精品解析：河南省新未来2025-2026学年高一上学期1月测评数学试题（北师大版）

高一年级1月测评 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，请将答题卡上交. 4．本卷主要命题范围：北师大版必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 采用简单随机抽样的方法，从含有25个个体的总体中抽取1个容量为10的样本，则某个个体被抽到的概率为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由于每个个体被抽到的概率相等，所以每个个体被抽到的概率是. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用列举法表示集合，再利用交集的定义直接求解. 【详解】依题意，，， 所以. 故选：C 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用具体函数定义域的求法可得答案. 【详解】要使函数有意义，必须， 解得， 则函数的定义域为. 故选：A. 4. 若关于x的不等式的解集为，则ab的值为（ ） A. B. C. 8 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集性质进行求解即可. 【详解】因为关于x的不等式的解集为， 所以有. 故选：D 5. 从小到大排列的一组数据：90，92，x，96，98，99，若这组数据的第40百分位数与平均数相同，则这组数据的方差为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数和平均数的定义计算，最后再利用方差公式计算. 【详解】共个数，因为，所以第40百分位数为， 平均数为， 则，得， 则这组数据的方差为. 故选：C 6. 设函数，若，则（ ） A. 0或3 B. 2或4 C. 0或4 D. 3或4 【答案】C 【解析】 【分析】由得，分，，三种情况求得或，代入分段函数计算即可求解. 【详解】因为函数， 若，则，解得， 当时，， 若，则，解得； 当时，， 若，则，解得或（舍去）； 当时，， 若，则，此时无解， 综上，实数或， 当时，，当时，， 所以或. 故选：C 7. 已知声强的大小用声强级L（单位：dB）表示，声强级L与声强I（单位：）的关系式为： ，其中为参考声强（常数）．已知声强级为20dB时，声强为，在“马街书会”上河南坠子表演产生的声强的范围为，下表给出了声强级等级： 声强级 等级 I II III IV 则此坠子表演的声强等级是（ ） A. I B. II C. III D. IV 【答案】B 【解析】 【分析】运用代入法，结合对数的运算性质、题中表格进行运算判断即可. 【详解】因为声强级为20dB时，声强为，所以， 所以， 当时， 有 ， 对照声强级等级表可以确定河南坠子表演产生的声强属于等级II. 故选：B 8. 已知函数满足，且，都有.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，再利用作差法和对数运算性质结合基本不等式比较的大小关系，即可得证. 【详解】因为函数满足， 则， 所以函数的图象关于直线对称， 又，都有， 所以在上单调递增， 因为， 则 , ， ， 则， 同上可知，所以， 所以，又，则. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知事件，且，则下列说法正确的是（ ） A. A与B是对立事件 B. 若A与B相互独立，则 C. 若A与B相互独立，则 D. 若A与B相互独立，则P(A∪B)=0.76 【答案】CD 【解析】 【分析】先根据对立事件的定义排除A选项，再利用相互独立事件的概率公式分别计算B、C、D选项的概率，从而判断正误. 【详解】对于选项A，对立事件需满足 且 ， 仅 不满足互斥条件，故A错误. 若 与 相互独立，则 . ，故B错误，C正确. ，故D正确. 故选：CD 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据作差法得出判断A；根据不等式的性质判断BD；举反例判断C. 【详解】因为，所以， 因为，所以，则，故A正确； 因为，所以，则， 故， 由不等式的性质可知，B正确； 因为，所以，则，即， 则，故D正确； 若，则，故C错误. 故选：ABD 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当有零点时，则 C. 当时，若函数在上单调递增，在上单调递减，则实数b的取值范围为 D. 当时，方程有偶数个实根，则或 【答案】AD 【解析】 【分析】直接求分段函数的函数值判断A；当时，没有零点，可判断B；由于函数在单调递增，在单调递减，列出不等式可判断C；问题转化为直线与函数的交点，根据图象判断D. 【详解】当时，， 则，所以，A正确； 当时，， 当时，， 当时，， 所以没有零点，B错误； 当时，， 图象如图， 函数在单调递增，在单调递减， 根据题意，，得，所以C错误； 当时，，且， 根据图象， 当或时，直线与函数有2个交点，则方程有2个实根， 当时，直线与函数有4个交点，则方程有4个实根， 当时，直线与函数有3个交点，则方程有3个实根， 当时，直线与函数无交点，则方程无实根， 所以当时，方程有偶数个实根，则或，D正确. 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若命题，则命题p的否定为_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题求解. 【详解】命题， 则命题p的否定为. 故答案为： 13. 已知函数满足，则函数的解析式为_______ 【答案】 【解析】 【分析】应用方程组法计算求解解析式. 【详解】因为函数满足， 所以，解得. 故答案为： 14. 已知均为正数，，则的最小值为_______ 【答案】 【解析】 【分析】通过换元将目标表达式转化为关于新变量的式子，再利用基本不等式求最小值，换元后简化了表达式结构，使基本不等式的应用更直观. 【详解】由均为正数，，得，且， 令，则，，， 代入， 得 ， 记，则，且. 表达式化为， 由基本不等式，当且仅当，即时取等号. 此时，解得，故，，满足条件. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 设：实数满足：实数满足 （1）若，且为真命题，为假命题，求的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据真假命题定义求解不等式即可； （2）利用充分不必要条件定义进行求解. 【小问1详解】 时，为真命题，则，解得； 为假命题，则为真命题， 所以，即，解得或， 所以的取值范围为； 【小问2详解】 解得， 设，， 因为是的充分不必要条件，所以集合是的真子集， 所以，解得， 所以的取值范围为. 16. 已知幂函数，且． （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）2 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据幂函数定义可求得实数m的所有可能取值，再根据即可得出结果； （2）利用函数的奇偶性与单调性可得，求解即可. 【小问1详解】 函数是幂函数， 所以，解得或， 当时，，在上是减函数，不满足，舍去； 当时，，满足， 所以； 【小问2详解】 由（1）知，定义域为， 因为，所以为偶函数， 由幂函数的性质可知在上单调递增， 又，则， 可得，则， 即，解得， 所以实数的取值范围为． 17. 某大学为了了解在校大学生参与志愿者活动的时间，随机抽取了200名大学生，获得了他们在一个月内参与志愿者活动的时间（单位：h），将得到的所有数据分为5组：，，，，（时间均在内），绘制成频率分布直方图如图所示． （1）求a的值，并估计这200名大学生在一个月内参与志愿者活动的时间的中位数（中位数精确到0.01）； （2）从，两组中按分层随机抽样的方法抽取5人参加学校志愿者宣传活动，再从这5人中随机抽取2人作为主宣讲人，求这两人均落在区间内的概率． 【答案】（1），中位数为13.83 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质可求a的值，再根据频率直方图的中位数求法即可求出中位数； （2）先根据分层抽样得到5人中两组人分别为多少人，再直接列举即可求得结果． 【小问1详解】 由频率分布直方图可知， 解得， 前两组频率和为， 前三组频率和为，因此中位数在第3组内， 设中位数为，则， 解得． 【小问2详解】 组的人数为， 组的人数为，人数比为， 分层抽样抽取5人，按比例抽取可得组人数为（人）， 组的人数为（人）， 记组内的4人分别为，组内的1人为，事件为“从这5人中随机抽取2人作为主宣讲人，这两人均落在区间内”， 从这5人中随机抽取2人的基本事件为，共10种， 其中2人均落在区间内有，共6种， 由古典概型的概率计算公式得． 18. 已知函数. （1）若，且，求的值； （2）函数，若函数的值域为，求的取值范围； （3）已知对于恒成立，试证明：（其中 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用对数恒等式解方程即可； （2）根据函数的值域为，分析的取值范围，求出的取值范围； （3）利用已知不等式，通过放缩法进行证明. 【小问1详解】 由题可知，， 所以可化为， 即，解得（舍去），或， 所以 【小问2详解】 由题可知， 因为函数的值域为，所以可以取遍大于0的所有实数， 所以，解得或， 所以的取值范围为； 【小问3详解】 已知对于恒成立， 令，则， 当时，，不等式成立； 当时，， 所以， 即， 所以（其中得证. 19. 已知函数，的定义域都是，，且 （1）判断函数的奇偶性并证明； （2）设，求不等式的解集； （3）若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） 由题意可得， 故函数是奇函数，证明如下： 因为， 所以函数是定义在的奇函数； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，根据奇偶性定义判断即可求解； （2）判断函数奇偶性及单调性，列不等式计算求解即可； （3）由题意可得，令，则，令，根据二次方程根的分布列不等式组计算即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上单调递增，且， 因为函数是定义在的奇函数， 所以函数是定义在的偶函数，且在上单调递增， 若，则， 两边同时平方化简可得，解得， 所以不等式的解集为； 【小问3详解】 由题意可得， 当时，令，则， 令，则在上有两个不相等的实数根， 显然，且，即， 由二次方程根的分布可知，解得， 所以， 故实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级1月测评 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，请将答题卡上交. 4．本卷主要命题范围：北师大版必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 采用简单随机抽样的方法，从含有25个个体的总体中抽取1个容量为10的样本，则某个个体被抽到的概率为（    ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x的不等式的解集为，则ab的值为（ ） A. B. C. 8 D. 6 5. 从小到大排列的一组数据：90，92，x，96，98，99，若这组数据的第40百分位数与平均数相同，则这组数据的方差为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 6. 设函数，若，则（ ） A. 0或3 B. 2或4 C. 0或4 D. 3或4 7. 已知声强的大小用声强级L（单位：dB）表示，声强级L与声强I（单位：）的关系式为： ，其中为参考声强（常数）．已知声强级为20dB时，声强为，在“马街书会”上河南坠子表演产生的声强的范围为，下表给出了声强级等级： 声强级 等级 I II III IV 则此坠子表演的声强等级是（ ） A. I B. II C. III D. IV 8. 已知函数满足，且，都有.若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知事件，且，则下列说法正确的是（ ） A. A与B是对立事件 B. 若A与B相互独立，则 C. 若A与B相互独立，则 D. 若A与B相互独立，则P(A∪B)=0.76 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当有零点时，则 C. 当时，若函数在上单调递增，在上单调递减，则实数b的取值范围为 D. 当时，方程有偶数个实根，则或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若命题，则命题p的否定为_______ 13. 已知函数满足，则函数的解析式为_______ 14. 已知均为正数，，则的最小值为_______ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 设：实数满足：实数满足 （1）若，且为真命题，为假命题，求的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16. 已知幂函数，且． （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 17. 某大学为了了解在校大学生参与志愿者活动的时间，随机抽取了200名大学生，获得了他们在一个月内参与志愿者活动的时间（单位：h），将得到的所有数据分为5组：，，，，（时间均在内），绘制成频率分布直方图如图所示． （1）求a的值，并估计这200名大学生在一个月内参与志愿者活动的时间的中位数（中位数精确到0.01）； （2）从，两组中按分层随机抽样的方法抽取5人参加学校志愿者宣传活动，再从这5人中随机抽取2人作为主宣讲人，求这两人均落在区间内的概率． 18. 已知函数. （1）若，且，求的值； （2）函数，若函数的值域为，求的取值范围； （3）已知对于恒成立，试证明：（其中 19. 已知函数，的定义域都是，，且 （1）判断函数的奇偶性并证明； （2）设，求不等式的解集； （3）若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $