9.导数中的比较大小问题讲义-2026届高三数学一轮复习

寻“导”之旅9.导数中的比较大小问题（解析版） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点目录 题型1 构造函数比较大小 题型2 利用切线放缩比较大小 题型3 利用泰勒展开公式比较大小 解题策略 高考压轴题中经常考查与导数有关的不等式问题,而比较大小问题就是其中一类较为特殊的题型.这类问题可以用常规方法求解,但过程往往较为烦琐,如果灵活选用构造函数、放缩、泰勒展开以及帕德逼近等技巧,有时可以简化问题的求解过程,帮助学生更好地理解函数的相关性质和变化规律. 1、 构造函数比大小 通过对原式进行等价转换,使得要比较的两式或三式在形式上具有一致性,然后构造符合这种形式的函数,最后利用函数的单调性来解决；⑵要比较的两式在形式上不一致,若两式中具有相同的量,则不妨将这些量看成变量,构造相关函数,利用函数单调性比较大小. （一）构造函数比较大小 函数的定义域为.当时,单调性递增；当时,单调递减,则的极大值为,且,有时可用此结论来解题. （二）构造函数比较大小 函数的定义域为,.当时,单调递减;当时,单调递增,故当时,取得极小值,有时可利用该结论解题. 二、利用放缩比较大小 构造不同函数，比较不同函数值 这个时候，不等式放缩就是首选之道了！下面的这些不等式放缩需要你的注意. 1.切线不等式： 高中几个重要的函数都具有凸凹性，这样我们便可通过切线来构造不等式，具体的原理请见《高观点：函数凸凹性》，这里只列举一些重要的切线不等式： 1.1 ； 1.2 ； 将这两个切线不等式进行合适的取值与加减项，又可得到更多的不等式： ① ②； ③； 2. 高次不等式放缩 2.1 ； 2.2 ； 2.3 ； 2.4 . 3.分式不等式放缩 3.1 3.2 注：部分常见的不等式放缩证明如下： 1)常见的指数放缩:(当且仅当时,等号成立). 证明设,所以.当时,,单调递减；当时,单调递增,故当时,取得最小值0,所以,即. 对于,该不等式在上恒成立,则,故.当时,在不等式两边同时乘,则有,因此,有 2)常见的对数放缩:(当且仅当时,等号成立). 证明求导可证得.将替换为,则,即,可得. 3)常见三角函数的放缩:当时,. 如，利用,则， ，即. 三、利用泰勒展开公式比较大小 构造不同函数，比较相同函数值，这类问题虽然可能几个数的形式不一致，但它们的特别是不同的函数取了相同的函数值，所以实质在比较不同函数差值或者商的性质，当然，这种问题下，如果自变量取值靠近基本初等函数的麦克劳林级数展开点，利用泰勒展开来近似估计绝对是一个很好的方法! 泰勒展开公式: 常见的泰勒展开式如下: 纵观近几年的高考,通过构造函数、放缩和泰勒展开等方式解决比较大小问题,依然是考查的热点.解决比较大小问题的关键在于通过对比题干数据,构造恰当函数,利用导数和函数的相关性质求解.这类问题综合性很强,旨在考查学生的转化能力、推理能力和计算求解能力等,涉及转化与化归思想、函数与方程思想、特殊与一般思想,渗透直观想象和数学运算等素养. 考点精析 题型1 构造函数比较大小 一、单选题 1.已知，，，则下列大小关系正确的是（） A. B. C. D. 答案：A 分析：核心知识点为利用导数研究函数的单调性，解题关键是构造两个不同的函数，分别比较与、与的大小关系。 解析： 第一步：比较与的大小，构造函数， 求导得，当时，，故在上单调递减。 因此，即。 令，则，即。 第二步：比较与的大小，构造函数， 求导得，当时，，故，在上单调递增。 因此，即。 令，则，即。 综上，，故选A。 2.已知，则下列不等式成立的是（） A. B. C. D. 答案：B 分析：核心知识点为导数与函数单调性的关系，解题关键是构造函数，通过研究其单调性判断不等式是否成立。 解析：构造函数， 求导得，因为时，，所以。 则在上单调递增，故，即，，故A错误，B正确。 对于C，构造，，此时，故，，C错误。 对于D，当时，，D错误。 故选B。 3.设，，，则的大小顺序为（） A. B. C. D. 答案：C 分析：核心知识点为导数法研究函数单调性，解题关键是将的表达式统一形式，构造函数进行比较。 解析： 第一步：统一表达式，，， 因为，所以，即。 第二步：构造函数，，求导得。 当时，，单调递增；当时，，单调递减。 第三步：比较的大小，，，因为，所以，且，则，即。 又因为，，所以，故选C。 二、多选题 1.已知函数，，则下列说法正确的有（） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 在上恒成立 D. 若，则 答案：ABC 分析：核心知识点为利用导数求函数的最值、比较函数大小，解题关键是分别分析和的单调性与最值，再结合不等式进行判断。 解析： 对于A，，，。 当时，，单调递减；当时，，单调递增。 故，A正确。 对于B，，，。 当时，，单调递增；当时，，单调递减。 故，B正确。 对于C，由A、B得，，因此对任意，都有，即恒成立，C正确。 对于D，由C知恒成立，不存在使得，D错误。 2.已知，且，则下列不等式中，能用构造函数法结合导数证明成立的有（） A. B. C. D. 答案：ABD 分析：核心知识点为构造函数并利用导数研究单调性，解题关键是对选项进行变形，构造合适的函数，再分析单调性证明不等式。 解析： 对于A，不等式两边取自然对数得，整理得。 构造函数，，在递减，递增，且当时，，则；当时，，则，故不等式成立，A正确。 对于B，不妨设，不等式变形为，即。 令，构造函数，，在递增，，故不等式成立，B正确。 对于C，当时，，，，不等式不成立，C错误。 对于D，构造函数，。 当时，，递增；当时，，递减。 故，即，当且仅当时取等号。 因为，不一定成立，故，D正确。 三、填空题 1.已知，则与的大小关系为 （填“”“”或“”） 答案： 分析：核心知识点为导数与函数单调性，解题关键是构造函数，通过求导判断单调性。 解析：构造函数， 求导得。 当时，，故在上单调递增。 因此，即，故。 2.设，，则与的大小关系为 答案： 分析：核心知识点为利用导数研究函数最值，解题关键是将变形后构造函数，转化为函数最值问题。 解析： 构造函数，，则 求导得，，故在上单调递增。 又，故当时，，在上单调递增。 因此，即。 四、解答题 1.已知函数，。 (1) 求的最小值； (2) 证明：当时，。 答案：(1) ；(2) 见解析 分析：本题核心知识点为利用导数求函数最值及证明不等式，解题关键是第(2)问结合第(1)问的结论，将不等式拆分为两个函数的最值之和进行证明。 解析： (1) 对求导，得。 令，解得。 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增。 故在处取得最小值，。 (2) 由(1)知，，即，当且仅当时取等号。 对求导，得。 令，解得。 当时，，单调递减； 当时，，单调递增。 故在处取得最小值，，即，变形得，当且仅当时取等号。 将与相加，得。 因为两个等号成立的条件分别为和，不能同时满足，故。 2.已知，证明：。 答案：见解析 分析：核心知识点为利用导数证明不等式，解题关键是将不等式变形，构造函数，通过研究函数的单调性和极限情况证明不等式。 解析：要证，， 即证。 由，得，故只需证。 令，则，，不等式转化为， 整理得。 构造函数，， 求导得， 求二阶导数， 当时，，故在上单调递增， 因此，故在上单调递增， 则， 即，， 故原不等式成立。 3.已知函数，。 (1) 讨论的单调性； (2) 若，证明：对任意的，。 答案：(1) 当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；(2) 见解析 分析：第(1)问核心是含参函数的单调性讨论，关键是对导数的符号进行分类；第(2)问核心是构造函数证明不等式，关键是将原不等式转化为新函数的最值问题。 解析： (1) 的定义域为，。 ① 当时，，则，故在上单调递增； ② 当时，令，得。 当时，，单调递增； 当时，，单调递减。 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减。 (2) 当时，，要证，即证，整理得。 构造函数，，求导得。 令，解得（舍去）。 当时，，单调递减； 当时，，单调递增。 故在处取得最小值，。 又因为，所以，且。 当时，，即，变形得不成立，实际应为构造，其最小值为，但当时，，即，，则；当时，，，故。 综上，对任意，成立。 题型2 利用切线放缩比较大小 一、单选题 1.已知，则下列不等式恒成立的是（） A. B. C. D. 答案：A 分析：核心知识点为切线放缩法的基础应用，解题关键是利用函数在处的切线方程推导不等式。 解析：构造函数，求导得。 令，解得；当时，，单调递减；当时，，单调递增。 故，即，对任意恒成立。 对于C、D，函数定义域为，且（当且仅当时取等号），故C、D错误。 综上，选A。 2.设，，，则的大小关系为（） A. B. C. D. 答案：A 分析：核心知识点为切线放缩结合函数单调性比较大小，解题关键是构造函数，利用其单调性和最值判断。 解析：构造函数，，求导得。 令，解得；当时，，单调递增；当时，，单调递减。 故。 因为，所以，即，故。 综上，选A。 3.已知，利用切线放缩法可得不等式（） A. B. C. D. 答案：B 分析：核心知识点为三角函数的切线放缩，解题关键是利用在处的二阶切线放缩式推导。 解析：对于函数，求导得，。 在处的二阶切线放缩式为（泰勒展开一阶余项），当且仅当时取等号。 因为，所以，B正确。 对于A，构造，，单调递增，，故，A错误； 对于C，构造，，单调递增，，故，C错误； 对于D，在不恒成立（如时，，，），且B的放缩精度更高，D不符合题意。 综上，选B。 二、多选题 1.已知函数，，利用切线放缩法可得正确结论有（） A. 对任意恒成立 B. 对任意恒成立 C. 当时， D. 当时， 答案：ABC 分析：核心知识点为指数、对数函数的切线放缩综合应用，解题关键是结合切线不等式的同向可加性和单调性判断。 解析：对于A，由在处切线方程为，构造，可得，故恒成立，A正确； 对于B，由在处切线方程为，构造，可得，故恒成立，B正确； 对于C，由（取等号），变形得（取等号），两式相加得，两个等号不能同时成立，故，C正确； 对于D，由，当且仅当即时取等号，但，故，选项中“本”为干扰字符，实际结论正确，但原选项存在字符错误，故不选D。 综上，选ABC。 2.利用切线放缩法，可推导的常见不等式（）有（） A. B. C. D. 答案：AC 分析：核心知识点为常见函数的高阶切线放缩公式，解题关键是掌握三角函数、对数函数的泰勒展开式（切线放缩延伸）。 解析：对于A，在处的三阶泰勒展开式为，故（），A正确； 对于B，当时，，但（如时，，，），故不成立，B错误； 对于C，在处的三阶泰勒展开式为，故（且），C正确； 对于D，当时，，故不等式不成立，D错误。 综上，选AC。 三、填空题 1.已知，则的最小值为。 答案： 分析：核心知识点为切线放缩法求函数最值，解题关键是利用对式子进行放缩变形。 解析：由切线放缩不等式（，取等号），可得。 构造函数，，由基本不等式得，当且仅当时取等号。 故，此时，即的最小值为。 2.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是。 答案： 分析：核心知识点为切线放缩法解决恒成立问题，解题关键是利用的切线方程确定临界值，结合分离参数法分析。 解析：由（取等号），当时，不等式恒成立。 当时，不等式变形为。 构造函数，，求导得。 令，，故在单调递增，。 因此，在单调递增，由洛必达法则得。 故，即实数的取值范围是。 四、解答题 1.已知函数，。 (1) 若对任意恒成立，求的值； (2) 利用(1)的结论，证明：当时，。 答案：(1) ；(2) 见解析 分析：本题核心知识点为切线放缩法的逆向应用与不等式证明，解题关键是第(1)问通过求导讨论函数单调性求最值，第(2)问结合切线不等式推导。 解析： (1) 的定义域为，。 ① 当时，恒成立，在上单调递增，又，不满足恒成立； ② 当时，令，得；当时，，单调递减；当时，，单调递增。 故。 构造函数，，求导得；当时，；当时，。 故，因此当且仅当时，恒成立。 (2) 由(1)知，当时，对任意恒成立，当时，，即。 构造函数，，求导得；当时，；当时，。 故，即，。 综上，当时，。 2.证明：当时，，并利用该结论证明：（）。 答案：见解析 分析：核心知识点为切线放缩法证明不等式及数列求和的放缩应用，解题关键是先证明切线不等式，再通过赋值累加推导数列不等式。 解析： 第一步：证明（） 构造函数，，求导得。 令，解得；当时，，单调递增；当时，，单调递减。 故，即，，当且仅当时取等号。 第二步：证明 由，令（），则。 因为，所以，即。 累加得： 将以上个式子相加，左边为，右边为。 故。 3.已知函数，。 (1) 求的单调性； (2) 利用切线放缩法，证明：当时，。 答案：(1) 在上单调递增；(2) 见解析 分析：核心知识点为导数研究函数单调性+三角函数切线放缩，解题关键是第(2)问利用的切线结论，结合函数单调性推导。 解析： (1) ，，求导得。 构造函数，，求导得。 故在上单调递增，，则。 因此在上单调递增。 (2) 由切线放缩法可知，当时，（构造，，）。 因为，由(1)知在上单调递增，故。 即。 又因为，所以，则。 因此。 题型3 利用泰勒展开公式比较大小 一、单选题 1.已知，利用的麦克劳林展开式，可得下列不等式成立的是（） A. B. C. D. 答案：A 分析：核心知识点为正弦函数的麦克劳林展开式及余项判断，解题关键是掌握的展开式形式，结合拉格朗日余项的符号确定不等式方向。 解析：的麦克劳林展开式为 取，则，其中拉格朗日余项（介于与之间）。 因为，所以，，则。 因此，即，A正确，B错误。 取，则，余项，故，C、D错误。 2.设，，，则的大小关系是（） A. B. C. D. 答案：A 分析：核心知识点为指数函数、对数函数、正弦函数的麦克劳林展开式的近似计算，解题关键是利用展开式对进行估值，再比较大小。 解析： ① 处理：的麦克劳林展开式为，令，则，故。 ② 处理：的麦克劳林展开式为（），令，则，故。 ③ 处理：由的展开式，得（），则，且，显然。 综上，，选A。 3.已知为足够小的正数，利用泰勒展开式判断，下列不等式中最精准的是（） A. B. C. D. 答案：D 分析：核心知识点为指数函数泰勒展开式的放缩精度，解题关键是明确泰勒展开式的项数越多，对函数的近似程度越高，不等式的精准度越强。 解析：的麦克劳林展开式为，其中余项（）。 当时，，即。展开式的项数越多，放缩后的式子越接近的真实值，精准度越高。对比选项，D选项的展开项数最多，精准度最高，故选D。 二、多选题 1.利用常见函数的麦克劳林展开式，下列结论正确的有（） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 答案：ABD 分析：核心知识点为常见函数泰勒展开式的余项符号判断，解题关键是结合拉格朗日余项的正负，确定不等式的方向。 解析： ① 选项A：（），余项，故，A正确。 ② 选项B：的麦克劳林展开式为（），展开式后续余项均为正项，故当时，，B正确。 ③ 选项C：（），余项，故，C错误。 ④ 选项D：的麦克劳林展开式为，余项，故，D正确。 2.已知函数（），，利用泰勒展开式，下列说法正确的有（） A. 在处的麦克劳林展开式为 B. 当为足够小的正数时， C. 当时， D. 当为足够小的正数时， 答案：ABCD 分析：核心知识点为分式函数的泰勒展开式推导及放缩应用，解题关键是将的展开式代入，再结合余项分析不等式。 解析： ① 选项A：由，两边除以（）得，A正确。 ② 选项B：，当为足够小的正数时，的绝对值远大于后续项的和，且，故，B正确。 ③ 选项C：，余项，故，C正确。 ④ 选项D：当为足够小的正数时，由切线放缩结论，故，D正确。 三、填空题 1.当为足够小的正数时，利用的泰勒展开式，可得，则此时与的大小关系是。 答案： 分析：核心知识点为对数函数泰勒展开式的余项符号判断，解题关键是将式子与展开式对比，确定余项的正负。 解析：的麦克劳林展开式为（），则。 当为足够小的正数时，的绝对值远大于后面各项的和，且，故。 2.已知为足够小的正数，利用泰勒展开式估算，与的大小关系是。 答案： 分析：核心知识点为指数函数泰勒展开式的余项分析，解题关键是写出的展开式，代入式子后对比余项。 解析：的麦克劳林展开式为，则。 当为足够小的正数时，，故。 四、解答题 1.已知的麦克劳林展开式为，的展开式为。 (1) 求的麦克劳林展开式（至少两项）； (2) 证明：当时，。 答案：(1) ；(2) 见解析 分析：本题核心知识点为三角函数分式的泰勒展开式推导及不等式证明，解题关键是利用三角恒等式化简分式，再结合的展开式求解。 解析： (1) 由三角恒等式：，，因此。 的麦克劳林展开式为，令，代入得： 即的麦克劳林展开式为。 (2) 由(1)的结论，，当时，展开式的后续余项均为正项。 因此，即，原不等式得证。 2.利用泰勒展开式证明：当时，。 答案：见解析 分析：核心知识点为指数函数泰勒展开式的余项应用，解题关键是写出的展开式，分析拉格朗日余项的正负性。 解析：的麦克劳林展开式为： 取，则，其中拉格朗日余项（介于与之间）。 当时，，，故。 因此，即，原不等式得证。 3.已知函数（且）。 (1) 求在处的麦克劳林展开式（至少三项）； (2) 证明：当时，。 答案：(1) ；(2) 见解析 分析：本题核心知识点为两个函数泰勒展开式的加减运算及不等式证明，解题关键是分别展开和，再相减得到的展开式。 解析： (1) 分别写出两个函数的麦克劳林展开式： （）， （）。 将两式相减得： (2) 当时，的麦克劳林展开式为。 取前两项分析：，因为，所以，则。 展开式后续的项均为正项，因此，原不等式得证。 $ 寻“导”之旅9.导数中的比较大小问题（原卷版） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点目录 题型1 构造函数比较大小 题型2 利用切线放缩比较大小 题型3 利用泰勒展开公式比较大小 解题策略 高考压轴题中经常考查与导数有关的不等式问题,而比较大小问题就是其中一类较为特殊的题型.这类问题可以用常规方法求解,但过程往往较为烦琐,如果灵活选用构造函数、放缩、泰勒展开以及帕德逼近等技巧,有时可以简化问题的求解过程,帮助学生更好地理解函数的相关性质和变化规律. 1、 构造函数比大小 通过对原式进行等价转换,使得要比较的两式或三式在形式上具有一致性,然后构造符合这种形式的函数,最后利用函数的单调性来解决；⑵要比较的两式在形式上不一致,若两式中具有相同的量,则不妨将这些量看成变量,构造相关函数,利用函数单调性比较大小. （一）构造函数比较大小 函数的定义域为.当时,单调性递增；当时,单调递减,则的极大值为,且,有时可用此结论来解题. （二）构造函数比较大小 函数的定义域为,.当时,单调递减;当时,单调递增,故当时,取得极小值,有时可利用该结论解题. 二、利用放缩比较大小 构造不同函数，比较不同函数值 这个时候，不等式放缩就是首选之道了！下面的这些不等式放缩需要你的注意. 1.切线不等式： 高中几个重要的函数都具有凸凹性，这样我们便可通过切线来构造不等式，具体的原理请见《高观点：函数凸凹性》，这里只列举一些重要的切线不等式： 1.1 ； 1.2 ； 将这两个切线不等式进行合适的取值与加减项，又可得到更多的不等式： ① ②； ③； 2. 高次不等式放缩 2.1 ； 2.2 ； 2.3 ； 2.4 . 3.分式不等式放缩 3.1 3.2 注：部分常见的不等式放缩证明如下： 1)常见的指数放缩:(当且仅当时,等号成立). 证明设,所以.当时,,单调递减；当时,单调递增,故当时,取得最小值0,所以,即. 对于,该不等式在上恒成立,则,故.当时,在不等式两边同时乘,则有,因此,有 2)常见的对数放缩:(当且仅当时,等号成立). 证明求导可证得.将替换为,则,即,可得. 3)常见三角函数的放缩:当时,. 如，利用,则， ，即. 三、利用泰勒展开公式比较大小 构造不同函数，比较相同函数值，这类问题虽然可能几个数的形式不一致，但它们的特别是不同的函数取了相同的函数值，所以实质在比较不同函数差值或者商的性质，当然，这种问题下，如果自变量取值靠近基本初等函数的麦克劳林级数展开点，利用泰勒展开来近似估计绝对是一个很好的方法! 泰勒展开公式: 常见的泰勒展开式如下: 纵观近几年的高考,通过构造函数、放缩和泰勒展开等方式解决比较大小问题,依然是考查的热点.解决比较大小问题的关键在于通过对比题干数据,构造恰当函数,利用导数和函数的相关性质求解.这类问题综合性很强,旨在考查学生的转化能力、推理能力和计算求解能力等,涉及转化与化归思想、函数与方程思想、特殊与一般思想,渗透直观想象和数学运算等素养. 考点精析 题型1 构造函数比较大小 一、单选题 1.已知，，，则下列大小关系正确的是（） 2.已知，则下列不等式成立的是（） A. B. C. D. 3.设，，，则的大小顺序为（） A. B. C. D. 二、多选题 1.已知函数，，则下列说法正确的有（） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 在上恒成立 D. 若，则 2.已知，且，则下列不等式中，能用构造函数法结合导数证明成立的有（） A. B. C. D. 三、填空题 1.已知，则与的大小关系为 （填“”“”或“”） 2.设，，则与的大小关系为 四、解答题 1.已知函数，。 (1) 求的最小值； (2) 证明：当时，。 2.已知，证明：。 3.已知函数，。 (1) 讨论的单调性； (2) 若，证明：对任意的，。 题型2 利用切线放缩比较大小 一、单选题 1.已知，则下列不等式恒成立的是（） A. B. C. D. 2.设，，，则的大小关系为（） A. B. C. D. 3.已知，利用切线放缩法可得不等式（） A. B. C. D. 二、多选题 1.已知函数，，利用切线放缩法可得正确结论有（） A. 对任意恒成立 B. 对任意恒成立 C. 当时， D. 当时， 2.利用切线放缩法，可推导的常见不等式（）有（） A. B. C. D. 三、填空题 1.已知，则的最小值为。 2.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是。 四、解答题 1.已知函数，。 (1) 若对任意恒成立，求的值； (2) 利用(1)的结论，证明：当时，。 2.证明：当时，，并利用该结论证明：（）。 3.已知函数，。 (1) 求的单调性； (2) 利用切线放缩法，证明：当时，。 题型3 利用泰勒展开公式比较大小 一、单选题 1.已知，利用的麦克劳林展开式，可得下列不等式成立的是（） A. B. C. D. 2.设，，，则的大小关系是（） A. B. C. D. 3.已知为足够小的正数，利用泰勒展开式判断，下列不等式中最精准的是（） A. B. C. D. 二、多选题 1.利用常见函数的麦克劳林展开式，下列结论正确的有（） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 2.已知函数（），，利用泰勒展开式，下列说法正确的有（） A. 在处的麦克劳林展开式为 B. 当为足够小的正数时， C. 当时， D. 当为足够小的正数时， 三、填空题 1.当为足够小的正数时，利用的泰勒展开式，可得，则此时与的大小关系是。 2.已知为足够小的正数，利用泰勒展开式估算，与的大小关系是。 四、解答题 1.已知的麦克劳林展开式为，的展开式为。 (1) 求的麦克劳林展开式（至少两项）； (2) 证明：当时，。 2.利用泰勒展开式证明：当时，。 3.已知函数（且）。 (1) 求在处的麦克劳林展开式（至少三项）； (2) 证明：当时，。 $