第15章 轴对称 寒假巩固卷 2025-2026学年人教版八年级数学上册

第15章轴对称寒假巩固卷2025-2026学年人教版八年级数学上册答案解析 考试时间：120分钟；试卷分值：150分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共36分） 1．（本题3分）下列新年剪纸图案中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，符合题意； B、该图形是轴对称图形，不符合题意； C、该图形是轴对称图形，不符合题意； D、该图形是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 2．（本题3分）长春冰雪大世界的工匠雕刻一座等腰三角形冰雕时，为保证冰雕对称美观、重心稳定，雕刻时需先确定关键基准线．工匠在冰雕的顶角顶点处系了一根铅锤线（重力作用下铅锤线始终垂直于水平面），若铅锤线恰好经过底边的中点，则可判断该冰雕的两腰长度相等，且铅锤线为底边上的高．能解释这一现象的数学知识是（　　） A．等边对等角 B．垂线段最短 C．三角形具有稳定性 D．等腰三角形“三线合一” 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据题意，利用等腰三角形的性质即可解答． 【详解】解：若铅锤线恰好经过底边的中点，则可判断该冰雕的两腰长度相等，且铅锤线为底边上的高．能解释这一现象的数学知识是等腰三角形“三线合一”可得铅锤线为底边上的高． 故选：D． 3．（本题3分）在校园科技节的户外实践活动中，小佳于倾斜角为的斜坡上，自点使用激光笔向点发射激光（激光传播路径记为），如图所示．已知线段的长度为，且地面处于水平状态，那么、两点间的竖直高度差为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形中30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半，解决问题的关键是灵活运用此定理求线段长． 根据含角的直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：在中，，，， 则． 故选：B． 4．（本题3分）已知的三边a、b、c满足，则是（   ） A．等腰但非等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的非负性，等边三角形的定义，掌握绝对值的非负性是解题关键．利用绝对值的非负性，和为零则每个绝对值为零，推导出三边相等，即可得解． 【详解】解：∵，且，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， 故选：D． 5．（本题3分）如图，在等边中，若边上的中线与边上的中线交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，由等边三角形的性质可得，再由可得答案． 【详解】解：∵在等边中，若边上的中线与边上的中线交于点， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 6．（本题3分）将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质与平角的定义，掌握折叠前后对应角相等，结合平角的定义列方程求解角度是解题的关键． 利用折叠的性质，结合平角的定义，设未知数列出方程求解的度数即可． 【详解】解：由折叠可知，与相等． 设，则与与角组成一个平角， 因此：． 解得：． 故选：A． 7．（本题3分）如图，在中，于，则的长为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，根据同角的余角相等，可得，进而可得，． 【详解】解： ， ，， ， ， ， 故选：B． 8．（本题3分）下列说法正确的是（    ） A．等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合，简称三线合一． B．在三角形中，角所对的边等于最长边的一半． C．有一个角是的等腰三角形是等边三角形． D．两个全等三角形一定关于某条直线成轴对称图形． 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形和等边三角形的性质，以及全等三角形的对称性；选项A错误，因为三线合一仅针对等腰三角形的顶角和底边；选项B错误，因为角所对边等于最长边一半仅适用于直角三角形；选项C正确，因为有一个角是的等腰三角形所有角均为60°；选项D错误，因为全等三角形不一定轴对称. 【详解】解：A、三线合一仅针对等腰三角形的顶角和底边，即等腰三角形底边上的高、底边上的中线和顶角的平分线互相重合，简称三线合一，故A不符合题意； B、角所对边等于最长边一半仅适用于直角三角形，即直角三角形中角所对边等于斜边的一半，故B不符合题意； C、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，故C符合题意； D、全等三角形不一定轴对称，故D不符合题意. 故选：C. 9．（本题3分）如图，在中，根据尺规作图的痕迹，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中一定正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查垂直平分线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握尺规作图的识别方法是解题关键． 先从图中的作图痕迹判断出是的垂直平分线，是的角平分线，再结合垂直平分线、角平分线和等腰三角形的性质，对每个结论逐一验证． 【详解】解：由图可知，是的垂直平分线，是的角平分线． 垂直平分， ，，， ①、②、④正确， 平分， ， ， ， ． ③正确． 个结论全部正确． 故选：． 10．