精品解析：上海市普陀区部分学校联考2025-2026学年上学期七年级数学期末考试卷

2025学年第一学期七年级数学学科第四阶段质量调研试卷 （考试时间90分钟，满分100分） 一、选择题（本大题共8题，每题3分，满分24分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 的系数是 B. 的次数是7次 C. 是六次三项式 D. 的常数项是 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的（ ） A. B. C. D. 4. 下列方程中，哪些是分式方程（ ） ①；②；③；④ A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 5. 如图所示，甲、乙两只蚂蚁觅食后，都想早点回去向蚁王汇报成绩，它们同时经过处向洞口处走，甲走的路线为过点、、、、、、、、的折线，乙走的路线为折线，图中线段分别平行，如果它们爬行的速度相等，先回到洞中的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 同时 D. 无法判断 6. 如果使分式有意义的和的值都扩大为原来的3倍，则分式的值也扩大为原来的3倍，那么整式可以是（ ） A. B. C. D. 7. 中国的历史文化源远流长，我们的祖先创造了很多造型别致且实用美观的纹样．下面四个纹样中，属于四方连续纹样的是（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙两班学生植树造林，已知甲班每天比乙班多植棵树，甲班植棵树所用的天数与乙班植棵树所用的天数相等，若设乙班每天植树棵，则根据题意列出方程是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10题，每题2分，共20分） 9. 将整式按升幂排列：______． 10. 如果单项式与是同类项，则______． 11. 当时，请写出一个在此范围内有意义的最简分式：______． 12. 将分式表示成不含分母的形式为______． 13. 计算：______． 14. 因式分解：_____． 15. 请写出一个图形，既是轴对称图形又是中心对称图形：_______． 16. 如果关于的方程无解，则______． 17. 有一长方形纸片，如图，点在线段上，点在线段上，将长方形纸片沿着翻折，使点落在点处，如果与之差的绝对值等于，即，那么______． 18. 如果两个分式与的和为常数，且是整数，则称是的“和整分式”，称为“和整值”．例如：分式，，所以，是的“和整分式”，“和整值”．已知分式，，是的“和整分式”，且“和整值”．当为正整数时，分式的值为正整数，则的值______． 三、填空题（本大题共8题，第19、20题各8分，第21题5分，第22、23题各6分，第24题9分、第25题6分、第26题8分，共56分） 19. 计算： （1） （2） 20. 因式分解： （1） （2） 21. 解方程： 22. 先化简代数式，然后在、、0、1、2中选取一个适合的数，代入求值． 23. 某学校组织学生参观博物馆，按照预定人数需要门票费用3000元，实际参观人数是预定人数的2倍，可以享受优惠，实际门票费用为4800元，已知每张门票优惠了3元，求参加这项活动的预定人数． 24. 小明在学习乘法公式时，通过计算图形的面积发现了平方差公式及完全平方公式，他课后遇到了这样一个问题，请帮他一起解决： （1）如图，已知是直角三角形，，，，，请分别画出绕点顺时针旋转得到，关于点O成中心对称的，绕点逆时针旋转得到． （2）第（1）问画出的四边形是一个什么图形？______． 一方面，四边形的面积可以直接用公式计算为______；另一方面，它的面积等于四个三角形和四边形的面积之和，为______．于是，我们得到______．（用含、、且化简后的整式表示） （3）请你借助，再画出一种示意图推出第（2）题得到的等式，并简要说明推导过程． 25. 梅陇中学七年级要举行“阅读之星”评选活动，设计评选方案时考虑如下几个指标因素：①书籍的数量A；②书籍的总页数B；③书籍的类别C；④书籍的平均评分D．根据以上指标因素的重要程度赋以不同的系数，建立“阅读之星”的得分公式： ，其中、、、是各项指标因素的系数． 例如，某同学一学期读了4本书，总页数1200页，涉及4个类别，4本书的平均评分为5.6分，那么这位同学的得分计为：．如果各项指标因素的系数一旦确定，那么他的“阅读之星”的得分也就确定． 评选小组通过对部分学生及教师对“阅读之星”评选指标因素重要程度的调查，确定了上述四个指标因素的系数，四个指标因素的系数的和必须为10，系数数值如下表所示： 指标因素 系数 书籍的数量A 3 书籍的总页数B 书籍的类别C 3.5 书籍的平均评分D 1 （1）指标因素“书籍的总页数B”的系数的值为______． （2）确定各指标因素的系数后，“阅读之星”的得分公式为______． （3）下表是七年级甲、乙两位同学“阅读之星”各项指标因素的数值． A B C D 得分 甲 5 2000 2 6 乙 6 1500 3 8 请计算甲、乙两位同学“阅读之星”的得分． 甲得分：______，乙得分：______ （4）根据两人的得分情况，请提出一条优化“阅读之星”评选方案的建议：__________________． 26. 已知一副三角板按如图的方式拼接在一起，边、与直线重合，其中，． （1）求图1中的度数． （2）如图2，三角板固定不动，将三角板绕点按顺时针方向旋转一个角度，其中． ①当三角板的一边平分时，求旋转角的度数． ②是否存在？若存在，请直接写出的度数；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期七年级数学学科第四阶段质量调研试卷 （考试时间90分钟，满分100分） 一、选择题（本大题共8题，每题3分，满分24分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 的系数是 B. 的次数是7次 C. 是六次三项式 D. 的常数项是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查单项式的系数和次数、多项式的次数和常数项等概念，正确理解单项式的系数和次数、多项式的次数和常数项是解题的关键．需逐项判断是否符合定义． 【详解】解：对于A：∵ 单项式 ，其系数为 ，不是，∴ A 错误． 对于B：∵单项式，其次数为，不是，∴ B错误． 对于C：∵多项式中最高次项的次数为 ，故为四次三项式，不是六次三项式，∴C 错误． 对于D：∵多项式的常数项为，∴ D正确． 故选：D． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查指数运算规则，包括合并同类项、幂的乘方、积的乘方等． 逐项验证即可． 【详解】解：对于A：∵，∴ A错误． 对于B：∵，∴ B错误． 对于C： ∵，∴ ，与右边相等，∴ C正确． 对于D：∵ ，，∴，D错误． 故选C． 3. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义．根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个最简整式的乘积的形式，这种多项式的变形叫做因式分解）逐项判断即可得． 【详解】解：A、，等式的右边不是乘积的形式，则此项不符合题意； B、，是因式分解，此项符合题意； C、是整式的乘法，不是因式分解，此项不符合题意； D、等式右边中的不是整式，则此项不符合题意； 故选：B． 4. 下列方程中，哪些是分式方程（ ） ①；②；③；④ A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的定义．分母里含有字母的方程叫做分式方程．根据分式方程的定义判断即可． 【详解】解：①，符合分式方程的定义，是分式方程； ②，符合分式方程的定义，是分式方程； ③，分母里不含有字母，不符合分式方程的定义，不是分式方程； ④，符合分式方程的定义，是分式方程； 故选：B． 5. 如图所示，甲、乙两只蚂蚁觅食后，都想早点回去向蚁王汇报成绩，它们同时经过处向洞口处走，甲走的路线为过点、、、、、、、、的折线，乙走的路线为折线，图中线段分别平行，如果它们爬行的速度相等，先回到洞中的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 同时 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平移，根据平移的性质可知两只蚂蚁行走的路程相等，又因为它们爬行的速度相等，所以两只蚂蚁同时回到洞中． 【详解】解：，， ， 两只蚂蚁行走的路程相等， 又它们爬行的速度相等， 两只蚂蚁同时回到洞中． 故选：C． 6. 如果使分式有意义的和的值都扩大为原来的3倍，则分式的值也扩大为原来的3倍，那么整式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．利用分式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：当表示时，，它的值与原分式的值相等，故A不符合题意； 当表示时，，它的值与原分式的值的相等，故B不符合题意； 当表示时，，它的值是原分式的值的27倍，故C不符合题意； 当表示时，，它的值是原分式的值的3倍，故D符合题意； 故选：D． 7. 中国的历史文化源远流长，我们的祖先创造了很多造型别致且实用美观的纹样．下面四个纹样中，属于四方连续纹样的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了四方连续纹样，四方连续纹样是一种图案设计形式，由一个单位纹样向上下左右四个方向反复连续循环排列而成．据此分析即可． 【详解】解：属于四方连续纹样的是选项D， 故选：D． 8. 甲、乙两班学生植树造林，已知甲班每天比乙班多植棵树，甲班植棵树所用的天数与乙班植棵树所用的天数相等，若设乙班每天植树棵，则根据题意列出方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是根据甲、乙两班植树的数量和工作效率关系，找出等量关系列出方程． 先表示出甲班每天植树的棵数，再分别得出甲班植80棵树和乙班植70棵树所用的天数，根据天数相等列出方程 【详解】解： 设乙班每天植树棵，因为甲班每天比乙班多植5棵树，所以甲班每天植树棵． 根据题意可列方程． 故选：C． 二、填空题（本大题共10题，每题2分，共20分） 9. 将整式按升幂排列：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多项式，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号．正确理解降幂排列或升幂排列的定义是解题的关键．按的升幂排列，即根据各项中的指数从小到大进行排列． 【详解】解：整式中， 各项的指数分别为：的指数为，的指数为，的指数为，的指数为 ，的指数为． 按的指数升序排列， 得到 ， 故答案为：． 10. 如果单项式与是同类项，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了同类项，根据同类项的定义，相同字母的指数必须相等，列出关于m和n的方程并求解，再计算的值． 【详解】解：因为单项式与是同类项， 所以的指数相等，即， 解得 ； 的指数相等， 即， 解得， 则， 故答案为：1． 11. 当时，请写出一个在此范围内有意义的最简分式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查最简分式和分母有意义的条件，根据题意，分式在 时有意义，因此分母应包含因式 ；同时要求分式为最简形式，即分子与分母无公因式，即可求得答案． 【详解】解：∵当 时，分母不为零，分式有意义， ∴构造分母为 的分式 ， ∵分子 与分母 互质，无公因式， ∴因此分式为最简分式． 故答案为： ． 12. 将分式表示成不含分母的形式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查负整数指数幂．利用负整数指数幂的定义，将分母中的因子转化为负指数形式，从而消除分母． 【详解】解： 故答案为：． 13. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，根据多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 【详解】解：原式 故答案为：． 14. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解，保证因式分解彻底 【详解】解： 15. 请写出一个图形，既是轴对称图形又是中心对称图形：_______． 【答案】线段(答案不唯一） 【解析】 【分析】写出一个轴对称图形又是中心对称的图形即可． 【详解】解：线段既是中心对称图形又是轴对称图形． 故答案为：线段(答案不唯一） 【点睛】本题考查轴对称图形主中心对称图形，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心是解题的关键． 16. 如果关于的方程无解，则______． 【答案】或0##或 【解析】 【分析】此题考查分式方程的解，解题关键在于利用方程无解进行解答，分式方程去分母转化为整式方程，由整式方程无解或解为增根时原方程无解，确定m的值． 【详解】解：原方程为， 两边同乘（），得， 即， 整理得， 当即时，方程变为，无解； 当时，解为， 若此解为增根（即分母为零），则，解得，此时原方程无解； 综上，或 故答案为：或 17. 有一长方形纸片，如图，点在线段上，点在线段上，将长方形纸片沿着翻折，使点落在点处，如果与之差的绝对值等于，即，那么______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了角的计算等知识，绝对值的化简，一元一次方程的应用等知识，根据题意画出图形，进行分类讨论是解题关键﹒当时，根据，得到，根据折叠得到，根据，即可求出；当，同理可以求出，问题得解﹒ 【详解】解：如图1，当时， ∵， ∴， 即， ∵三角形翻折得到三角形， 所以， 因为， 所以， 所以； 如图2，当时， ∵， ∴， 即， ∵三角形翻折得到三角形， 所以， 因为， 所以， 所以； 故答案为：或 18. 如果两个分式与的和为常数，且是整数，则称是的“和整分式”，称为“和整值”．例如：分式，，所以，是的“和整分式”，“和整值”．已知分式，，是的“和整分式”，且“和整值”．当为正整数时，分式的值为正整数，则的值______． 【答案】1 或 2 【解析】 【分析】本题考查了分式的加法、解一元一次方程、解分式方程，熟练掌握运算法则并理解题意是解此题的关键． 根据题意可得，再去分母，整理即可解得；并化简 D，再根据 D 的值为正整数，列出方程求解 x，检验即可． 【详解】解：∵C 是 D 的和整分式，且和整值， ∴． 即 ． 通分得 ． 则 ． 解得 ． 于是 （其中 ）． ∵ D 的值为正整数，x 为正整数， ∴ 或 ． 解得：或． 故答案为：或． 三、填空题（本大题共8题，第19、20题各8分，第21题5分，第22、23题各6分，第24题9分、第25题6分、第26题8分，共56分） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，包括幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘除法，以及完全平方公式和多项式乘法．根据相关运算法则和公式计算即可． 【小问1详解】 解：      【小问2详解】 解：      20. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解． （1）先用换元法，再利用十字相乘法分解因式即可． （2）先用分组分解法，再利用公式法分解因式即可． 【小问1详解】 解：令， 则原式变成：， ， 再把代入得， 故 【小问2详解】 解： 21. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验． 【详解】解：原方程可化成， ， ， ， ， 当时，， 则是分式方程的解． 22. 先化简代数式，然后在、、0、1、2中选取一个适合的数，代入求值． 【答案】x，当时，原式 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值．先根据分式的混合运算顺序和法则化简原式，由分式有意义得出符合条件的的值，代入求解即可． 【详解】解：原式= ， 因为分式有意义时、、2． 当时，原式． 23. 某学校组织学生参观博物馆，按照预定人数需要门票费用3000元，实际参观人数是预定人数的2倍，可以享受优惠，实际门票费用为4800元，已知每张门票优惠了3元，求参加这项活动的预定人数． 【答案】参加这项活动的预定人数为200人． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用．设参加这项活动的预定人数为x人，根据预定费用和实际费用及每张门票优惠3元的条件列出方程求解． 【详解】解：设参加这项活动的预定人数为x人，则预定每张门票价格为元，实际参观人数为人，实际每张门票价格为元， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：参加这项活动的预定人数为200人． 24. 小明在学习乘法公式时，通过计算图形的面积发现了平方差公式及完全平方公式，他课后遇到了这样一个问题，请帮他一起解决： （1）如图，已知是直角三角形，，，，，请分别画出绕点顺时针旋转得到，关于点O成中心对称的，绕点逆时针旋转得到． （2）第（1）问画出的四边形是一个什么图形？______． 一方面，四边形的面积可以直接用公式计算为______；另一方面，它的面积等于四个三角形和四边形的面积之和，为______．于是，我们得到______．（用含、、且化简后的整式表示） （3）请你借助，再画出一种示意图推出第（2）题得到的等式，并简要说明推导过程． 【答案】（1） 解：如图，四边形即为所求； （2）正方形，，， （3） 解：如图，已知是直角三角形，，，，，分别画出绕点顺时针旋转得到，关于点O成中心对称的，绕点逆时针旋转得到． 则四边形是一个正方形，一方面，四边形的面积可以直接用公式计算为，另一方面，它的面积等于四边形的面积减去四个三角形，为，于是，我们得到﹒ 【解析】 【分析】本题为开放性问题，考查了通过数形结合思想﹒理解利用图形证明平方差公式，完全平方公式的过程是解题关键﹒ （1）根据题意进行作图即可求解； （2）根据题意分别计算图形面积，再进行整理即可求解； （3）类比（1）（2）进行拼图，计算面积即可求解﹒ 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是一个正方形，一方面，四边形的面积可以直接用公式计算为，另一方面，它的面积等于四个三角形和四边形的面积之和，为，于是，我们得到﹒ 故答案为：正方形，，，； 【小问3详解】 略 25. 梅陇中学七年级要举行“阅读之星”评选活动，设计评选方案时考虑如下几个指标因素：①书籍的数量A；②书籍的总页数B；③书籍的类别C；④书籍的平均评分D．根据以上指标因素的重要程度赋以不同的系数，建立“阅读之星”的得分公式： ，其中、、、是各项指标因素的系数． 例如，某同学一学期读了4本书，总页数1200页，涉及4个类别，4本书的平均评分为5.6分，那么这位同学的得分计为：．如果各项指标因素的系数一旦确定，那么他的“阅读之星”的得分也就确定． 评选小组通过对部分学生及教师对“阅读之星”评选指标因素重要程度的调查，确定了上述四个指标因素的系数，四个指标因素的系数的和必须为10，系数数值如下表所示： 指标因素 系数 书籍的数量A 3 书籍的总页数B 书籍的类别C 3.5 书籍的平均评分D 1 （1）指标因素“书籍的总页数B”的系数的值为______． （2）确定各指标因素的系数后，“阅读之星”的得分公式为______． （3）下表是七年级甲、乙两位同学“阅读之星”各项指标因素的数值． A B C D 得分 甲 5 2000 2 6 乙 6 1500 3 8 请计算甲、乙两位同学“阅读之星”的得分． 甲得分：______，乙得分：______ （4）根据两人的得分情况，请提出一条优化“阅读之星”评选方案的建议：__________________． 【答案】（1）2.5 （2） （3）， （4） 解：可适当降低指标B（书籍的总页数）的系数，并相应提高其他指标的系数，以降低B项在总分中的权重． 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数． （1）根据四个指标因素的系数之和为10即可求解； （2）根据（1）的结果代入公式计算即可求解； （3）将甲、乙的数据代入（2）中的公式计算即可； （4）根据（3）的计算结果，分析得分构成，提出合理建议即可． 【小问1详解】 解：∵四个指标因素的系数的和必须为10， ∴， 故答案为：2.5； 【小问2详解】 解：∵书籍的数量A为3，书籍的总页数B为2.5，书籍的类别C为3.5，书籍的平均评分D为1， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：甲得分为， 乙得分为； 故答案为：，； 【小问4详解】 略 26. 已知一副三角板按如图的方式拼接在一起，边、与直线重合，其中，． （1）求图1中的度数． （2）如图2，三角板固定不动，将三角板绕点按顺时针方向旋转一个角度，其中． ①当三角板的一边平分时，求旋转角的度数． ②是否存在？若存在，请直接写出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①或 ②或 【解析】 【分析】本题考查了几何图形中的角度的计算、一元一次方程的几何应用、旋转的性质，解决本题的关键运用数形结合和分类讨论思想． (1)根据平角的定义可知，又因为，，即可求出的度数； (2)①分平分和平分两种情况求解； ②分在左侧、在右侧、在下方三种情况求解． 【小问1详解】 解：由图可知， ，， ； 【小问2详解】 ①解：，， ， 当平分时，如下图所示， 可得：， ， ； 当平分时，如下图所示， 可得：， ； 旋转角为或； ②解：，， ， 当在左侧，旋转角为时， 可得：，， ， ， (不符合题意)； 当在右侧，旋转角为时，如下图所示， 可得：，， ， ， ； 当在的下方，旋转角为时， 可得：，， ， ， ； 综上所述，旋转角的度数为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $