上海市杨浦高级中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试卷

2025学年度第一学期期末高一数学试卷 时间90分钟 满分100分 一、填空题（本大题共有10小题，满分40分，每题4分） 1. 已知全集 ，集合 ，则 __________. 2. 不等式 的解集为___________. 3. 若角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点，则角的正弦值为__________. 4. 已知扇形半径为4cm，弧所对的圆心角为2弧度，则该扇形的面积为_____________. 5. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则__________. 6. 已知等腰三角形的底角的正弦值等于，则其顶角的余弦值为___________. 7. 满足条件：（）的角的集合为__________. 8. 请根据三倍角的余弦公式：，推导三倍角的正弦公式____________.（只用表示） 9. 已知点A的坐标为(3,4)，将OA绕坐标原点O顺时针旋转至，则点的坐标为__________. 10. 已知关于的方程在上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为________. 二、选择题（本大题共有4题，满分12分，每题3分） 每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 11. “”是“是第一象限角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 12. 已知为非零实数，则在同一坐标系内，幂函数和一次函数的图像关系可能是（ ） 13. 生物体死亡后，它机体内原有的碳14的含量C会按确定的比率衰减（称为衰减率），C与死亡年数t之间的函数关系式为（为原始量，k为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为半衰期.若2025年某遗址文物出土时碳14的残余量约为原始量的85%，则可推断该文物属于（ ）（参考数据：） 参考时间轴： A. 战国 B. 汉朝 C. 唐朝 D. 宋朝 14. 已知、、是互不相同的锐角，则在、、三个值中，大于的个数的最大值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 三、解答题（本大题共有5题，满分48分） 解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 15.（本题满分6分） 证明在上是严格增函数. 16.（本题满分8分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分. 已知、都是锐角，且，. (1) 求的值； (2) 求的值. 17.（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 已知. (1) 若不等式的解集为，求实数的取值范围； (2) 设、是方程的两个实根，若，求实数的值. 18.（本题满分10分） 某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为6米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库.因仓库的背面靠墙，无须建造费用，设仓库前面墙体的长为米（）.现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：仓库前面新建墙体每平方米400元，左右两面新建墙体每平方米300元，屋顶和地面以及其他共计28800元. (1) 请写出甲队整体报价（单位：百元）关于前面墙体长（单位：米）的函数解析式； (2) 已知乙队给出的整体报价为元（），不考虑其他因素，若甲队要确保竞标成功，求实数的取值范围. 19.（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分. 对于函数（），若存在实数，使得成立，则称函数存在“漂移点”. (1) 判断函数是否存在“漂移点”，并说明理由； (2) 若函数在上存在“漂移点”，求实数a的取值范围； (3) 求证：函数（且）在上总存在唯一的“漂移点”. 学科网（北京）股份有限公司 $