（本题3分）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点D，的周长为10，且，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 利用线段垂直平分线的性质推出，得到，即可求得的长． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， 即， ∴①， ∵②， 得， ∴， 故选：B． 11．（本题3分）如图，四边形中，，，，四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，过作，交的延长线于，可证，得到，即得是等腰直角三角形，再根据解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过作，交的延长线于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴四边形的面积与的面积相等 ∴， 故选：． 12．（本题3分）如图，，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形，依此类推，若，则的边长为（　　） A．2025 B．4052 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定等知识．根据为等边三角形得到 ，根据，求出．同理可得，，……，得到规律即可求出边长为． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴ ， ∵， ∴， ∴, ∴． 同理可得，，…… ∴ ∴边长为． 故选：D 二、填空题（共16分） 13．（本题4分）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特征，熟记平面直角坐标系中，点关于轴对称时，横坐标不变，纵坐标互为相反数是解决问题的关键 由平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特征：点关于轴对称时，横坐标不变，纵坐标互为相反数直接求解即可得到答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 14．（本题4分）如图，已知为等边三角形，为中线，延长至点，使，连接，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，根据等边三角形的性质求出，再根据等边三角形的性质得出，从而求出即可． 【详解】解：∵为等边三角形，为中线， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3． 15．（本题4分）如图，中，，平分，平分，，过点P作，分别交、AB于M、N， 设， 则周长是 ． 【答案】18 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质等，由角平分线的定义及平行线的性质可得，，即得，再根据直角三角形的性质可得，进而根据的周长即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：平分，平分， ， ∵， ， ∴，， ， 平分， ， ， ， 的周长 ， 故答案为：． 16．（本题4分）如图，在中，，，点是上一点，且，是的角平分线，点是上的动点，连接，．则的最小值是 ． 【答案】 【分析】在边上截取，连接，过点作于点，先证，得到，从而得到当点、、三点共线时，最小，最小值为，然后根据含角直角三角形的性质，勾股定理，分别在和中，解直角三角形求得的长即可． 【详解】解：如图所示，在边上截取，连接，过点作于点， 是的角平分线，， ， 又， ， ， 当点、、三点共线时，最小，最小值为， 在中，， ， ， ，， 在中，， 的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段和差的最值问题，涉及对称的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，两点之间线段最短等知识点，解题的关键是根据对称性构造辅助线将线段和最值问题转化为两点之间线段最短问题． 三、解答题（共98分） 17．（本题10分）如图，在中，． (1)用尺规完成以下基本图形：作边的垂直平分线，与边交于点，与边交于点；（保留作图痕迹，不写作法与结论） (2)推理填空： 已知：在（1）所作的图形中，，，垂直平分，证明：． 证明：是边的垂直平分线， ①______°． （②______）； ③______（等式的性质）． ，（已知）， （等量代换）． ④______（等量代换）． （⑤______）． 【答案】(1)见解析 (2)①90；②三角形的内角和等于；③；④；⑤同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了基本作图，熟练掌握5种基本作图是此类问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质． （1）利用基本作图作的垂直平分线即可； （2）先根据线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理，求得的度数，再利用平行线的判定定理证明． 【详解】（1）如图： （2）证明：是边的垂直平分线， ． （三角形的内角和等于）； （等式的性质）． ，（已知）， （等量代换）． （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． 18．（本题10分）如图，已知，，． (1)求证：为等边三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质和三角形内角和定理，掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据补角求出，通过互余求出，再运用内角和定理可求出三个角都为，即为等边三角形； （2）由（1）可得，运用三角形内角和定理可求出的度数． 【详解】（1）解：证明：∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴为等边三角形． （2）解：由（1）得， 又∵， ∴． 19．（本题10分）如图， 点B、C、D在同一直线上， 和 都是等边三角形，连接、，分别交于点F、G． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质． （1）根据等边三角形得到，继而得到，然后证明，即可得到； （2）由全等三角形得到，而，再由三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴． 20．（本题10分）如图，在一个的正方形网格中，A，B，C是其中的三个格点．请根据下列要求，完成作图（仅用无刻度的直尺）及填空． (1)画出关于直线对称的； (2)若格点P到点A，C的距离相等，则网格中满足条件的格点P共有____个，请画出； (3)在上找一点M，使最小． 【答案】(1)见解析 (2)4个，画图见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了画轴对称图形，线段垂直平分线的判定，轴对称最短路径问题，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，即可求解； （2）作线段的垂直平分线，所经过的格点均为满足题意的点，即可得出答案； （3）连接交直线于M，点M即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求，则网格中满足条件的格点P共有4个； （3）解：如图所示，点M即为所求． 21．（本题10分）如图，在四边形中，点在边上，已知，，． (1)求证：； (2)求的度数； (3)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定定理和等边对等角是解题的关键． （1）先证明，再利用即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，再由等边对等角和三角形内角和定理可得答案； （3）根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，由平角的定义求出的度数，再由全等三角形的性质可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 22．（本题12分）【课本再现】 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【定理探索】 书中对上面的定理没有给出证明，请你结合图形写出已知、求证并给出定理的证明． 【定理应用】 （1）如图1，在中，，，交于点，，则的长为（   ） A．8    B．4    C．12    D．6 （2）如图2，在中，，，．点是斜边上一点，把沿折叠，得到． ①若，则________°； ②当折痕时，求点的位置（即求的长）． 【答案】定理探索：见解析；（1）C；（2）①40；② 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，折叠的性质，三角形内角和定理； [定理探索] 延长到，使，进而证明是等边三角形，即可得证； [定理应用]（1）先根据等边对等角得出，进而得可得，根据含30度角的直角三角形的性质得出，根据，即可求解； （2）①设，根据折叠的性质得出，进而根据，求得，在中，根据三角形内角和定理，即可求解； ②在中，根据含30度角的直角三角形的性质得出，当时根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而根据，即可求解． 【详解】解：[定理探索]已知：中，，， 求证：． 证明：如图，延长到，使，连接． ， 是的垂直平分线， ，是等腰三角形． 在中，，， ， 是等边三角形， ， ． [定理应用]（1）解：∵在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长为； 故选：C．    （2）①解：设 ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∵， 即 解得： ∵， ∴ 故答案为：． ②由题意知，． ， ， ， ， ． 23．（本题12分）八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起探究吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点E，使，连接，写出图中全等的两个三角形__________________； 【理解与应用】 （2）如图2，是的中线，若，，设，求x的取值范围； （3）如图3，是的中线，，点Q在的延长线上，，若，求的长度． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由，， ，可得； （2）延长至点Q，使，连接，证明（），得．在中，由三边关系可得； （3）如图3，延长到点M，使，连接，证明（），得，，证明．可得（），即得． 【详解】解：（1）∵是的中线， ∴， ∵， ， ∴； ； （2）如图2，延长至点Q，使，连接， 证明（）， ∴． 在中， 即， ∴x的取值范围是； 故答案为：； （3）如图3，延长到点M，使，连接， ∴． ∵是的中线， ∴． 在与中， ∴（）， ∴，， ∵， ∴， ， ∵，， ∴． ∵， ∴． 在与中， ∴（）， ∴． 【点睛】本题考查了倍长中线证明三角形全等．熟练掌握中线性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，是解题的关键． 24．