精品解析：上海市杨浦区2025-2026学年八年级上学期数学期末考试试卷

2025学年第一学期期末质量调研卷八年级数学学科 （时间：90分钟 分值：100分） 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分，下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上） 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】无理数是无限不循环小数，不能表示为两个整数之比． 本题考查了无理数的识别，掌握基本概念是解题关键． 【详解】解：A. ，为整数，故不符合题意； B.为无限不循环小数，是无理数，故符合题意； C.表示为分数，故不符合题意； D.是分数，故不符合题意； 故选：B． 2. 如果在数轴上的点到原点的距离是，那么表示点的实数为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据数轴上点到原点的距离等于该点所表示实数的绝对值． 本题考查数轴上距离与绝对值的性质，掌握基本概念是解题关键． 【详解】解：∵点A到原点的距离是， ∴， ∴． 故选：C． 3. 下列根式中，最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义，被开方数中不含分母且每个因式的指数都小于2． 本题考查了最简二次根式，掌握基本概念是解题关键． 【详解】A. 被开方数含小数，等价于含分母，不是最简； B. ，被开方数含平方因子4，不是最简； C. 被开方数无分母且因式指数均为1，是最简； D. ，被开方数含指数为2，不是最简． 故选：C． 4. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选C． 5. 如图，用个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为．记这个图形的周长（实线部分）为，则下列整数与最接近的是（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，无理数的估算，掌握勾股定理的计算，无理数的估算方法是解题的关键． 根据勾股定理得到第九个直角三角形的斜边长，得到该图形周长，根据无理数的估算即可求解． 【详解】解：每一个直角三角形都有一条直角边长为，如图所示， ∴左起第一个直角三角形的斜边长为， 第二个直角三角形的斜边长为， 第三个直角三角形的斜边长为， 第四个直角三角形的斜边长为， ， ∴第九个直角三角形的斜边长为， ∴这个图形的周长（实线部分）为， ∵，， ∴，即， ∴， ∴最接近的是13， 故选：B ． 6. 如图，点是的内心，过点作、、，垂足分别为点、、，下列结论一定成立的是（ ） A. 点是三条高的交点 B. 点是三条中线的交点 C. 点是三条角平分线的交点 D. 点是三边垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的内心和垂直平分线的性质，掌握三角形的内心是解题的关键． 首先根据点是的内心知道点是三条角平分线的交点，进而得到，再根据，得到点在和的垂直平分线上，即可推断点是三边垂直平分线的交点． 【详解】解：∵点是的内心，、、， ∴， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∴点是三边垂直平分线的交点， 故选：D． 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分，请将结果直接填入答题纸的相应位置上） 7. 若二次根式有意义，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式有意义，被开方数为非负数，列不等式求解． 【详解】解：根据二次根式的意义，得2x－4≥0， 解得x≥2． 故答案为：x≥2． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件． 8. 计算：______． 【答案】2 【解析】 【详解】解：． 9. 化简：=_______________ 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质化简即得答案. 【详解】解：， 故答案为. 【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简，属于常考题型，掌握化简的方法是关键. 10. 方程的根为__________ 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用因式分解法求解即可． 【详解】解： 或， ∴，， 故答案为：，． 11. 在实数范围内因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数范围内因式分解，首先配成完全平方公式，然后利用平方差公式进行因式分解即可，配成完全平方公式及熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 12. 将方程去分母后，所得的整式方程的一般式是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，首先将分母因式分解，然后确定最小公倍数，两边同乘去分母，再展开和整理得到整式方程的一般式． 【详解】解：， 方程可化为， 去分母，得， 整理，得， 故答案为：． 13. 一件商品原价300元，连续两次降价后，现售价是243元，设平均每次降价的百分率为，根据题意，可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，写出连续两次降价后的方程是解题的关键． 首先根据现售价与原价的关系为原价降价率现售价，列出方程即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x， 则第一次降价后价格为元，第二次降价后价格为元， 根据题意，得， 故答案为：． 14. 设、是方程的两根，则_____． 【答案】 3 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和等于 ，直接代入系数计算即可． 本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系，掌握基本概念是解题关键． 【详解】解：方程 中，，， 则 ． 故答案为：． 15. 如图，在中，，于点，点为的中点，连接．已知，，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形“三线合一”、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 首先根据等腰三角形“三线合一”求解的长度，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵，于点， ∴， 在中，， ∵点为的中点， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在中，，与是的两个外角，平分，交的平分线于点，连接，交于点．若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理、角平分线的性质和判定，证明平分是解题的关键． 首先在中根据三角形的内角和定理求出的度数，再构造角平分线向角两边的垂线进而得到即可证明平分，因此可以求出的度数，最后在中根据三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：在中，，， ∴， 如图，作于点H，作于点I，作于点J， ∵平分，交的平分线于点， ∴，， ∴， ∴平分， ∴， 在中，，， ∴， 故答案为：． 17. 《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽：有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺：竖放，竿比门高长出2尺：斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是__________尺． 【答案】8 【解析】 【分析】设门高尺，则竿长为尺，门的对角线长为尺，门宽为尺，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：设门高尺，依题意，竿长为尺，门的对角线长为尺，门宽为尺， ∴， 解得：或（舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，根据题意建立方程是解题的关键． 18. 如图，在中，，，点是的中点，连接，将绕点旋转，得到．连接，当时，________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的性质的综合，掌握等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质可得的值，作，根据平行线的性质可得是等腰直角三角形，可求出的长，在直角中，根据勾股定理可求出的长度，由此即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴在中，， ∵将绕点旋转得到， ∴， ∴，，， 分情况讨论： ①如图所示，过点B作，垂足为点， ∵∥， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， 在中，， ∴， ②如图所示，当点D运动到点F′时，此时， 同理可得，， ∴ 故答案为：或． 三、解答题（本大题共7题，满分46分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，立方根，先进行分母有理化，化简二次根式和绝对值，计算立方根，最后算加减法即可． 【详解】解： ． 20. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法，正确计算是解题的关键．用公式法解一元二次方程． 【详解】解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 21. 如图，在直角三角形中，，点在边上，且平分．求证：． 【答案】 解：如图，作于点E， ∵平分， ∴， 在中，， ∴是斜边，是直角边， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质、三角形中三边的关系，利用三角形中三边的关系判断边长的关系是解题的关键． 首先根据平分结合角平分线的性质得到，再在中，是斜边，是直角边，判断的长度关系即可． 【详解】略 22. 在“理财小课堂”中，小明了解到某理财产品按年计息，有单利和复利两种不同的计息方式： 单利法是指每年依据最初本金计算利息，不考虑前期利息所产生的利息； 复利法是指每年依据本金和前期利息之和计算利息． 小明准备将10000元购买该理财产品，银行提供如下两种方案（年利率相同）： 方案一：按单利法存2年； 方案二：按复利法存2年． 两年后，方案二得到的本利和比方案一多100元，请计算年利率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设年利率为，根据“两年后，方案二得到的本利和比方案一多100元”，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设年利率为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：年利率为． 23. 如图，在边长均为1的正方形网格中，的顶点均在格点上．（在图中不能再另外补充网格） （1）________；（直接写出结果） （2）请只用无刻度的直尺，利用格点在图①中作出的平分线，并标注字母，进行证明； （3）请只用无刻度的直尺，在图②中利用格点，用不同于（2）的方法作出的平分线，并简单说明理由．（作出必要线段、标注字母辅助说理，保留作图痕迹，不要求证明） 【答案】（1）4； （2） 如图即为所求， （3） 如图， 【解析】 【分析】本题考查在网格中只用无刻度的直尺作角平分线，角平分线的性质； （1）观察图形即可解答； （2）过点B连接小正方形对角线即可解答； （3）根据角平分线的性质即可解答． 【小问1详解】 解：由图可知小正方形的边长均为1，占4个边长则； 【小问2详解】 解：由图可知，且点在格点上， ∵正方形对角线平分两个对角， ∴连接小正方形的对角线，即为的平分线； 【小问3详解】 解：过点作于点，且，再过点作于点，且， ∵，且, ∴是的平分线． 24. 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理． （1）如图1、2、3，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有________个； （2）如图3，在中，，分别以、、为边向外作等边三角形、、．记的边长为、面积为，的边长为、面积为，的边长为、面积为．请证明图3中、、之间的数量关系； （3）如图4，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图5的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，请直接写出________． 【答案】（1）3 （2） ， 证明：∵的边长为、面积为， ∴， ∵的边长为、面积为， ∴， ∵的边长为、面积为， ∴， 在中，， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的证明、一元二次方程与几何图形，理解题意求得、是解题的关键． （1）根据题意设直角三角形的短直角边为a，长直角边为b，斜边为c，分别表示出正方形、半圆、等边三角形的面积，结合勾股定理得出的，判断正误即可； （2）根据（1）的过程即可证明等边三角形、、之间的数量关系； （3）根据题意设出，，，将阴影部分的面积和空白面积利用m，n，a表示出来得到一个一元二次方程，再根据推断出m与a之间的关系，得到进而将看为一个整体进行求解即可． 【小问1详解】 解：设直角三角形的短直角边为a，长直角边为b，斜边为c， 在图1中，，，， ∵直角三角形中，， ∴； 在图2中，，，， ∵直角三角形中，， ∴； 在图3中，，，， ∵直角三角形中，， ∴； ∴满足的有3个， 故答案为：3； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，由题意得：，，是直角三角形，，且，为正数， ∴大正方形的面积为，小正方形的面积为， 设， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴，即，解得：（负值已舍去）， 将代入，得：， ∴， 令，则， 解得：（负值已舍去）， ∴， 故答案为：． 25. 综合与实践 数学小组在学习完“直角三角形”这一单元后，进行了研究． 发现： （1）如图1，在和中，，，，点在线段上，连接、、则和的数量关系是________，和的位置关系是________． 深入研究： （2）如图2和图3，将绕点旋转（旋转角），其他条件与（1）相同，（1）中的结论是否成立？若成立，请选择一种情况证明；若不成立，请说明理由． 拓展延伸： （3）如图4，若图2中的点落在线段上，其他条件不变，则此时线段、、的数量关系是________． （4）如图5，是等腰直角三角形，，点为外一点，且，连接．若，，则的长为________． 【答案】（1），； （2）解：结论，仍然成立．理由： 延长交于F，如图2， ∵， ∴，， ∴ ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴； 如图3， ∵， ∴，， ∴ ∵，， ∴， 同理可证； （3）； （4）6 【解析】 【分析】（1）证明可得数量关系，证可得位置关系； （2）先证明，结合，，证明可得数量关系，证可得位置关系； （3）先证明，结合，，证明可得，，则，再结合勾股定理可得结论； （4）作等腰直角三角形，，，连接，则，，，同理可得，， 则，结合即可解答． 【详解】（1）解：延长交于F，如图1， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴和的数量关系是，位置关系是； （2）略 （3）解：如图4， ∵， ∴，， ∴ ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （4）解：如图5，作等腰直角三角形，，，连接，则，，， 同理可得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，旋转的性质，熟练的利用数形结合的方法进行证明是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期期末质量调研卷八年级数学学科 （时间：90分钟 分值：100分） 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分，下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上） 1. 下列实数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 2. 如果在数轴上的点到原点的距离是，那么表示点的实数为（ ） A. B. C. D. 5 3. 下列根式中，最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 5. 如图，用个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为．记这个图形的周长（实线部分）为，则下列整数与最接近的是（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 6. 如图，点是的内心，过点作、、，垂足分别为点、、，下列结论一定成立的是（ ） A. 点是三条高的交点 B. 点是三条中线的交点 C. 点是三条角平分线的交点 D. 点是三边垂直平分线的交点 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分，请将结果直接填入答题纸的相应位置上） 7. 若二次根式有意义，则的取值范围是_________． 8. 计算：______． 9. 化简：=_______________ 10. 方程的根为__________ 11. 在实数范围内因式分解：_____． 12. 将方程去分母后，所得的整式方程的一般式是_____． 13. 一件商品原价300元，连续两次降价后，现售价是243元，设平均每次降价的百分率为，根据题意，可列方程为______． 14. 设、是方程的两根，则_____． 15. 如图，在中，，于点，点为的中点，连接．已知，，那么______． 16. 如图，在中，，与是的两个外角，平分，交的平分线于点，连接，交于点．若，则_____． 17. 《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽：有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺：竖放，竿比门高长出2尺：斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是__________尺． 18. 如图，在中，，，点是的中点，连接，将绕点旋转，得到．连接，当时，________． 三、解答题（本大题共7题，满分46分） 19. 计算：． 20. 解方程：． 21. 如图，在直角三角形中，，点在边上，且平分．求证：． 22. 在“理财小课堂”中，小明了解到某理财产品按年计息，有单利和复利两种不同的计息方式： 单利法是指每年依据最初本金计算利息，不考虑前期利息所产生的利息； 复利法是指每年依据本金和前期利息之和计算利息． 小明准备将10000元购买该理财产品，银行提供如下两种方案（年利率相同）： 方案一：按单利法存2年； 方案二：按复利法存2年． 两年后，方案二得到的本利和比方案一多100元，请计算年利率． 23. 如图，在边长均为1的正方形网格中，的顶点均在格点上．（在图中不能再另外补充网格） （1）________；（直接写出结果） （2）请只用无刻度的直尺，利用格点在图①中作出的平分线，并标注字母，进行证明； （3）请只用无刻度的直尺，在图②中利用格点，用不同于（2）的方法作出的平分线，并简单说明理由．（作出必要线段、标注字母辅助说理，保留作图痕迹，不要求证明） 24. 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理． （1）如图1、2、3，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有________个； （2）如图3，在中，，分别以、、为边向外作等边三角形、、．记的边长为、面积为，的边长为、面积为，的边长为、面积为．请证明图3中、、之间的数量关系； （3）如图4，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图5的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，请直接写出________． 25. 综合与实践 数学小组在学习完“直角三角形”这一单元后，进行了研究． 发现： （1）如图1，在和中，，，，点在线段上，连接、、则和的数量关系是________，和的位置关系是________． 深入研究： （2）如图2和图3，将绕点旋转（旋转角），其他条件与（1）相同，（1）中的结论是否成立？若成立，请选择一种情况证明；若不成立，请说明理由． 拓展延伸： （3）如图4，若图2中的点落在线段上，其他条件不变，则此时线段、、的数量关系是________． （4）如图5，是等腰直角三角形，，点为外一点，且，连接．若，，则的长为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $