第五章三角函数期末复习题-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第五章三角函数期末通关复习题 一、单选题 1．已知某扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 2．若，则（    ） A． B． C． D． 3．设，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知、为锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，当时，，，则下列结论正确的是（    ） A．函数的最小正周期为. B．函数的图象的一个对称中心为 C．函数的图象的一条对称轴方程为 D．函数的图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到 6．函数（其中，）的部分图象如图所示，为得到的图象，可以将函数的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 7．设函数，则下列结论中正确的是（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递减 D．在上的最小值为 8．函数在一个周期内的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．函数在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A． B． C．的对称轴为， D．的单调递增区间为， 10．下列说法中正确的有（   ） A．若终边上一点的坐标为，则 B． C． D．若，且，则 11．已知函数，则（ ） A． B．的最小正周期为 C．图象的对称中心为 D．不等式的解集为 三、填空题 12．若，则 ． 13．函数部分图象如图所示，则函数解析式为 .    14．已知函数，为的零点，为图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为 . 四、解答题 15．已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为； (1)若，求扇形的弧长； (2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？并求出此时的半径. 16．已知点在角的终边上，且． (1)求的值； (2)求的值． 17．已知函数的部分图象如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)求在上的单调递增区间； (3)将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，所得图象经过点，求的最小值. 18．如图，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边与单位圆的交点，将角的终边绕点按逆时针方向旋转后得到角，此时点旋转至点. (1)求的值； (2)求的值 (3)求的值. 19．已知函数的部分图象如图所示．    (1)求函数的解析式； (2)解不等式； (3)若关于x的方程在上有四个不同的实数根，求实数a的取值范围． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】由扇形的面积公式求得扇形的半径，进而由弧长公式计算可得. 【详解】设扇形的弧长为，半径为，根据已知的扇形的圆心角，面积， 由扇形的面积公式,得，解得， 由弧长公式， 故选：B 2．C 【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解. 【详解】[方法一]：直接法 由已知得：, 即：， 即： 所以 故选：C [方法二]：特殊值排除法 解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取，排除A, B； 再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β，排除D；选C. [方法三]：三角恒等变换 所以 即 故选：C. 3．D 【解析】利用诱导公式化简的表达式，然后利用诱导公式可计算出的值. 【详解】， 因此，. 故选：D. 【点睛】本题考查利用诱导公式化简求值，解题的关键就是利用诱导公式化简的表达式，考查计算能力，属于基础题. 4．C 【解析】求出，然后利用两角和的正切公式可求得的值. 【详解】为锐角，则，所以，， . 故选：C. 【点睛】本题考查利用两角和的正切公式求值，考查计算能力，属于基础题. 5．D 【分析】利用时，，得到和，求得的解析式，根据正弦函数的图象和性质逐项排除即可. 【详解】因为，所以，又， 所以或，因为， 所以的最小正周期为，所以，故A错误； 又，所以，又，所以， 所以； 令()，得()， 所以函数的对称中心为()，所以B错误； 由()，解得()，故C错误； ，向右平移单位长度得，故D正确. 故选：D. 【点睛】本题考查正弦型三角函数的图象和性质，是一道三角函数不错的题.关键难点是利用已知条件得到必然同时为最大值点或同时为最小值点，从而求得函数的周期，得到的值.对于的对称轴可将看成一个整体,利用正弦函数的对称轴和中心计算求得；函数的图象的平移变换对应将按照“左加右减”口诀代换得到. 6．D 【解析】根据图象求出函数的解析式，并将函数的解析式变形为，利用平移变换可得出结论. 【详解】由图象可知，，函数的最小正周期为，， ， ，，，得，， ， 因此，只需将函数的图象向右平移个单位可得到函数的图象. 故选：D. 【点睛】本题考查三角函数图象变换，解答的关键就是根据图象求出函数的解析式，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 7．C 【分析】计算的值，可判断A、B选项的正误；由计算的取值范围，利用正弦函数的单调性可判断C选项的正误；由计算的取值范围，利用正弦函数的基本性质可判断D选项的正误.进而可得出合适的选项. 【详解】，，所以，A、B选项均错误； 当时，，所以，函数在区间上单调递减，C选项正确； 当时，，则，D选项错误. 故选：C. 【点睛】本题考查正弦型函数基本性质的判断，考查了正弦型函数对称性、单调性与最值的判断，考查推理能力，属于中等题. 8．C 【分析】由函数图像求出，利用周期公式求出，将代入函数求出. 【详解】由函数图像可知，所以，又，所以， 将代入得到，因为，所以， 故，解得． 故选：C． 9．ACD 【分析】根据图象求得，结合三角函数的对称性、单调性求得正确答案. 【详解】由图知，，则，所以， 此时，代入得，即， 所以，则， 又，则，所以，故B错误； 而，故A正确； 令，解得，故C正确； 令，解得， 所以的单调递增区间为，，故D正确. 故选：ACD. 10．BD 【分析】对于A，由余弦的定义即可得解；对于B，运用诱导公式及和角的正弦公式即可得解；对于C，运用二倍角的余弦公式即可得解；对于D，根据可解得，结合，可求得，进而可求得，即可得解. 【详解】对于A：因，则，则，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：由二倍角的余弦公式，可得，故C错误； 对于D：由①两边取平方，可得，化简得， 因，故，则， 由，可得②， 联立①②，解得，故，故D正确． 故选：BD． 11．AD 【分析】直接代入计算可判断A的正误；根据正切函数周期性可判断B的正误；根据正切函数的对称性，整体代入求解，可判断C的正误；利用正切函数单调性解不等式，可判断D的正误. 【详解】对于选项A，，所以A正确； 对于选项B，的最小正周期，所以B错误； 对于选项C，由正切函数对称中心得，解得， 所以图象的对称中心为，所以C错误； 对于选项D，由得， 所以，解得，所以D正确. 故选：AD. 12．/ 【分析】根据诱导公式即可得到答案. 【详解】因为， 所以 故答案为： 13． 【分析】由图象可知：，结合周期性可得，代入点运算求解即可. 【详解】由图象可知：， 设函数的最小正周期为T，则，即， 且，则，解得， 所以， 又因为，且，则， 可得，解得， 所以. 故答案为：. 14．5 【分析】先根据是的零点，是图象的对称轴可转化为周期的关系，从而求得的取值范围，又根据所求值为最大值，所以从大到小对赋值验证找到合适的最大值即可． 【详解】由题意可得， 即，解得， 又因为在上单调， 所以，即 因为要求的最大值，令，因为是的对称轴， 所以，又，解得， 所以此时， 令，解得， 所以函数在区间上单调递减， 即函数在区间，上单调递增，在区间上单调递减， 故在不单调，不符合题意舍去； 令，因为是的对称轴， 所以，又，解得， 所以此时， 令，解得， 所以函数在区间上单调递减， 即函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故在不单调，不符合题意舍去； 同理，令，， 令，解得， 在上单调递减，因为， 所以在单调递减，满足题意，所以的最大值为5． 故答案为：5. 15．(1) (2)，， 【分析】（1）利用弧长公式可得答案； （2）利用周长和面积公式，结合二次函数可得答案. 【详解】（1）， . （2）由已知得，， 所以，， 所以当时，面积取得最大值， 此时，所以. 16．(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数定义构造方程可解得或，再根据正弦符号可得； （2）利用三角函数定义计算出，代入计算可得结果. 【详解】（1）由点在角的终边上，且， 即，整理可得或； 又因为，，所以点一定在第二象限，即， 所以； （2）由（1）可得，所以； 代入可得. 17．(1) (2)和. (3). 【分析】（1）根据最值以及周期即可求解， （2）利用整体法得到不等式组，解出后，再合理赋值求解即可， （3）利用函数图像的平移变换，即可结合图像经过求解. 【详解】（1）由题意知函数的最大值为2，最小值为－2，故，     函数的最小正周期，又，所以，     由，所以，，解得，，又，得，     所以. （2）令，，解得，， 因为，所以令，得，又，所以； 令，得， 又，所以， 所以函数在上的单调递增区间为和. （3）将函数图象上所有的点向右平移个单位长度得到，     又图象经过点，所以，，     解得，，所以，即的最小值是. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用三角函数的定义，即可得到答案； （2）根据题意得到，利用三角函数的定义和诱导公式，即可得出答案. （3）利用诱导公式，准确化简，即可得出答案. 【详解】（1）因为为角终边与单位圆的交点， 根据三角函数的定义，可得，. （2）因为为角终边与单位圆的交点， 根据三角函数的定义可得，， 因为将角的终边绕点按逆时针方向旋转后得到角，可得， 所以，， 所以. （3）因为，， ，， 所以. 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据图象的特殊点，结合周期的性质和公式、代入法进行求解即可； （2）不等式化简为，再根据余弦函数的性质，结合特殊角的余弦值进行求解即可； （3）根据诱导公式以及同角三角函数基本关系化简方程得，， 再令，则，根据与的对应关系可知， 在上有两个不相等的实数根，再参变分离， 转化为，换元后，再利用方程的根与图象交点个数关系求解即可. 【详解】（1）由图可知，周期，故， 此时，代入，可得， 故，解得， 由于，故取，，； （2）由， 则有，解得， 所以不等式的解集为. （3）由可得 ， 该方程在上有四个不同的实数根， 令，则，， 则，， 令，则， 如图，要使在上有四个不同的实数根，    则需要在上有两个不相等的实数根， 故， 由于时，无解，故， 则，令，则且， 故， 由于在上单调递减， 此时至多一个实数根，不符合题意，故， 如图：当时， ， ，当且仅当时，取等号， 故．    2 1 学科网（北京）股份有限公司 $