（本题12分）如图，在中，，，点B，E，D在同一条直线上，连接． (1)如图1，若，，求证：是等边三角形； (2)在（1）的条件下，猜想线段之间的数量关系，并说明理由； (3)如图2，若是钝角，交于点F，，垂足为E，，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）先证明是等边三角形，再根据有一个角等于的三角形是等边三角形即可证明结论成立； （2）证明，推出，据此即可证明； （3）延长，作与其相交于点G，使得，证明，则，再利用等腰三角形的性质求得，，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴是等边三角形，则． ∵， ∴． ∵，， ∴是等边三角形； （2）解：． 理由如下：∵与均是等边三角形， ∴． ∴． ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，延长，作与其相交于点G，使得． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∵，， ∴． 在和中， ， ∴，则， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴． ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 25．（本题12分）数学课上，张老师以“两条线段和的最小值”为题，把“两点之间，线段最短”以及“垂线段最短”两个知识融合在一起展开一节探究活动课． 【提出问题】 问题  唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图①，将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河岸上的点饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 小亮：作点关于的对称点，连接与交于点，点就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释原因吗？ 小亮：在上另取一点，连接，，只要证明即可． 问题如图②，要在河岸上建一座水泵房，修建引水渠；使得到村庄的距离最短．施工人员的做法是：过点作于点，将水泵房建在处，这样修建引水渠最短，既省人力又省物力． （）请在图①中标出河岸中点的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （）问题中所隐含的数学原理是_______． 【感悟方法，尝试应用】 （）如图③，在等边三角形中，是的中线． ①直接写出与的数量关系________． ②若，点为边的中点，点为上一点，当的值最小时，在如图③上标注点的位置，并求出的最小值． 【迁移拓展，综合应用】 （）如图④，在中，，点在斜边上，且，是的角平分线，点、点分别为上一点，求的最小值． 【答案】（）作图见解析；（）垂线段最短；（）①；②作图见解析，；（） 【分析】（）作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则点即为所求； （）根据垂线段最短即可求解； （）①根据等边三角形的性质解答即可求解；②根据等边三角形的性质和两点之间线段最短解答即可求解； （）在上取点，使，连接，可证，得到， 即得，可知当点三点共线时，有最小值，最小值等于的长，当时，最小 ，再利用等边三角形的性质和直角三角形的性质解答即可求解； 本题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握知识点并正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：（）如图所示，点即为所求； （）问题中所隐含的数学原理是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短； （）①∵是等边三角形，是的中线， ∴，， ∴， 故答案为：； ②如图所示，连接交于点，点即为所求． ∵是等边三角形，是的中线， ∴垂直平分， ∵点为上一点， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，的值最小，最小值等于的长度， ∵在等边三角形中，是的中线，点为边的中点， ∴， ∴的最小值为； （）如图所示，在上取点，使，连接， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，有最小值，最小值等于的长， 当时，最小 ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15章轴对称寒假巩固卷 2025-2026学年人教版八年级数学上册 考试时间：120分钟；试卷分值：150分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共36分） 1．（本题3分）下列新年剪纸图案中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（本题3分）长春冰雪大世界的工匠雕刻一座等腰三角形冰雕时，为保证冰雕对称美观、重心稳定，雕刻时需先确定关键基准线．工匠在冰雕的顶角顶点处系了一根铅锤线（重力作用下铅锤线始终垂直于水平面），若铅锤线恰好经过底边的中点，则可判断该冰雕的两腰长度相等，且铅锤线为底边上的高．能解释这一现象的数学知识是（　　） A．等边对等角 B．垂线段最短 C．三角形具有稳定性 D．等腰三角形“三线合一” 3．（本题3分）在校园科技节的户外实践活动中，小佳于倾斜角为的斜坡上，自点使用激光笔向点发射激光（激光传播路径记为），如图所示．已知线段的长度为，且地面处于水平状态，那么、两点间的竖直高度差为（   ） A． B． C． D． 4．（本题3分）已知的三边a、b、c满足，则是（   ） A．等腰但非等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 5．（本题3分）如图，在等边中，若边上的中线与边上的中线交于点，则的度数为（   ） 第5题图 第6题图 第7题图 A． B． C． D． 6．（本题3分）将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，在中，于，则的长为（   ） A． B．1 C． D．2 8．（本题3分）下列说法正确的是（    ） A．等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合，简称三线合一． B．在三角形中，角所对的边等于最长边的一半． C．有一个角是的等腰三角形是等边三角形． D．两个全等三角形一定关于某条直线成轴对称图形． 9．（本题3分）如图，在中，根据尺规作图的痕迹，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中一定正确的有（   ） 第9题图 第10题图 第11题图 第12题图 A．个 B．个 C．个 D．个 10．（本题3分）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点D，的周长为10，且，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 11．（本题3分）如图，四边形中，，，，四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 12．（本题3分）如图，，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形，依此类推，若，则的边长为（　　） A．2025 B．4052 C． D． 二、填空题（共16分） 13．（本题4分）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是 ． 14．（本题4分）如图，已知为等边三角形，为中线，延长至点，使，连接，则 ． 第14题图 第15题图 第16题图 15．（本题4分）如图，中，，平分，平分，，过点P作，分别交、AB于M、N， 设， 则周长是 ． 16．（本题4分）如图，在中，，，点是上一点，且，是的角平分线，点是上的动点，连接，．则的最小值是 ． 三、解答题（共98分） 17．（本题10分）如图，在中，． (1)用尺规完成以下基本图形：作边的垂直平分线，与边交于点，与边交于点；（保留作图痕迹，不写作法与结论） (2)推理填空： 已知：在（1）所作的图形中，，，垂直平分，证明：． 证明：是边的垂直平分线， ①______°． （②______）； ③______（等式的性质）． ，（已知）， （等量代换）． ④______（等量代换）． （⑤______）． 18．（本题10分）如图，已知，，． (1)求证：为等边三角形； (2)若，求的度数． 19．（本题10分）如图， 点B、C、D在同一直线上， 和 都是等边三角形，连接、，分别交于点F、G． (1)求证：； (2)求的度数． 20．（本题10分）如图，在一个的正方形网格中，A，B，C是其中的三个格点．请根据下列要求，完成作图（仅用无刻度的直尺）及填空． (1)画出关于直线对称的； (2)若格点P到点A，C的距离相等，则网格中满足条件的格点P共有____个，请画出； (3)在上找一点M，使最小． 21．（本题10分）如图，在四边形中，点在边上，已知，，． (1)求证：； (2)求的度数； (3)若，求的度数． 22．（本题12分）【课本再现】 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【定理探索】 书中对上面的定理没有给出证明，请你结合图形写出已知、求证并给出定理的证明． 【定理应用】 （1）如图1，在中，，，交于点，，则的长为（   ） A．8    B．4    C．12    D．6 （2）如图2，在中，，，．点是斜边上一点，把沿折叠，得到． ①若，则________°； ②当折痕时，求点的位置（即求的长）． 23．（本题12分）八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起探究吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点E，使，连接，写出图中全等的两个三角形__________________； 【理解与应用】 （2）如图2，是的中线，若，，设，求x的取值范围； （3）如图3，是的中线，，点Q在的延长线上，，若，求的长度． 24．（本题12分）如图，在中，，，点B，E，D在同一条直线上，连接． (1)如图1，若，，求证：是等边三角形； (2)在（1）的条件下，猜想线段之间的数量关系，并说明理由； (3)如图2，若是钝角，交于点F，，垂足为E，，，，求的面积． 25．（本题12分）数学课上，张老师以“两条线段和的最小值”为题，把“两点之间，线段最短”以及“垂线段最短”两个知识融合在一起展开一节探究活动课． 【提出问题】 问题  唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图①，将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河岸上的点饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 小亮：作点关于的对称点，连接与交于点，点就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释原因吗？ 小亮：在上另取一点，连接，，只要证明即可． 问题如图②，要在河岸上建一座水泵房，修建引水渠；使得到村庄的距离最短．施工人员的做法是：过点作于点，将水泵房建在处，这样修建引水渠最短，既省人力又省物力． （）请在图①中标出河岸中点的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （）问题中所隐含的数学原理是_______． 【感悟方法，尝试应用】 （）如图③，在等边三角形中，是的中线． ①直接写出与的数量关系________． ②若，点为边的中点，点为上一点，当的值最小时，在如图③上标注点的位置，并求出的最小值． 【迁移拓展，综合应用】 （）如图④，在中，，点在斜边上，且，是的角平分线，点、点分别为上一点，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $