陕西省榆林市2026届高三第二次模考数学试卷

● 0 ● ● ● 高三年级检测训练 ● ● ● 数学试题 ● ● 0。oooooO0 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟 学 校 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效 4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效， 班 级 5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收， 杯 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的， 姓 名 1.已知复数x满足xi=3+4i,则x在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知全集U={-2,-1,1,21,集合M=xx2-3x+2=01,则0M= A.{-2,-1,1,2} B.{1,2 C.{-2,-1l D.0 0 考 号 3.已知一组样本数据x1,x2,名，…，x0的方差为2，则数据3x1-6,3x2-6,3x-6,…,3x0-6的方差为 A.0 B.2 C.12 D.18 的 4.已知双曲线的虚轴长为10√5，离心率为2，则该双曲线的实轴长为 糊 A.5 B.10 C.102 D.20 座位 5.已知数列{a,}满足a,=2,a1=1-1,则42s= A. A.-1 B. C.2 D.3 6.如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，△PAD是正三角形，AB =2,平面PAD⊥平面ABCD.则异面直线PB与AC所成角的余弦值为 ● ●●)●)● 1 B 4 ●) B ● C.3 D. (第6题图) 高三年级数学检测训练-1-（共4页） ooo 1,x>0, 7.已知符号函数sgn(x)=0,x=0,a、b、c是平面内三个不同的单位向量.若sgm(a·b)=0, -1,x<0, 且sgm(b·c)+sgn(c·a)=0,则|a+b-c的取值范围是 A.(1,5) B.(2,5) C.(5,5) D.(2,5) 8.已知函数f(x)=e-e-2x,则不等式f代x)+f(2x-1)≤-4的解集为 A.[-1,1] B.(-o,1] C.[1,2] D.[1,+o) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对得6分，部分选对的得部分分，有三个正确选项的，每个选项2分，有两个正确选项的，每 个选项3分，有选错的得0分 9已知函数f)=Asin(wx+p)(A>0,0>0,p<7)的部分图象如图所示， 则下列说法正确的是 A.0=π B-名)=-l (第9题图) C✉)在-宁]上单调递增 D.把f代x)的图象向右平移？个单位长度，得到的函数是奇函数 2 10.已知0为坐标原点，抛物线C:y2=8x的焦点为F,A为C上第一象限的点，且|AF|=10,过点F 的直线1与C交于P,Q两点，圆E:(x-10)2+y2=64,则 A.IOA=82 B.若|PQ=16,则直线1倾斜角为45° C.若△0PQ的面积为16，则直线L的斜率为 3 D.过点A作圆E的两条切线，则两切点连线的方程为x-4y+22=0 11.已知两曲线y=nx与y=mx2+】(m>0)存在两条公切线，则实数m的取值可能是 A B c.1 D.1 e 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类.育德中学4名同学在庆元旦活动中，每 人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方法有 种.（用数字作答） 高三年级数学检测训练-2-（共4页） 13.已知3sin0cos8-2,则tm(9+平)= cos 0+sin 0 14.若[x]表示不大于x的最大整数，曲线y=x2在点(2"，8")(n∈N)处的切线经过点(a,0),则 [a5]= 数列{[a.]l的前2n项和为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（本小题满分13分) 在△ABC中，内角AB,C的对边分别为ec,已知a+5=1,c=7,cosA=子 (1)求a的值； (2)求sin(A-C)的值. 16.(本小题满分15分) 已知函数f代x)=lnx+a-a(aeR). (1)讨论f代x)的单调性； (2)若f(x)≥0，求a的值. 17.(本小题满分15分) 如图，在直三棱柱ABC-A,B,C,中，AB⊥AC,AB=AC=2,AM,=4,点P是线段BC的中点，点E,F 是侧棱AA1上的动点，AA,=2F它 (1)证明：PF∥平面B,CB; (2)求平面ABB,A1与平面B,CE夹角余弦值的取值范围. B (第17题图) 高三年级数学检测训练-3-（共4页） 0 18.(本小题满分17分) 已知椭圆T:号+=1(a>b0)的右焦点为F2,0),过F的直线1与r交于P,Q两点，且当P0 ⊥x轴时，1PQ|=6. (1)求椭圆T的方程； 0 ● (2)证明：7FPFQ为定值： 1 (3)若点P在x轴上方，直线PE与圆E:(x+2)2+y2=64交于A、B两点，点B在x轴上方，是否 存在点P,使得△PBF与△QEF的面积之比为5：3？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明 理由。 》 的 蕊 严 燕 母 19.(本小题满分17分) 鸣 0 图 0 定义：当三个正数能够成为三角形的三条边长时，我们称其为三角数组，例如3,5,7是三角数 组，3,5,9不是三角数组.设S,为数列{a,}的前n项和，已知，=3，且S,=”1+a】 2 进 (1)求数列{an}的通项公式； (2)从数列{a,}中任意取出不同的三项a,4,a,证明：a,4,a,为三角数组的充要条件是i,i,k 为三角数组； (3)从数列【a,}的前n项(n≥4)中任意取出不同的三项，证明：这三项为三角数组的概率P。<乞 参考公式：12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1 6 谢 高三年级数学检测训练-4-（共4页）高三年级检测训练 数学试题参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1.【命题意图】本题重点考查复数的运算及其几何意义，同时也可以考查学生的数学运算、逻辑推理等核心素养。 【参考答案】D 【试题解析】解法1：由题得：=3+4=(3+4)-=4-3i,其对应的点的坐标为(4，-3).故选D. i(-i) 解法2：由题得2=-3+4=4-31，其对应的，点的坐标为(4，-3).故选D. i 2.【命题意图】本题重点考查集合的概念与运算，也考查学生的数学运算、逻辑推理等核心素养，加深对补集定义的 理解。 【参考答案】C 【试题解析】因为M={1,2},所以心M={-2,-1}.故选C. 3.【命题意图】本题重点考查方差的性质以及学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算与数据分析核心素养，加深学生 对数据数字特征本质的理解， 【参考答案】D 【试题解析】因为数据x1,x2,x3,…,x10的方差为2，由方差的性质可知，3x1-6,3x2-6,3x3-6,…,3x10-6这组数据 的方差为2×32=18.故选D. 4.【命题意图】本题重点考查双曲线标准方程及其基本量间的关系，也考查学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算等 核心素养 【参考答案】B 【试题解析】因为双曲线的虚轴长2b=105,离心率为2，所以b=53,c=2a,由b2=c2-a2=3a2=75,得a2=25,所 以a=5,即双曲线的实轴长2a=10.故选B. 5.【命题意图】本题以数列递推关系为载体，考查递推数列的运算、周期数列的识别与运用，也考查学生的数学运 算、逻辑推理等核心素养 【参考答案】C 【试题解析】解法1：由数列{a,满足4，=2，a1=1-1,可得取m=1,则a,=1-1=) a 42取n=2,则4，=1- a, -1;取n=3,则a4=1-1=2,a,=4,,猜想数列a,是周期为3的周期数列，a%=a=2,故选C 解法2：由a1=1-得，a2=1-1,43=1-1,逐项代换可得a=0,数列10，是周期为3的周期数列， an+l 0n+2 a2o26=a1=2,故选C. 6.【命题意图】本题以四棱锥为载体，结合面面垂直、正三角形和正方形的性质，考查异面直线所成角的求解方法， 也可以考查学生的直观想象、数学运算和逻辑推理的核心素养 【参考答案】A 【试题解析】解法1：如图，取AD的中点O,BC的中点E,连接PO、OE,因为△PAD 是正三角形，所以PO⊥AD,因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD= AD,POC平面PAD,所以P0⊥平面ABCD,以O为原点，OE,OD,OP所在直线分别 为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则P(0,0,3),B(2,-1,0),A(0,-1, 0),C(2,1,0),所以P店=(2，-1，-3)，A元=(2,2,0)，所以c0s<PB,AC= E2经6所以并面直我PB与AC所成角的余孩值为故选小一 高三年级数学检测训练-答案-1（共10页） 解法2：如图，连接BD交AC于点O,取PD中点M,连接OM、AM.因为O为BD中点，所 以OM/PB且OM=2PB,所以LM0A(或其补角)是异面直线PB与AC所成的角.已知 底面ABCD为正方形，△PAD是正三角形，AB=2,所以0A=AC=,AM=5,P1=2, AB⊥AD,又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,ABC平面ABCD,所B 以ABL平面PMD,所以AB1PA,所以PB=√B+PT=22,0M=2PB=2. 在△M0A中，由余弦定理得s∠M0AOM+0M-Ar-2）'+（,2）'-（:3】'L4即异面直线PB与AC所成 2·OM·OA 2×√2×W2 角的余弦值为}，故选 7.【命题意图】本题重点考查向量的运算、几何意义，也可以考查学生的数学运算和直观想象等核心素养 【参考答案】A 【试题解析】由题意可知a⊥b,且b·c和c·a中，一个大于0，另一个小于0，不妨设sgn(b·c)=1,sgn(c·a)= 1,x>0, -1,由函数sgn(x)={0,x=0,可知b·c>0,c·a<0. -1,x<0, 解法1：不妨设a=(0,1),b=(1,0),c=(cos0,sin0),8∈(-T,π]， 所以bc=cas>0,ca=sin00,所以0e(-7,0), 所以a+h-cl=v0-os02+(1-in0=√3-22sin(0+买)， 因为0e(-受，0)，所以0+平e(-年平)，所以22m(0+平)e(-2,2), 所以|a+b-c∈(1,5).故选A. 解法2：如图，在单位圆中，不妨设a=0,b=0店，则a+b=0元.设c=0,则a+b-c=D元.对于三个不同的单位向量 a、b、c,由b·c>0,c·a<0,得b与c的夹角为锐角，c与a的夹角为钝角.所以D在第四象限的圆孤上 CP=|OP+10iP-20元1l0isLc0D,即1元P-=2+1-22cm∠c0n,∠c0DE(号3， 所以m∠c00e(-号号).成Pe1,5),所以1a+6r1e1,5.款连 解法3：如图，在单位圆中，不妨设a=0i,b=0B,则a+b=0元.设c=0i,则a+b-c=D元， 对于三个不同的单位向量a、b、c,由b·c>0,c·a<0,得b与c的夹角为锐角，c与a的 夹角为钝角，所以D在第四象限的圆孤上，从点B到点E运动，D心逐渐增大， |CB|=1,|CE=√5，所以a+b-c|e(1,W5).故选A. 8.【命题意图】本题主要考查函数的单调性、奇偶性、对称性等性质的综合运用，同时考 查学生的逻辑推理、数学运算等核心素养 【参考答案】B 【试题解析】解法1：设g(t)=e'-e-2t,则g'(t)=e'+e'-2≥2√e'e-2=0,因此g(t)在R上单调递增. 由g(-t)=e'-e+21=-g(t)可知g(t)为R上的奇函数.又因为f八x)=g(x-1)-2,所以f2x-1)=g(2x-2)-2.原 不等式可化为g(x-1)+g(2x-2)≤0，即g(x-1)≤g(2-2x).由于g(t)在R上单调递增，因此x-1≤2-2x,解得x ≤1，故选B. 解法2：设g(t)=e'-e-2t,则g'(t)=e'+e'-2≥2√e'e-2=0,因此g(t)在R上单调递增.g(-t)=e-e'+21= -g()可知g(t)为R上的奇函数.又因为f八x)=g(x-1)-2,所以函数f八x)的图象关于点(1，-2)对称，且f(x)在 R上单调递增，f(x)+f2-x)=-4.原不等式可化为f八2x-1)≤f2-x),2x-1≤2-x,解得x≤1，故选B. 解法3：当x→-∞时，f(x)→-0，故选B. 高三年级数学检测训练-答案-2（共10页） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分， 部分选对的得部分分，有三个正确选项的，每个选项2分，有两个正确选项的，每个选项3分，有选错的得0分. 9.【命题意图】本题重点考查了三角函数的图象与性质，综合考查了三角函数的单调性、函数值计算、图象平移变换 及函数奇偶性判断.侧重考查学生数形结合能力，培养学生数学运算和逻辑推理核心素养 【参考答案】AC 【试题解析】解法1：观紧图象得4=2，◆八)的最小正月物为7则子名日宁好得T-2,仙=行=4 正确 又号）=2，即写wtp=受+2km(kez),而ek受，则p=石)-=2m(m+君， 所以-石)=2n(-石+8)=0，B不正确； 国为x[7写]，则m+石[-牙]，所以)在[号号]上单调造增，C正确： x-子)=2sin[(x-号)+]=2sim(m受)=-2sm,D不正确.故选AC 解法2：补全函数(x)=Asim(or+p)(A>0,w>0,pk)的图象即可观察得出相关结论. 10.【命题意图】本题考查抛物线的定义、焦半径、焦点弦长、三角形面积的计算、圆的切线及切点弦方程，综合测试 解析几何的核心知识，强调坐标法、几何性质代数法及计算能力.重点考查学生的数学运算、逻辑推理、直观想 象核心素养 【参考答案】ACD 【试题解析】设A(0,o),则xo+2=10,则x=8,6=64,故|0A=82,故A正确； 设直线14=my+2,联立m+2则y-8m-16=0, (y2=8x, 设P(xy),Q(x22),则y1+2=8m,y·2=-16, 故|PQ=√m2+1·|y,-y2=m2+1V(y,+2)2-4y2=8√(m2+1)=16, 解得m=±1，则直线l的斜率为±1，倾斜角为45°或135°，故B错误；本选项也可根据焦点弦公式验证或用对称 性排除. Sw=10F=264(m+)=16,解得m=5, 明直线1的率为写故C正确： 由上述分析可知x,=8,y0=8,A(8,8), 圆E:(x-10)2+y2=64,圆心E(10,0),半径r=8, 易知y=8为其中一条切线，切点为(10,8)，且两切点连线与AE垂直， =8-0-4,两切点连线的斜率为 kB28-10 4 故两切点连线为)-8=(10)， 即x-4y+22=0,故D正确.本选项也可以通过写出过两切，点与E、A四点的圆的方程，再求出与圆E的公共弦所 在直线方程求解.故选ACD. 高三年级数学检测训练-答案-3（共10页） 11.【命题意图】本题综合考查导数在切线求解、两切线重合问题以及函数图象研究中的运用，重点考查学生的数学 运算、直观想象和逻辑推理核心素养. 【参考答案】BCD 【试题解析1设公切线与两向线y=h光与y=m+(m>0)分别相切于A(,h名)，B(,m+分)，因为 (h)'=文(mr2+宁'=2m,所以曲线=lh在点（西，n)处的切线方程为）-n,=(-,即)=+ n-1.同理可得白线)=m+(m>0)在点(，m+宁)处的切线方程为y=2m,-m+分由题意可得 =2m加1m时+分即-h设g(e)名-n,则g（ 2x(1-lnx).令g'(x)=0得x=e.当0<x<e时，g'（x)>0;当x>e时，g'(x)<0,g(x) yg(x) 在(0，©)单调道增，在(e,+)单调递减，8)三g(e)=号，→+0时，g( 4m -∞，limg(x)=0.g(x)的图象如右图所示.由题意可知函数g(x)的图象与直线y= (m0)有两个交点，国此0c号解得m记，故选D 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.【命题意图】本题考查了分步计数原理的应用，可以很好地考查学生的数学抽象和逻辑推理的核心素养 【参考答案】81 【试题解析】因为这4名同学每人有三种选购方法，所以共有3×3×3×3=81种不同的选购方法。 13.【命题意图】本题重点考查三角恒等变换，可以考查学生的数学运算和逻辑推理的核心素养. 【参考答案】-2 T tan 0+tan 【试题解析】解法1：因为308-2，所以s0=3cs0,即an0=3,所以am(0+牙) 4-3+1 cos 0+sin 0 1-tan Otan- π1-3 4 -2.故答案为-2. T tan 0+tan 期解法2：因为3sim分cos9=2,所以3am9-=2,即am0=3,所以an(6+T)= cos 0+sin 0 1+tan 0 4 n4=3+1=-2.故答案为 1-tan Otan-" -2. 14.【命题意图】本题以导数几何意义为核心，综合考查数列通项求解、等比数列前项和公式及取整函数的应用， 检验学生跨模块知识的综合运用能力.同时通过函数与数列的综合考查培养学生的逻辑推理、数学运算和数学 抽象核心素养，提升其解决综合型数学问题的思维能力 【参考答案2,44n 【试题解析】因为y=x,y'=3x2,曲线y=x3在点(2"，8")(n∈N)处的切线方程为y-8"=3(2")2·（x-2"), 又国为切钱过点(a0,所以-8=32"y2(a,-2),可得a,=号×2，所以%=号2=号×82=21.3 3 3 所以[a5]=21.设数列1[an]}的前2n项和为S2n, 由=项或定理得，2等产C心3-3心234-)]。 当m为专教，2分宁C9m-C34c3写片以写罗司 331 当为%发时写分(3m-C33…C3)-兮所以学=3 2+12 3-31 高三年级数学检测训练-答案-4（共10页） aa1a1=2号号}21，[11=2产1，以y 1-4 故答案为21：44n 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系和两角差的正弦公式，侧重运算求解能力 和学生的数学运算和逻辑推理的核心素养 【参考答案】见解析 【试题解析(1)在△ABC中，因为a+6=I1,所以6=11-a,由c=7,asA=7 及余孩定理得：a2=(1-a)2+7-2(11-a)×7x(-7), (4分)》 解得=8.…(6分) (2)解法1：由osA=-7,得sinA=45由正弦定理a一得， 8 7 7 sin A sin C 43 sin C' 即sinC=3 (9分)》 因为a>c,所以C是锐角，C=号，则amsC= Γ2 所以(1-0=血4msc4}(宁×号-5设 (13分) 214 解法2：由a=8,得6=3.由余孩定理得c0sC=+-c2_82+32-72-1 2ab 2×8×32 所以sinC=3 2… (9分) 又由c0sA=- ,得mA=4 所以m-c0=血4s6-sG=4}(分)×5-5源 (13分) 16.【命题意图】本题以导数的应用为核心，考查函数单调性的导数判定方法与不等式恒成立问题的求解策略：考查 灵活运用导数工具分析问题、解决问题的能力：着重考查考生运用导数工具分析问题、解决问题的实践能力，同 时综合检测逻辑推理、数学运算素养及分类讨论的数学思想， 【参考答案】见解析 【试题解析】(1)函数f(x)的定义城为(0，+）f'(x)=1-g= (2分) 若a≤0，则f'(x)>0,f(x)在(0，+∞)单调递增.… (3分) 若a>0,则由f'(x)=0得x=a. 当0<x<a时，f'(x)<0;当x>a时f′(x)>0.…(6分) 因此f(x)在(0，a)单调递减，在(a,+∞)单调递增.… (7分) (2)解法1：由(1)知当a≤0，f(x)在(0，+∞)单调递增，x∈(0,1)时，f(x)<f(1)=0,不满足题意.…（8分) 当a>0时，由(1)知f(x)mm=f(a)=lna+1-a.… (9分) 因为f八x)≥0，所以f八x)mm=lna+1-a≥0(*).…（10分) 设g()=h*1-,则g()= 当x∈(0,1)时，g'(x)>0,g(x)单调递增；当x∈(1，+∞)时，g'（x)<0,g(x)单调递减. 所以g(x)≤g(1)=0,lnx+1-x≤0，当且仅当x=1时取等号.…（13分) 高三年级数学检测训练-答案-5（共10页） 故lna+l-a≤0，结合(*)可知lna+1-a=0,故a=1.…（15分) 解法2：因为f(x)≥0=f(1),所以x=1为f(x)的极小值点.… (9分) 因此∫′(1)=0，解得a=L.… (11分) 当a=1时∫(x)=lnx+1-1,由(1)知)在(0,1)单调递减，在(1，+0)单调递增。 因此f八x)≥f八1)=0，满足题意。…（14分) 综上，a=1.…(15分) 解法3：因为f(x)≥0，所以xnx≥a(x-1)恒成立.… (8分) 当x=1时，显然成立，此时a∈R… (9分) 当o1时，极成立荧)期（e号旋归山1期国 (11分) 当x∈（1，+∞)时，h'(x)>0,h(x)在(1，+∞)单调递增，h(x)>h(1)=0,即g'(x)>0, g在（1，t场)单羽道增，因光a≤ig（(到=mh上(h)1=1.…（13分） 当0<x<1时，n≤a恒成立.当x∈(0,1)时，h'(x)<0,h(x)在(0,1)单调递减， x-1 h(x)>h(1)=0,即g(x)>0,g(x)在(0,1)单调递增，a≥img(x)=im血-血1=(nx)y11=1 x-1 综上，a=1. …(15分) 17.【命题意图】本题以直三棱柱为载体，考查空间直角坐标系建立、空间向量运算、线面平行判定及“面面角”求 解，结合动点考查动态几何问题的分析与处理，综合检验学生的空间想象能力、逻辑推理能力与运算求解能力， 渗透转化与化归、数形结合的数学思想. 【参考答案1山)正明见解斩：(2)[，251 【试题解析】解法1：(1)证明：如图，取B,C的中点Q,连接EQ,PQ,…（1分) 因为Q,P分别是B,C和BC的中点，所以PQ∥B,且PQ=B,(2分) A C B 又周为EF=之AM,=BB,所以PQ∥EBF且PQ=EF,所以四边形EFPQ是平行四 2 边形，所以EQ∥P℉，…(5分) 又因为EQC平面B,CE,PF￠平面B,CE,所以PF∥平面B,CE.… (7分) (2)在直三棱柱ABC-A,B,C,中，AM,⊥平面ABC且AB⊥AC,因此以A为坐标原点，xk AB,AC,AA,所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则B(2,0,4),C(0,2,0),由题易知，n=(0,1,0)为平面ABB1A1的一个法向量.…(8分) 设E(0,0,a),则ae[2,4],有B,C=(-2,2,-4),CE=(0,-2,a),…(9分) 设平面B,CE的法向量为m=(x,y,z),则 m·B,元=0，即-2x+2-4:=0,取y=,则z=2,x=a-4,即平面B,CB 即 m·ci=0, (-2y+az=0, 的一个法向量为m=(-4,a,2),…（11分) 设平面ABB,A,与平面B,CE的夹角为6， a 1 则cos0=cos<m,>=mn√-4)2+m22 (13分) 2-8+20 A aa 令1=e[4],则w0= 1 1 e[325 a √20t2-8t+2 3’5J, 5 高三年级数学检测训练-答案-6（共10页） 即平面AB,4与平面B,CE夫角的余弦值的取值范围为[，2，.………… (15分) 解法2：(1)证明：由题意得AA,⊥平面ABC且AB⊥AC,因此以A为坐标原点，AB, AC,AA,所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系。 则B,(2,0,4),C(0,2,0),P(1,1,0),设E(0,0,a),则a∈[2,4]，F(0,0,a-2),… B (2分) 有P7=(-1,-1,a-2),B,C=(-2,2,-4),C2=(0,-2,a),… (3分) 设平面B,CE的法向量为m=(x,y,z),则 m·=0即-2x+2-a=0取y=a, m.ci=0,-2y+az=0, 则z=2,x=a-4,即平面BCE的一个法向量为m=(a-4,a,2),…(5分)》 则P市.m=4-a-a+2a-4=0,PF丈平面B,CE,所以PF∥平面B,CE. …………… (7分) (2)由题易知，n=(0,1,0)为平面ABB,A1的一个法向量，…(9分) 设平面ABB,A1与平面B,CE的夹角为0， 1 则cs0os<m,mn√-4tn+2 ……… (12分) 8,20 2- aa 令1=e[4,],则es0= 20r-8220(P+ 9251. 5 即平面ABB,A与平面B,CE夫角的余弦值的取值范围为3,2.…………凸 (15分) 18.【命题意图】本题主要考查椭圆标准方程及其内接三角形面积计算，有关定值问题的证明，探索椭圆中是否存在 满足特定条件的定点等直线与椭圆综合问题，考查学生的数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养，也考查数 形结合、化归与转化、特殊与一般等数学思想方法. 【参考答案11后片=1：(20号(8)存在P0,25 【试题解析】(1)因为PQ⊥x轴时，PQ=6,所以点(2,3)在椭圆T上， 则4士9=1 a262 (1分) 又a2=b2+4,联立解得a2=16,b2=12, (2分) 所以箱国r的方程为6发1. (3分) (2)当1的斜率为零时，P、Q为椭圆T长轴端点， 1P01=8,pl·ol1=62=12,则0Fm90号 (4分) 当1的斜率不为零时，设l的方程为：x=my+2,P(x1,y1),Q(x2,2), 迪6消去得3mY2m36:0,G (5分) (x=my+2, -12m -36 ytn3m2+423m2+4' (6分) 所以|PQ=Vm+1+)P-4=Vm+1.24m打_24(m2+1) 3m2+43m2+4 …(7分) 又F=(x,-2,y),F0=(-2,2) 则市.夜=(x-2)(,-2)+y=my,·m+2=(m2+1)y,=-36m+） …（8分) 3m2+4 高三年级数学检测训练-答案-7（共10页） 周光成-学脚0m网 YA 1 PQ-2 1 2 所以 1 FPIFQ3 (10分) ③)根据题意得，E(-2,0),F2,0),=123,（-4≤≤4 则1限=*2=合+16= 1 2, (11分) 同理PF=4子， (12分) 而S△PE=PB_8-PE,S△PEE=PF SAPEF PEPE 'SAOEFQFT' (13分) e网号2号1 12 (14分) 国-号r1字 4- 3， (15分) 2 4+ 整理得x-18x1=0,则x1=0或七=18（舍去），… (16分) y7=12,而y1>0, 解得y1=23,即P(0,25),所以存在，点P(0,23)满足题意.…（17分) 19.【命题意图】本题重点考查数列的基本性质，通过三角数组的定义，将数列和概率两个主要模块有机结合，充分 展现等差数列的本质特点，从核心素养的角度来看，考查了学生的逻辑推理、数学建模、数学运算素养 【参考答案】(1)an=2n-1;(2)答案见解析；(3)答案见解析. 【试题解析】(1)解法1：当n=1时，S,= 上t1=,解得，=1.…（们分） 2 当n≥3时，两式相减得an=S。-S-1= n(1+an)(n-1)(1+an-1) 2 2 签理得(n-2)a.=(n-1)a1-1,即(n-2)(a-1)=(m-1)(a1-1),因此2二= n-1n-2’ 所以，当3时数列会为常发列 (3分) 由于4=3，因此0。- =2,即an=2n-1,且a1=1和a2=3适合上述关系. n-1 因此数列{an}的通项公式为an=2n-1.…(4分） 解法2：当n=1时，S1= 得得= 2 当n≥3时，两式相减得a,=S,-S1=n1a,）_(m-1)(1+a) 2 2 整理得(n-2)an=(n-1)an-1-1, 中品果如可得品高d1 n-13-2n-1 由于4，=3，因此=+2，即a,=2n-1,且4=1和，=3适合上迷关系. n-1n-1 因此数列{an}的通项公式为an=2n-1.…（4分） (2)证明：不妨设a,<a<ak,由(1)知数列{an}为递增数列，因此ij<k 充分性：若i,j,k为三角数组，则it>k.因为ij、keN”,所以i+j≥k+1, 高三年级数学检测训练-答案-8（共10页） 所以a,+a,=2i-1+2j-1=2(i+j)-2≥2(k+1)-2>2k-1=ak, 所以0，，，为三角数组。… (6分) 必要性：若a,0,k为三角数组，则a,+a,>ak,即2i-1+2j-1>2k-1, 所以2i+2>2k+1>2k,i+>k,所以i,,k为三角数组. 故a,凸，a:为三角数组的充要条件是i,j,k为三角数组.… (8分) (3)证法1：由(2)知，从数列{an}的前n项(n≥4)中任意取出不同的三项，这三项为三角数组等价于从前n个 正整数中依次取出三个不同的数，这三个数为三角数组.从1,2，…，n中一次任取三个数i,j和k(i<j<k),共有 C=n(n=)n-2)种可能.记从1,2，…，n中一次任取三个数为三角数组的可能数为N,则N=1.…(12分) 6 当n为偶数时，N1-V.=n-2+n-4++2=(02,当n为奇数时，N1-N.=n-2+n-4++1=n) 4 4 故Nn1-W,sn-l)2 1y……………………………… (15分) 由累加法可得：N.≤1+432+4++(n-2)2]<1+22++(m-22]=n-2)(n)(2n-3） 24 (n-1)(n-2)(2n-3) 故Pn< 24 .2n-31 (17分) n(n-1)(n-2) 4n2 6 证法2：由(2)知a,4,a为三角数组的充要条件是i,j,k为三角数组. 从1,2，…，n(n≥4)中任意取出不同的三个数i,j,k,不妨设ij<k,共有C种方法.对于定值k(k≥3)，当i+j>k 时，i,j,k为三角数组，当+≤k时，i,j,k不是三角数组.设对于定值k(k≥3)，这三项不是三角数组的i,J的所有 可能取值个数为M(k=3,4,…,n),设i,j,k不是三角数组的所有可能取值个数为Nn.…（10分) 若i计i+1≤itj≤k,则2i≤k-1. 当k为奇数时，所以i的可能取值为1,2，…分的可能取值为41，+2，，6-i 所以M=2(k-2)=(k-1)2 4；…… (11分) 当长为偶数时，≤号分，所以i的可能取值为1,2，…，1的可能取值为计1,42，…，， 所以M=名(6-2)=-2》.-12_1 (12分) 4 44 当n为%时，=少分-0=子12-D--子分10=a-2420, 4 6 24 所以P=1 心=1-2m+11 C14n-42 当n为奇数时，N=N1+M,=n-)(nm3)(2m-l4m-l)2-n-l)(n+1)(2nm-3) 24 4 24 所以Pn=1 =12n-n3<5 C4n2-8n2 (16分) 高三年级数学检测训练-答案-9（共10页）》 改对任意n≥4.D<)都成立.…（门分 证法3：由(2)可知，原命题可转化为：从前个正整数中任意取出三个不同的数，则这三个数为三角数组的概率 P分 设事件A表示“从前n个正整数中任意取出三个不同的数组成三角数组”，事件B表示“从前个正整数中取出 的三个不同的数中最大数为n”, 则Pn=P(A)=P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)=P(A|B)·P(B)+P(A|B)·P(B),…（(10分) 易知P(B-分=-313，从而P(B)=3 Ca n n …(12分） 下面证明：P(AB)<2, 满足>n(im)的有程[n-1-(n-i+1)+1]-(-1)=0*n-2a-山-Cg, 2 其中ij与>j的个数相同，且包含i=j的情况， 2 1 故P(A|B)< 2 (14分) 又P(A|B)=P-1,… (15分) n n 111 P,C42' 成立， 设P<2 则R兮片号成2 故对任意n≥4，P.分…（7分） 高三年级数学检测训练-答案-10（共10页）