福建省厦门外国语学校石狮分校2025-2026学年高二上学期数学期末复习专项训练：解析几何

厦门外国语学校石狮分校2025年秋季高二数学期末考复习练习——解析几何 圆 1．已知直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，且a,b,c成等差数列，则|AB|的最小值为(　　) A．1 B．2 C．4 D．2 答案　C解析　 ax＋by＋2b－a＝0，即a(x－1)＋b(y＋2)＝0，令得故直线恒过(1，－2)，设P(1，－2)，圆化为标准方程得x2＋(y＋2)2＝5，设圆心为C，画出直线与圆的图形，如图，由图可知，当PC⊥AB时，|AB|最小，又|PC|＝1，|AC|＝，此时|AB|＝2|AP|＝2＝2＝4. 2. 若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【详解】由题意，在圆中，圆心，半径为，到直线的距离为的点有且仅有 个，∵圆心到直线的距离为：， 故由图可知，当时，圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时，圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时，圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 3.已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为(　　) A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0 C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0 答案　D解析　⊙M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，则圆心M(1,1)，⊙M的半径为2.如图，由题意可知PM⊥AB，∴S四边形PAMB＝|PM|·|AB|＝|PA|·|AM|＝2|PA|，∴|PM|·|AB|＝4|PA|＝4.当|PM|·|AB|最小时，|PM|最小，此时PM⊥l.故直线PM的方程为y－1＝(x－1)，即x－2y＋1＝0.由得∴P(－1,0)．又∵点M到直线x＝－1的距离为2，PA与⊙M相切，且A为切点，∴直线PA即为直线x＝－1， ∴PA⊥x轴，PA⊥MA，∴A(－1,1)．又直线AB与l平行，设直线AB的方程为2x＋y＋m＝0， 将A(－1,1)代入2x＋y＋m＝0，得m＝1.∴直线AB的方程为2x＋y＋1＝0. 4.已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4,0)，B(0,2)，则(　　) A．点P到直线AB的距离小于10 B．点P到直线AB的距离大于2 C．当∠PBA最小时，|PB|＝3 D．当∠PBA最大时，|PB|＝3 【答案】ACD【解析】设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5,5)，由题易知直线AB的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝＝>4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋，4＋<5＋＝10，故A正确．易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝－4，－4<－4＝1，故B不正确．过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与N重合，|PB|＝＝＝3，当∠PBA最大时，点P与Q重合，|PB|＝3，故C，D都正确． 5.写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程________． 答案　x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0(答案不唯一，只需写出上述三个方程中的一个即可) 解析　如图，因为圆x2＋y2＝1的圆心为O(0,0)，半径r1＝1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心为A(3,4)，半径r2＝4， 所以|OA|＝5，r1＋r2＝5，所以|OA|＝r1＋r2，所以两圆外切，公切线有三种情况： ①易知公切线l1的方程为x＝－1.②另一条公切线l2与公切线l1关于过两圆圆心的直线l对称．易知过两圆圆心的直线l的方程为y＝x，由得由对称性可知公切线l2过点.设公切线l2的方程为y＋＝k(x＋1)，则点O(0,0)到l2的距离为1，所以1＝，解得k＝，所以公切线l2的方程为y＋＝(x＋1)，即7x－24y－25＝0.③还有一条公切线l3与直线l：y＝x垂直，设公切线l3的方程为y＝－x＋t，易知t>0，则点O(0,0)到l3的距离为1，所以1＝，解得t＝或t＝－(舍去)，所以公切线l3的方程为y＝－x＋，即3x＋4y－5＝0.综上，所求直线方程为x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0. 椭圆 6.设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程； （II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围. 【答案】（Ⅰ）（）（II） 【解析】（Ⅰ）因为，，故， 所以，故. 又圆的标准方程为，从而，所以. 由题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：（）. 7.已知点，，动点满足直线与的斜率之积为．记的轨迹为曲线． （1）求的方程，并说明是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交于两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交于点．①证明：是直角三角形；②求面积的最大值． 