福建省厦门外国语学校石狮分校2025-2026学年高二上学期数学期末复习专题：导数

厦门外国语学校石狮分校高二数学期末复习专题：导数 一、求在曲线上一点处的切线方程 1.（2021·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可． 【详解】由题，当时，，故点在曲线上． 求导得：，所以． 故切线方程为． 故答案为：． 2.（2023·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解. 【详解】设曲线在点处的切线方程为， 因为， 所以， 所以 所以 所以曲线在点处的切线方程为. 故选：C 3.（2024·全国甲卷·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积. 【详解】， 则， 即该切线方程为，即， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积. 故选：A. 4.（2022·全国甲卷·高考真题）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．若，求a； 【答案】3 【分析】先由上的切点求出切线方程，设出上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求出即可； 【详解】由题意知，，，，则在点处的切线方程为， 即，设该切线与切于点，，则，解得，则，解得； 5.（2021·北京·高考真题）已知函数．若，求曲线在点处的切线方程； 【答案】； 【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； 【详解】（1）当时，，则，，， 此时，曲线在点处的切线方程为，即； 6.（2024·天津·高考真题）已知函数．求曲线在点处的切线方程； 【答案】【分析】直接使用导数的几何意义； 【详解】（1）由于，故. 所以，，所以所求的切线经过，且斜率为，故其方程为. 7.（2022·天津·高考真题）已知，函数.求曲线在处的切线方程. 【答案】 【分析】求出可求切线方程； 【详解】，故，而， 曲线在点处的切线方程为即. 二、已知切线（斜率）求参数 8.（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的切线，则 . 【答案】 【分析】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：利用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点与的方程组，解之即可得解. 【详解】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 故答案为：. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 故答案为：. 9.（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 【答案】 【分析】分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得； 【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求 分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得； 解： 因为， 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：； [方法二]：根据函数的对称性，数形结合 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 因为是偶函数，图象为： 所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可. 10.（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围. 【详解】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是, 故答案为： / 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门外国语学校石狮分校高二数学期末复习专题：导数 一、求在曲线上一点处的切线方程 1.（2021·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为 ． 2.（2023·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为( ) A． B． C． D． 3.（2024·全国甲卷·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A． B． C． D． 4.（2022·全国甲卷·高考真题）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．若，求a； 5.（2021·北京·高考真题）已知函数．若，求曲线在点处的切线方程； 6.（2024·天津·高考真题）已知函数．求曲线在点处的切线方程； 7.（2022·天津·高考真题）已知，函数.求曲线在处的切线方程. 二、已知切线（斜率）求参数 8.（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的切线，则 . 9.（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 10.（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． / 学科网（北京）股份有限公司 $