6.3.1平面向量基本定理课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

讲课人： 日期： 6.3.1 平面向量基本定理 学习目标 学习目标 核心素养 1.理解平面向量基本定理及其意义，了解基底的含义. 数学抽象 2.会用基底表示平面向量，能应用平面向量基本定理解决一些简单问题. 数学应用 复习回顾 如图5 . 31, 在直角坐标系内，设任意角α 的 终边与单位圆交于点P1 . (1) 作 P1 关于原点的对称点 P2 , 以 。P2 为 终边的角β与角α关系？ (2) 如果作P1 关于x 轴（或S轴） 的对称点 P3 （或 P4 ), 那么又可以得到什么结论？ 新课引入 上节我们学习了向量的运算，知道位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示．类似地，平面内任一向量是否可以由同一平面内的两个不共线向量表示呢？ 如图5 . 31, 在直角坐标系内，设任意角α 的 终边与单位圆交于点P1 . (1) 作 P1 关于原点的对称点 P2 , 以 。P2 为 终边的角β与角α关系？ (2) 如果作P1 关于x 轴（或S轴） 的对称点 P3 （或 P4 ), 那么又可以得到什么结论？ 探索新知 能， 不能，只能表示与 共线的向量 问题1：已知非零向量 ，那么所有与 共线的向量，都能用 表示吗？如何表示？ 问题2：可以只用这个非零向量 来表示这一平面上的任意一个向量吗？ 问题3：要表示平面上的任意一个向量，至少需要几个向量？ 探索新知 我们知道, 已知两个力, 可以求出它们的合力; 反过来, 一个力可以分解为两个力. 如图, 我们可以根据解决实际问题的需要, 通过作平行四边形, 将力F分解为多组大小、方向不同的分力. 思考：由力的分解得到启发, 我们能否通过作平行四边形, 将向量a分解为两个向量, 使向量a是这两个向量的和呢? 探索新知 探索新知 O M N C 探索新知 （4）零向量，如何表示？ 思考：（1）再给出另一个向量 ，还能这样表示吗？ （2）与 或 共线的向量，能这样表示吗？ （3）如果给定的两向量 ， 共线，还能用来表示这一平面内的任何一个向量吗？ 总结：只有e1，e2不共线，才可以用来表示平面内的任意向量. 探索新知 探索新知 平面向量基本定理是向量共线定理在平面内的推广，是由一维向二维的飞跃，二者反映的规律是一致的． 探索新知 问题1：零向量可以作为基底吗？ 零向量与任意向量共线，因此零向量不能作为基底. 问题2：一组平面向量的基底有多少对？ 无数多对，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底.基底不唯一 问题3：若基底选取不同，则表示同一向量的实数λ1，λ2是否相同？ 可以不同，也可以相同 典例分析 解： 探索新知 且 若A,B,P三点共线，O为直线外一点 证明：由已知得， 所以 于是 所以点P在直线AB上. 探索新知 课堂小结 平面向量基本定理 基本定理内容 基底 应用 ( )不共线 不共线向量 课堂检测 1.若 是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( ) B A. B. C. D. 2.若 则 等于( ) D A. B. C. D. 课堂检测 C 探索新知 A 作业 对应课后习题 希望同学们：好学数学 学好数学 祝语 谢谢大家观看 讲课人： 日期： 2．运算定律 结合律： ； 分配律：； 3. 向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件是： 有且只有一个非零实数，使. 1．实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作： （1）； （2）时与方向相同；时与方向相反；时 如图，过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于点M；过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于点N 因为 与 共线， 与 共线可得，存在实数 ， ，使得 ， 所以 . 也就是说，与 ， 都不共线的向量a都可以表示成 的形式. 思考：平面内任一向量a都可以按 ， 的方向分解，表示成 的形式，这种表示形式是唯一的吗？ 我们假设a还可以表示成 的形式， 那么 ， 可得 假设 ， 不全为0，不妨假设 ， 则 ， 由此可得 ， 共线.这与已知 ， 不共线矛盾，由此可推出 ， 全为0，即 ， . 也就是说，有且只有一对实数 ， ，使 . 例1 如图， ， 不共线，且 ，用 ， 表示 . 因为 ， 所以 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 . 与 的系数和为1 3.已知正方体 中，点E为 的中点，若 ，（x， ）则x，y的值分别为( ) A.1，1 B.1， C. ， D. ，1 解析： 所以 .故选:C. 4.如图，在 中，E是 的中点， ， ， 与 交于点M，则 ( ) A. B. C. D. $