精品解析：北京市北京师范大学附属实验中学2025-2026学年高一直升班上学期期末数学试题

北师大实验中学2025-2026学年度第一学期期末试卷 高一年级直升班数学 命题人：何文春 鲍利华 审题人：李桂春 李扬眉 考生须知 1．本试卷共6页，共3道大题，21道小题，答题纸共3页，满分150分，考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号． 3．试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的图象如图所示，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 4. 已知函数，则（ ） A. 在上是减函数，且曲线存在对称轴 B. 在上是减函数，且曲线存在对称中心 C. 在上增函数，且曲线存在对称轴 D. 在上是增函数，且曲线存在对称中心 5. 某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下： 甲 乙 9 8 8 1 7 7 9 9 6 1 0 2 2 5 6 7 9 9 5 3 2 0 3 0 2 3 7 1 0 4 根据上图，对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是 A. 甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差 B. 甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数 C. 甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值 D. 甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定 6. 已知A，B是的内角，“为锐角三角形"是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位：W）可表示为，其中为起始光功率（单位：W），为衰减系数，为接收信号处与发射器间的距离（单位：km）.已知距离发射器处的光功率衰减为起始光功率的一半.若当距离由km变到km时，光功率由变到，则（ ） A. B. C. D. 8. 若实数满足，则（ ） A. B. C. D. 9. 设为锐角，且，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 10. 已知．用表示中的最大值，设．若函数在区间上有且仅有两个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11. 在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合．终边与以原点为圆心的单位圆交于点，则___________． 12. 设平面向量，，，且，则使得向量与共线的一组值________，________． 13. 已知为圆心，点是圆上一点，点是圆内部一点．若，且，则取值范围是___________． 14. 已知函数，则的最大值为___________． 15. 设，函数给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③当时，直线与曲线恰有3个交点； ④存在正数及点和，使. 其中所有正确结论的序号是______. 三、解答题（本大题共6小题，共85分) 16. 某校2019级高一年级共有学生195人，其中男生105人，女生90人.基于目前高考制度的改革，为了预估学生“分科选考制”中的学科选择情况，该校对2019级高一年级全体学生进行了问卷调查.现采用按性别分层抽样的方法，从中抽取13份问卷.已知问卷中某个必答题的选项分别为“同意”和“不同意”，下面表格记录了抽取的这13份问卷中此题的答题情况. 选“同意”的人数 选“不同意”的人数 男生 4 a 女生 b 2 （1）写出a，b的值； （2）根据上表的数据估计2019级高一年级学生该题选择“同意”的人数； （3）从被抽取的男生问卷中随机选取2份问卷，对相应的学生进行访谈，求至少有一人选择“同意”的概率. 17. 已知函数. （1）求最小正周期； （2）设，若函数在区间上单调递增，求的最大值. 18. 为践行五育并举，增强学生体质，某校拟开设课外体育活动课．现从全校高一学生中分层随机抽样出100名男生和80名女生，对其选课意愿作调查统计，得到数据如下： 男生 女生 选择 不选择 选择 不选择 排球 50 50 50 30 篮球 25 75 15 65 足球 75 25 5 75 乒乓球 10 90 10 70 假设所有学生是否选择排球、篮球、足球、乒乓球相互独立，用频率估计概率． （1）假设全校共有1800名高一学生，直接判断下列结论的正误． 结论：根据样本数据估计全校有800名高一学生有选择足球课的意愿； 结论：样本中男生对排球课和篮球课都不选择的人数可以为20． （2）若从该校全体高一男生中随机抽取2人，全体高一女生中随机抽取1人，求这3人中选择排球课人数恰为2的概率； （3）记样本中男生选择排球、篮球、足球、乒乓球课的频率依次为，其方差为；样本中男生不选择这四个活动课的频率依次为，其方差为．写出与的大小关系．（结论不要求证明） 19. 已知函数，其中． （1）若，求的对称中心； （2）若，函数图象向右平移个单位，得到函数图象，是的一个零点，若函数在（且）上恰好有8个零点，求的最小值； （3）已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围． 20. 已知函数． （1）若为偶函数，求实数的值； （2）当时，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 21. 已知集合，，其中．定义．若，则称与正交． （1）若，写出中与正交的所有元素； （2）令．若，求证：为偶数； （3）若，且A中任意两个元素均正交，则A中最多可以有多少个元素？并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大实验中学2025-2026学年度第一学期期末试卷 高一年级直升班数学 命题人：何文春 鲍利华 审题人：李桂春 李扬眉 考生须知 1．本试卷共6页，共3道大题，21道小题，答题纸共3页，满分150分，考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号． 3．试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式划化简，即可根据并集的定义求解. 【详解】由或，又 ， 故选：C 2. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由两点间的距离公式求出，再由余弦定理求解即可. 【详解】因为O为坐标原点，，， 所以，， ， 所以. 故选：D. 3. 已知函数的图象如图所示，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图象分析函数的周期，求得的值. 【详解】因为，，由图象可知，函数的半周期是， 所以，得. 故选：C 4. 已知函数，则（ ） A. 在上是减函数，且曲线存在对称轴 B. 在上是减函数，且曲线存在对称中心 C. 在上是增函数，且曲线存在对称轴 D. 在上是增函数，且曲线存在对称中心 【答案】D 【解析】 【分析】根据复合函数单调性及奇偶性的判断求解即可. 【详解】因为，， 所以为奇函数， 又奇函数的图象关于原点对称，所以曲线存在对称中心； 令，， 因为在定义域内为增函数，在定义域内为增函数， 所以在定义域内为增函数， 综上，在上是增函数，且曲线存在对称中心. 故选：. 5. 某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下： 甲 乙 9 8 8 1 7 7 9 9 6 1 0 2 2 5 6 7 9 9 5 3 2 0 3 0 2 3 7 1 0 4 根据上图，对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是 A. 甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差 B. 甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数 C. 甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值 D. 甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定 【答案】D 【解析】 【详解】解：首先将茎叶图的数据还原： 甲运动员得分：19 18 18 26 21 20 35 33 32 30 47 41 40 乙运动员得分：17 17 19 19 22 25 26 27 29 29 30 32 33 对于A，极差是数据中最大值与最小值的差， 由图中的数据可得甲运动员得分的极差为47-16=21，乙运动员得分的极差为33-17=16， 得甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差，因此A正确； 对于B，甲数据从小到大排列：18 18 19 20 21 26 30 32 33 35 40 41 47 处于中间的数是30，所以甲运动员得分的中位数是30，同理求得乙数据的中位数是26， 因此甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数，故B正确； 对于C，不难得出甲运动员的得分平均值约为29.23，乙运动员的得分平均值为25.0， 因此甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值，故C正确； 对于D，分别计算甲、乙两个运动员得分的方差，方差小的成绩更稳定． 可以算出甲的方差为： [(19-29.2) 2+(18+29.5) 2+…+(40-29.2) 2]=88.22， 同理，得出乙的方差为：S乙2=29.54 因为乙的方差小于甲的方差，所以乙运动员的成绩比甲运动员的成绩稳定，故D不正确． 故选D 6. 已知A，B是的内角，“为锐角三角形"是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先根据诱导公式及正弦函数单调性得到充分性成立，再举出反例得到必要性不成立. 【详解】因为为锐角三角形，所以且，所以， 其中， 因为在上单独递增，所以，充分性成立， 若，不妨设，满足，但为直角三角形，故必要性不成立. 故选：A 7. 在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位：W）可表示为，其中为起始光功率（单位：W），为衰减系数，为接收信号处与发射器间的距离（单位：km）.已知距离发射器处的光功率衰减为起始光功率的一半.若当距离由km变到km时，光功率由变到，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的函数模型，代入列式，利用指数运算化简得答案. 【详解】依题意，，则， 由、，得， 所以. 故选：A 8. 若实数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先表示，再根据选项代入，结合基本不等式，即可判断. 【详解】由条件可知，，， 所以，当时，即时等号成立，故AB错误； ， 当，即时，等号成立， 所以，故C错误，D正确. 故选：D 9. 设为锐角，且，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式可求最大值. 【详解】解法一：由得， 所以． 因为均为锐角，所以， 当且仅当时取等号，所以的最大值是． 解法二: 由得: ， 于是， 等号当时取得， 因此的最大值为． 10. 已知．用表示中的最大值，设．若函数在区间上有且仅有两个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】按，和三种情况分类讨论，将零点个数问题转化为一元二次方程在特定区间内解的个数问题即可求解. 【详解】当时，，所以在区间上无零点； 当时，，所以若在区间内存在零点，则， 当时，， 若即，则， 所以在区间内有两个零点，此时，矛盾； 若，即或时，， 所以在区间内有一个零点， 又因为，有两个零点， 当时，或，或， 此时的另一个零点为或，均不在区间内， 当时必须且只需即可（如图所示）， 即，即，解得， 综上实数的取值范围为， 故选：C 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11. 在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合．终边与以原点为圆心的单位圆交于点，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出，再根据诱导公式对原式化简求解. 【详解】因为角终边与以原点为圆心的单位圆交于点，所以. 因为，所以， 故答案为：. 12. 设平面向量，，，且，则使得向量与共线的一组值________，________． 【答案】 ①. （答案不唯一，填也对） ②. （答案不唯一，第一空填，则第二空填，第一空填，则第二空填） 【解析】 【分析】由条件根据向量的模的坐标公式，向量共线的坐标表示列方程求，的关系，由此可得结论. 【详解】因为，， 所以，即， 因为，，所以， 又向量与共线，， 所以， 所以， 所以， 所以或， 所以或， 故答案为：；（答；也对） 13. 已知为圆心，点是圆上一点，点是圆内部一点．若，且，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点是圆内部一点及，结合向量数量积公式求出的范围，再根据模长公式求出的表达式，进而求解即可. 【详解】因为点是圆上一点，，所以， 因为， 所以， 设与的夹角为，， 则，所以， 又，所以， 又点是圆内部一点，所以， 综上； ， 因为，所以，则， 所以. 故答案为：. 14. 已知函数，则的最大值为___________． 【答案】##1.125 【解析】 【分析】设，结合同角三角函数的基本关系化简可得，进而结合二次函数的性质求解即可. 【详解】函数的定义域为，设，则同号， 则 ， 则时，，即的最大值为. 故答案为：. 15. 设，函数给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③当时，直线与曲线恰有3个交点； ④存在正数及点和，使. 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】对于①，分成，两种情况讨论在区间上单调性；对于②，结合函数的单调性求函数的最值；对于③，当时，结合函数与的单调性得出此时无交点，当时，设，利用特殊值，得出交点个数进行判断；对于④，令，，进行验证. 【详解】对于①，当时，在上单调递减，此时. 当时，在区间上单调递减显然成立； 当时，当时，在单调递减，此时，所以在区间上单调递减，故①成立； 对于②，如图，当时， 当时，在单调递减，在单调递增，此时的最大值为； 当时，在上单调递减，此时的最大值为， 所以存在最大值，最大值为，故②正确； 对于③，当时，在R上单调递减，当时，， 当时，在单调递增，此时的最大值为， 所以直线与曲线没有交点； 当时，，设， 由，解得， 当时，，如图，此时直线与曲线恰有2个交点，故③错误； 对于④，当时，当时，， 当时，； 当时，，， 如图，取，时， ， 所以存在正数及点和使成立，故④正确. 故答案为：①②④. 【点睛】求分段函数的最值方法：根据每一段函数的单调性求出各自的最值或者范围，再进行对比求出最终的最值. 三、解答题（本大题共6小题，共85分) 16. 某校2019级高一年级共有学生195人，其中男生105人，女生90人.基于目前高考制度的改革，为了预估学生“分科选考制”中的学科选择情况，该校对2019级高一年级全体学生进行了问卷调查.现采用按性别分层抽样的方法，从中抽取13份问卷.已知问卷中某个必答题的选项分别为“同意”和“不同意”，下面表格记录了抽取的这13份问卷中此题的答题情况. 选“同意”的人数 选“不同意”的人数 男生 4 a 女生 b 2 （1）写出a，b的值； （2）根据上表的数据估计2019级高一年级学生该题选择“同意”的人数； （3）从被抽取的男生问卷中随机选取2份问卷，对相应的学生进行访谈，求至少有一人选择“同意”的概率. 【答案】（1） （2）120 （3） 【解析】 【分析】（1）根据样本中男女生所占的比例，求出a，b的值． （2）用总人数，乘以选择“同意”的人数所占的比例，即得所求． （3）先求出这2份都是选择“不同意”的概率，再用1减去此概率，即为至少有一人选择“同意”的概率． 【小问1详解】 由题意可得，抽取的男生数为13×＝7人，应抽取的女生数为13×＝6人， 则 【小问2详解】 估计2019级高一年级学生该题选择“同意”的人数为 195×＝120人． 【小问3详解】 男生问卷共有7份，选择“同意”的有4份，选“不同意”的有3份， 从中随机选取2份问卷，这2份都是“不同意”的概率为 故至少有一人选择“同意”的概率为． 17. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）设，若函数在区间上单调递增，求的最大值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 分析】（1）利用和角正弦公式、辅助角公式可得，即可求最小正周期； （2）由题设，根据正弦型函数的性质求a的范围，即可得最大值. 【小问1详解】 由题设，， 所以的最小正周期. 【小问2详解】 当且，则，且在上单调递增， 所以，则， 综上，，故最大值为. 18. 为践行五育并举，增强学生体质，某校拟开设课外体育活动课．现从全校高一学生中分层随机抽样出100名男生和80名女生，对其选课意愿作调查统计，得到数据如下： 男生 女生 选择 不选择 选择 不选择 排球 50 50 50 30 篮球 25 75 15 65 足球 75 25 5 75 乒乓球 10 90 10 70 假设所有学生是否选择排球、篮球、足球、乒乓球相互独立，用频率估计概率． （1）假设全校共有1800名高一学生，直接判断下列结论的正误． 结论：根据样本数据估计全校有800名高一学生有选择足球课的意愿； 结论：样本中男生对排球课和篮球课都不选择的人数可以为20． （2）若从该校全体高一男生中随机抽取2人，全体高一女生中随机抽取1人，求这3人中选择排球课的人数恰为2的概率； （3）记样本中男生选择排球、篮球、足球、乒乓球课的频率依次为，其方差为；样本中男生不选择这四个活动课的频率依次为，其方差为．写出与的大小关系．（结论不要求证明） 【答案】（1）结论正确，结论错误； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合题干利用样本中选择足球的人数的比例，可以判断结论；根据容斥原理，可以判断结论. （2）利用全概率公式求解选择排球课的人数为2的概率即可； （3）根据题意可知，结合方差的定义得到两者方差相等. 【小问1详解】 由题意可知，选择足球课的频率为， 则全校高一学生有选择足球课意愿的人数为，故结论正确； 设不选择排球的男生集合为，不选择篮球的男生集合为， 则集合和中的人数分别为，,都不选择的人数为， 根据且， 可得， 所以都不选择的人数至少为25人，故结论B错误. 【小问2详解】 由题意可知，男生选择排球课的概率为，女生选择排球课的概率为， 假设表示3人中选择排球课的人数，则选择排球课的人数恰为2的概率 . 【小问3详解】 由题意知，， 设男生选择和不选择这四个活动课的平均值分别为， 则 根据方差定义可得 所以. 19. 已知函数，其中． （1）若，求的对称中心； （2）若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（且）上恰好有8个零点，求的最小值； （3）已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式化简函数解析式，由已知确定最小正周期，可得，整体代入法求的对称中心； （2）由图象平移变换得到函数，结合和，得，根据的零点个数可得，要使最小，则恰好为的零点，由此求的最小值； （3）根据已知，在上，的值域是值域的子集，求出这两个值域，由包含关系构造不等式示结果. 【小问1详解】 函数， 若，则与是相邻的最小值点和最大值点， 的最小正周期为，由，解得，得， 令，解得，此时， 所以的对称中心为. 【小问2详解】 ， ， ，所以或 解得或，又， 得， 所以，函数最小正周期， 令，即，解得或， 若在上恰好有8个零点，则， 要使最小，则恰好为零点， 的最小值为. 【小问3详解】 由（2）知，， 设在上的值域为，在上的值域为， 若对任意，存在，使得成立，则， 当， ，，则， 当，，，则， 由可得，又，解得， 所以实数a取值范围为. 【点睛】方法点睛： 1. 若在上恰好有8个零点，要使最小，则需要恰好为的零点； 2. ，存在，使得，则在定义区间内的值域是值域的子集. 20. 已知函数． （1）若为偶函数，求实数的值； （2）当时，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数得，解得，再用定义法进行证明； （2）记，判断出在上单调递增，列不等式组求出实数a的取值范围； （3）先判断出在上单调递增且，令，把问题转化为问题转化为在上有两不同实数根，令，利用图象有两个交点，列不等式求出实数m的取值范围． 【小问1详解】 定义域为， 因为为偶函数，所以， 即， 即，解得：， 此时，定义域为R， 且， 所以为偶函数，符合题意， 所以； 【小问2详解】 当时，， 不等式，即， 可化为：， 即对任意恒成立， 记，只需， 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，所以， 所以，解得：， 即实数的取值范围为； 【小问3详解】 当时，在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，且， 则可化为， 又因为在上单调递增，所以， 换底得：， 即， 令，则， 问题转化为在上有两不同实数根， 即有两不同实数根， 令， 分别作出图象如图所示： 故在上有两根，只需，解得：， 即实数的取值范围为． 21. 已知集合，，其中．定义．若，则称与正交． （1）若，写出中与正交的所有元素； （2）令．若，求证：为偶数； （3）若，且A中任意两个元素均正交，则A中最多可以有多少个元素？并说明理由． 【答案】（1）. （2）证明见详解. （3）2个. 【解析】 【分析】第一问:根据题设中正交定义直接写出答案即可;第二问根据、是否相等，将的结果分为两类，再将求和结果分为两类，设、相同时的项的个数为，不同时的个数为，最终求得结果为，为偶数.第三问：应用反证法，首先设A中两个元素均正交，假设A中三个元素也正交，则由第二问知在两者同时成立的前提下无正整数解，故最多存在两个这样的元素. 【小问1详解】 由题可知中所有与正交的元素为 （必出现两个,所以共种可能）. 【小问2详解】 证明：对于，存在，,使得． 令,, 当时,,当时,． 那么． 所以为偶数． 【小问3详解】 不妨设,则与正交． 假设且它们互相正交． 设a,b,c相应位置数字都相同的共有k个，除去这k列外． a,b相应位置数字都相同的共有m个, b,c相应位置数字都相同的共有n个, 则． 所以,同理． 可得． 由于, 可得矛盾． 所以除外任意三个元素都不互相正交． 综上, A中最多可以有2个元素． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $