2.3一元一次不等式与一次函数 讲义2025-2026学年北师大版数学八年级下册

本讲义聚焦一元一次不等式与一次函数的内在联系，基于一次函数图象与性质，构建从“数”（不等式）到“形”（函数图象）的转化路径，通过课前预习巩固一次函数基础，课堂探秘分“数”“形”关联、解题步骤、实际应用三环节，形成递进式学习支架。 以“数形结合”为核心特色，通过画图验证解集、归纳“先找交点再看增减”口诀培养几何直观（数学眼光），探究问题链引导推理（数学思维），实际问题（如利润计算）建立模型（数学语言）。课中分层检测助教师掌握学情，课后知识清单与强化训练帮学生查漏补缺。

2025-2026学年北师大版八年级数学下 《第二章不等式与不等式组第三节一元一次不等式与一次函数》讲义 ( 一． 学习 目标 1.理解一元一次不等式与一次函数的内在联系，能从函数图象角度解释不等式的解集。 2.掌握利用一次函数图象求解一元一次不等式的方法，体会 “ 数形结合 ” 思想。 3.能运用一元一次不等式与一次函数的关系解决实际问题，提升数学应用能力。 4.熟练掌握 “ 根据函数值的大小关系求自变量的取值范围 ” 的核心逻辑，形成规范解题思路。 ) ( 二．重点难点 （一）重点 1.一元一次不等式与一次函数的对应关系，即 kx + b > 0（或 < 0、 ≥ 0、 ≤ 0）与一次函数 y = kx + b 图象的关联。 2.利用一次函数图象求解一元一次不等式的步骤。 （二）难点 1.从 “ 数 ” （不等式）与 “ 形 ” （函数图象）两个角度相互转化，理解解集的几何意义。 2.结合实际问题，建立一次函数模型并通过不等式分析自变量的取值范围。 ) 三．课前预习 1.一次函数 y = kx + b（k ≠0）的图象是一条______，当 k > 0 时，y 随 x 的增大而______；当 k < 0 时，y 随 x 的增大而______。 2. 对于一次函数 y = 2x + 3，当 y > 0 时，对应的 x 满足不等式______；当 y < 0 时，对应的 x 满足不等式______。 3. 一元一次不等式 3x - 1 ≤5 可看作一次函数 y = 3x - 1 当______时，自变量 x 的取值范围。 4. 若一次函数 y = kx + b 的图象经过点 (2, 0) 且 y 随 x 的增大而减小，则不等式 kx + b > 0 的解集是______。 5. 从图象上看，不等式 kx + b > m（m 为常数）的解集，是一次函数 y = kx + b 的图象在直线______上方时，自变量 x 的取值范围。 四．课堂探秘 探究一：一元一次不等式与一次函数的“数”“形”关联 【思考】：对于一次函数 y = 2x - 5，回答以下问题： 当 x 为何值时，y = 0？ 当 x 为何值时，y > 0？ 当 x 为何值时，y < 0？ 【画图验证】：在平面直角坐标系中画出y = 2x - 5的图象，观察图象与x轴的交点坐标， 思考： （1）图象在 x 轴上方的部分，对应的 y值 > 0，对应的 x 取值范围是x>2.5，与不等式 2x - 5> 0 的解集x>2.5。 （2）图象在 x 轴下方的部分，对应的 y 值<0，对应的 x 取值范围是x<2.5，与不等式 2x - 4 < 0 的解集x<2.5。 【归纳结论】：对于一次函数 y = kx + b（k ≠ 0）： （1）不等式 kx + b > 0 的解集，是图象在 x 轴上方对应的 x 的取值范围； （2）不等式 kx + b < 0 的解集，是图象在 x 轴下方对应的 x 的取值范围； （3）不等式 kx + b ≥ 0（或 ≤ 0）的解集，需包含图象与 x 轴交点的横坐标。 【关键口诀】 （1）先找“交点”（直线与 x 轴或 y = m 的交点横坐标）； （2）再看“增减”（k > 0 增，k < 0 减）； （3）上正下负（图象在上方对应 y > 0，下方对应 y < 0）。 探究二：利用一次函数图象解一元一次不等式的步骤 如图是一次函数y=2x﹣5的图象，请根据给出的图象写出一个一元一次方程和一个一元一次不等式，并用图象求解所写出的方程和不等式． 如图，函数y＝2x和y＝﹣x+4的图象相交于点A， （1）求点A的坐标； （2）根据图象，直接写出不等式2x≥﹣x+4的解集． 利用一次函数图像解一元一次不等式的核心步骤 （1）把不等式整理为kx+b>0（≥0） 或kx+b<0（≤0） 的标准形式，对应一次函数y=kx+b。 （2）画出一次函数y=kx+b的图像（直线），标出与x轴的交点**(-b/k, 0)**。 （3）根据不等式符号判断： y>0或≥0：取直线在x轴上方（及交点）的部分，对应x的取值范围即为解集； y<0或≤0：取直线在x轴下方（及交点）的部分，对应x的取值范围即为解集。 例1.画出函数y＝2x－4的图象，并回答下列问题： (1)当x取何值时，y＞0? (2)若函数值满足－6≤y≤6，求相应的x的取值范围． 例2.用函数图象的方法解不等式4x－2＞－x＋3. 探究三：实际问题中的关联应用 某水果店销售某种水果，进价为每千克10元，售价为每千克 x 元（x > 10），销售量 y（千克）与售价 x（元）满足一次函数关系 y = -10x + 200。若水果店想要获利不低于300元，求售价 x 的取值范围（利润 = （售价 - 进价）× 销售量）。 例题.我区应国家号召，认真贯彻落实党的二十大精神，全面推进乡村振兴，把富民政策一项一项落实好，特将农户种植的农产品包装成A、B两种大礼包.某超市预购进两种大礼包共400个，两种大礼包的进价和预售价如表.设购进A种大礼包x个，且所购进的两种大礼包能全部卖完时获得的总利润为W元. 大礼包类型 进价/（元/个） 售价/（元/个） A 47 65 B 37 50 （1）求W关于x的函数表达式（不要求写x的取值范围）； （2）如果购进两种大礼包的总费用不超过18000元，那么商场如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？ 五．课堂检测 （一）．选择题 1. 已知函数y＝8x－11，要使y＞0，那么x应取 (    ) A. x＞ B. x＜ C. x＞0 D. x＜0 2. 已知一次函数y＝kx＋b的图像，如图所示，当x＜0时，y的取值范围是（ ） A. y＞0 B. y＜0 C. －2＜y＜0 D. y＜－2 3. 已知y1＝x－5，y2＝2x＋1．当y1＞y2时，x的取值范围是（ ）． A. x＞5 B. x＜ C. x＜－6 D. x＞－6 4. 已知一次函数图象如图所示，当x＜1时，y的取值范围是（　 　） A. －2＜y＜0 B. －4＜y＜0 C. y＜－2 D. y＜－4 5. 一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②；③当时，，其中正确的结论有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 6. 如图，直线交坐标轴于两点，则关于的不等式的解集是 A. B. C. D. 7. 已知关于 x 不等式 ax+1＞0（a≠0）的解集是 x＜1，则直线 y＝ax+1 与 x轴的交点是（ ） A. （0，1） B. （﹣1，0） C. （0，﹣1) D. （1，0） 8. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解为（ ） A. x＞－1 B. x＜－1 C. x＜－2 D. 无法确定 9．如图，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 10．已知整数x满足，对任意一个x，m都取中的较大值，则m的最小值是（  ） A．1 B．2 C．24 D．-9 （二）．填空题 11.若一次函数y＝(m－1)x－m＋4的图象与y轴的交点在x轴的上方，则m的取值范围是________. 12. 如图，某航空公司托运行李的费用与托运行李的重量的关系为一次函数，由图可知行李的重量只要不超过________千克，就可以免费托运． 13. 已知2x－y＝0，且x－5＞y，则x的取值范围是________． 14. 一次函数和的图像如图所示，其交点为，则不等式的解集是______． 15. 如图，一次函数y1=k1x+b1与y2=k2x+b2的图象相交于A（3，2），则不等式（k2﹣k1）x+b2﹣b1＞0的解集为______． 16. 已知关于x的不等式kx﹣2＞0（k≠0）的解集是x＜﹣3，则直线y＝﹣kx+2与x轴的交点是_____． 17. 已知不等式解集是，则直线与的交点坐标是_________． 18．已知函数y1＝kx﹣b（k≠0），y2＝ax+2a（a≠0），若函数y1与y2的图象交于x轴上的一点，且函数y1的图象经过第二、三、四象限，则不等式kx﹣b＜0的解集为 　　． 7．—次函数y＝kx+b（k≠0）中两个变量x，y的部分对应值如表所示： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … 7 5 3 1 ﹣1 … 那么关于x的不等式kx+b≥5的解集是 　　． 19．如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝kx+b（k≠0）相交于点P（m，5），则关于x的不等式kx+b≥x+1的解集为 　　． 20．如图，直线与分别交轴于点，，则不等式的解集为 ． （三）．解答题 21. 已知：y1=x+3，y2=－x+2，求满足下列条件时x的取值范围： （1）y1 ＜y2 （2）2y1－y2≤4 22. 在同一坐标系中画出一次函数与的图象，并根据图象回答下列问题： （1）写出直线与的交点的坐标． （2）直接写出：当x取何值时；． 23.为庆祝商都正式营业，商都推出了两种购物方案．方案一：非会员购物所有商品价格可获九五折优惠，方案二：如交纳300元会费成为该商都会员，则所有商品价格可获九折优惠． （1）以x(元)表示商品价格，y(元)表示支出金额，分别写出两种购物方案中y关于x的函数解析式； （2）若某人计划在商都购买价格为5880元的电视机一台，请分析选择哪种方案更省钱？ 24. 星期天，李玉刚同学随爸爸妈妈回老家探望爷爷奶奶，爸爸8：30骑自行车先走，平均每小时骑行20km；李玉刚同学和妈妈9：30乘公交车后行，公交车平均速度是40km/h.爸爸的骑行路线与李玉刚同学和妈妈的乘车路线相同，路程均为40km.设爸爸骑行时间为x(h)． (1)请分别写出爸爸的骑行路程y1(km)、李玉刚同学和妈妈的乘车路程y2(km)与x(h)之间的函数解析式，并注明自变量的取值范围； (2)请在同一个平面直角坐标系中画出(1)中两个函数的图象； (3)请回答谁先到达老家． 25. 已知一次函数y1=﹣2x﹣3与y2=x+2． （1）在同一平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； （2）根据图象，不等式﹣2x﹣3＞x+2的解集为多少？ （3）求两图象和y轴围成的三角形的面积． 26．如图，直线y1=2x﹣2的图象与y轴交于点A，直线y2=﹣2x+6的图象与y轴交于点B，两者相交于点C． (1)方程组的解是　　； (2)当与同时成立时，x的取值范围为　 ； (3)求△ABC的面积； (4)在直线的图象上存在异于点C的另一点P，使得△ABC与△ABP的面积相等，请求出点P的坐标． 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.一次函数的一般形式为________（其中k、b为常数，且k≠0），其图象是一条________。 2.对于一次函数y=kx+b（k≠0），当k>0时，y随x的增大而________；当k<0时，y随x的增大而________。 3.一元一次不等式kx+b>0（k≠0）的解集，对应一次函数y=kx+b的图象在________轴上方的x的取值范围；kx+b<0（k≠0）的解集，对应图象在________轴下方的x的取值范围。 4.若一次函数y=k₁x+b₁与y=k₂x+b₂（k₁、k₂≠0）的图象相交于点（m，n），则当k₁x+b₁>k₂x+b₂时，x的取值范围是________（用含m的式子表示，需结合k的符号规律）。 5.利用一次函数解决一元一次不等式的实际问题时，需先根据题意建立________模型，再通过分析函数图象的________关系，确定不等式的解集，进而解决实际问题。 6.对于一次函数y=2x+3，解不等式2x+3>0，相当于求当函数值________时，自变量x的取值范围，其解集为________。 7.若一次函数y=kx+b的图象经过点（1，5）和（-2，-1），则解不等式kx+b≥3时，x的取值范围是________。 8.某商品的进价为每件30元，售价为每件x元，销售量y（件）与售价x（元）的函数关系为y=-10x+600，若要获得不低于1000元的利润，则可列不等式为________，其解集为________。 9.一次函数y=-3x+9的图象与x轴的交点坐标为________，解不等式-3x+9≤0的解集为________。 10.当一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴平行时，若b>0，则不等式kx+b>0的解集为________；若b<0，则解集为________。 （二）强化训练 一．选择题 1.一次函数y=2x-4与x轴的交点坐标是（2，0），那么不等式2x-4≤0的解集应是（ ） A. x ≤2 B. x＜2 C. x≥2 D. x＞2 2.如图一次函数的图象经过A、B两点，则关于x的不等式的解集（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线y=kx+b交坐标轴于A（-3，0）、B（0，5）两点，则不等式-kx-b＜0的解集为（　　） A. x＞-3 B. x＜-3 C. x＞3 D. x＜3 4. 一次函数 (k， b是常数，k≠0) 的图象如图所示，则当y>0时，x的取值范围是( ) A. x>-2 B. x>0 C. x<-2 D. x<0 5. 已知一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于 x 的不等式 ax+1＞0（a≠0）的解集是 x＜1，则直线 y＝ax+1 与 x轴的交点是（ ） A. （0，1） B. （﹣1，0） C. （0，﹣1） D. （1，0） 7.直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解为（ ） A. x＞－1 B. x＜－1 C. x＜－2 D. 无法确定 8．如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），则不等式（kx+b）（mx+n）＜0的解集为（　　） A．x＜﹣1 B．x＞3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣1或x＞3 9.我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了了解关于x的不等式﹣x+2＞mx+n的解集，某同学绘制了y＝﹣x+2与y＝mx+n（m，n为常数，m≠0）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 10．如图，已知一次函数y＝ax+2与y＝mx+n图象的交点坐标为（﹣2，﹣4）．现有下列四个结论：①a＞0；②mn＞0；③方程ax+2＝mx+n的解是x＝﹣2；④若mx+n＜ax+2＜0，则﹣2＜x＜-．其中正确的结论个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 二．填空题 11. 如图，若一次函数y＝﹣2x+b的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，点A的坐标为（0，3），则不等式﹣2x+b＞0的解集为_________。 12. 直线y＝kx＋3经过点A(2,1)，则不等式kx＋3≥0的解集是__________. 13. 如图是一次函数y＝kx＋b的图象，当y＜2时，x的取值范围是_____. 14. 若关于x的不等式mx－1＞0(m≠0)的解集是x＞1，则直线y＝mx－1与x轴的交点坐标是_____. 15.已知关于x的不等式kx﹣2＞0（k≠0）的解集是x＜﹣3，则直线y＝﹣kx+2与x轴的交点是_____． 16. 直线y=2x+b经过点（3，5），则关于x的不等式2x+b≥0的解集为________． 17.若一次函数y=kx+b(k为常数,且k≠0)的图像经过点(-2,0),则关于x的方程k(x-5)+b=0的解为　　　　.  18. 如图，已知函数与函数的图像交于点P，则不等式的解集是______． 19. 小明家准备春节前举行80人的聚餐，需要去某餐馆订餐．据了解餐馆有10人坐和8人坐两种餐桌，要使所订的每个餐桌刚好坐满，则订餐方案共有______种． 20. 已知直线y1=x，的图象如图所示，若无论x取何值，y总取y1，y2，y3中的最小值，则y的最大值为______． 三．解答题 21. 画出函数y＝2x－4的图象，并回答下列问题： (1)当x取何值时，y＞0? (2)若函数值满足－6≤y≤6，求相应的x的取值范围． 22. 如图，根据图中信息解答下列问题： (1)关于x的不等式ax＋b＞0的解集是________； (2)关于x的不等式mx＋n＜1的解集是________； (3)当x为何值时，y1≤y2? (4)当x＜0时，比较y2与y1的大小关系． 23. 如图，函数y＝2x和y＝﹣x+4的图象相交于点A， （1）求点A的坐标； （2）根据图象，直接写出不等式2x≥﹣x+4的解集． 24. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲、乙两家快递公司比较合适．甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费．乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元．设小明快递物品x千克． （1）请分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y（元）与x（千克）之间的函数关系式； （2）小明选择哪家快递公司更省钱？ 25.在数学学习中，及时对知识进行归纳和整理是提高学习效率的重要方法，善于学习的小明在学习了一次方程（组）、一元一次不等式和一次函数后，对照图形，把相关知识归纳整理如下： 一次函数与方程（组）的关系： （1）一次函数的解析式就是一个二元一次方程； （2）点B的横坐标是方程kx+b=0的解； （3）点C的坐标（x，y）中x，y的值是方程组①的解． 一次函数与不等式的关系： （1）函数y=kx+b的函数值y大于0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＞0的解集； （2）函数y=kx+b的函数值y小于0时，自变量x的取值范围就是不等式②的解集． （一）请你根据以上归纳整理的内容在下面的数字序号后写出相应的结论： ； ； （二）如果点B坐标为（2，0），C坐标为（1，3）； ①直接写出kx+b≥k1x+b1的解集； ②求直线BC的函数解析式． 26.如图，直线l1的函数表达式为y1＝kx+1，l1交x轴于点A．直线l2的函数表达式为y2＝﹣x+b，l2经过点B（﹣1，5），且分别交x轴、直线l1于点C、D，已知D点坐标为（2，m）． （1）求b、m、k的值； （2）△ACD的面积为 　6　． （3）结合函数图象，直接写出不等式（kx+1）（﹣x+b）＜0的解集． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年北师大版八年级数学下 《第二章不等式与不等式组第三节一元一次不等式与一次函数》讲义 ( 一． 学习 目标 1.理解一元一次不等式与一次函数的内在联系，能从函数图象角度解释不等式的解集。 2.掌握利用一次函数图象求解一元一次不等式的方法，体会 “ 数形结合 ” 思想。 3.能运用一元一次不等式与一次函数的关系解决实际问题，提升数学应用能力。 4.熟练掌握 “ 根据函数值的大小关系求自变量的取值范围 ” 的核心逻辑，形成规范解题思路。 ) ( 二．重点难点 （一）重点 1.一元一次不等式与一次函数的对应关系，即 kx + b > 0（或 < 0、 ≥ 0、 ≤ 0）与一次函数 y = kx + b 图象的关联。 2.利用一次函数图象求解一元一次不等式的步骤。 （二）难点 1.从 “ 数 ” （不等式）与 “ 形 ” （函数图象）两个角度相互转化，理解解集的几何意义。 2.结合实际问题，建立一次函数模型并通过不等式分析自变量的取值范围。 ) 三．课前预习 1.一次函数 y = kx + b（k ≠0）的图象是一条______，当 k > 0 时，y 随 x 的增大而______；当 k < 0 时，y 随 x 的增大而______。 2. 对于一次函数 y = 2x + 3，当 y > 0 时，对应的 x 满足不等式______；当 y < 0 时，对应的 x 满足不等式______。 3. 一元一次不等式 3x - 1 ≤5 可看作一次函数 y = 3x - 1 当______时，自变量 x 的取值范围。 4. 若一次函数 y = kx + b 的图象经过点 (2, 0) 且 y 随 x 的增大而减小，则不等式 kx + b > 0 的解集是______。 5. 从图象上看，不等式 kx + b > m（m 为常数）的解集，是一次函数 y = kx + b 的图象在直线______上方时，自变量 x 的取值范围。 【答案】1.直线；增大；减小 2.2x + 3 > 0；2x + 3 < 0 3.y ≤ 5 4.x < 2 5.y = m 四．课堂探秘 探究一：一元一次不等式与一次函数的“数”“形”关联 【思考】：对于一次函数 y = 2x - 5，回答以下问题： 当 x 为何值时，y = 0？ 【解析】解方程 2x - 5= 0，x=2.5； 当 x 为何值时，y > 0？ 【解析】解不等式 2x - 5 > 0，x>2.5； 当 x 为何值时，y < 0？ 【解析】解不等式 2x - 5 < 0，x<2.5。 【画图验证】：在平面直角坐标系中画出y = 2x - 5的图象，观察图象与x轴的交点坐标， 思考： （1）图象在 x 轴上方的部分，对应的 y值 > 0，对应的 x 取值范围是x>2.5，与不等式 2x - 5> 0 的解集x>2.5。 （2）图象在 x 轴下方的部分，对应的 y 值<0，对应的 x 取值范围是x<2.5，与不等式 2x - 4 < 0 的解集x<2.5。 【归纳结论】：对于一次函数 y = kx + b（k ≠ 0）： （1）不等式 kx + b > 0 的解集，是图象在 x 轴上方对应的 x 的取值范围； （2）不等式 kx + b < 0 的解集，是图象在 x 轴下方对应的 x 的取值范围； （3）不等式 kx + b ≥ 0（或 ≤ 0）的解集，需包含图象与 x 轴交点的横坐标。 【关键口诀】 （1）先找“交点”（直线与 x 轴或 y = m 的交点横坐标）； （2）再看“增减”（k > 0 增，k < 0 减）； （3）上正下负（图象在上方对应 y > 0，下方对应 y < 0）。 探究二：利用一次函数图象解一元一次不等式的步骤 如图是一次函数y=2x﹣5的图象，请根据给出的图象写出一个一元一次方程和一个一元一次不等式，并用图象求解所写出的方程和不等式． 【解析】根据给出图象可写出一个一元一次方程为2x﹣5=0，一个一元一次不等式为2x﹣5＞0．∵一次函数y=2x﹣5的图象与x轴交点的横坐标为2.5，∴方程2x﹣5=0的解为x=2.5；∵当x＞2.5时，一次函数y=2x﹣5的图象在x轴上方，即2x﹣5＞0，∴不等式2x﹣5＞0的解集是x＞2.5． 如图，函数y＝2x和y＝﹣x+4的图象相交于点A， （1）求点A的坐标； （2）根据图象，直接写出不等式2x≥﹣x+4的解集． 【解析】（1）由，解得：，∴A的坐标为（，3）； （2）由图象，得不等式2x≥-x+4的解集为：x≥． 利用一次函数图像解一元一次不等式的核心步骤 （1）把不等式整理为kx+b>0（≥0） 或kx+b<0（≤0） 的标准形式，对应一次函数y=kx+b。 （2）画出一次函数y=kx+b的图像（直线），标出与x轴的交点**(-b/k, 0)**。 （3）根据不等式符号判断： y>0或≥0：取直线在x轴上方（及交点）的部分，对应x的取值范围即为解集； y<0或≤0：取直线在x轴下方（及交点）的部分，对应x的取值范围即为解集。 例1.画出函数y＝2x－4的图象，并回答下列问题： (1)当x取何值时，y＞0? (2)若函数值满足－6≤y≤6，求相应的x的取值范围． 【解析】函数y=2x-4的图象如图所示： （1）令y=0，则2x-4=0，解得：x=2由图象得：当x>2时，y>0； （2）当y=6时，则2x-4=6解得：x=5；当y=-6时，则2x-4=-6解得：x=-1∵－6≤y≤6，∴－1≤x≤5. 例2.用函数图象的方法解不等式4x－2＞－x＋3. 【解析】令y1=4x-2，y2=-x+3，对于y1=4x-2，当x=0时，y=-2；当y=0时，x=，即y1=4x-2过点（0，-2）和点（，0），过这两点作直线即为y1=4x-2的图象；对于y2=-x+3，当x=0时，y=3；当y=0时，x=3，即y2=-x+3过点（0，3）和点（3，0），过这两点作直线即为y2=-x+3的图象．图象如图： 由图可知当x>1时，不等式4x-2>-x+3成立． 探究三：实际问题中的关联应用 某水果店销售某种水果，进价为每千克10元，售价为每千克 x 元（x > 10），销售量 y（千克）与售价 x（元）满足一次函数关系 y = -10x + 200。若水果店想要获利不低于300元，求售价 x 的取值范围（利润 = （售价 - 进价）× 销售量）。 【解析】（1）分析：利润 W = (x - 10)y = (x - 10)(-10x + 200)，要求 W ≥ 300，即 (x - 10)(-10x + 200) ≥ 300； （2）转化：整理不等式得 -10x2 + 300x - 2300 ≥ 0，简化为 x2 - 30x + 230 ≤ 0（暂不求解，重点体会“函数值满足某一条件”的逻辑）； （3）思考：若设 W = -10x2 + 300x - 2300，则问题转化为求一次函数（此处实际为二次函数，仅体会关联逻辑）W 满足 W ≥ 0 时，自变量 x 的取值范围。 例题.我区应国家号召，认真贯彻落实党的二十大精神，全面推进乡村振兴，把富民政策一项一项落实好，特将农户种植的农产品包装成A、B两种大礼包.某超市预购进两种大礼包共400个，两种大礼包的进价和预售价如表.设购进A种大礼包x个，且所购进的两种大礼包能全部卖完时获得的总利润为W元. 大礼包类型 进价/（元/个） 售价/（元/个） A 47 65 B 37 50 （1）求W关于x的函数表达式（不要求写x的取值范围）； （2）如果购进两种大礼包的总费用不超过18000元，那么商场如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？ 解：（1）由表可知： w＝（65﹣47）x+（50﹣37）（400﹣x），＝5x+5200. ∴w关于x的函数关系式：w＝5x+5200； （2）解：由题意得， 47x+37（400﹣x）≤18000，解得：x≤320.∵w＝5x+5200，∴k＝5＞0， ∴w随x的增大而增大，∴当x＝320时，w最大＝6800.∴进货方案是：A种书包购买320个，B种书包购买80个，才能获得最大利润；最大利润为6800元. 五．课堂检测 （一）．选择题 1. 已知函数y＝8x－11，要使y＞0，那么x应取 (    ) A. x＞ B. x＜ C. x＞0 D. x＜0 【答案】A 【解析】函数y=8x-11，要使y＞0，则8x-11＞0，解得x＞，故选：A． 2. 已知一次函数y＝kx＋b的图像，如图所示，当x＜0时，y的取值范围是（ ） A. y＞0 B. y＜0 C. －2＜y＜0 D. y＜－2 【答案】D 【解析】通过观察图象得到x＜0时，图象在y轴左边，即可得到对应的y的取值范围． 当x＜0时，图象在y轴的左边，所以对应的y的取值范围为y＜－2，故选D. 3. 已知y1＝x－5，y2＝2x＋1．当y1＞y2时，x的取值范围是（ ）． A. x＞5 B. x＜ C. x＜－6 D. x＞－6 【答案】C 【解析】由题意知，要使y1＞y2，则x－5＞2x＋1，解不等式即可．由题意得x－5＞2x＋1，解得x＜－6，故选C. 4. 已知一次函数图象如图所示，当x＜1时，y的取值范围是（　 　） A. －2＜y＜0 B. －4＜y＜0 C. y＜－2 D. y＜－4 【答案】C 【解析】一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点（0，−4），∴b=−4，∵与x轴于点（2，0）， ∴0=2k−4，∴k=2，∴y=kx+b=2x−4，∴x=（y+4）÷2＜1，∴y＜−2．故选C． 5. 一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②；③当时，，其中正确的结论有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】：对于一次函数而言，随的增大而减小，，结论①正确； 一次函数与轴的交点位于轴负半轴，，结论②错误；由函数图象可知，当时，一次函数的图象位于一次函数的图象的上方，则，结论③错误；综上，正确的结论有1个，故选：B． 6. 如图，直线交坐标轴于两点，则关于的不等式的解集是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】kx+b＞0可看作是函数y=kx+b的函数值大于0，然后观察图象得到图象在x轴上方，对应的自变量的取值范围为x＞-2，这样即可得到不等式kx+b＞0的解集．kx+b＞0即函数y=kx+b的函数值大于0，图象在x轴上方，对应的自变量的取值范围为x＞-2，所以不等式kx+b＞0的解集是x＞-2．故选A． 7. 已知关于 x 不等式 ax+1＞0（a≠0）的解集是 x＜1，则直线 y＝ax+1 与 x轴的交点是（ ） A. （0，1） B. （﹣1，0） C. （0，﹣1) D. （1，0） 【答案】D 【解析】由于关于x的不等式ax+1＞0（a≠0）的解集是x＜1，得到a小于0，表示出不等式的解集，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，将a的值代入确定出直线y=ax+1解析式，即可求出与x轴的交点坐标． ∵关于x的不等式ax+1＞0（a≠0）的解集是：x＜1，∴a＜0，解得：x＜-，∴=1，即a=-1，即直线解析式为y=-x+1，令y=0，解得：x=1，则直线y=-x+1与x轴的交点是（1，0）．故选D 8. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解为（ ） A. x＞－1 B. x＜－1 C. x＜－2 D. 无法确定 【答案】B 【解析】能使函数y1=k1x+b的图象在函数y2=k2x的上方的自变量的取值范围是x<-1． 故关于x的不等式k1x+b>k2x的解集为：x<-1．故选B． 9．如图，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】观察函数图象可知：当时，一次函数的图象在的图象的下方，∴关于x的不等式的解集是．故选：B． 10．已知整数x满足，对任意一个x，m都取中的较大值，则m的最小值是（    ） A．1 B．2 C．24 D．-9 【答案】B 【解析】，的图象如图所示 联立，解得：∴直线与直线的交点坐标为（1,2） ∵对任意一个x，m都取中的较大值，由图象可知：当x＜1时，＜，＞2 ∴此时m=＞2；当x=1时，==2， ∴此时m===2；当x＞1时，＞，＞2 ∴此时m=＞2．综上所述：m≥2∴m的最小值是2．故选B． （二）．填空题 11.若一次函数y＝(m－1)x－m＋4的图象与y轴的交点在x轴的上方，则m的取值范围是________. 【答案】m＜4且m≠1 【解析】一次函数y＝(m－1)x－m＋4中，令x=0，解得：y＝－m＋4，与y轴的交点在x轴的上方，则有－m＋4＞0，解得m＜4.故答案为：m＜4且m≠1. 12. 如图，某航空公司托运行李的费用与托运行李的重量的关系为一次函数，由图可知行李的重量只要不超过________千克，就可以免费托运． 【答案】20 【解析】设一次函数的解析式为y=kx+b，由图象过点（40，400）和（50，500）得 ，解之得 ，∴解析式为y=30x-600，当y=0时，x=20，即重量不超过20千克可免费．故答案为20． 13. 已知2x－y＝0，且x－5＞y，则x的取值范围是________． 【答案】x＜－5 【解析】由2x－y＝0，可以得到y=2x，代入可已转化为 可以解得 故答案为 14. 一次函数和的图像如图所示，其交点为，则不等式的解集是______． 【答案】 【解析】：一次函数和的图像交点为，由题意可知，当，一次函数图像在图像的上方，不等式的解集是，故答案为：． 15. 如图，一次函数y1=k1x+b1与y2=k2x+b2的图象相交于A（3，2），则不等式（k2﹣k1）x+b2﹣b1＞0的解集为______． 【答案】x＜3 【解析】将所求不等式进行变形，可得：（k2-k1）x+b2-b1＞0，k2x+b2-（k1x+b1）＞0，即y2＞y1；然后根据图象观察，得出符合条件的x的取值范围．由图知：x＜3时，y1＜y2，即y2-y1＞0；∴当x＜3时，k2x+b2-（k1x+b1）＞0；化简得：（k2-k1）x+b2-b1＞0；因此所求不等式的解集为：x＜3． 16. 已知关于x的不等式kx﹣2＞0（k≠0）的解集是x＜﹣3，则直线y＝﹣kx+2与x轴的交点是_____． 【答案】（﹣3，0） 【解析】：因为不等式的解集是，所以可以求得k的值是，将k的值代入，得到，与x轴的交点是纵坐标是0，即解得 ，所以坐标是 故答案为 17. 已知不等式解集是，则直线与的交点坐标是_________． 【答案】 【解析】：∵不等式的解集是，∴直线与的交点的横坐标为2，当时，，则直线与的交点坐标是． 18．已知函数y1＝kx﹣b（k≠0），y2＝ax+2a（a≠0），若函数y1与y2的图象交于x轴上的一点，且函数y1的图象经过第二、三、四象限，则不等式kx﹣b＜0的解集为 　　． 【答案】x＞﹣2． 【解析】函数y1的图象经过第二、三、四象限，∴k＜0，b＞0，∵若函数y1与y2的图象交于x轴上的一点，∴kx﹣b＝0，ax+2a＝0，∴x==-2，∴不等式kx﹣b＜0，∴x＞，∴x＞﹣2．故答案为：x＞﹣2． 7．—次函数y＝kx+b（k≠0）中两个变量x，y的部分对应值如表所示： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … 7 5 3 1 ﹣1 … 那么关于x的不等式kx+b≥5的解集是 　　． 【答案】x≤﹣2． 【解析】当x＝﹣2时y＝5，根据表中数据可知函数值y随x的增大而减小，∴不等式kx+b≥5的解等是x≤﹣2．故答案为：x≤﹣2． 19．如图，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝kx+b（k≠0）相交于点P（m，5），则关于x的不等式kx+b≥x+1的解集为 　　． 【答案】m≤4． 【解析】将P（m，5）代入y＝x+1，得5＝m+1，解得m＝4．所以点P的坐标为（4，5）．所以关于x的不等式kx+b≥x+1的解集为m≤4．故答案为：m≤4． 20．如图，直线与分别交轴于点，，则不等式的解集为 ． 【答案】﹣0.5＜x＜2 【解析】∵直线y＝kx+b与直线y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣0.5，0）、B（2，0）， ∵（kx+b）（mx+n）＞0，∴两个正数或两个负数的积为正数，∴不等式（kx+b）（mx+n）＞0的解集为﹣0.5＜x＜2，故答案为：﹣0.5＜x＜2． （三）．解答题 21. 已知：y1=x+3，y2=－x+2，求满足下列条件时x的取值范围： （1）y1 ＜y2 （2）2y1－y2≤4 解：（1）∵y1=x+3，y2=-x+2，∴x+3＜-x+2，解得x＜-； （2）∵y1=x+3，y2=-x+2，2y1-y2≤4，∴2（x+3）-（-x+2）≤4，解得x≤0． 22. 在同一坐标系中画出一次函数与的图象，并根据图象回答下列问题： （1）写出直线与的交点的坐标． （2）直接写出：当x取何值时；． 解：（1）对于，当时，，当时，，∴与轴，轴的交点坐标分别为和，同理可得：图像与轴，轴的交点坐标分别为和，∴两个函数的图像如图所示： 由图像可知：直线与的交点的坐标． （2）由图像可知：当时，当时． 23.为庆祝商都正式营业，商都推出了两种购物方案．方案一：非会员购物所有商品价格可获九五折优惠，方案二：如交纳300元会费成为该商都会员，则所有商品价格可获九折优惠． （1）以x(元)表示商品价格，y(元)表示支出金额，分别写出两种购物方案中y关于x的函数解析式； （2）若某人计划在商都购买价格为5880元的电视机一台，请分析选择哪种方案更省钱？ 解：（1） 方案一：y=0.95x，方案二： y=0.9x+300 （2） 当x=5880时，方案一：y=0.95x=0.95×5880=5586元； 方案二： y=0.9x+300=0.9×5880+300=5592元，因为5586＜5592，所以选方案一. 24. 星期天，李玉刚同学随爸爸妈妈回老家探望爷爷奶奶，爸爸8：30骑自行车先走，平均每小时骑行20km；李玉刚同学和妈妈9：30乘公交车后行，公交车平均速度是40km/h.爸爸的骑行路线与李玉刚同学和妈妈的乘车路线相同，路程均为40km.设爸爸骑行时间为x(h)． (1)请分别写出爸爸的骑行路程y1(km)、李玉刚同学和妈妈的乘车路程y2(km)与x(h)之间的函数解析式，并注明自变量的取值范围； (2)请在同一个平面直角坐标系中画出(1)中两个函数的图象； (3)请回答谁先到达老家． 解（1）由题意，得y1="20x" （0≤x≤2）y2=40（x﹣1）（1≤x≤2）； （2）由题意得； （3）由图象可得，同时到达老家． 25. 已知一次函数y1=﹣2x﹣3与y2=x+2． （1）在同一平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； （2）根据图象，不等式﹣2x﹣3＞x+2的解集为多少？ （3）求两图象和y轴围成的三角形的面积． 解：（1）函数y1=﹣2x﹣3与x轴和y轴交点分别是（﹣1.5，0）和（0，﹣3）， y2=x+2与x轴和y轴交点分别是（﹣4，0）和（0，2）， 其图象如图： （2）观察图象可知，函数y1=﹣2x﹣3与y2=x+2交于点（﹣2，1）， 当x＜﹣2时，直线y1=﹣2x﹣3的图象落在直线y2=x+2的上方，即﹣2x﹣3＞x+2， 所以不等式﹣2x﹣3＞x+2的解集为x＜﹣2；故答案为x＜﹣2； （3）∵y1=﹣2x﹣3与y2=x+2与y轴分别交于点A（0，﹣3），B（0，2）， ∴AB=5，∵y1=﹣2x﹣3与y2=x+2交于点C（﹣2，1），∴△ABC的边AB上的高为2，∴S△ABC=×5×2=5． 26．如图，直线y1=2x﹣2的图象与y轴交于点A，直线y2=﹣2x+6的图象与y轴交于点B，两者相交于点C． (1)方程组的解是　　； (2)当与同时成立时，x的取值范围为　 ； (3)求△ABC的面积； (4)在直线的图象上存在异于点C的另一点P，使得△ABC与△ABP的面积相等，请求出点P的坐标． 解：（1）如图所示：方程组的解为：；故答案为：； （2）如图所示：当与同时成立时，x取何值范围是：；故答案为：； （3）∵令，则，，∴，．∴．∴； （4）令，则 ∴．∵点P异于点C，∴， ∴． 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.一次函数的一般形式为________（其中k、b为常数，且k≠0），其图象是一条________。 2.对于一次函数y=kx+b（k≠0），当k>0时，y随x的增大而________；当k<0时，y随x的增大而________。 3.一元一次不等式kx+b>0（k≠0）的解集，对应一次函数y=kx+b的图象在________轴上方的x的取值范围；kx+b<0（k≠0）的解集，对应图象在________轴下方的x的取值范围。 4.若一次函数y=k₁x+b₁与y=k₂x+b₂（k₁、k₂≠0）的图象相交于点（m，n），则当k₁x+b₁>k₂x+b₂时，x的取值范围是________（用含m的式子表示，需结合k的符号规律）。 5.利用一次函数解决一元一次不等式的实际问题时，需先根据题意建立________模型，再通过分析函数图象的________关系，确定不等式的解集，进而解决实际问题。 6.对于一次函数y=2x+3，解不等式2x+3>0，相当于求当函数值________时，自变量x的取值范围，其解集为________。 7.若一次函数y=kx+b的图象经过点（1，5）和（-2，-1），则解不等式kx+b≥3时，x的取值范围是________。 8.某商品的进价为每件30元，售价为每件x元，销售量y（件）与售价x（元）的函数关系为y=-10x+600，若要获得不低于1000元的利润，则可列不等式为________，其解集为________。 9.一次函数y=-3x+9的图象与x轴的交点坐标为________，解不等式-3x+9≤0的解集为________。 10.当一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴平行时，若b>0，则不等式kx+b>0的解集为________；若b<0，则解集为________。 【答案】1.y=kx+b；直线 2.增大；减小 3.x；x 4.x>m（当k₁>k₂时）或x<m（当k₁<k₂时） 5.一次函数；上下（或函数值大小） 6.大于0；x>-3/2 7.x≥1 8.(x-30)(-10x+600)≥1000；40≤x≤50 9.(3，0)；x≥3 10.全体实数；无解 （二）强化训练 一．选择题 1.一次函数y=2x-4与x轴的交点坐标是（2，0），那么不等式2x-4≤0的解集应是（ ） A. x ≤2 B. x＜2 C. x≥2 D. x＞2 【答案】A 【解析】因为一次函数y=2x-4与x轴的交点坐标是（2，0），所以不等式 的解集应是 故选A. 2.如图一次函数的图象经过A、B两点，则关于x的不等式的解集（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】从图象可以观察得出当函数值小于0的时候，自变量x的取值范围是； 故选C. 3. 如图，直线y=kx+b交坐标轴于A（-3，0）、B（0，5）两点，则不等式-kx-b＜0的解集为（　　） A. x＞-3 B. x＜-3 C. x＞3 D. x＜3 【答案】A 【解析】观察图象可知，当x＞﹣3时，直线y=kx+b落在x轴的上方，即不等式kx+b＞0的解集为x＞﹣3，∵﹣kx﹣b＜0∴kx+b＞0，∴﹣kx﹣b＜0解集为x＞﹣3．故选A． 4. 一次函数 (k， b是常数，k≠0) 的图象如图所示，则当y>0时，x的取值范围是( ) A. x>-2 B. x>0 C. x<-2 D. x<0 【答案】A 【解析】由图像可得，k＞0，且当x=-2时，y=0，∴x＞-2时y＞0；故选A. 5. 已知一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】从图像可以看出当自变量时，y的取值范围在x轴的下方，故 故选C. 6. 已知关于 x 的不等式 ax+1＞0（a≠0）的解集是 x＜1，则直线 y＝ax+1 与 x轴的交点是（ ） A. （0，1） B. （﹣1，0） C. （0，﹣1） D. （1，0） 【答案】D 【解析】由于关于x的不等式ax+1＞0（a≠0）的解集是x＜1，得到a小于0，表示出不等式的解集，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，将a的值代入确定出直线y=ax+1解析式，即可求出与x轴的交点坐标． ∵关于x的不等式ax+1＞0（a≠0）的解集是：x＜1，∴a＜0，解得：x＜-，∴=1，即a=-1，即直线解析式为y=-x+1，令y=0，解得：x=1，则直线y=-x+1与x轴的交点是（1，0）．故选D 7.直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解为（ ） A. x＞－1 B. x＜－1 C. x＜－2 D. 无法确定 【答案】B 【解析】能使函数y1=k1x+b的图象在函数y2=k2x的上方的自变量的取值范围是x<-1．故关于x的不等式k1x+b>k2x的解集为：x<-1．故选B． 8．如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），则不等式（kx+b）（mx+n）＜0的解集为（　　） A．x＜﹣1 B．x＞3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣1或x＞3 【答案】D 【解析】∵直线y＝kx+b与直线y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0）， ∴不等式（kx+b）（mx+n）＜0的解集为x＜﹣1或x＞3．故选：D． 9.我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了了解关于x的不等式﹣x+2＞mx+n的解集，某同学绘制了y＝﹣x+2与y＝mx+n（m，n为常数，m≠0）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】：由条件可知关于x的不等式﹣x+2＞mx+n的解集是x＜﹣1．在数轴上表示x＜﹣1的解集，只有选项C符合，故选：C． 10．如图，已知一次函数y＝ax+2与y＝mx+n图象的交点坐标为（﹣2，﹣4）．现有下列四个结论：①a＞0；②mn＞0；③方程ax+2＝mx+n的解是x＝﹣2；④若mx+n＜ax+2＜0，则﹣2＜x＜-．其中正确的结论个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】∵一次函数y＝ax+2的图象经过第一、三象限，∴a＞0，所以①正确；∵一次函数y＝mx+n的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交，∴m＞0，n＜0，∴mn＜0，以②错误；∵一次函数y＝ax+2与y＝mx+n图象的交点坐标为（﹣2，﹣4），∴x＝﹣2时，ax+2＝mx+n，所以③正确；把（﹣2，﹣4）代入y＝ax+2得﹣4＝﹣2a+2，解得a＝3，∴一次函数y＝ax+2的解析式为y＝3x+2，当y＝0时，3x+2＝0，解得x =-，∴一次函数y＝ax+2与x轴的交点坐标为（-，0），∴当x＜-时，ax+2＜0，∴当﹣2＜x＜-时，mx+n＜ax+2＜0，所以④正确．故选：B． 二．填空题 11. 如图，若一次函数y＝﹣2x+b的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，点A的坐标为（0，3），则不等式﹣2x+b＞0的解集为_________。 【答案】 x＜ 【解析】∵一次函数y＝﹣2x+b图象交y轴于点A（0，3），∴b＝3，令y＝﹣2x+3中y＝0，则﹣2x+3＝0，解得：x＝，∴点B（，0）．观察函数图象，发现：当x＜时，一次函数图象在x轴上方，∴不等式﹣2x+b＞0的解集为x＜． 12. 直线y＝kx＋3经过点A(2,1)，则不等式kx＋3≥0的解集是__________. 【答案】x≤3 【解析】首先把点A（2，1）代入y=kx+3中，可得k的值，再解不等式kx+3≥0即可．∵y=kx+3经过点A（2，1）， ∴1=2k+3， 解得：k=﹣1，∴一次函数解析式为：y=﹣x+3， ﹣x+3≥0， 解得：x≤3． 13. 如图是一次函数y＝kx＋b的图象，当y＜2时，x的取值范围是_____. 【答案】x＜3 【解析】：一次函数y=kx+b经过点（3，2），且函数值y随x的增大而增大， ∴当y＜2时，x的取值范围是x＜3．故答案为x＜3． 14. 若关于x的不等式mx－1＞0(m≠0)的解集是x＞1，则直线y＝mx－1与x轴的交点坐标是_____. 【答案】(1，0) 【解析】∵关于x的不等式ax-1＞0（a≠0）的解集为x>1，不等式的解集中自变量的取值是相对于直线与x轴的交点来说的，∴直线y=ax-1与x轴的交点是（1，0）．故答案为（1，0） 15.已知关于x的不等式kx﹣2＞0（k≠0）的解集是x＜﹣3，则直线y＝﹣kx+2与x轴的交点是_____． 【答案】（﹣3，0） 【解析】因为不等式的解集是，所以可以求得k的值是，将k的值代入，得到，与x轴的交点是纵坐标是0，即解得 ，所以坐标是 故答案 16. 直线y=2x+b经过点（3，5），则关于x的不等式2x+b≥0的解集为________． 【答案】x≥ 【解析】∵直线y=2x+b经过点（3，5）， ∴5=2×3+b，解得：b=﹣1，∴不等式2x+b≥0变为不等式2x﹣1≥0，解得：x≥，故答案为x≥． 17.若一次函数y=kx+b(k为常数,且k≠0)的图像经过点(-2,0),则关于x的方程k(x-5)+b=0的解为　　　　.  【答案】x=3 【解析】直线y=k(x-5)+b是由直线y=kx+b向右平移5个单位得到的,∵y=kx+b与x轴的交点为(-2,0),∴直线y=k(x-5)+b与x轴的交点坐标为(3,0),∴k(x-5)+b=0的解为x=3.故答案为x=3. 18. 如图，已知函数与函数的图像交于点P，则不等式的解集是______． 【答案】 【解析】观察图像得：当时，函数的图像位于函数的图像的下方，∴不等式的解集是．故答案为： 19. 小明家准备春节前举行80人的聚餐，需要去某餐馆订餐．据了解餐馆有10人坐和8人坐两种餐桌，要使所订的每个餐桌刚好坐满，则订餐方案共有______种． 【答案】3 【解析】设10人桌x张，8人桌y张，根据题意得：10x+8y=80∵x、y均为整数，∴x=0，y=10或x=4，y=5或x=8，y=0共3种方案．故答案是3． 20. 已知直线y1=x，的图象如图所示，若无论x取何值，y总取y1，y2，y3中的最小值，则y的最大值为______． 【答案】 【解析】如图，分别求出y1，y2，y3交点的坐标A 当当当当∵y总取y1，y2，y3中的最小值，∴y最大故答案为 三．解答题 21. 画出函数y＝2x－4的图象，并回答下列问题： (1)当x取何值时，y＞0? (2)若函数值满足－6≤y≤6，求相应的x的取值范围． 解：函数y=2x-4的图象如图所示： （1）令y=0，则2x-4=0，解得：x=2由图象得：当x>2时，y>0； （2）当y=6时，则2x-4=6解得：x=5；当y=-6时，则2x-4=-6解得：x=-1∵－6≤y≤6， ∴－1≤x≤5. 22. 如图，根据图中信息解答下列问题： (1)关于x的不等式ax＋b＞0的解集是________； (2)关于x的不等式mx＋n＜1的解集是________； (3)当x为何值时，y1≤y2? (4)当x＜0时，比较y2与y1的大小关系． 解：（1）∵直线y2=ax+b与x轴的交点是（4，0），∴当x＜4时，y2＞0，即不等式ax+b＞0的解集是x＜4；故答案是：x＜4； （2）∵直线y1=mx+n与y轴的交点是（0，1），∴当x＜0时，y1＜1，即不等式mx+n＜1的解集是x＜0；．故答案是：x＜0； （3）由一次函数的图象知，两条直线的交点坐标是（2，18），当函数y1的图象在y2的下面时，有x≤2，所以当x≤2时，y1≤y2； （4）如图所示，当x＜0时，y2>y1． 23. 如图，函数y＝2x和y＝﹣x+4的图象相交于点A， （1）求点A的坐标； （2）根据图象，直接写出不等式2x≥﹣x+4的解集． 解：（1）由，解得：，∴A的坐标为（，3）； （2）由图象，得不等式2x≥-x+4的解集为：x≥． 24. 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲、乙两家快递公司比较合适．甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费．乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元．设小明快递物品x千克． （1）请分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y（元）与x（千克）之间的函数关系式； （2）小明选择哪家快递公司更省钱？ 解：（1）由题意知：当0＜x≤1时，y甲＝22x；当1＜x时，y甲＝22＋15（x﹣1）＝15x＋7，y乙＝16x＋3；∴，； （2）①当0＜x≤1时，令y甲＜y乙，即22x＜16x＋3，解得：0＜x＜；令y甲＝y乙，即22x＝16x＋3，解得：x＝；令y甲＞y乙，即22x＞16x＋3，解得：＜x≤1. ②x＞1时，令y甲＜y乙，即15x＋7＜16x＋3，解得：x＞4；令y甲＝y乙，即15x＋7＝16x＋3，解得：x＝4；令y甲＞y乙，即15x＋7＞16x＋3，解得：0＜x＜4综上可知：当＜x＜4时，选乙快递公司省钱；当x＝4或x＝时，选甲、乙两家快递公司快递费一样多；当0＜x＜或x＞4时，选甲快递公司省钱． 25.在数学学习中，及时对知识进行归纳和整理是提高学习效率的重要方法，善于学习的小明在学习了一次方程（组）、一元一次不等式和一次函数后，对照图形，把相关知识归纳整理如下： 一次函数与方程（组）的关系： （1）一次函数的解析式就是一个二元一次方程； （2）点B的横坐标是方程kx+b=0的解； （3）点C的坐标（x，y）中x，y的值是方程组①的解． 一次函数与不等式的关系： （1）函数y=kx+b的函数值y大于0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＞0的解集； （2）函数y=kx+b的函数值y小于0时，自变量x的取值范围就是不等式②的解集． （一）请你根据以上归纳整理的内容在下面的数字序号后写出相应的结论：① ；② ； （二）如果点B坐标为（2，0），C坐标为（1，3）； ①直接写出kx+b≥k1x+b1的解集； ②求直线BC的函数解析式． 解：（一）根据题意，可得①；②kx+b＜0．故答案为；kx+b＜0； （二）如果点B坐标为（2，0），C坐标为（1，3）；①kx+b≥k1x+b1的解集是x≤1； ②∵直线BC：y=kx+b过点B（2，0），C（1，3），∴，解得， ∴直线BC的函数解析式为y=-3x+6． 26.如图，直线l1的函数表达式为y1＝kx+1，l1交x轴于点A．直线l2的函数表达式为y2＝﹣x+b，l2经过点B（﹣1，5），且分别交x轴、直线l1于点C、D，已知D点坐标为（2，m）． （1）求b、m、k的值； （2）△ACD的面积为 　6　． （3）结合函数图象，直接写出不等式（kx+1）（﹣x+b）＜0的解集． 解：（1）∵将B（﹣1，5）代入y2＝﹣x+b得1+b＝5，解得b＝4，∴直线l2的函数表达式为y2＝﹣x+4，∵把D（2，m）代入y2＝﹣x+4得m＝﹣2+4＝2，∴点D坐标为（2，2），∵把D（2，2）代入y1＝kx+1得2k+1＝2，解得k=∴直线l1的函数表达式为y1=x+1； （2）当y＝0时，﹣x+4＝0，解得x＝4，∴C（4，0），当y＝0时，x+1＝0，解得x＝﹣2，∴A（﹣2，0），△ACD的面积=（4+2）×2＝6；故答案为：6； （3）∵当x＜﹣2或x＞4，y1•y2＜0，∴不等式（kx+1）（﹣x+b）＜0的解集为x＞4或x＜﹣2． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $