2025-2026学年 人教版数学八年级上册期末试卷

2025-2026学年第一学期新人教版数学八年级上册期末试卷 一、单选题（共30分） 1．下列各式中，运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，点在边上，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 4．在下列条件：；；；：：：：中，能确定为直角三角形的条件有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．已知（为常数）是一个完全平方式，则的值为（    ） A． B． C．6 D．12 6．如图，是尺规作图中“作一个角等于已知角”的示意图，具体步骤如下： ①如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； ②画射线，以为圆心，长为半径画弧，交于点； ③以为圆心，长为半径画弧，与上一步所画弧交于点； ④过点画射线，则． 从作图过程中，能判定的依据是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点O，这两条垂直平分线分别交于点D、E，已知的周长为，分别连接、、，若的周长为，则的长为（   ）． A．6.5 B．7.5 C．15 D．43 8．如图，在中，，，则的高与的比是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，点，，，分别为，，的中点，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 10．如图，在与中，，，，，交于点，连接，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（共20分） 11．因式分解： ． 12．等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角的度数是 ． 13．计算： ． 14．如图，点在上，，要使，还要添加一个条件是 ． 15．如图，过边长为4的等边的边上一点D作，垂足为E点． （1） ； （2）点F为延长线上一点，若，连接，线段与相交于点G，则的长为 ． （第8题） （第9题） （第10题） （第14题） （第15题） 三、解答题（共70分） 16．（本题8分）计算下列各题： (1); (2). 17．（本题8分）先化简，再求值： (1)，其中，． (2)，再从2，3，4中选取一个合适的数作为a的值代入求值． 18．（本题8分）点A,B,C,D在同一条直线上,点E,F分别在直线AD两侧,,. (1)在不添加辅助线的前提下,以下条件能利用“”证明的是 . ①；②；③. (2)根据（1）中添加的条件,若,,求的度数. 19．（本题8分）为了深入开展“五育并举，书法进校园”，某中学举行书法比赛，学校购买了一些钢笔字帖和毛笔字帖作为奖品发给在比赛活动中获奖的学生，下表是购买的相关信息： 毛笔字帖 钢笔字帖 购买费用：1200元 单价：1.2x元/本 购买数量： 本． 购买费用：1500元 单价：x元/本 购买数量： 本． (1)请补全表中的购买数量（用含x的式子表示）； (2)已知购买的毛笔字帖的本数比钢笔字帖的本数少20本，求钢笔字帖和毛笔字帖的单价分别是多少元？ (3)如果学校计划用不低于2250元的资金购买钢笔字帖和毛笔字帖共80本，求最多购买钢笔字帖多少本？ 20．（本题8分）如图，在四边形中，，O为的中点，且平分． (1)求证：平分； (2)已知，，求的长． 21．（本题8分）如图，是的高线，E为边上的一点，连接交于点F，． (1)求的度数； (2)若平分，求的度数． (3)若是中上的中线，且，求与周长的差． 22．（本题10分）小刚在数学兴趣小组活动中遇到一个几何问题：如图1，均为等边三角形，与交于点M，与交于点N，与交于点P，连接．探究之间的数量关系． (1)求证：； (2)求证：； (3)试探究之间的数量关系，并说明理由． 23．（本题12分）综合与实践 【问题情境】 在数学实践课上，“智慧小组”将4个全等的长为，宽为的长方形纸片由图1拼成如图2所示的图形． 【操作发现】 （1）根据图1和图2中阴影部分的面积相等的关系，能验证的公式是______，利用此公式解决问题：若，且，求的值． 【解决问题】 （2）已知，求的值． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，分别以为边作正方形和正方形为上一点，点在的延长线上，且，若，，求图中阴影部分（两个正方形的面积和）的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年第一学期新人教版数学八年级上册期末试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D C A D B B B D 1．D 【分析】本题主要考查幂的运算，解题的关键是掌握幂的运算法则． 根据幂的运算法则逐一计算可得． 【详解】解：选项A：，故A错误，不符合题意； 选项B：，故B错误，不符合题意； 选项C：，故C错误，不符合题意； 选项D：，故D正确，符合题意； 故选D． 2．C 【分析】本题考查了平角的定义、平行线的性质和直角三角形的性质，掌握这些性质的综合应用是解题的关键． 先利用平角定义求出，再根据平行线内错角相等的性质得到，最后在直角三角形中用两锐角互余求出． 【详解】解：∵与是邻补角， ∴ ∵， ∴ 在中，，根据两锐角互余：． 故选：C． 3．D 【分析】本题考查因式分解的正确性判断，包括完全平方公式、平方差公式、提取公因式法，解题关键是确保分解彻底且变形正确． 【详解】解：选项A：，分解错误． 选项B：，选项提取公因式不彻底，分解错误． 选项C：，选项未分解彻底，错误． 选项D：，分解正确． 因此，因式分解正确的是选项D． 故选：D． 4．C 【分析】此题考查了三角形内角和定理，解题的关键是灵活利用三角形内角和定理求得内角的度数．根据三角形的内角和是，逐个判断即可． 【详解】解：①由、可得，即，为直角三角形； ②由、可得，即，，是直角三角形； ③由、可得，即，，不是直角三角形； ④由，可以设，，，由可得：，解得，则，，，为直角三角形； 能确定为直角三角形的有3个． 故选：C． 5．A 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键．根据完全平方式得出，比较系数即可求出答案． 【详解】解：∵为完全平方式， ∴完全平方式为， ∴ 解得：． 故选：A． 6．D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键；由作图可知，然后问题可求解． 【详解】解：由作图可知， ∴； 故选D． 7．B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先根据线段垂直平分线性质得，，，再根据的周长为得的长，再根据的周长为，即可得解． 【详解】解：∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴，，，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴． 故选：B ． 8．B 【分析】本题考查了三角形面积的求解，利用三角形面积公式，通过两种不同的底和高计算的面积，从而求解 【详解】解：，， ，即， ， 故选：B 9．B 【分析】本题主要考查了根据三角形中线求三角形的面积，解题的关键是熟练掌握三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形． 先根据点为的中点和，得出，根据点为的中点，得出，根据点是的中点，可得． 【详解】解：点为的中点，， ， 点为的中点， ， 是的中点， ， 故选：B． 10．D 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，余角的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质．根据三角形外角的性质，得出，证明，得出，，即可得出答案． 【详解】解：∵是的外角， ∴，故A正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，，故B、C正确，不符合题意；D错误，符合题意． 故选：D． 11． 【分析】该题考查了因式分解，运用提公因式法分解因式，通过变形后提取公因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12．或 【分析】本题考查等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及分类讨论思想．需要分等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论，利用直角三角形两锐角互余和三角形内角和定理求解． 【详解】解：设等腰三角形中，，为腰上的高，与另一腰的夹角为， ①当为锐角三角形时，高在三角形内部，如图， 在中，，，则， ②当为钝角三角形时，顶角为钝角，高在外部，即点在的延长线上，如图： 在中，，， 则， 综上，该等腰三角形的顶角的度数是或， 故答案为：或． 13． 【分析】本题考查了平方差公式的应用，掌握公式特点并灵活运用是关键； 观察到1002025、1002026和1002027是三个连续整数，设，则，，原式，利用平方差公式简化计算． 【详解】解：设，则，， 原式， ， 故答案为． 14．//(答案不唯一). 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：.注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角，由可得，再添加判定或再添加判定或再添加判定. 【详解】解：①∵， ∴， 即， 在和中 ∴ ∴添加(答案不唯一). 故答案为：(答案不唯一). ②∵， ∴， 即， 在和中 ∴ ∴添加(答案不唯一). 故答案为：(答案不唯一). ③∵， ∴， 即， 在和中 ∴ ∴添加(答案不唯一). 故答案为：(答案不唯一). 15． 2 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟知等边三角形的性质及其判定定理是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得到，求出得到，据此可得答案； （2）过点D作交于点H，证明是等边三角形，得到，；再证明，得到，再由线段的和差关系可得答案． 【详解】解：（1）∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图所示，过点D作交于点H， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 16．(1) (2) 【分析】（1）考查实数的混合运算，包括负整数指数幂、零指数幂、绝对值的化简，关键是牢记各类幂的运算规则，并按“先乘方，后加减”的顺序计算； （2）考查整式的混合运算，包括平方差公式、多项式乘多项式法则、去括号与合并同类项，解题关键是熟练运用公式化简多项式，再通过去括号、合并同类项得到最简结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 17．