精品解析：河北省衡水市第二中学2025-2026学年高二上学期期末质量检测（一）数学试题

高二年级期末质量检测数学（一） 考试说明： 1．本试卷共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知曲线在点处的切线方程是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的几何意义即可求解. 【详解】曲线在点处的切线方程的斜率为， 根据导数的几何意义得． 故选：A． 2. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将抛物线方程化成标准方程，即可求得其准线方程. 【详解】将抛物线方程化成标准方程为， 则焦点在y轴正半轴上，则，得, 所以抛物线的准线方程为． 故选：B． 3. 已知是的导函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的定义及简单极限运算法则求解即可. 【详解】由导数的定义得， 所以． 故选：D． 4. 已知双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，结合双曲线的离心率运算求解即可. 【详解】由题意可知：，可得， 所以双曲线的离心率． 故选：A． 5. 已知等比数列的公比为，则“数列是递增数列”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列定义、数列单调性意义，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若等比数列是递增数列，则或，则必有； 取，数列的公比，而数列是递减数列， 所以“数列是递增数列”是“”的充分不必要条件. 故选：A 6. 若函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接对求导，列出等式求出的值，再代入到中求即可． 【详解】因为，所以，所以， 所以，则，所以． 故选：B． 7. 在数列中，，，若不等式 对恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列的前n项和与通项之间的关系推出，结合题意可得，设，结合数列单调性可得的最大值，即可得结果. 【详解】因为，， 当时，则， 两式相减可得：，即， 且，即，可知数列是各项均为的常数列， 所以，即. 因为，即，可得， 设，则， 令，解得， 当时，数列递增；当时，；当时，数列递减， 所以的最大值为. 因为对恒成立， 可得，所以实数的取值范围是. 故选：C. 8. 记数列的前项和为，对任意，当且仅当，则（ ） A. 442 B. 455 C. 470 D. 485 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知区间上的项数为，分别令，第50项属于的段，进而可得，利用并项求和法运算求解. 【详解】由题意可知：区间上的项数为， 所以当确定时，有个连续的，可得， 当时，，则项数为1，对应； 当时，，则项数为3，对应； 当时，，则项数为5，对应； 当时，，则项数为7，对应； 当时，，则项数为9，对应； 当时，，则项数为11，对应； 当时，，则项数为13，对应； 前7段的项数之和为， 所以第50项属于的段，此时， 所以． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 函数的导函数是 B. 双曲线的渐近线方程是 C. 若数列满足，则 D. 函数在区间上是减函数 【答案】CD 【解析】 【分析】对于AD：求导判断A，判断导函数符号判断原函数单调性，即可判断D；对于B：根据双曲线方程求渐近线方程即可；对于C：分析可知数列为常数列，即可得结果. 【详解】对于选项AD：因为的定义域为， 所以，故A错误； 又因为在内单调递增，则， 且，，可得在内恒成立， 所以函数在区间上是减函数，故D正确； 对于选项B：由题意可知：，且焦点在y轴上， 所以双曲线的渐近线方程为，故B错误； 对于选项C：由题意知，即， 可知数列为常数列，则， 所以，故C正确； 故选：CD． 10. 已知等差数列的前项和为，且，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，由结合通项公式可得，再借助等差数列的性质及前项和逐项分析判断即可. 【详解】设等差数列的公差为，，由，得， 即，因此，， 对于A，由，得，若，数列单调递增， 则，矛盾，因此，A正确； 对于B，由，得，则，， 而，则，，B正确； 对于C，由，得，而，则与异号， ，而的正负不确定，因此的符号不确定，C错误； 对于D，由，得，D错误. 故选：AB 11. 已知数列中，，则（ ） A. B. 是递增数列 C. D. 数列的前项和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于B：整理可得，结合数列单调性的定义分析判断；对于A：根据题意结合B可知，进而分析判断；对于C：根据递推公式求前4项即可判断；对于D：整理可得，利用裂项相消法运算求解. 【详解】对于选项B：因为，即， 则，即， 且，则，可得，即， 所以是递增数列，故B正确； 对于选项A：因为，则，所以，故A正确； 对于选项C：因为，故C错误； 对于选项D：因为，则， 即， 所以数列的前项和，故D正确； 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若曲线在点处的切线与直线垂直，则___________． 【答案】1 【解析】 【分析】通过求导，确定切线斜率，再结合垂直关系即可求解. 【详解】因为，所以， 所以曲线在点的切线斜率为， 因为曲线在点的切线与直线垂直， 所以，解得． 故答案为：1 13. 已知函数，正项等比数列满足，则___________． 【答案】6078 【解析】 【分析】可证，结合等比数列性质可得，利用并项求和法运算求解. 【详解】因为，则， 即当时，， 又因为是正项等比数列，则， 可得， 因为， 可得 ， 所以． 故答案为：6078. 14. 已知函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，利用导数及题目信息证明函数在上单调递增，所求不等式可化为，利用单调性解不等式即可求出答案. 【详解】因为且，所以， 设，则， 所以在上单调递增， 对于不等式， 整理得，即， 根据函数的单调性及其定义域得， 解得， 所以不等式的解集为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求下列函数的导数： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）由导数的四则运算即可求解； （2）由导数的四则运算即可求解； （3）由正弦二倍角公式化简，再由导数的四则运算即可求解； （4）由导数的四则运算和简单复合函数的求导法则即可求解 【小问1详解】 因为，所以； 【小问2详解】 因为，所以； 【小问3详解】 因为，所以， 所以； 【小问4详解】 因为，所以. 16. 已知函数，且． （1）求的值； （2）讨论的单调性． 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【解析】 【分析】（1）求导，结合代入求解即可； （2）整理可得，分类讨论二次项系数和两根大小，利用导数分析原函数单调性. 【小问1详解】 因为，则， 可得，解得. 【小问2详解】 由（1）可知， （i）当时，则， 令，解得；令，解得； 所以在上单调递增，在上单调递减； （ⅱ）当时，令，解得或， ①当，即时， 令，解得；令，解得或； 所以在上单调递增，在和上单调递减； ②当，即时，则，可知在上单调递减； ③当，即时，令，解得；令，解得或； 所以在上单调递增，在和上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 17. 已知点在抛物线上，是的焦点，． （1）求的标准方程； （2）若是的准线，过点作直线的垂线，垂足为，线段交于点，且为锐角三角形，，求的值及的外接圆半径． 【答案】（1）或. （2）外接圆的半径为 【解析】 【分析】（1）由抛物线焦半径公式得到的坐标为，代入抛物线方程即可求解； （2）设准线与轴的交点为，过点作准线的垂线，交于点，由余弦定理求得，再通过，求得，再由正弦定理求外接圆半径. 【小问1详解】 由题意得，解得， 所以点的坐标为， 代入的方程得16，解得或8， 所以抛物线的标准方程为或. 【小问2详解】 当抛物线的方程为时，准线的方程为， 设准线与轴的交点为，过点作准线的垂线，交于点， 则 此时， 所以是锐角且， 又因为，所以为锐角三角形， 因为点在抛物线上，所以， 所以， 外接圆的半径； 当抛物线的方程为时，同理可得， 此时， 与为锐角三角形矛盾， 综上，外接圆的半径为 18. 已知数列满足． （1）证明：数列是等比数列，并求； （2）设，求数列的前项和； （3）设，证明：． 【答案】（1） 因为，所以， 将上式变形为， 又因为，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以. （2） （3） 由题知，当时，； 当时，； 当时，， 所以 综上，得证. 【解析】 【分析】（1）可化为，利用等比数列的定义即可证明，利用等比数列的通项公式即可求出； （2）利用错位相减法即可求出答案； （3）由题意知，先证明和时，不等式成立，当时，，利用等比数列前项和公式求和即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，所以， 所以①， ②， ①-②得 ， 所以. 【小问3详解】 略 19. 已知椭圆，过点作两条动直线、，分别交于两点、（、与不重合），且满足，其中、分别为直线、的斜率． （1）若直线的斜率为，求线段的长度； （2）求直线的斜率； （3）设直线与分别交轴于点、，求证：的中点为定点． 【答案】（1） （2） （3） 设直线的斜率为，则直线的斜率为，所以直线的方程为， 令，解得点的横坐标，所以， 同理可得，点的坐标为， 设的中点为，则，， 所以线段的中点为定点. 【解析】 【分析】（1）将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式可求得的值； （2）设直线的方程为，将椭圆方程变形整理得出，令，可得出，结合韦达定理以及可得出、的关系，即可得出直线的斜率； （3）设直线的斜率为，则直线的斜率为，求出直线的方程，可得出点的坐标，进而可得出点的坐标，结合中点坐标公式可证得结论成立. 【小问1详解】 由题意得直线的方程为，即， 由消得，， 设、，则，， 所以. 【小问2详解】 设直线的方程为， 椭圆方程整理可得， 所以， 整理得， 从而， 令，则上述方程可化为， 所以、为关于的方程的两根， 则，解得， 所以直线的方程为，可得. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级期末质量检测数学（一） 考试说明： 1．本试卷共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知曲线在点处的切线方程是，则（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是的导函数，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知等比数列的公比为，则“数列是递增数列”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若函数，则（ ） A. B. C. D. 7. 在数列中，，，若不等式 对恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 记数列的前项和为，对任意，当且仅当，则（ ） A. 442 B. 455 C. 470 D. 485 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 函数的导函数是 B. 双曲线的渐近线方程是 C. 若数列满足，则 D. 函数在区间上是减函数 10. 已知等差数列的前项和为，且，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知数列中，，则（ ） A. B. 是递增数列 C. D. 数列的前项和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若曲线在点处的切线与直线垂直，则___________． 13. 已知函数，正项等比数列满足，则___________． 14. 已知函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求下列函数的导数： （1） （2） （3） （4） 16. 已知函数，且． （1）求的值； （2）讨论的单调性． 17. 已知点在抛物线上，是的焦点，． （1）求的标准方程； （2）若是的准线，过点作直线的垂线，垂足为，线段交于点，且为锐角三角形，，求的值及的外接圆半径． 18. 已知数列满足． （1）证明：数列是等比数列，并求； （2）设，求数列的前项和； （3）设，证明：． 19. 已知椭圆，过点作两条动直线、，分别交于两点、（、与不重合），且满足，其中、分别为直线、的斜率． （1）若直线的斜率为，求线段的长度； （2）求直线的斜率； （3）设直线与分别交轴于点、，求证：的中点为定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $