湖南省长沙市2025-2026学年高一上学期期末数学模拟试题（人教A版）

湖南省长沙市2025-2026学年上学期期末模拟卷 高一数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教A版必修1. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 2．若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列说法中正确的个数为（   ） （1）与表示同一函数 （2）与表示同一函数 （3）与表示同一函数 （4）与表示同一函数 （5）与表示同一函数 （6）与表示同一函数 A．2 B．3 C．4 D．5 4．2025年，青年数学家王虹和她的合作伙伴约书亚·扎尔（Joshua Zahl）通过一系列复杂的数学论证和创新的方法，成功破解了三维挂谷猜想，轰动整个数学界．挂谷猜想的二维表述为：一个长度为1的线段在平面内转动和平移，转过后，回到原位置，扫过的最小面积是多少？甲同学研究线段在圆上旋转扫过面积问题：已知圆半径为2，点为圆上两点，且，则线段旋转后（始终在圆上），该线段扫过的面积为（    ） A． B． C． D． 5．已知，集合有8个子集，则的一个值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于)，点D在半圆O上，且于E，设，则该图形可以完成的“无字证明”为（    ） A． B． C． D． 7．已知定义域为的函数满足：，且对任意的，都有成立．现有如下的两个结论： ①：“函数是偶函数”； ②：“对任意的，都有成立”． 则以下说法正确的是（   ） A．结论①、②均正确 B．结论①正确，结论②错误 C．结论①错误，结论②正确 D．结论①、②均错误 8．设函数则“”是“在上单调递减”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，是关于的方程的两个不相等的根.若，则（   ） A．或 B． C． D． 10．下列结论正确的有（    ） A． B．已知角的终边在上，则 C．终边落在直线上的角的集合是 D．已知点在第四象限，则角终边在第二象限 11．已知，，且，则下列选项正确的是（    ） A．的最大值为2 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为8 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着许多有趣的数.定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方的和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知所有一位正整数中的自恋数组成集合，集合，则的非空子集个数为 . 13．已知实数为常数，对于幂函数，甲说：是奇函数；乙说：在上单调递增；丙说：的定义域是．甲、乙、丙三人关于幂函数的论述只有一人是正确的，则的取值为 ． 14．设表示不超过的最大整数，方程的最小解与最大解的和为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知集合，集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16．设：实数满足：实数满足 (1)若，且为真命题，为假命题，求的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17．如图，点，为二次函数的图象与轴的交点，点为图象的顶点，的面积为1. (1)求的解析式. (2)设偶函数和奇函数的定义域均为，且. （i）求与的解析式； （ii）若函数在上的最大值为0，求的值. (3)设函数，是否存在，，使得在上单调递增，且在上的值域为？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由. 18．已知函数，. (1)求函数的值域及单调区间； (2)若不等式在上有解，求实数k的取值范围. 19．对于定义域为的函数，若存在常数，使得是以为周期的周期函数，则称为“余弦周期函数”，且称为其“余弦周期”．使得是以为周期的周期函数，则称为“正弦周期函数”，且称为其“正弦周期”． (1)判断函数是否为“余弦周期函数”，并说明理由； (2)已知是以为“正弦周期”的“正弦周期函数”，设为连续函数”，若，，求的值； (3)已知是以为一个“余弦周期”的“余弦周期函数”，且，恒成立，若存在和，使得对任意，都有，证明：是周期函数． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市2025-2026学年上学期期末模拟卷 高一数学（解析版） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A C A D C C BD BD 题号 11 答案 BC 1．B 【分析】结合相等集合的定义、集合元素特征逐一判断即可 【详解】对于A，由集合元素的互异性知，集合表示错误，A错误； 对于B，解得，此时与集合表示同一个集合，B正确； 对于C，且，故两集合不表示同一集合，C错误； 对于D，集合表示点集，只有一个元素，D错误. 故选：B. 2．D 【分析】结合已知条件得与同号，进而得，整理即判断D，对于ABC，利用特殊值判断不成立即可. 【详解】由得，即， 所以与同号， 对于A选项，当时，满足，，故不一定成立，错误； 对于B选项，当时，满足，，此时，故错误； 对于C选项，当时，满足，，此时，故错误； 对于D选项，由得，整理得，即，故正确. 故选：D 3．A 【分析】根据同一函数的定义，结合函数的定义域与对应关系，逐个分析判断，即可求解. 【详解】（1）由函数的定义域为，函数的定义域为， 两函数的定义域不同，所以不是同一函数； （2）函数的定义域为， 函数的定义为， 两函数的定义域不同，所以不是同一函数； （3）函数的定义为，函数的定义为， 两函数的定义域不同，所以不是同一函数； （4）函数的定义域为，函数的定义域为， 两函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以是同一函数； （5）函数的定义域为，函数的定义域为， 两函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以是同一函数； （6）函数的定义域为，函数的定义域为， 两函数的定义域不同，所以不是同一函数. 故选：A. 4．C 【分析】如图，由题意知线段扫过的面积为图中阴影部分的面积，求出点到的距离，故线段旋转过程中始终与以为圆心，1为半径的小圆相切，记旋转前和旋转后的切点分别为，求出矩形的面积，从而得到的面积；求出等边三角形的面积，求出扇形的面积，从而得到的面积；求出三角形的面积，求出扇形的面积，从而得到的面积.则可得到阴影部分的面积. 【详解】如图，由题意知线段扫过的面积为图中阴影部分的面积， 点到的距离， 故线段旋转过程中始终与以为圆心，1为半径的小圆相切， 记旋转前和旋转后的切点分别为，矩形的面积为， 故；等边三角形的面积为， 扇形的面积为，故； 三角形的面积为， 扇形的面积为，故. 故阴影部分面积. 故选：C． 5．A 【分析】根据已知条件得出集合中元素的个数，从而得出的因数个数，即可求出的值． 【详解】由题意得集合中有8个子集， 又，集合中有三个元素，即有三个正因数， 而在正整数中，恰有3个正因数的数是质数的平方， 设为质数，则，此时正因数为， ，，则或3， 的值可以为4或9，故A正确． 故选：A． 6．D 【分析】根据圆和直角三角形的性质得到、、，结合即可得. 【详解】由，可得半圆的半径， 由，， 所以， ， 由图知，则. 故选：D 7．C 【分析】利用赋值法得到，令得到，若为偶函数，得到，，与题目矛盾，故结论①错误；令，则不等式等价为， 利用赋值法化简得到. 【详解】令 ，得到，即； 令，所以， 即，所以； 即； 若为偶函数，所以，则，即； 但是，与题目矛盾，故结论①错误； 需证明， 令，则不等式等价为； 因为， 令得； 令得； 所以， 因为，所以，所以结论②正确. 故选：C. 8．C 【分析】先分析每一段的单调性，再分析分段点处的衔接条件，即可求出在上单调递减的充要条件. 【详解】当时，，这是底数为的指数函数，在上单调递减； 当时，，这是开口向上、对称轴为的二次函数，在上单调递减（对称轴左侧递减）； 充分性：若，则，即，因为，所以，又因为两段函数在各自区间上均单调递减，所以在上单调递减. 必要性：若在上单调递减，则分段点处必须满足，即. 故选：C. 9．BD 【分析】利用换元法设，将关于的指数方程转化为关于的一元二次方程，再利用根与系数的关系即可求解. 【详解】令，则，且关于的方程有两个不相等的正根，所以，解得； 因为，所以，又，所以，解得或（舍去），故A错误； 由A选项知，，所以，又，所以，解得或，即或； 当时，；当时，；所以，则，故B正确； 由B选项知，，故C错误； 由B选项知，，故D正确. 故选：BD. 10．BD 【分析】利用三角函数的性质和定义、诱导公式、象限角的符号规律及终边相同角的集合分析判断各选项． 【详解】对于A，，，，故A错误； 对于B，角的终边在直线上， ，，故B正确； 对于C，终边落在射线上的角的集合为， 终边落在射线上的角的集合为， 终边落在直线上的角的集合为，故C错误； 对于D，点在第四象限，，，则角终边在第二象限，故D正确． 故选：BD． 11．BC 【分析】对于A，根据，结合基本不等式即可求解；对于B，根据将化简为即可求解；对于C，进行、变换，再结合及基本不等式即可求解；对于D，根据化简为，对结合基本不等式放缩，原式可放缩为，再结合基本不等式放缩一次即可求解． 【详解】对于A，， 根据基本不等式可得，当且仅当成立，联立可得， 所以，即的最小值为，并非最大值为，故A错误； 对于B，由，可得，因为，， 所以，代入并化简可得， 所以当时，取得最大值，此时，故B正确； 对于C，，，令，， 则，且，，那么， 根据基本不等式，，当且仅当，即， 联立，可得时成立，所以， 即的最小值为，故C正确； 对于D，，由， 可得，则， 根据基本不等式，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以， 令，则，， 根据基本不等式，当且仅当，即， 也即时取等号，所以， 综上所述，当且仅当且时，等号成立， 所以的最小值为，并非，故D错误． 故选：BC． 12．15 【分析】根据题中定义，结合集合交集的定义、非空子集个数公式进行求解即可. 【详解】依题意，，， 故，故的非空子集个数为. 故答案为：. 13．-1 【分析】利用幂函数的定义可求得的值，根据的值分类讨论即可. 【详解】由是幂函数，得，解得或, 当时，，此时函数是奇函数，在上单调递减，定义域为，此时乙和丙的论述是错误的，甲的论述是正确的，符合题意； 当时，，此时函数是偶函数，在上单调递增，定义域为R，此时乙和丙的论述是正确的，甲的论述是错误的，故不符合题意； 综上所述，的取值为， 故答案为： 14． 【分析】设（为整数，），将代入，得到，要比较的大小，先要比较的大小，若相等，再比较的大小，得到，所以的最大值只有当时取到，且最大值为0，此时的最大解为0，又因为，所以，当且仅当时，，因此的最小解为，求出的最小解与最大解的和. 【详解】设（为整数，），代入， 得， 即， 显然均为整数， 故， 即， 对于每个不同的，确定了唯一的有序实数对，从而也互不相同， 要比较的大小，先要比较的大小，若相等，再比较的大小， 因为， 所以的最大值只有当时取到，且最大值为0，此时的最大解为0， 又因为， 所以，当且仅当时，，此时的最小解为， 综上，方程的最小解与最大解的和为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：设（为整数，），将代入，得到，再进行下一步求解. 15．(1) (2) 【分析】（1）对集合是否为空集进行分类讨论，再根据集合间的基本关系即可求得实数的取值范围； （2）根据充分不必要条件可得是集合的真子集，得出相应不等式可求出结果. 【详解】（1）若，即，解得，此时满足题意； 若，即，解得； 又，所以或，即可得； 所以可得； 因此实数的取值范围为. （2）若是的充分不必要条件，可得集合是集合的真子集； 所以需满足，且两个不等式中的等号不同时成立， 解得， 因此实数的取值范围. 16．(1) (2) 【分析】（1）根据真假命题定义求解不等式即可； （2）利用充分不必要条件定义进行求解. 【详解】（1）时，为真命题，则，解得； 为假命题，则为真命题， 所以，即，解得或， 所以的取值范围为； （2）解得， 设，， 因为是的充分不必要条件，所以集合是的真子集， 所以，解得， 所以的取值范围为. 17．(1) (2)（i），；（ii）或 (3)存在，， 【分析】（1）设，，由的面积为1，得，即可求得解析式； （2）（i）由，结合是偶函数，是奇函数，化简得，；（ii）利用二次函数的性质分和两种情况即可求解； （3）先求得的表达式，得到在上单调递减，在上单调递增，因为在上单调递增，所以，且， 即可求得，. 【详解】（1）设，其中，设， 因为的面积为1，所以，得， 将A的坐标代入，得，解得， 所以； （2）（i）由①， 得②， 因为是偶函数，是奇函数， 所以由②得③， 由①和③得，，； （ii）由（i）得，， ， ； 当时，， 解得（舍去）或； 当时，， 解得（舍去）或； 故k的值为或； （3）依题意得， 则在上单调递减，在上单调递增， 因为在上单调递增，所以， 则，即， 解得， 故，. 18．(1)的值域为，单调递减区间为，单调递增区间为； (2). 【分析】（1）化简得，利用换元法及二次函数的性质求解即可； （2）化简得在上有解，由，得，从而得，利用对勾函数的性质求解即可. 【详解】（1）， 设，， 所以， 所以即为， 又因为， 所以的值域为； 且在上单调递减，在上单调递增， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以的值域为，单调递减区间为，单调递增区间为； （2）因为， 令， 则原不等式等价于在上有解， 即在上有解， 又因为，得， 所以， 由对勾函数的性质可知， 所以， 所以实数k的取值范围为. 19．(1)是“余弦周期函数”，理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用余弦函数的周期性，检验是否存在常数使得对所有成立，通过选取并利用余弦函数周期为的整数倍的性质进行验证； （2）根据正弦周期函数的定义，由推导出与的关系式，结合已知函数值代入特殊点，通过解整数参数方程确定具体表达式，进而计算函数值； （3）方法一：首先分情况讨论系数的取值，在时直接得出周期函数结论，在时利用迭代关系，并借助余弦函数的单调区间及余弦周期条件，通过选取适当的整数使得函数值落入单调区间，从而由余弦值相等推出自变量相等，最终导出对任意成立； 方法二：假设不是周期函数，则存在使，当时，取适当整数使与均落在内，由余弦周期条件得，利用余弦函数在上的单调性可得，即，矛盾，故必为周期函数. 【详解】（1）， 则， 故， 所以是“余弦周期函数”． （2）因为是以为“正弦周期”的“正弦周期函数”， 所以对所有成立． 即或． 若， 则， 则，． 则， 所以． 若， 则， 则，，矛盾． 综上，． （3）证明：法一：若，则由可知为周期函数． 若，则对任意，存在正整数，使得且． 由可得，， 由是以为一个“余弦周期”的“余弦周期函数”，可得， 所以， 因为在上单调递减， 所以， 即， 所以对，都有， 故是周期函数． 若，则同理可证（取为负整数即可）． 综上，是周期函数，得证． 法二：假设不是周期函数， 则与均不恒成立． 显然． 因为不恒成立， 所以存在，使得， 因为， 所以存在，使得且， 其中若，取为负整数；若，取为正整数． 由可得，， 由是以为一个“余弦周期”的“余弦周期函数”，可得， 所以， 因为在上单调递减， 所以， 即，矛盾，假设不成立． 综上，是周期函数，得证． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $