20.1勾股定理及其应用学案 2025-2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学导学案围绕勾股定理展开，涵盖定理的发现、验证、计算、实际应用及在数轴上表示无理数。通过“与外星人联系信号”“台风折树”等情境及邮票赏析、毕达哥拉斯故事导入，搭建从实际问题到抽象定理再到应用拓展的学习支架。 资料特色在于情境生动且注重动手操作，通过拼图验证勾股定理培养几何直观与空间观念（数学眼光），结合实际问题（育苗棚、门框）和HL定理证明发展推理能力（数学思维），分层练习与数形结合（数轴表示无理数）助力学生理解数学与现实联系，提升应用意识（数学语言）。

第20章勾股定理 20.1勾股定理及其应用 第一课时：勾股定理及拼图验证 一、教学目标 (一)知识与技能： 1.了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理；2.会用勾股定理进行简单的计算. (二)过程与方法：经历通过实际分析、拼图等活动，使学生获得较为直观的印象；经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，发展合情合理的推理能力问题解决. (三)情感态度与价值观：通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心；对比介绍我国古代和西方数学家有关勾股定理的研究，对学生进行爱国主义教育. 二、教学重点、难点 重点：掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题. 难点：了解利用拼图验证勾股定理的方法. 三、教学过程 创设情境 人类一直想要弄清楚其他星球上是否存在着“人”，并试图与“他们”取得联系. 那么我们怎样才能与“外星人”接触呢？ 曾经有科学家建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号. 如图，强大的台风使得一棵大树在离地面6米处折断倒下，大树顶部落在离大树底部8米处. 大树折断之前有多高？ 想一想, 你需要求哪些线段长度、这些长度确定吗？ 邮票赏析 ( 这是 1955 年希腊为纪念一 个数学学派曾经发行的邮票. 毕达哥拉斯(约前 580 — 约前 500 年)，古希腊著名的哲学 家、数学家、天文学家. )邮票的秘密：观察这枚邮票图案小方格的个数，你有什么发现？ 相传2500多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家作客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系.我们也来观察一下地面的图案，看看能从中发现什么数量关系？ 探究 (1)在纸上作出若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三边长的平方之间有什么样的关系？与同伴交流. (2)如图，直角三角形三边的平方分别是多少，它们满足前面所猜想的数量关系吗？你是如何计算的？与同伴交流. 勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2 + b2 = c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦. 在西方又称毕达哥拉斯定理. 结论变形 a2 + b2 = c2、 a2 = c2 - b2、b2 = c2 - a2；、、. 三国时期吴国数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，创制了一幅“勾股圆方图”，也称为“赵爽弦图”，这是我国对勾股定理最早的证明. 2002年世界数学家大会(ICM-2002)在北京召开，这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的“弦图”，它既标志着中国古代的数学成就，又像一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们! 动手操作 通过拼摆，得到一大正方形与一个小正方形. 你能用两种方法表示大正方形的面积吗？ 大正方形面积表示为：①__________②_____________. 对比两种表示方法你得到勾股定理了吗？ 化简得 a2+b2=c2 小正方形面积表示为：①__________②_____________. 对比两种表示方法你得到勾股定理了吗？ 化简得 a2+b2=c2 如图，强大的台风使得一棵大树在离地面6米处折断倒下，大树顶部落在离大树底部8米处. 大树折断之前有多高？ 解：， 所以，大树折断之前的高度为：6+10=16(米). 练习 1.设直角三角的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c. (1)已知a=6，c=10，求b；(2)已知a=5，b=12，求c；(3)已知c=25，b=15，求a. 解：(1)；(2)； (3). 2.如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形A，B，C，D的边长分别是12，16，9，12，求最大正方形E的面积. 解：依题意，得 S1=SA+SB=122+162=144+256=400 S2=SC+SD=92+122=81+144=225 所以，SE=S1+S2=400+225=625 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 4、 教学反思 5、 课堂检测 一、基础达标: 1. 下列说法正确的是（　　） A.若 a、b、c是△ABC的三边，则a2＋b2＝c2； B.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，则a2＋b2＝c2； C.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，，则a2＋b2＝c2； D.若 a、b、c是Rt△ABC的三边，∠C=90度，则a2＋b2＝c2． 2． 如果Rt△的两直角边长分别为k2－1，2k（k >1），那么它的斜边长是（　　） A、2k B、k+1 C、k2－1 D、k2+1 3. 已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为（　　） A.直角三角形B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 4． 直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（　　） A．121 B．120 C．90 D．不能确定 5． △ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（　　　） A．42 B．32 C．42 或 32 D．37 或 33 6.※直角三角形的面积为，斜边上的中线长为，则这个三角形周长为（ ） （A） （B） （C） （D） 7、在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是(3,4)，则OP的长为（ ）A：3 B：4 C：5 D： 8．若△ABC中，AB=25cm，AC=26cm高AD=24,则BC的长为（ ） A．17 B.3 C.17或3 D.以上都不对 9已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足则三角形的形状是（ ） A：底与边不相等的等腰三角形 B：等边三角形 C：钝角三角形 D：直角三角形 10．斜边的边长为，一条直角边长为的直角三角形的面积是 ． 11. 等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则顶角的平分线为＿＿.　 12. 一个直角三角形的三边长的平方和为200，则斜边长为 13．一个三角形三边之比是，则按角分类它是 三角形． 14. 一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是＿＿＿.　 15. 在Rt△ABC中，斜边AB=4，则AB2＋BC2＋AC2=_____． 16．若三角形的三个内角的比是，最短边长为，最长边长为，则这个三角形三个角度数分别是 ，另外一边的平方是 ． ( A C B )17．如图，已知中，，，，以直角边为直径作半圆，则这个半圆的面积是 ． 18． 一长方形的一边长为，面积为，那么它的一条对角线长是 ． 拓展提高 1．如图，一个高、宽的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长． 2、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿∠CAB的角平分线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？ 3.一个三角形三条边的长分别为，，，这个三角形最长边上的高是多少？ 第二课时：勾股定理的实际应用 一、教学目标 (一)知识与技能：能运用勾股定理解决有关直角三角形的简单实际问题. (二)过程与方法：经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用的条件. (三)情感态度与价值观：培养合情推理能力，体会数形结合的思维方法，激发学习热情. 二、教学重点、难点 重点：熟练运用勾股定理求直角三角形的边长. 难点：会用勾股定理解决简单实际问题. 三、教学过程 勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2 + b2 = c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 结论变形 a2 + b2 = c2、 a2 = c2 - b2、b2 = c2 - a2； 、、. 如图，要修建一个育苗棚，棚高h=1.8m，棚宽a=2.4m，棚的长d=12m，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？ 解：在Rt△ABC中，根据勾股定理， AB2=h2+a2=1.82+2.42=9 解得 AB=3(m) 所以矩形塑料薄膜的面积是：3×12=36(m2) 例1 一个门框尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内穿过？为什么？ 解：在Rt△ABC中，根据勾股定理， AC2=AB2+BC2=12+22=5. AC=≈2.24. 因为AC大于木板的宽2.2m，所以木板能从门框内通过. 例2 如图，一架2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时BO 为0.7m，如果梯子的底端B向外移0.8m，那么梯子顶端AO也沿墙下滑 0.8m吗？ 解：在Rt△AOB中，根据勾股定理， OA2=AB2-OB2=2.52-0.72=5.76，OB=2.4 在Rt△COD中，根据勾股定理， OC2=CD2-OD2=2.52-(0.7+0.8)2=4， OC=2 AC=OA-OC≈2.4-2=0.4. 所以梯子的底端沿墙下滑0.8m时，梯子顶端并不是也下移0.8m，而是下移0.4m. 练习 1.如图，池塘边有两点A、B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得CB=60m，AC=20m.求A、B两点间的距离(结果取整数). 解：在Rt△ABC中，根据勾股定理， AB2=BC2-AC2=602-202=3200 AB=≈57 因此，A、B两点间的距离约为57m. 2.如图，在平面直角坐标系中有两点A(5，0)和B(0，4). 求这两点之间的距离. 解：由A(5，0)和B(0，4)可得，OA=5，OB=4. 在Rt△AOB中，根据勾股定理， AB2=OA2+OB2=52+42=41， AB=. 因此，A、B两点间的距离为. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 五、课堂检测 1．如图，要修建一个育苗棚，棚高h=3m，棚宽a=4m，棚的长为12m，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？ 2．如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢，它最短要飞多远？这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？ ( 小汽车 ) ( 小汽车 )3．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过km/h.如图，，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方m处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为m，这辆小汽车超速了吗？ ( C ) ( B ) ( A ) ( 观测点 ) 第三课时：勾股定理的计算、作图 一、教学目标 (一)知识与技能： 1.会运用勾股定理在数轴上画出并表示无理数，进一步理解感受数轴上的点与实数一一对应；2.了解利用勾股定理证明HL定理. (二)过程与方法：进一步理解数学中的数形结合思想，转化思想，学会运用勾股定理解决实际问题. (三)情感态度价值观：培养学生的思维意识，发展数学理念，体会勾股定理的应用价值. 二、教学重点、难点 重点：运用勾股定理在数轴上标出表示无理数的点，运用勾股定理解决实际问题. 难点：无理数也能在数轴上表示出来，理解数轴上的点与实数是一一对应的. 三、教学过程 思考 在八年级上册中我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？ 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， ∴ Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL) 已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′. 求证：△ABC≌△A′B′C′. 证明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，根据勾股定理，得 ， 又 AB=A′B′，AC=A′C′ ∴ BC=B′C′ ∴ △ABC≌△A′B′C′(SSS) 知识再现 实数与数轴上的点是一一对应的. 数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你还记得我们以前是如何在数轴上画出表示的点吗？ 则：点A表示. 你能用勾股定理验证点A就是表示的点吗？ 探究 你能在数轴上画出表示的点吗？ 分析：利用勾股定理，可以发现，直角边的长为正整数2，3的直角三角形的斜边长为. 步骤： 1.在数轴上找出表示3的点A，则OA=3； 2.过点A作直线l⊥OA，在l上取点B，使AB=2； 3.以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示的点. 类似地，利用勾股定理，可以作出长为，，，…的线段. 按照同样方法，可以在数轴上画出表示，，，，，…的点. 练习 1.在数轴上作出表示的点. 解：如图，点C为表示的点. 2.如图，等边三角形的边长是6. 求： (1)高AD的长； (2)这个三角形的面积. 解：(1)∵ AD是等边三角形ABC底边BC上的高 ∴ ∠ADB=90°，BD=BC=3 在Rt△ABD中，根据勾股定理， AD2=AB2-BD2=62-32=27 AD== (2)S△ABC=×6×3=9 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 五、课堂学习检测 1.Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2＋AC2＋BC2的值为( ) A.8 B.4 C.6 D.无法计算 2.如图，∠C＝∠ABD＝90°，AC＝4，BC＝3，BD＝12，则AD的长为_____. 3.一直角三角形的三边分别为2、3、x，那么以x为边长的正方形的面积为_______. 4.已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＋b＝8cm，c＝6cm，求△ABC的面积. 5、由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A处拦腰折断，如图所示，其树顶端恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4米，BC＝13米，两棵树的株距(两棵树的水平距离)为12米，求这棵树原来的高度. 6.我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ 7.如图所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体 的表面爬到对角顶点C1处，问怎样走路线最短？最短路线长为 多少？ 8.如图，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高4米，宽2.8米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？ 学科网（北京）股份有限公司 $