19.1二次根式的概念 导学案2025-2026学年人教版数学八年级下册

该初中数学导学案包含二次根式的概念及性质与化简两课时，核心知识点为二次根式的定义、双重非负性及性质应用。课堂导入通过回顾平方根、算术平方根等旧知，结合面积计算、围栏宽度等实际问题引出概念，搭建从旧知到新知的学习支架。 资料以问题驱动探究，通过概念辨析、分层练习（课堂检验、课后巩固、拓广探究）强化理解，培养学生抽象能力（符号意识）、推理意识和应用意识，习题设计联系生活实际，助力学生用数学眼光观察、用数学思维思考现实世界。

第一课时：二次根式的概念 一、教学目标 (一)知识与技能： 1.理解二次根式的概念，并利用(a≥0)的意义解答具体题目； 2.同时理解(a≥0)具有双重非负性. (二)过程与方法：提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题. (三)情感态度与价值观：通过本节的学习，培养学生准确计算的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力. 二、教学重点、难点 重点：形如(a≥0)的式子叫做二次根式的概念. 难点：利用“(a≥0)”双重非负性解决具体问题. 三、教学过程 知识回顾1 (1) 什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根. a的平方根是±(a≥0). (2) 什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 正数正的平方根叫做它的算术平方根. 0的算术平方根是0. 用(a≥0)表示. 知识回顾2 (1) 16的平方根是什么？算术平方根是什么？ (2) 0的平方根是什么？算术平方根是什么？ (3) -7有没有平方根？有没有算术平方根？ 平方根的特征：正数有两个平方根且互为相反数；0有一个平方根就是0；负数没有平方根. 思考 用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点： (1一个大正方形的面积是一个边长为a的正方形的与另一个边长为 1 的正方形的面积之和，则大正方形的边长为____. (2)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为_____m. (3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位:s)与开始落下时离地面的高度h(单位:m)满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t，则t=_____. 一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号. 请你凭着自己已有的知识，说说对二次根式的认识！ 1.表示a的算术平方根；2.a可以是数，也可以是式；3.形式上含有二次根号；4.a≥0，≥0 (双重非负性)；5.既可表示开方运算，也可表示运算的结果. 判断下列各式是否为二次根式. (1) (2) (3)6 (4) (5) (6)(x，y异号) (7) (8) (9)(m≤0) 例1 当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？ 解：由x-2≥0，得x≥2 当x≥2时，在实数范围内有意义. 思考 当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢 答：x为任意实数时，都有意义；当x≥0时，有意义. 练习 1.要画一个面积为18cm2的长方形，使它的长与宽之比为3:2，它的长、宽各应取多少？ 解：设长方形的长、宽分别为3x cm、2x cm，依题意得 3x·2x =18 6x2=18 x2=3 解得 x= 答：矩形的长、宽分别为3cm、2cm. 2.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1) (2) (3) (4) 解：(1)由a-1≥0，得a≥1. 当a≥1时，在实数范围内有意义. (2)由2a+3≥0，得a≥-. 当≥-时，在实数范围内有意义. (3)由-a≥0，得a≤0. 当a≤0时，在实数范围内有意义. (4)由5-a≥0，得a≤5. 当a≤5时，在实数范围内有意义. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 五、课堂学习检验 一、填空题 1．表示二次根式的条件是______． 2．当x______时，有意义，当x______时，有意义． 3．若无意义，则x的取值范围是______． 二、选择题 4．下列各式中一定是二次根式的是( )． A． B． C． D． 5．当x=2时，下列各式中，没有意义的是( )． A． B． C． D． 三、解答题 6．当x为何值时，下列式子有意义? (1) (2) (3) (4) 六、课后巩固 一、填空题 7．表示二次根式的条件是______． 8．使有意义的x的取值范围是______． 9．已知，则xy的平方根为______． 10．当x=－2时，＝________． 二、选择题 11．下列各式中，x的取值范围是x＞2的是( )． A． B． C． D． 12．若，则x－y的值是( )． A．－7 B．－5 C．3 D．7 三、解答题 13．当a=2，b=－1，c=－1时，求代数式的值． 拓广探究 14．已知△ABC的三边长a，b，c均为整数，且a和b满足试求△ABC的c边的长． 第二课时：二次根式的性质与化简 一、教学目标 (一)知识与技能：理解二次根式的基本性质，能运用二次根式的性质计算和化简，正确区分(a≥0)和(a≥0)，了解代数式的概念与特征. (二)过程与方法：通过对二次根式的性质的探究，提高学生的思维能力、探究能力、分析问题和解决问题的能力. (三)情感态度与价值观：通过小组合作学习，经历观察、比较、总结归纳和应用等数学活动，感受数学学习的探索性和创造性，利用小组交流体验发现问题的乐趣，激发学生的学习兴趣，并提高对二次根式性质的应用意识. 二、教学重点、难点 重点：掌握二次根式的性质，会运用其进行有关计算. 难点：二次根式基本性质的应用 三、教学过程 知识回顾 当a＞0时，表示a的算术平方根，因此＞0；当a＝0时，表示0的算术平方根，因此＝0.这就是说，当 a≥0 时，≥0. (1)当_____时，是二次根式； (2)当x______时，在实数范围内有意义； (3)已知，则2x+y=_____. 探究 根据算术平方根的意义填空： ____；____；____；____. 一般地，(a≥0) 例2 计算： (1) (2) 解：(1) (2) 例2(2)用到了(ab)2＝a2b2这个结论.(整式的运算性质在实数范围内都适用) 探究 填空：____；____；____；____. 一般地，根据算术平方根的意义，(a≥0) 注：(a＜0) 例3 化简： (1) (2) 解：(1) ==4 (2) ==5 回顾我们学过的式子，如5，a，a+b，-ab， ，-x3，，(a≥0)，它们都是用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 判一判 下列哪些是代数式？ (1) 0 (2) n (3) +5y2 (4) S=πr2 (5) a+b≥2 单独的一个数或一个字母也是代数式；含有等号、不等号的式子不是代数式. 代数式书写格式注意事项： 1.表示数的字母相乘时，可用“· ”代替乘号或省略不写.如：a×b 通常写作a·b或ab. 2.数和字母相乘时，数字应写在字母前面.如： a×2通常写作2a. 3.带分数与字母相乘时，应把带分数化成假分数.如：×a通常写作a. 4.含有字母的除式中用分数线代替除号.如：3÷y 通常写作: . 5.最后一步是加、减运算时，如果有单位，要用括号把代数式括起来.如：温度由2℃上升t℃后是(2+t)℃. 练习 1.计算： (1) ； (2) 解：(1)原式=3； (2)原式=32×=9×2=18 2.说出下列各式的值： (1)； (2) ； (3)； (4) . 解：(1)原式=0.3；(2)原式==；(3)原式==-π；(4)原式==10-1=. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 5、 课堂检测 一、填空题 1．直接写出下列各式的结果： (1)＝_______； (2)_______； (3)_______； (4)_______； (5)_______；(6) _______． 二、选择题 2．下列计算正确的有( )． ① ② ③ ④ A．①、② B．③、④ C．①、③ D．②、④ 3．计算下列各式： (1) (2) (3) (4) 4．计算下列各式： (1) (2) (3) (4) 拓展提高 5．已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示： 化简：的结果是：______________________． 学科网（北京）股份有限公司 $