福建省厦门外国语学校石狮分校2025-2026学年高二上学期数学期末复习专项训练：数列

厦门外国语学校石狮分校高二数学期末复习专题：数列 一、等差数列定义的判断 1.（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则( ) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.， 【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为， 则， 因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即为常数，设为， 即，则，有， 两式相减得：，即，对也成立， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C正确. 方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即， 则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即， 即，， 当时，上两式相减得：，当时，上式成立， 于是，又为常数， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件. 故选：C 二、等差数列前n项和基本量的计算 2.（2025·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前n项和，若则( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等差数列前n项和公式结合题意列出关于首项和公差d的方程求出首项和公差d，再由等差数列前n项和公式即可计算求解. 【详解】设等差数列的公差为d，则由题可得 ， 所以. 故选：B. 3.（2023·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和．若，则( ) A．25 B．22 C．20 D．15 【答案】C 【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列的公差和首项，再根据前项和公式即可解出； 方法二：根据等差数列的性质求出等差数列的公差，再根据前项和公式的性质即可解出． 【详解】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得， ，即, 又，解得：， 所以． 故选：C. 方法二：，，所以，， 从而，于是， 所以． 故选：C. 4.（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等差数列的前n项和，若，，则 . 【答案】95 【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出，再利用等差数列的求和公式节即可得到答案. 【详解】因为数列为等差数列，则由题意得，解得， 则. 故答案为：. 5.（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． (1)若，求的通项公式； (2)若为等差数列，且，求． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可； （2）由为等差数列得出或，再由等差数列的性质可得，分类讨论即可得解. 【详解】（1），，解得， ， 又， ， 即，解得或（舍去）， . （2）为等差数列， ，即， ，即，解得或， ，， 又，由等差数列性质知，，即， ，即，解得或（舍去） 当时，，解得，与矛盾，无解； 当时，，解得. 综上，. 三、等差数列性质的应用 6.（2024·全国甲卷·高考真题）已知等差数列的前项和为，若，则( ) A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成和来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理. 【详解】方法一：利用等差数列的基本量 由，根据等差数列的求和公式，， 又. 故选：D 方法二：利用等差数列的性质 根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式， ，故. 故选：D 方法三：特殊值法 不妨取等差数列公差，则，则. 故选：D 7.（2024·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，，则( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由结合等差中项的性质可得，即可计算出公差，即可得的值. 【详解】由，则， 则等差数列的公差，故. 故选：B. 四、等比数列基本量的计算 8.（2023·全国乙卷·高考真题）已知为等比数列，，，则 . 【答案】 【分析】根据等比数列公式对化简得，联立求出，最后得. 【详解】设的公比为，则，显然， 则，即，则，因为，则， 则，则，则， 故答案为：. 五、等比数列前n项和基本量的计算 9.（2023·全国甲卷·高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则( ) A． B． C．15 D．40 【答案】C 【分析】根据题意列出关于的方程,计算出,即可求出. 【详解】由题知, 即,即,即. 由题知,所以. 所以. 故选:C. 10.（2025·全国一卷·高考真题）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为 . 【答案】 【分析】法一：利用等比数列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比数列的通项公式与前项和的定义，得到关于的方程，解之即可得解；法三：利用等比数列的前项和性质得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】法一：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 当时，，即，则，显然不成立，舍去； 当时，则， 两式相除得，即， 则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：. 法二：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 所以， ， 所以，则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：2. 法三：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 因为， 又， 所以，所以， 所以该等比数列公比为. 故答案为：. 11.（2025·全国二卷·高考真题）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则( ) A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】对A，根据等比数列通项公式和前项和公式得到方程组，解出，再利用其通项公式和前项和公式一一计算分析即可. 【详解】对A，由题意得，结合，解得或（舍去），故A正确； 对B，则，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，， 则，故D正确； 故选：AD. 六、等比数列前n项和的性质 12.（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则( )． A．120 B．85 C． D． 【答案】C 【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据的关系即可解出； 方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解． 【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为， 若，则，与题意不符，所以； 若，则，与题意不符，所以； 由，可得，，①， 由①可得，，解得：， 所以． 故选：C． 方法二：设等比数列的公比为， 因为，，所以，否则， 从而，成等比数列， 所以有，，解得：或， 当时，，即为， 易知，，即； 当时，， 与矛盾，舍去． 故选：C． 七、等差、等比数列的综合 13.（2025·北京·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则( ) A． B． C．16 D．18 【答案】C 【分析】由等比中项的性质结合等差数列的基本量运算即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为成等比数列，且， 所以，即，解得或（舍去）， 所以. 故选：C. 14.（2023·北京·高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ． 【答案】48 384 【分析】方法一：根据题意结合等差、等比数列的通项公式列式求解，进而可求得结果；方法二：根据等比中项求，在结合等差、等比数列的求和公式运算求解. 【详解】方法一：设前3项的公差为，后7项公比为， 则，且，可得， 则，即，可得， 空1：可得， 空2： 方法二：空1：因为为等比数列，则， 且，所以； 又因为，则； 空2：设后7项公比为，则，解得， 可得，所以. 故答案为：48；384. 8、 数列性质 15.（2021·全国甲卷·高考真题）等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则( ) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【分析】当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案． 【详解】由题，当数列为时，满足， 但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件． 若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件． 故选：B． 九、含绝对值的数列求和 16.（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为( ) A．112 B．48 C．80 D．64 【答案】C 【分析】先由题设结合求出数列的通项公式，再结合数列各项正负情况即可求解. 【详解】因为， 所以当时，， 当时，， 经检验，满足上式， 所以，令，， 设数列的前n项和为， 则数列的前项和为 数列的前项和为 . 故选：C 17.（2023·全国乙卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果； （2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得，即，解得， 所以， （2）因为， 令，解得，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：. 十、分组求和法 18.（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项； （2）利用分组求和法即可求. 【详解】（1）因为,故， 所以即故等比数列的公比为， 故，故，故. （2）由等比数列求和公式得， 所以数列的前n项和 . 19.（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答. （2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答. 【详解】（1）设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得，， 所以数列的通项公式是. （2）方法1：由（1）知，，， 当为偶数时，， ， 当时，，因此， 当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 方法2：由（1）知，，， 当为偶数时，， 当时，，因此， 当为奇数时，若，则 ，显然满足上式，因此当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 十一、裂项相消法求和 20.（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1)(2)见解析 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式； （2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得. 【详解】（1）∵，∴,∴, 又∵是公差为的等差数列， ∴,∴, ∴当时，， ∴, 整理得：, 即, ∴ ， 显然对于也成立， ∴的通项公式； （2） ∴ 十二、错位相减法求和 21.（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据即可求出； （2）根据错位相减法即可解出． 【详解】（1）因为， 当时，，即； 当时，，即， 当时，，所以， 化简得：，当时，，即， 当时都满足上式，所以． （2）因为，所以， ， 两式相减得， ， ，即，． 22.（2025·全国一卷·高考真题）设数列满足， (1)证明：为等差数列； (2)设，求． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）根据题目所给条件化简，即可证明结论； （2）先求出的通项公式，代入函数并求导，函数两边同乘以，作差并利用等比数列前项和得出导函数表达式，即可得出结论. 【详解】（1）由题意证明如下，， 在数列中，，， ∴，即， ∴是以为首项，1为公差的等差数列. （2）由题意及（1）得，， 在数列中，首项为3，公差为1， ∴，即， 在中， ， ∴， 当且时， ∴， ∴ ∴ . 十三、数列与其他知识的综合 23.（2024·全国甲卷·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为( ) A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解. 【详解】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得 ，即，令得， 故直线恒过，设，圆化为标准方程得：， 设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小， ，此时. 故选：C 24.（2023·全国乙卷·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则( ) A．－1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答. 【详解】依题意，等差数列中，， 显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又， 则在中，或或 于是有或， 即有，解得； 或者，解得； 所以，或. 故选：B 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门外国语学校石狮分校高二数学期末复习专题：数列 一、等差数列定义的判断 1.（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则( ) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 二、等差数列前n项和基本量的计算 2.（2025·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前n项和，若则( ) A． B． C． D． 3.（2023·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和．若，则( ) A．25 B．22 C．20 D．15 4.（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等差数列的前n项和，若，，则 . 5.（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． (1)若，求的通项公式； (2)若为等差数列，且，求． 三、等差数列性质的应用 6.（2024·全国甲卷·高考真题）已知等差数列的前项和为，若，则( ) A． B． C．1 D． 7.（2024·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，，则( ) A． B． C． D． 四、等比数列基本量的计算 8.（2023·全国乙卷·高考真题）已知为等比数列，，，则 . 五、等比数列前n项和基本量的计算 9.（2023·全国甲卷·高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则( ) A． B． C．15 D．40 10.（2025·全国一卷·高考真题）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为 . 11.（2025·全国二卷·高考真题）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则( ) A． B． C． D． 六、等比数列前n项和的性质 12.（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等比数列的前n项和，若，，则( )． A．120 B．85 C． D． 七、等差、等比数列的综合 13.（2025·北京·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则( ) A． B． C．16 D．18 14.（2023·北京·高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ． 8、 数列性质 15.（2021·全国甲卷·高考真题）等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则( ) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 九、含绝对值的数列求和 16.（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为( ) A．112 B．48 C．80 D．64 17.（2023·全国乙卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 十、分组求和法 18.（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 19.（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 十一、裂项相消法求和 20.（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 十二、错位相减法求和 21.（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 22.（2025·全国一卷·高考真题）设数列满足， (1)证明：为等差数列； (2)设，求． 十三、数列与其他知识的综合 23.（2024·全国甲卷·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为( ) A．1 B．2 C．4 D． 24.（2023·全国乙卷·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则( ) A．－1 B． C．0 D．· 1 学科网（北京）股份有限公司 $