察—猜想—证明—应用”探究过程，动手操作培养几何直观与抽象能力，严谨证明发展推理意识，港口航行等实例强化模型与应用意识。习题分层设计，课堂检测全面，助力学生深度学习，提升数学核心素养。

勾股定理的逆定理 一、教学目标 (一)知识与技能： 1.会认识并判断勾股数，掌握勾股定理的逆定理，并能灵活应用逆定理判定一个三角形是否为直角三角形. (二)过程与方法：通过用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合方法 的应用. (三)情感态度价值观：在对勾股定理的逆定理的探索中,培养了学生的交流、合作的意识和严谨的学习态度,同时感悟勾股定理和逆定理的应用价值. 二、教学重点、难点 重点：1.能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形；2.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系. 难点：灵活运用勾股定理及其逆定理解决问题. 三、教学过程 据说古埃及人用下图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．你知道为什么吗？ 这个问题意味着，如果围成的三角形的三边分别为3、4、5，满足关系：32+42=52，那么围成的三角形是直角三角形. 画画看，如果三角形的三边分别为2.5cm，6cm，6.5cm，它们满足关系“2.52+62=6.52”，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为4cm，7.5cm，8.5cm，再试一试. 由上面的几个例子，我们猜想：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2=c2. 命题2 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 命题1、命题2的题设、结论分别是什么？ 我们看到，命题2与命题1的题设、结论正好相反.我们把像这样的两个命题叫做互逆命题. 如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.例如，如果把命题1当成原命题，那么命题2是原命题1的逆命题. 说出下列命题的逆命题，并判断它们是否正确. 1.原命题：同位角相等，两直线平行.( ) 逆命题：两直线平行，同位角相等.( ) 2.原命题：对顶角相等.( ) 逆命题：相等的角是对顶角.( ) 3.原命题：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.( ) 逆命题：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.( ) 4.原命题：角平分线上的点到角的两边的距离相等.( ) 逆命题：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.( ) 在图(1)中，已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a2+b2=c2，要证△ABC一定是直角三角形.我们可以先画一个两条直角边长分别为a，b的Rt△A′B′C′如图(2)，如果△ABC与Rt△A′B′C′全等，那么△ABC就是一个直角三角形. 已知△ABC，BC=a，AC=b，AB=c，且a2+b2=c2. 求证：△ABC是直角三角形. 证明：作Rt△A′B′C′，使B′C′=a，A′C′=b，∠C′=90°. 根据勾股定理，A′B′2=B′C′2+A′C′2=a2+b2=c2 ∴ A′B′=c 在△ABC和△A′B′C′中， BC=a=B′C′，AC=b=A′C′，AB=c=A′B′ ∴ △ABC≌△A′B′C′(SSS) ∴ ∠C=∠C′=90° 即△ABC是直角三角形. 勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为 c，那么 a2+b2=c2. 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理. 例1 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形： (1) a=15，b=8，c=17；(2) a=13，b=14，c=15. 解：(1)∵ 152+82=225+64=289，172=289 ∴ 152+82=172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形. (2)∵ 132+142=169+196=365，152=225 ∴ 132+142≠152，根据勾股定理，这个三角形不是直角三角形. 像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. 例2 如图，某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 解：根据题意， PQ=16×1.5=24， PR=12×1.5=18， QR=30. ∵ 242+182=302，即PQ2+PR2=QR2 ∴ ∠QPR=90° 由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1=45°.因此∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行. 练习 1.如果三条线段a，b，c满足a2=c2-b2，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？ 解：将等式a2=c2-b2通过变形可得a2+b2=c2. 根据勾股定理的逆定理，这三条线段组成的三角形是直角三角形. 2.说出下列命题的逆命题.这些逆命题成立吗？ (1)两条直线平行，内错角相等； (2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； (3)全等三角形的对应角相等. 解：(1)逆命题：内错角相等，两条直线平行，此命题成立；(2)逆命题：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等，此命题不成立；(3)逆命题：对应角相等的两个三角形是全等三角形，此命题不成立. 3.A，B，C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方 向，C地在B地的什么方向？ 解：∵ 52+122=25+144=169，132=169 ∴ 52+122=132，即BC2+AB2=AC2 ∴ ∠B=90° ∵ A地在B地的正东方向 ∴ C地在B地的正北方向 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 五、课堂检测 1.下列各组数中，是勾股数的为( ) A.32、42、52 B.、、 C.0.3、0.4、0.5 D.30、40、50 2.命题“在同一个三角形中，等边对等角.”的逆命题是______________________________ 是________(填“真命题”或“假命题”) 3.已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形的格点上，可以判定三角形是直角三角形的有__________. 4.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕是DE，则CD的长为________. 5、在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，，2c－b＝12，求△ABC的面积. 6、B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2h后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？ 7、 如图，在长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求△ABE的面积. 学科网（北京）股份有限公司 $