广东省东莞市东莞中学2025-2026学年高二上学期数学期末复习卷（一）

期末复习卷（一） 2025-2026学年广东省东莞市统编版高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如图，在正三棱柱中，，，则（   ） A． B． C．0 D．1 2．若是空间中的一组基，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组满足，我们把有序实数组叫作向量在基下的斜坐标.若向量在基下的斜坐标为，则向量在基下的斜坐标为（    ） A． B． C． D． 3．图中的直线，，的斜率分别是，，，则有（   ）      A． B． C． D． 4．已知直线与轴、轴分别交于，两点，与圆交于，两点，且，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 6．若椭圆上存在一点，使得到其左､右焦点的距离之比为，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知，是双曲线C：的左、右焦点，过点的直线与双曲线左，右两支分别交于点P，Q，若，右焦点在线段PQ的中垂线上，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D．2 8．已知抛物线的焦点为F，点是C上的动点，以PF为直径作圆M，再作圆M的与直线PF平行的两条切线，两条切线与y轴的交点分别为A，B，则的最小值为（   ） A．1 B．4 C． D．8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，在边长为4的正方体中，E，F分别是棱，的中点，P是底面内的动点（包含边界），则下列结论正确的是（   ）    A．若平面，则点的轨迹长度为 B．存在P满足 C．若，则三棱锥体积的最小值为 D．若P是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是41π 10．已知圆 ，直线 ，，则下列结论正确的有（ ） A．存在 使得圆 关于直线 对称 B．圆心到直线 的距离最小值为 C．当 时，直线 与圆 相切 D．存在 使得圆 上有三个点到直线 的距离为 11．双曲线的左、右焦点分别是、，左、右顶点分别为，以为直径的圆与的一条渐近线交于两点，且，则（    ） A． B． C．的离心率为 D．当时，四边形的面积为. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，空间向量，，若，则 . 13．已知圆，点，点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最小值为 . 14．已知椭圆的半焦距为c，原点O到经过两点，的直线的距离为，则椭圆C的离心率为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知空间三点，，． (1)求向量与的夹角； (2)若，，求与夹角为锐角时，实数的取值范围． 16．（15分）已知圆过点和点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知直线与圆相交于，两点，求面积的最大值. 17．（17分）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求的方程； (2)过点的直线交于，两点，求面积的最大值. 18．（15分）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，为双曲线的左、右顶点，直线与双曲线交于，两点，当时，求. 19．（17分）抛物线，点坐标，过点斜率为2的直线与抛物线C交于A，B两点，. (1)求的方程； (2)过定点D的直线与抛物线交于两点M，N满足，求出满足条件的所有D定点的坐标. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D C C C B D ACD BCD 题号 11 答案 ABD 1．B 【分析】根据空间向量数量积运算求得正确答案. 【详解】依题意可知, . 故选：B 2．A 【分析】由题意利用待定系数法列出关于的方程组即可求解. 【详解】设, 又， 所以，解得, 向量在基下的斜坐标为, 故选：A 3．D 【分析】设直线，，的倾斜角分别为，，．可得，利用正切函数的单调性即可得出斜率大小关系． 【详解】设直线，，的倾斜角分别为，，． 则，所以 可得．即． 故选：． 4．C 【分析】利用圆心到直线的距离和半径，可得，再求出，即可求出结果. 【详解】在直线中，令，得，故，令，得，故， 所以， 圆心到直线的距离，所以， 由，得，化简得，解得. 故选：C. 5．C 【分析】根据两直线垂直，求出值，代入方程，联立即可求得交点. 【详解】由直线与互相垂直，可得，解得， 将代入直线，得到， 联立方程组，解得，交点坐标为. 故选：C 6．C 【分析】设是椭圆的左右焦点，进而根据题意，结合椭圆的定义得，再结合，即可得答案. 【详解】设是椭圆的左右焦点， 又椭圆上存在一点，使得到其左､右焦点的距离之比为， ，又， ， ，解得，即， 又椭圆离心率的取值范围为，. 故选：C. 7．B 【分析】由题可设，为中点，则，，再根据双曲线的定义可得，证明，所以，，然后在中利用勾股定理计算可得出与的关系，最后求得离心率. 【详解】如图：设为中点，    因为，设，则，，， 又因为，， 所以， 因为，所以， 所以，. 在中，， 在中，，即， 所以. 故选：B 8．D 【分析】根据抛物线的定义可得，记直线PF的倾斜角为，根据几何性质与三角恒等变换可得，由，结合基本不等式即可求得的最小值. 【详解】由题意知抛物线焦点坐标为，由拋物线的定义可知， 设两个切点分别为D，E，则，    记直线PF的倾斜角为，由题意可得， 则， 又，所以， 设，则，， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为8． 故选：D. 9．ACD 【分析】构造面面平行，分析点的轨迹，求轨迹的长度，判断A的真假；根据三角形两边之和大于第三边，可求的最小值判断B的真假；建立空间直角坐标系，明确点的轨迹，利用空间向量求点到平面的距离，判断C的真假；确定三棱锥的外接球球心的位置，进一步计算其半径，求面积可判断D的真假. 【详解】对A：如图：    取中点，中点，连接，，，， 因为E，F分别是棱，的中点， 所以在正方形中， 因为平面，平面， 所以平面， 同理可证平面，因为平面， 所以平面平面. 因为平面，所以点轨迹为线段，且.故A正确. 对B：如图：    因为，且，，所以不存在满足，故B错误； 对C：如图：以为原点，建立如图空间直角坐标系.    因为，所以. 因为，，， 设. 则，，. 设平面的法向量为， 由， 令，可得. 所以点到平面的距离为：. 因为，所以，所以. ， 在等腰中，底边上的高长为， 所以三棱锥体积的最小值为，故C正确. 对D：如图：    连接，取其中点，连接. 因为是棱的中点，则. 所以为外接圆圆心. 过作平面的垂线，则三棱锥外接球的球心一定在该垂线上. 连接，设，则， 连接，，所以， 所以，解得， 所以， 所以三棱锥外接球的表面积为：，故D正确. 故选：ACD 10．BCD 【分析】由对称性得到圆心在直线上代入直线方程可得A；由圆心到直线的距离公式可判断B、C、D. 【详解】由题意得，圆的圆心为，半径. 若圆关于直线对称，则圆心在直线上，即， 关于的方程没有实数解，所以不存在使得圆关于直线对称，故A错误. 圆心到直线的距离，当且仅当时，等号成立，故B正确. 当时，直线的方程为. 因为圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切，故C正确. 因为，所以当圆上有三个点到直线的距离为时，圆心到直线的距离为， 即，所以，解得，故D正确. 故选：BCD. 11．ABD 【分析】根据双曲线的渐近线与余弦定理先判定为直角，结合双曲线的性质一一判定选项即可. 【详解】设，易知， 作双曲线的一条渐近线，如图所示， 对于A项，易知与互相平分，所以四边形为平行四边形，则， 由可知，故A正确； 对于B项，易知， 又，可解得， 在中由余弦定理可知， 整理得，则为直角三角形， 由A可知，即，故B正确； 对于C项，由B项知， 所以，故C错误； 对于D项，易知当时，， 四边形的面积为，故D正确.    故选：ABD 12．2 【分析】根据题意得，则，再解方程即可． 【详解】，， ，解得，． 故答案为：2． 13． 【分析】首先作图，再根据切线长公式，转化，再作点关于直线的对称点，最后转化为，最后根据三点共线求最小值. 【详解】圆，圆心，半径 设，，点关于直线的对称点为， 则，， 可得，当且仅当三点共线时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 14．/ 【分析】先求出经过两点，的直线，再根据点到直线的距离公式得到的关系式，结合，化简求得离心率. 【详解】因为经过两点，的直线的方程为，即. 因为原点到直线的距离为，所以，整理得. 所以，所以． 又，所以． 故答案为：.    15．(1) (2) 【分析】（1）求出向量与的坐标，根据数量积求向量与的夹角的余弦值，进而求得向量与的夹角； （2）根据与夹角为锐角，可得且与不共线，解不等式即得的取值范围． 【详解】（1）由已知得：，， 则， ∵，∴向量与的夹角为． （2）， ∵与夹角为锐角，∴且与不共线. 由，可得，解得① 当与共线时，存在实数，使得. 即，解得，∵与不共线，∴②， 由①②得. 16．(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法，直接求解圆的方程即可； （2）利用点到直线的距离公式和几何法表示弦长，进而表示出三角形的面积，结合基本不等式，即可求出其最值. 【详解】（1）设圆的方程为， 则，解得， 所以圆的方程为. （2）由（1）知，圆的方程为， 圆心，半径， 又直线方程为， 所以点到的距离， 又， 所以的面积为， 当且仅当，即时，等号成立， 故面积的最大值为. 17．(1)； (2). 【分析】（1）根据椭圆的离心率及所过的点求椭圆参数，即可得. （2）设出直线方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理表示出三角形面积，利用基本不等式求出最大值. 【详解】（1）依题意且，可得，则； （2）依题意，设直线方程为，则， 消去并整理得， ， 设，则， 则面积， 令，则，且， ，而在上单调递增，其值域为， 所以时，面积的最大值为.    18．(1) (2) 【分析】（1）根据渐近线的倾斜角和双曲线过点列方程求解可得； （2）直线方程联立双曲线方程消去，利用弦长公式计算可得. 【详解】（1）由双曲线的一条渐近线的倾斜角为，有，可得，     又由点在双曲线上，有， 代入，有，可得，， 故双曲线的标准方程为. （2）设，两点的坐标分别为， 当时，      联立方程，消去后整理为， 则，可得，. 所以. 19．(1) (2)或 【分析】（1）先求出直线方程，设点，，联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理和弦长公式得关于的一元二次方程，解得p，进而可得答案． （2）设直线MN的方程为，点M，N，利用斜率公式，结合韦达定理，化简即可得定点D的坐标. 【详解】（1）过点斜率为2的直线方程为， 代入抛物线方程得：， 设，， 由韦达定理得：，， 弦长公式得：， 化简得：， 解得或， 因为抛物线中，所以， 故抛物线的方程为.    （2）设直线MN的方程为，M，N， 与联立得， 由韦达定理， 由题知，则， 因为，，代入， 化简得， 将，代入上式可得： ， 得：或， 当时，，即， 令，解得，所以直线MN过定点， 当时，，即， 令，解得，所以直线MN过定点， 因此，满足条件的所有定点的坐标为或.    学科网（北京）股份有限公司 $