(1)，6 (2)， 【分析】本题考查了整式的混合运算，分式化简求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算平方差公式以及完全平方公式，再合并同类项，最后运算多项式除以单项式，得，再把，代入计算，即可作答． （2）先通分括号内，再把除法化为乘法，然后化简得，理解题意，结合分母不为0，把代入，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解： ； 把，代入，得． （2）解： ， ∵ ∴ 依题意，把代入，得， 18．(1)②，理由见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质定理； （1）根据全等三角形的判定定理进行判断即可； （2）由得出，再由即可求解． 【详解】（1）解：①作为条件，再结合已知条件：,， 能利用“”证明，故①不符合题意； ②作为条件，可得出，即，再结合已知条件：,，就能利用“”证明，故②符合题意； ③作为条件，无法证明，故③不符合题意； 故答案为：②． （2）解：根据（1）中添加的条件, ∵， ∴，即， 又∵,， ∴， ∴， ∵． 19．(1)见解析 (2)毛笔字帖的单价是30元， 钢笔字帖的单价是25元 (3)该校最多购买钢笔字帖30本 【分析】本题考查了列代数式、分式方程的应用一元一次不等式的应用，掌握实际问题中的数量关系是解题的关键． （1）根据数量等于钱数除以单价列代数式即可； （2）根据购买的毛笔字帖的本数比钢笔字帖的本数少20本列方程求解即可； （3）设该校购买钢笔字帖m本，则购买毛笔字帖本，根据学校计划用不低于2250元的资金购买钢笔字帖和毛笔字帖列一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：补全表中的购买数量如下： 毛笔字帖 钢笔字帖 购买费用：1200元 单价：元/本 购买数量：本． 购买费用：1500元 单价：x元/本 购买数量：本． （2）解：由题意得，． 解得． 经检验，为原方程的解， 所以原方程的解为． 所以． 答：毛笔字帖的单价是30元， 钢笔字帖的单价是25元． （3）解：设该校购买钢笔字帖m本，则购买毛笔字帖本，由题意可得， ， 解得． 答：该校最多购买钢笔字帖30本． 20．(1)见解析； (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，角平分线的判定定理，全等的性质和综合等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先根据角平分线的性质得出，再根据中点的意义得出，从而可得，再根据角平分线的判定得出平分； （2）由（1）得，再证明，从而可得，同理可得，再根据线段的和求得． 【详解】（1）证明：如图，过点O作于E． ∵，平分， ∴． ∵O为的中点， ∴． ∴． 又∵， ∴平分． （2）由（1）得， 在和中， ∵，， ∴． ∴． 同理可得， ∴． ∵，， ∴． 21．(1) (2) (3)2 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的定义和性质，三角形有关的线段． （1）由三角形外角的定义及性质可得，再由三角形内角和定理结合对顶角相等得出 ，最后再由三角形内角和定理计算即可得解； （2）由角平分线的定义可得 ，再由三角形内角和定理计算即可得解； （3）根据三角形中线的定义得到，结合，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵是的高线， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∴． （3）解：∵是中上的中线， ∴， ∵， ∴，即与周长的差为． 22．(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正确作出辅助线解决问题是解题的关键． （1）利用证明即可； （2）由全等三角形的性质求得，再利用三角形内角和定理即可得到； （3）在上取点F．使得，连接，证明是等边三角形，再推出，得到，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵，均为等边三角形， ∴， ∴，即． 在和中， ∴； （2）证明：由（1）可知， ∴， 又∵， ∴； （3）解：．理由如下： 在上取点F．使得，连接． 由（2）可知， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵是等边三角形， ∴，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 23．（1），；（2）；（3） 【分析】本题考查了完全平方公式与图形的面积，完全平方公式变形求值； （1）根据两个图形的面积相等即可得出等式，进而将，代入公式进行计算即可求解； （2）设，则，，再根据完全平方公式变形，即可求解； （3）设，根据题意得出，，进而根据完全平方公式变形，即可求解． 【详解】解：（1）依题意，图1中阴影部分的面积为， 图1中阴影部分的面积为 ， ∵图1和图2中阴影部分的面积相等， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）设， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． （3）解：设， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， 即图中阴影部分（两个正方形的面积和）的面积为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $