19.3二次根式的加法与减法导学案2025-2026学年 人教版八年级数学下册

该初中数学导学案聚焦二次根式的加减与混合运算，通过“忆一忆”环节复习最简二次根式、乘除法法则等旧知，结合木板截正方形的实际问题引入同类二次根式，搭建从旧知到新知的学习支架，衔接自然。 以情境化问题驱动学习，类比整式加减帮助理解运算本质，分层设计练习与拓展题，培养学生运算能力、推理意识与应用意识，助力学生掌握法则并提升解决实际问题的能力，适合课堂教学与自主学习。

第一课时：二次根式的加减 一、教学目标 (一)知识与技能： 1.知道什么是同类二次根式，会辨别两个根式是否是同类二次根式；2.会进行二次根式的加减法运算. (二)过程与方法：经历探索二次根式加减运算法则的过程，培养学生的运算能力. (三)情感态度与价值观：关注学生思考问题的过程，培养学生主动探索、敢于实践、善于发现的科学精神以及合作精神，树立创新意识. 二、教学重点、难点 重点：掌握二次根式的加减法运算法则，会用它进行简单的二次根式的加减法运算. 难点：经历知识产生的过程，化简二次根式. 三、教学过程 忆一忆 1.下列二次根式中，最简二次根式是( ) A. B. C. D. 2.把下列二次根式化成最简二次根式： (1)=____；(2)=_______；(3)=_____. 同类二次根式 下列3组二次根式各有什么特征？ (1)，，，，，… (2)，，，，，… (3)，，，，，… 答：第(1)组二次根式的被开方数都是____；第(2)组二次根式的被开方数都是____；第(3)组二次根式的被开方数化成最简二次根式后都是____. 化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式. 问题 现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板？ ∵ 5＞＞ ∴ 木板够宽 两个正方形的边长和为：(+)dm +=+(化成最简二次根式) = (分配律) = 由＜1.5可知＜7.5，即两个正方形木板的边长的和小于木板的长，因此可以用这块木板按要求截出两个面积分是8dm2和18dm2的正方形木板. 二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式(同类二次根式)进行合并. 例1 计算： (1) (2) ( 比较二次根式的加减与整式的加减，你能得出什么结论？ 4 x - 3 x =( 4 - 3 ) x = x 3 a 2 + 5 a 2 =( 3 + 5 ) a 2 = 8 a 2 )解：(1)原式=4-3 =(4-3) = (2)原式=3+5 =(3+5) =8 例2 计算： (1) (2) 解：(1)原式=4-2+12 =14 (2)原式=2+2+- =3+ 与能合并吗？ 练习 1.下列计算是否正确？为什么？ (1) ( ) (2) ( ) (3) ( ) 2.计算： (1) (2) (3) (4) 解：(1)原式=-4 (2)原式=4-2+=3 (3)原式=3+7-3=10-3 (4)原式=2+-+=3+ 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 4、 教学反思 5、 课堂检测 1. 下列根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面说法正确的是（ ） A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式 B. 与是同类二次根式 C. 与不是同类二次根式 D. 同类二次根式是根指数为2的根式 3. 与不是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则化简的结果是（ ） A. B. C. 3 D. -3 6. 若，则的值等于（ ） A. 4 B. C. 2 D. 7. 若的整数部分为，小数部分为，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 3 8. 下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 一个三角形的三边长分别为，则它的周长是 cm。 10. 若最简二次根式与是同类二次根式，则。 11. 已知，则。 12. 已知，则。 13. 计算： 拓展提高 14. 已知：，求的值。 15. 已知：为实数，化简：。 第二课时：二次根式的混合运算 一、教学目标 (一)知识与技能： 1.使学生理解实数范围内的运算律和运算顺序在二次根式的混合运算中仍然适用； 2.会利用乘法公式进行二次根式的乘法运算及分母有理化； 3.使学生会熟练进行二次根式的加、减、乘、除混合运算. (二)过程与方法：讲练结合，通过例题由浅入深，层层深入，从例题的讲解中帮助学生寻找解题的方法、规律及注意点. (三)情感态度与价值观：1.培养学生进行类比的学习思想和理解运算律、乘法公式的广泛意义；2.激发学生的求知欲和提高学生的运算能力. 二、教学重点、难点 重点：会熟练地进行二次根式的加减乘除混合运算，进一步提高运算能力. 难点：正确地运用二次根式加减乘除法则及运算律进行运算，并把结果化简. 三、教学过程 忆一忆 1.二次根式的乘法法则•＝________(a≥0，b≥0)，积的算术平方根＝__________( a≥0，b≥0). 2.二次根式的除法法则＝____( a≥0，b＞0)，商的算术平方根＝____(a≥0，b＞0). 3.二次根式的加减时，可以先将二次根式化为_____________，再将被开方数相同的二次根式进行________. 做一做 1.下列二次根式中，最简二次根式是( ) A. B. C. D. 2.计算：(1)×=____；(2)÷=____；(3)+-=____. 3.填空：(1)(a+b)(a-b)=_______； (2)(a+b)2=_________； (3)(a-b)2=_________. 例3 计算： (1) (2) 解：(1) (2) 例4 计算： (1) (2) 解：(1) (2) 例4(1)用了多项式乘法法则，(2)用了公式(a+b)(a-b)=a2-b2.在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用. 练习 1.计算： (1) (2) (3) (4) 解：(1)原式= (2)原式= (3)原式= (4)原式= 2.计算： (1) (2) (3) (4) 解：(1)原式= (2)原式= (3)原式= (4)原式= 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 五、课堂检测 1．下列二次根式与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2、计算下列各式的值： (1) (2) (3) (4) 变式2-1．计算 (1) (2) (3) (4) 拓展提高 3．观察下列一组等式，解答后面的问题： (1)化简：______，______（n为正整数） (2)比较大小：______（填“”，“”或“”） (3)根据上面的结论，找规律，请直接写出下列算式的结果：______ 变式3-1．阅读下列化简过程： ， ， ， … 从中找出化简的方法与规律，然后解答下列问题： (1)； (2)设，，，比较的大小关系． 4、【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：若设（其中均为整数），则有．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： 【问题解决】 （1）若，当均为整数时，则　 　，　 　．（均用含m、n的式子表示） （2）若，且均为正整数，分别求出的值． 【拓展延伸】 （3）化简． 学科网（北京）股份有限公司 $