解答：(1)由题意得：，化简得： ，表示焦点在轴上的椭圆（不含与轴的交点）. (2) ①依题意设，直线的斜率为 ，则 ，∴， 又，∴，∴，即是直角三角形. ②直线的方程为，联立 ，得 ， 则直线， 联立直线和椭圆，可得，则， ∴ ， 令，则，∴，∵，∴. 8.已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________． 【答案】13【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：， 判别式，∴， ∴ ， 得， ∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.故答案为：13. 9.设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【详解】设，由，因为，，所以 ，因为，当，即时，，即，符合题意，由可得，即； 当，即时，，即，化简得，，显然该不等式不成立．故选：C． 10.已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点.若，，则的方程为（ ）A. B. C. D. 答案：B解答：由椭圆的焦点为，可知，又，，可设，则，，根据椭圆的定义可知，得，所以，，可知，根据相似可得代入椭圆的标准方程，得，，椭圆的方程为. 11.己知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则（ ） A B. C. D. 【答案】B【详解】设，所以， 由，解得：， 由椭圆方程可知，，所以，，解得：，即，因此．故选：B． 12.已知椭圆，直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则直线l的方程为___________． 【答案】【详解】解：令的中点为，因为，所以， 设，，则，，所以，即所以，即，设直线，，，令得，令得，即，，所以，即，解得或（舍去），又，即，解得或（舍去），所以直线，即； 13.已知的离心率为，椭圆上的点到两焦点距离之和为4， （1）求椭圆方程；（2）设O为原点，为椭圆上一点，直线与直线，交于A，B．与的面积为，比较与的大小． 【小问1详解】由椭圆可知，，所以，又，所以，， 故椭圆方程为； 【小问2详解】联立，消去得，， 整理得，①，又，所以，， 故①式可化简为，即，所以， 所以直线与椭圆相切，为切点. 设，易知，当时，由对称性可知，． 故设，易知， 联立，解得，联立，解得， 所以， ，故． 14.已知A(0,3)和P为椭圆C：＋＝1(a>b>0)上两点． (1)求C的离心率；(2)若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程． 解　(1)由题意得解得所以C的离心率e＝＝＝. (2)方法一　kAP＝＝－，则直线AP的方程为y＝－x＋3，即x＋2y－6＝0，因为|AP|＝＝，S△ABP＝9，所以点B到直线AP的距离d＝＝， 设B(x0，y0)，则解得或即B(0，－3)或， 当B(0，－3)时，kl＝，直线l的方程为y＝x－3，即3x－2y－6＝0； 当B时，kl＝，直线l的方程为y＝x，即x－2y＝0.综上，直线l的方程为3x－2y－6＝0或x－2y＝0. 方法二　同方法一得到直线AP的方程为x＋2y－6＝0，点B到直线AP的距离d＝， 设B(2cos θ，3sin θ)，其中θ∈[0,2π)，则有＝，联立cos2θ＋sin2θ＝1， 解得或即B(0，－3)或，以下同方法一． 15. 设椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． （1）求椭圆的标准方程；（2）已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求点的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是椭圆上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 【小问1详解】由题可知,，所以，解得， 故椭圆的标准方程为； 【小问2详解】(ⅰ)设，易知，所以，故，且． 因为，，所以， 即，解得，所以， 所以点的坐标为. (ⅱ)因为,,由,可得 ,化简得,即, 所以点在以为圆心,为半径的圆上（除去两个点）, 为到圆心的距离加上半径, 设，则， ，当且仅当时取等号,故. 16.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率是，点A(－2,0)在C上．(1)求C的方程；(2)过点(－2,3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点． (1)解　由题意可得解得所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)证明　由题意可知，直线PQ的斜率存在，如图，设B(－2,3)，直线PQ：y＝k(x＋2)＋3，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立方程消去y得(4k2＋9)x2＋8k(2k＋3)x＋16(k2＋3k)＝0，则Δ＝64k2(2k＋3)2－64(4k2＋9)(k2＋3k)＝－1 728k>0，解得k<0，可得x1＋x2＝－，x1x2＝，因为A(－2,0)， 则直线AP：y＝(x＋2)，令x＝0，解得y＝，即M，同理可得N，则＝＋＝＝＝＝＝3，所以线段MN的中点是定点(0,3)． 17.已知椭圆的离心率为，且过点 (1)求C的方程；(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值． (1)解　由题设得＋＝1，＝，解得a2＝6，b2＝3.所以C的方程为＋＝1. (2)证明　设M(x1，y1)，N(x2，y2)．若直线MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为y＝kx＋m，代入＋＝1，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0.于是x1＋x2＝－，x1x2＝.①由AM⊥AN，得 (x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，整理得(k2＋1)x1x2＋(km－k－2)(x1＋x2)＋(m－1)2＋4＝0.将①代入上式，可得(k2＋1)－(km－k－2)·＋(m－1)2＋4＝0，整理得(2k＋3m＋1)(2k＋m－1)＝0.因为A(2,1)不在直线MN上， 所以2k＋m－1≠0，所以2k＋3m＋1＝0，k≠1.所以直线MN的方程为y＝k－(k≠1)． 所以直线MN过点P.若直线MN与x轴垂直，可得N(x1，－y1)．由AM⊥AN得(x1－2)(x1－2)＋(y1－1)(－y1－1)＝0.又＋＝1，所以3x－8x1＋4＝0.解得x1＝2(舍去)，x1＝.此时直线MN过点P.令Q为AP的中点，即Q.若D与P不重合，则由题设知AP是Rt△ADP的斜边，故|DQ|＝|AP|＝. 若D与P重合，则|DQ|＝|AP|.综上，存在点Q，使得|DQ|为定值． 18.已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．（1）求E的方程； （2）设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点． 【小问1详解】解：设椭圆E的方程为，过，则，解得，，所以椭圆E的方程为：. 【小问2详解】，所以， ①若过点的直线斜率不存在，直线.代入，可得，，代入AB方程，可得，由得到. 求得HN方程：，过点. ②若过点的直线斜率存在，设.联立得，可得，，且联立可得可求得此时，将，代入整理得，将代入，得显然成立，综上，可得直线HN过定点 19.已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点. 【详解】（1）依据题意作出如下图象： 由椭圆方程可得：， ， ，，椭圆方程为： （2）证明：设，则直线的方程为：，即： 联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：，解得：或将代入直线可得： 所以点的坐标为.同理可得：点的坐标为 直线的方程为：， 整理可得： 整理得：故直线过定点 双曲线 20. 双曲线的左、右焦点分别是，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M、N两点，且，则（ ） A. B. C. C的离心率为D. 当时四边形的面积为 【答案】ACD【详解】不妨设渐近线为，在第一象限，在第三象限，对于A，由双曲线的对称性可得为平行四边形，故，故A正确； 对于B，因为在以为直径的圆上，故且， 设，则，故，故，由A得，故即，故B错误； 对于C，因为，故， 由B可知，故即， 故离心率，故C正确； 21.双曲线C的两个焦点为F1，F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C交于M，N两点，且cos∠F1NF2＝，则C的离心率为(　　)A. B. C. D. 答案　AC解析　不妨设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，F1(－c,0)，F2(c,0)．当两个交点M，N在双曲线两支上时，如图1所示，图1 设过F1的直线与圆D相切于点P，连接OP，由题意知|OP|＝a，又|OF1|＝c，所以|F1P|＝b.过点F2作F2Q⊥F1N，交F1N于点Q.由中位线的性质，可得|F2Q|＝2|OP|＝2a，|PQ|＝b.因为cos∠F1NF2＝，所以sin∠F1NF2＝，故|NF2|＝a，|QN|＝a，所以|NF1|＝|F1Q|＋|QN|＝2b＋a.由双曲线的定义可知|NF1|－|NF2|＝2a，所以2b＋a－a＝2a，所以2b＝3a.两边平方得4b2＝9a2，即4(c2－a2)＝9a2，整理得4c2＝13a2，所以＝，故＝，即e＝. 当两个交点M，N都在双曲线上的左支上时，如图2所示， 图2 同理可得|F2Q|＝2|OP|＝2a，|PQ|＝b.因为cos∠F1NF2＝，所以sin∠F1NF2＝，可得|NF2|＝a，|NQ|＝a，所以|NF1|＝|NQ|－|QF1|＝a－2b，所以|NF2|＝|NF1|＋2a＝a－2b，又|NF2|＝a，所以a－2b＝a，即a＝2b，故e＝＝.故选AC. 22.已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________． 【答案】【详解】依题意，设，则， 在中，，则，故或（舍去）， 所以，，则，故，所以在中，，整理得，故. 23.已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－2，0)，离心率为.(1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4,0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上． (1)解　设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，由焦点坐标可知c＝2，则由e＝＝，可得a＝2，b＝＝4，所以双曲线C的方程为－＝1. (2)证明　由(1)可得A1(－2,0)，A2(2,0)， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，显然直线MN的斜率不为0，设直线MN的方程为x＝my－4，且－<m<，与－＝1联立可得(4m2－1)y2－32my＋48＝0，且Δ＝64(4m2＋3)>0，则y1＋y2＝，y1y2＝，直线MA1的方程为y＝(x＋2)，直线NA2的方程为y＝(x－2)，联立直线MA1与直线NA2的方程可得＝＝＝＝＝＝－，由＝－可得x＝－1，即xP＝－1， 据此可得点P在定直线x＝－1上运动． 24.已知点A(2,1)在双曲线C：－＝1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0. (1)求l的斜率；(2)若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积． 解　(1)将点A的坐标代入双曲线方程得－＝1，化简得a4－4a2＋4＝0，得a2＝2，故双曲线C的方程为－y2＝1.由题易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立直线l与双曲线C的方程，消y整理得(2k2－1)x2＋4kmx＋2m2＋2＝0，故x1＋x2＝－，x1x2＝.kAP＋kAQ＝＋＝＋＝0，化简得2kx1x2＋(m－1－2k)(x1＋x2)－4(m－1)＝0，故＋(m－1－2k)－4(m－1)＝0，整理得(k＋1)(m＋2k－1)＝0，又直线l不过点A，即m＋2k－1≠0，故k＝－1. (2)不妨设直线PA的倾斜角为θ，由题意知∠PAQ＝π－2θ，所以tan∠PAQ＝－tan 2θ＝ ＝2，解得tan θ＝或tan θ＝－(舍去)．由得x1＝，所以|AP|＝|x1－2|＝，同理得x2＝，所以|AQ|＝|x2－2|＝.因为tan∠PAQ＝2，所以sin∠PAQ＝，故S△PAQ＝|AP||AQ|sin∠PAQ＝×××＝. 抛物线 25.设抛物线的焦点为F，过F的直线交C于A、B，过F且垂直于的直线交于E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD【详解】对于A，对于抛物线，则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点，由题意可知，则， 又，，所以，所以，同理， 又，所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，易知直线的斜率不为，设直线的方程为，， 联立，得，易知，则， 又，，所以， 当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，在与中，，所以，则，即，同理，又 ，， 所以， 则，故D正确.故选：ACD. 26.已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】A，设直线的倾斜角为，则，则， 所以. 27.抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上的动点，过P作⊙A：x2＋(y－4)2＝1的一条切线，Q为切点．过P作l的垂线，垂足为B.则(　　)A．l与⊙A相切 B．当P，A，B三点共线时，|PQ|＝ C．当|PB|＝2时，PA⊥AB D．满足|PA|＝|PB|的点P有且仅有2个 答案　ABD解析　A选项，抛物线y2＝4x的准线为x＝－1，⊙A的圆心(0,4)到直线x＝－1的距离显然是1，等于圆的半径，故准线l和⊙A相切，A选项正确；B选项，当P，A，B三点共线时，即PA⊥l，则P的纵坐标yP＝4，由y＝4xP，得到xP＝4，故P(4,4)，此时切线长|PQ|＝＝＝，B选项正确； C选项，当|PB|＝2时，xP＝1，此时y＝4xP＝4，故P(1,2)或P(1，－2)，当P(1,2)时，A(0,4)，B(－1,2)，kPA＝＝－2，kAB＝＝2，不满足kPAkAB＝－1；当P(1，－2)时，A(0,4)，B(－1，－2)，kPA＝＝－6，kAB＝＝6，不满足kPAkAB＝－1，于是PA⊥AB不成立，C选项错误；D选项， (设点直接求解)设P，由PB⊥l可得B(－1，t)，又A(0,4)，＝，根据两点间的距离公式， ＝＋1，整理得t2－16t＋30＝0，Δ＝(－16)2－4×1×30＝136>0，则关于t的方程有两个解， 即存在两个这样的P点，D选项正确． 28.设O为坐标原点，直线y＝－(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则(　　)A．p＝2 B．|MN|＝ C．以MN为直径的圆与l相切 D．△OMN为等腰三角形 答案　AC解析　A项，直线y＝－(x－1)过点(1,0)，所以抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(1,0)， 所以＝1，p＝2，故A正确；B项，抛物线C的方程为y2＝4x，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由消去y并化简得3x2－10x＋3＝(x－3)(3x－1)＝0，解得x1＝3，x2＝，所以|MN|＝x1＋x2＋p＝3＋＋2＝，故B错误； C项，如图，设MN的中点为A，M，N，A到直线l的距离分别为d1，d2，d，因为d＝(d1＋d2)＝(|MF|＋|NF|) ＝|MN|，即A到直线l的距离等于MN的一半，所以以MN为直径的圆与直线l相切，故C正确；D项，直线y＝－(x－1)，由上述分析可知y1＝－×(3－1)＝－2，y2＝－×＝，所以|OM|＝＝，|ON|＝＝，且|MN|＝，所以△OMN不是等腰三角形，故D错误． 29.已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C：x2＝2py(p>0)上，过点B(0，－1)的直线交C于P，Q两点，则(　　) A．C的准线为y＝－1 B．直线AB与C相切 C．|OP|·|OQ|>|OA|2 D．|BP|·|BQ|>|BA|2 答案　BCD解析　如图，因为抛物线C过点A(1,1)，所以1＝2p，解得p＝，所以C：x2＝y的准线为y＝－，所以A错误；因为x2＝y，所以y′＝2x，所以y′|x＝1＝2，所以C在点A处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，又点B(0，－1)在直线y＝2x－1上，所以直线AB与C相切，所以B正确；设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ的方程为y＝kx－1，由得x2－kx＋1＝0，所以x1＋x2＝k，x1x2＝1，且Δ＝k2－4>0，得k>2或k<－2，所以|OP|·|OQ|＝·＝＝·x1x2＝＝>2＝|OA|2，所以C正确；|BP|·|BQ|＝·＝·＝＝＝＝＝＝＝k2＋1>5＝|BA|2，所以D正确．故选BCD. 30.已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px(p>0)焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M(p,0)．若|AF|＝|AM|，则(　　)A．直线AB的斜率为2 B．|OB|＝|OF| C．|AB|>4|OF| D．∠OAM＋∠OBM<180° 答案　ACD解析　对于A，由题意，得F.因为|AF|＝|AM|，且M(p,0)，所以xA＝＝p，将其代入抛物线方程y2＝2px，得yA＝p，所以A，所以直线AB的斜率kAB＝kAF＝＝2，故A正确；对于B，由选项A的分析，知直线AB的方程为y＝2，代入y2＝2px，得12x2－13px＋3p2＝0，解得x＝p或x＝p，所以xB＝p，所以yB＝－p，所以|OB|＝＝p≠|OF|，故B不正确；对于C，由抛物线的定义及选项A，B的分析，得|AB|＝xA＋xB＋p＝p＋p＝p>2p，即|AB|>4|OF|，故C正确；对于D，易知|OA|＝p，|AM|＝p，|OB|＝p，|BM|＝p，则cos∠OAM＝＝＝>0，cos∠OBM＝＝＝>0，所以∠OAM<90°，∠OBM<90°，所以∠OAM＋∠OBM<180°，故D正确．综上所述，选ACD. 31.在直角坐标系Oxy中，点P到x轴的距离等于点P到点的距离，记动点P的轨迹为W. (1)求W的方程；(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3. (1)解　设P(x，y)，则|y|＝，两边同时平方化简得y＝x2＋，故W：y＝x2＋. (2)证明设矩形的三个顶点A，B，C在W上，且a<b<c，易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0，则kAB·kBC＝－1，a＋b<b＋c，令kAB＝＝a＋b＝m<0，同理令kBC＝b＋c＝n>0，且mn＝－1，则m＝－，设矩形周长为C，由对称性不妨设|n|≥|m|，kBC－kAB＝c－a＝n－m＝n＋，则C＝|AB|＋|BC|＝(b－a)＋(c－b)≥(c－a)＝，n>0， 易知>0.则令f(x)＝2(1＋x2)，x>0，f′(x)＝22，令f′(x)＝0，解得x＝，当x∈时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减，当x∈时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增，则f(x)min＝f ＝，故C≥＝，即C≥3.当C＝3时，n＝，m＝－，与当(b－a)＝(b－a)，即m＝n时等号成立，矛盾，故C>3，得证． 32.已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，且F与圆M：x2＋(y＋4)2＝1上点的距离的最小值为4. (1)求p；(2)若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值． 解　(1)由题意知M(0，－4)，F，圆M的半径r＝1，所以|MF|－r＝4，即＋4－1＝4，解得p＝2. (2)由(1)知，抛物线方程为x2＝4y，由题意可知直线AB的斜率存在，设A，B，直线AB的方程为y＝kx＋b，联立消去y得x2－4kx－4b＝0，则Δ＝16k2＋16b>0(※)，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b， 所以|AB|＝|x1－x2|＝·＝4·.因为x2＝4y，即y＝，所以y′＝，则抛物线在点A处的切线斜率为，在点A处的切线方程为y－＝(x－x1)，即y＝x－， 同理得抛物线在点B处的切线方程为y＝x－，联立则即P(2k，－b)．因为点P在圆M上，所以4k2＋(4－b)2＝1，①且－1≤2k≤1，－5≤－b≤－3，即－≤k≤，3≤b≤5，满足(※)． 设点P到直线AB的距离为d，则d＝，所以S△PAB＝|AB|·d＝4. 由①得，k2＝＝，令t＝k2＋b，则t＝，且3≤b≤5.因为t＝在[3,5]上单调递增，所以当b＝5时，t取得最大值，tmax＝5，此时k＝0，所以△PAB面积的最大值为20. 20 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门外国语学校石狮分校2025年秋季高二数学期末考复习练习——解析几何 圆 1．已知直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，且a,b,c成等差数列，则|AB|的最小值为(　　) A．1 B．2 C．4 D．2 2. 若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3.已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为(　　) A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0 C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0 4.已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4,0)，B(0,2)，则(　　) A．点P到直线AB的距离小于10 B．点P到直线AB的距离大于2 C．当∠PBA最小时，|PB|＝3 D．当∠PBA最大时，|PB|＝3 5.写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程________． 椭圆 6.设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程； （II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围. 7.已知点，，动点满足直线与的斜率之积为．记的轨迹为曲线． （1）求的方程，并说明是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交于两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交于点．①证明：是直角三角形；②求面积的最大值． 8.已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________． 9.设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10.已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点.若，，则的方程为（ ） A. B. C. D. 11.己知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则（ ） A B. C. D. 12.已知椭圆，直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则直线l的方程为___________． 13.已知的离心率为，椭圆上的点到两焦点距离之和为4， （1）求椭圆方程； （2）设O为原点，为椭圆上一点，直线与直线，交于A，B．与的面积为，比较与的大小． 14.已知A(0,3)和P为椭圆C：＋＝1(a>b>0)上两点． (1)求C的离心率；(2)若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程． 15. 设椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． （1）求椭圆的标准方程；（2）已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求点的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是椭圆上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 16.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率是，点A(－2,0)在C上．(1)求C的方程；(2)过点(－2,3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点． 17.已知椭圆的离心率为，且过点 (1)求C的方程；(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值． 18.已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．（1）求E的方程； （2）设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点． 19.已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点. 双曲线 20. 双曲线的左、右焦点分别是，左、右顶点分别为，以为直径的圆与C的一条渐近线交于M、N两点，且，则（ ） A. B. C. C的离心率为D. 当时四边形的面积为 21.双曲线C的两个焦点为F1，F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C交于M，N两点，且cos∠F1NF2＝，则C的离心率为(　　)A. B. C. D. 22.已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________． 23.已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－2，0)，离心率为.(1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4,0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上． 24.已知点A(2,1)在双曲线C：－＝1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0. (1)求l的斜率；(2)若tan∠PAQ＝2，求△PAQ的面积． 抛物线 25.设抛物线的焦点为F，过F的直线交C于A、B，过F且垂直于的直线交于E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则（ ） A. B. C. D. 26.已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）A．16 B．14 C．12 D．10 27.抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上的动点，过P作⊙A：x2＋(y－4)2＝1的一条切线，Q为切点．过P作l的垂线，垂足为B.则(　　) A．l与⊙A相切 B．当P，A，B三点共线时，|PQ|＝ C．当|PB|＝2时，PA⊥AB D．满足|PA|＝|PB|的点P有且仅有2个 28.设O为坐标原点，直线y＝－(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则(　　) A．p＝2 B．|MN|＝ C．以MN为直径的圆与l相切 D．△OMN为等腰三角形 29.已知O为坐标原点，点A(1,1)在抛物线C：x2＝2py(p>0)上，过点B(0，－1)的直线交C于P，Q两点，则(　　) A．C的准线为y＝－1 B．直线AB与C相切 C．|OP|·|OQ|>|OA|2 D．|BP|·|BQ|>|BA|2 30.已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px(p>0)焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M(p,0)．若|AF|＝|AM|，则(　　) A．直线AB的斜率为2 B．|OB|＝|OF| C．|AB|>4|OF| D．∠OAM＋∠OBM<180° 31.在直角坐标系Oxy中，点P到x轴的距离等于点P到点的距离，记动点P的轨迹为W. (1)求W的方程；(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3. 32.已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，且F与圆M：x2＋(y＋4)2＝1上点的距离的最小值为4. (1)求p；(2)若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值． 20 学科网（北京）股份有限公司 $