19.2二次根式的乘法与除法导学案2025-2026学年 人教版八年级数学下册

该初中数学导学案围绕二次根式的乘法与除法展开，第一课时通过“忆一忆”复习二次根式平方与化简搭建支架，“探究”环节引导学生计算具体例子发现规律，从特殊到一般形成乘法法则，第二课时类比乘法探究除法法则及最简二次根式概念。 资料注重学生自主探究，通过计算观察发现规律培养抽象能力与创新意识，例题练习从基础到应用提升运算能力与推理意识，强调结果化为最简二次根式培养数学语言规范性，分层检测题便于教师评估与学生自主学习。

19.2二次根式的乘法与除法 第一课时：二次根式的乘法 一、教学目标 (一)知识与技能：理解•=(a≥0，b≥0)，=•(a≥0，b≥0)，并利用它们进行计算和化简. (二)过程与方法：在学生原有知识的基础上，经历知识产生的过程，探素新知；体验研究数学问题常用方法：即由特殊到一般，由简单到复杂. (三)情感态度与价值观：通过学生自主探素合作交流体会学习数学的乐趣及发散思维能力. 二、教学重点、难点 重点：双向运用(a≥0，b≥0)进行二次根式乘法运算. 难点：被开方数的最优分解因数或因式的方法. 三、教学过程 忆一忆 1.计算：(1)(4)2=____； (2)=____； (3)(-3)2=____. 2.化简：(1)=____；(2) =____；(3)=____；(4) =______. 探究 计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？ (1)×=_______，=_______； (2)×=_______，=_______； (3)×=_______，=_______. 一般地，二次根式的乘法法则是：•=(a≥0，b≥0) 例1 计算： (1) (2) 解：(1) = (2) ===3 把•=反过来，就得到=•，利用它可以进行二次根式的化简. 注：在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数. 例2 化简： (1) (2) 解：(1) (2)••=2•a•=2a•b=2ab 被开方数4a2b3含4，a2，b2这样的因数或因式，它们被开方后可以移到根号外，是开得尽的因数或因式. 例3 计算： (1) (2) (3)• 解：(1)原式==== (2)原式===== (3)原式====•= 练习 1.计算： (1) (2) (3) (4) 解：(1)原式= (2)原式==6 (3)原式== (4)原式===2 2.化简： (1) (2) (3) (4) 解：(1)原式===11； (2)原式==15； (3)原式=•= (4)原式=•••=. 3.一个长方形的长和宽分别是和. 求这个长方形的面积. 解：==== 答：这个长方形的面积为. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 五、 课堂学习检测 一、填空题 1．把下列各式化成最简二次根式： (1)______；(2)______；(3)______ 2、估计的值在（　　） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 变式2-1．计算： ． 变式2-2．若，，则可以表示为（ ） A． B． C． D． 3．在横线上填出一个最简单的因式，使得它与所给二次根式相乘的结果为有理式，如： 与 (1)与______； (2)与______； (3)与______； (4)与______； (5)与______． 拓展提高 4．当时，求和xy2＋x2y的值． 5． 试探究与a之间的关系． 19.2二次根式的乘法与除法 第二课时：二次根式的除法 一、教学目标 (一)知识与技能： 1、理解(a≥0，b＞0)和(a≥0，b＞0)及利用它们进行运算；2、理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式. (二)过程与方法：通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求. (三)情感态度与价值观：学生在充分经历自学、探究、交流、当堂练习等活动中，获得成功的体验，调动主动学习的积极性，感受数学学习的乐趣. 二、教学重点、难点 重点：掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，会运用其进行相关运算. 难点：能综合运用已学性质进行二次根式的化简与运算. 三、教学过程 忆一忆 1.计算：的结果是( ) A.2 B.6 C.8 D.16 2.计算：•的结果是____. 3.等式=•成立的条件是_____. 探究 计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？ (1)=( )，=( )；(2)=( )，=( )；(2)=( )，=( ). 一般地，二次根式的除法法则是 (a≥0，b＞0) 例4 计算： (1) (3) 解：(1) (2) 把反过来，就得到(a≥0，b＞0) 利用它可以进行二次根式的化简. 例5 化简： (1) (3) 解：(1) (2) 例6 计算： (1) (2) (3) 解：(1) 解法1： 解法2： 在解法2中，式子变形是为了去掉分母中的根号(分母有理化). (2) (3) 注：在二次根式的运算中，最后结果一般要求分母中不含二次根式. 最简二次根式 ，，，，，. 观察上面例4、例5、例6中各小题的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点： (1) 被开方数不含分母； (2) 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. 在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式. 例7 设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b.已知S=，b=，求a. 解：∵ S=ab，∴ 如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，那么它们的传播半径的比为.这个式子还可以化简：. 这个比与地球半径无关. 这样，只要知道h1，h2，就可以求出比值. 例8．把根号外面的因式移到根号内的结果是 ． 变式8-1．把的根号外因式移到根号内得 ． 变式8-2．把下列根号外的因式移到根号内. (1)a; (2)·(x>y>0); (3)ab(0<a<b). 练习 1.计算：(1) (2) (3) (4) 解：(1)原式= (2)原式= (3)原式= (4)原式= 2.把下列二次根式化成最简二次根式： (1) (2) (3) (4) 解：(1) (2) (3) (4) 3.设长方形的面积为 S，相邻两边长分别为 a，b.已知S=16，b=，求 a. 解：∵ S=ab ∴ 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 五、课堂学习检测 一、填空题 1．把下列各式化成最简二次根式： (1)______；(2)______；(3)______；(4)______． 2．下列各式的计算正确的是（     ） A． B． C． D． 变式2-1．计算： ． 变式2-2．已知：，则 ． 二、选择题 3．成立的条件是( )． A．x＜1且x≠0 B．x＞0且x≠1 C．0＜x≤1 D．0＜x＜1 4．下列计算不正确的是( )． A． B． C． D． 5．把化成最简二次根式为( )． A． B． C． D． 三、计算题 6．(1) (2) (3) (4) 综合、运用、诊断 一、填空题 7．化简二次根式：(1)________(2)_________(3)_________ 8．计算下列各式，使得结果的分母中不含有二次根式： (1)____ ___(2)_________(3)__________(4)__________ 9．已知则______；_________．(结果精确到0．001) 二、选择题 10．已知，，则a与b的关系为( )． A．a=b B．ab=1 C．a=－b D．ab=－1 11．下列各式中，最简二次根式是( )． A． B． C． D． 三、解答题 12．计算：(1) (2) (3) 拓广与探究 13．观察规律：……并求值． (1)_______；(2)_______；(3)_______． 14．计算： (1)； (2)； (3)； (4) 学科网（北京）股份有限公司 $