5.3.3 最大值与最小值 分层同步练习-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

5.3.3　最大值与最小值 一、基础达标练 1.下列结论正确的是(　　) A.若f(x)在[a,b]上有极大值,则极大值一定是[a,b]上的最大值 B.若f(x)在[a,b]上有极小值,则极小值一定是[a,b]上的最小值 C.若f(x)在[a,b]上有极大值,则极小值一定是在x=a和x=b处取得 D.若f(x)在[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上存在最大值和最小值 2.函数f(x)=x3-3x+1在区间[-3,0]上的最大值和最小值分别是(　　) A.1,-1 B.1,-17 C.3,-17 D.9,-19 3.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品.若该商品零售价定为P元,销量为Q件,则销量Q(单位:件)与零售价P(单位:元)有如下关系:Q=8 300-170P-P2.则最大毛利润为(毛利润=销售收入-进货支出)(　　) A.30元 B.60元 C.28 000元 D.23 000元 4.函数f(x)=exsin x在区间上的值域为　　　　　　　　.  5.函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围是　　　　　.  6.已知函数f(x)=aln x+x-a,a∈R.讨论函数f(x)的最值. 7.如图,某段铁路AB长为80千米,BC⊥AB,且BC=10千米,为将货物从A地运往C地,现在AB上距点B为x千米的点M处修一公路至点C.已知铁路运费为每千米2元,公路运费为每千米4元. (1)将总运费y表示为x的函数. (2)如何选点M才能使总运费最少? 二、能力提升练 8.函数f(x)=cos x+(x+1)sin x+1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为(　　) A.- B.- C.-+2 D.-+2 9.已知函数f(x)=mln x+的最小值恰为-m,则m=(　　) A. B. C.e D.e2 10.当x=1时,函数f(x)=aln x+取得最大值-2,则f'(2)=(　　) A.-1 B.- C. D.1 11.若函数f(x)=12x-x3在区间(m-5,2m+1)上有最小值,则实数m的最大值为(　　) A.1 B. C.2 D.3 12.(多选题)定义在R上的函数y=f(x)的导函数的图象如图所示,则下列说法正确的是(　　) A.函数y=f(x)在(3,5)上单调递减 B.f(0)>f(3) C.函数y=f(x)在x=5处取得极小值 D.函数y=f(x)存在最小值 13.已知f(x)=(1-x)ex-1,g(x)=(x+1)2+a,若存在x1,x2∈R,使得f(x2)≥g(x1)成立,则实数a的取值范围为　　　　　.  14.如图,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器,当这个正六棱柱容器的底面边长为　　　　　时,其容积最大.  15.已知函数f(x)=-x3+2ax2+3x(a>0)的导数f'(x)的最大值为5,则函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程是　　　　　　　　.  16.已知函数f(x)=aln x-bx2,a,b∈R,且曲线y=f(x)在x=1处与直线y=-相切. (1)求a,b的值; (2)求f(x)在上的最大值. 三、拓展探究练 17.(多选题)下列说法正确的是(　　) A.f(x)=x+的最小值为1 B.f(x)=的最小值为1 C.f(x)=x-ln x的最小值为1 D.f(x)=x的最小值为1 18.《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著,书本记载了一种名为“刍甍”的五面体(如图1).其中四边形ABCD为矩形,EF∥AB,“刍甍”字面意思为茅草屋顶.图2是一栋农村别墅,为全新的混凝土结构.它由上部屋顶和下部主体两部分组成.如图3,屋顶五面体为“刍甍”,其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形,左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形,点F在平面ABCD和BC上射影分别为H,M,已知HM=5米,BC=10米,梯形ABFE的面积是△FBC面积的2.2倍.设∠FMH=θ(0<θ<). 图1 图2 图3 (1)求屋顶面积S关于θ的函数关系式; (2)已知上部屋顶造价由屋顶面积确定,造价为600元/平方米,下部主体造价由高度确定,造价为9 600元/米.现欲造一栋上、下总高度为6米的别墅,试问:当θ为何值时,总造价最低? 参考答案 1.D　2.C　3.D　4.[0,]　5.(0,1) 6.解 由函数f(x)=aln x+x-a,可得其定义域为(0,+∞),且f'(x)=,当a≥0时,可得f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,无最值;当a<0时,令f'(x)<0,可得0<x<-2a,所以f(x)在(0,-2a)上单调递减;令f'(x)>0,可得x>-2a,所以f(x)在(-2a,+∞)上单调递增,所以f(x)的最小值为f(-2a)=aln(-2a)-2a,无最大值. 综上可得,当a≥0时,f(x)无最值;当a<0时,f(x)的最小值为aln(-2a)-2a,无最大值. 7.解 (1)依题意,铁路AM上的运费为2(80-x)元,公路MC上的运费为4元, 则由A地到C地的总运费y=2(80-x)+4(0≤x≤80). (2)y'=-2+(0≤x≤80).令y'=0,得x=或x=-(舍去).当0≤x<时,y'<0;当<x≤80时,y'>0.故当x=时,y取得最小值,即在距离点B千米的点M处修一公路至点C时,总运费最少. 8.D 9.D　解析 由f(x)=mln x+,得f'(x)=. 若m≤0,则f'(x)<0,函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,函数无最小值,不合题意.若m>0,当0<x<时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,当x>时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,∴当x=时,函数f(x)有最小值mln+m=-m,解得m=e2. 10.B 11.B　解析 由f'(x)=12-3x2=3(2-x)(2+x),得在(-∞,-2)和(2,+∞)上,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,在(-2,2)上,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,且f(-2)=12×(-2)+23=-16. 当f(x)=12x-x3=-16时,x3-12x-16=0,(x+2)(x2-2x-8)=0,(x+2)2(x-4)=0,即f(-2)=f(4)=-16,所以f(x)在区间(m-5,2m+1)上有最小值,则解得m∈(-]. 12.ACD　解析 f'(x)<0在(3,5)上恒成立,则f(x)在(3,5)上单调递减,故A正确;f'(x)≥0在[-1,3]上恒成立,则f(x)在[-1,3]上单调递增,则f(0)<f(3),故B错误;在(3,5)上,f'(x)<0,在(5,+∞)上,f'(x)>0,则函数y=f(x)在x=5处取得极小值,故C正确;由导函数的图象可知f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,3)上单调递增,在(3,5)上单调递减,在(5,+∞)上单调递增,故f(x)min在两个极小值f(5)和f(-1)中产生,故存在最小值,故D正确.故选ACD. 13.(-∞,]　解析 ∃x1,x2∈R,使得f(x2)≥g(x1)成立,则f(x)max≥g(x)min, 由题得f'(x)=-ex-1+(1-x)ex-1=-xex-1. 当x>0时,f'(x)<0,当x<0时,f'(x)>0,所以函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,所以f(x)max=f(0)=,由题得g(x)min=g(-1)=a,∴a≤. 14.　解析 如图,设被切去的全等四边形的一边长为x,则正六棱柱的底面边长为(1-2x),高为x,所以正六棱柱的体积V(x)=6×(1-2x)2·x=(4x3-4x2+x)(0<x<),则V'(x)=(12x2-8x+1).令V'(x)=0,得x=(舍去)或x=.当x∈(0,)时,V'(x)>0;当x∈()时,V'(x)<0.故当x=时,V(x)有极大值,也是最大值,此时正六棱柱的底面边长为. 15.15x-3y-2=0　解析 因为f'(x)=-2x2+4ax+3=-2(x-a)2+3+2a2,所以f'(x)max=3+2a2=5. 因为a>0,所以a=1, 所以f(x)=-x3+2x2+3x,f'(x)=-2x2+4x+3, f'(1)=-2+4+3=5. 又f(1)=-+2+3=, 所以所求切线方程为y-=5(x-1),即15x-3y-2=0. 16.解 (1)f'(x)=-2bx(x>0). 由曲线y=f(x)在x=1处与直线y=-相切,得解得 (2)由(1),得f(x)=ln x-x2,定义域为(0,+∞). f'(x)=-x=. 令f'(x)>0,得0<x<1; 令f'(x)<0,得x>1. 所以f(x)在上单调递增,在(1,e]上单调递减,所以f(x)在上的最大值为f(1)=-. 17.AC　解析 对于A,因为f(x)=x+,所以f'(x)=1-,所以函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故函数f(x)的最小值为f(0)=1,故A正确;对于B,因为f(x)=(x>0),所以f'(x)=,所以函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故函数f(x)的最小值为f(1)=e,故B错误;对于C,因为f(x)=x-ln x(x>0),所以f'(x)=1-,所以函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故函数f(x)的最小值为f(1)=1,故C正确;对于D,因为f(x)=x(x>0),所以f'(x)=+x·(-)=,所以函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故函数f(x)的最小值为f(1)=e,故D错误.故选AC. 18.解 (1)由题意知FH⊥平面ABCD,FM⊥BC, 又因为HM⊂平面ABCD,所以FH⊥HM. 在Rt△FHM中,HM=5,∠FMH=θ,所以FM=, 因此△FBC的面积为×10×, 从而得屋顶面积为S=2S△FBC+2S四边形ABFE=2×+2××2.2=,所以屋顶面积S关于θ的函数关系式S=,θ∈(0,). (2)在Rt△FHM中,FH=5tan θ,所以主体的高度为h=6-5tan θ, 所以y=600S+9 600(6-5tan θ)=600×+9 600×(6-)=48 000×()+57 600, 令f(θ)=,θ∈(0,),则f'(θ)=,令f'(θ)>0,解得<θ<,令f'(θ)<0,解得0<θ<,所以f(θ)=在(0,)上单调递减,在()上单调递增,所以当θ=时,f(θ)=取得最小值,即当θ=时,总造价最低. 9 学科网（北京）股份有限公司 $