专题09 机械能守恒模型 讲义 -2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

本讲义聚焦机械能守恒定律这一核心知识点，系统梳理从守恒条件判断到单体、弹簧、轻杆、轻绳连接等模型的应用，构建“概念梳理-模型分析-例题精讲”的学习支架，覆盖机械能守恒的关键应用场景。 该资料以模型为单元，结合蹦极、滑雪等生活实例设计例题，通过模型建构深化能量观念，培养科学推理能力。课中辅助教师分层教学，课后精练帮助学生巩固不同模型应用，有效提升问题解决能力。

专题09 机械能守恒模型 模型一 判断机械能是否守恒 1．重力做功的特点 (1)重力做功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。 (2)重力做功不引起物体机械能的变化。 2．重力势能 (1)表达式Ep＝mgh。 (2)重力势能的特点 ①系统性：重力势能是物体和地球所共有的。 ②相对性：重力势能的大小与参考平面的选取有关，但重力势能的变化量与参考平面的选取无关。 (3)ΔEp与WG的关系 ①定性关系：重力对物体做正功，重力势能减小；重力对物体做负功，重力势能增大。 ②定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减小量，即WG＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp。 3．弹性势能 (1)定义：发生弹性形变的物体的各部分之间由于有弹力的相互作用而具有的势能。 (2)ΔEp与W弹的关系：弹力做正功，弹性势能减少；弹力做负功，弹性势能增加。定量表达式为W弹＝－ΔEp。 4．机械能守恒定律 (1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，总的机械能保持不变。 (2)表达式：＝。 (3)守恒条件 ①系统只受重力或弹簧弹力的作用，不受其他外力。 ②系统除受重力或弹簧弹力作用外，还受其他内力和外力，但这些力对系统不做功。 ③系统内除重力或弹簧弹力做功外，还有其他内力和外力做功，但这些力做功的代数和为零。 【例题精讲】 1．2025年7月12日，浙江省第五届体育大会在台州市体育中心网球馆开幕。如图甲所示是嗒嗒球比赛的场景，图乙为嗒嗒球在空中飞行的轨迹图，图中C、D为同一轨迹上等高的两点，A为该轨迹的最高点，则下列关于嗒嗒球的说法正确的是（　　） A．嗒嗒球从C点经最高点A到达D点的过程中机械能守恒 B．嗒嗒球在最高点A的加速度方向竖直向下 C．在嗒嗒球飞行的整个过程中，最高点A的动能最小 D．上升阶段CA段的飞行时间小于下降阶段AD段的运动时间 2．日前，长春市中小学生度过了愉快的冰雪假期。如图，某同学穿戴滑雪装备在雪场沿山坡加速下滑，下列说法正确的是（　　） A．研究滑行姿态时可将该同学视为质点 B．速度增大会导致该同学惯性增大 C．雪地对滑板的摩擦力沿坡面向下 D．该同学（含滑雪装备）机械能不守恒 3．如图所示，物体沿30°的固定斜面以（g为本地的重力加速度大小）的加速度匀减速上升，则在此过程中，物体的机械能（　　） A．不变 B．减小 C．增加 D．不能判断 4．蹦极运动是一项非常刺激的户外休闲活动。利用一根长橡皮绳一端固定，另一端系在跳跃者身上。某次跳跃者从最高点下落到最低点过程中，人的动能Ek随重心高度h（最低点为h＝0）变化的图像如图所示，图中h2～h3段为直线，其余部分为曲线，已知橡皮绳始终处于弹性限度内，空气阻力忽略不计，则下列说法正确的是（　　） A．在高度h1时，人的重心最高 B．从最高点下落到高度h1的过程中，人的机械能守恒 C．高度h＝0时，人处于失重状态 D．从最高点下落到高度h2的过程中，人的机械能不变 5．2025年12月11日，我国自主创新的“九天”无人机已经圆满完成首飞任务，不论从载荷上还是航程上都遥遥领先于世界其他国家。假设“九天”无人机在某次试飞中加速上升时，下列说法正确的有（　　） A．所受的合外力为零 B．机械能守恒 C．重力做正功 D．处于超重状态 （多选）6．关于甩手动作的物理原理研究，如图所示，这幅图片是由每秒25帧的摄像机拍摄视频后制作的，图中A、B、C是甩手动作最后3帧照片指尖的位置，M、N分别是最后1帧照片中肘关节、腕关节的位置。指尖从A到C的运动过程，可以看作：指尖先以肘关节为圆心做圆周运动，再以腕关节为圆心做圆周运动。测得A，B之间的真实距离为32cm，AM的真实长度为40cm，CN的真实长度为16cm，重力加速度为g。结合以上信息，下列判断中正确的是（　　） A．指尖在A、B之间运动的速度比在B、C之间的小 B．指尖在A、B之间运动的速度大小约为10m/s C．指尖的最大向心加速度大小约为16g D．若手指尖C上有一水滴，水滴未被甩出，则图中显示的甩手全过程中，水滴的机械能增加 （多选）7．如图所示，箱子悬挂在水平地面正上方h处，小球通过轻弹簧连接在箱子顶部中点。现将箱子和小球由静止释放，箱子落地瞬间速度减为零，此后整个过程小球未碰到箱底，箱子对地面压力的最小值恰好为零。已知弹簧劲度系数为k，弹簧始终在弹性限度内，弹簧弹性势能Epkx2，x为弹簧的形变量，箱子质量为M，小球质量为m，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．释放瞬间，箱子加速度大小为g B．箱子落地后对地面压力的最大值为2（M+m）g C．箱子落地后，小球运动的最大速度为 D．整个装置损失的机械能为（M+m）gh 模型二 单体机械能守恒 1．单物体机械能守恒的常用表达式 2．求解单个物体机械能守恒问题的基本思路 (1)选对象：选取研究对象——物体。 (2)析受力、判守恒：根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒。 (3)析运动、明状态：在当地选取参考平面，确定研究对象在初、末状态时的机械能。 (4)列方程、解方程：选取方便的机械能守恒定律的方程形式(Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2，ΔEk＝－ΔEp)进行求解。 3．注意：单物体机械能守恒的问题，往往也能用动能定理解决。 【例题精讲】 1．如图所示，水平面上固定放置一半径为R且表面光滑的半球体，一质量为m的小球从半球体的最高点由静止开始下滑，重力加速度为g，不计空气阻力，小球可视为质点，关于该过程下列说法正确的是（　　） A．小球将沿着半球表面下滑到底端 B．小球脱离半球体时，小球与半球体球心连线和竖直方向间夹角为45° C．小球脱离半球体时的速度大小为 D．小球脱离半球体时的速度大小为 2．如图所示，桌面高为h，质量为m的小球从桌面上方某一高度处自由落下，经过桌面时速度为v。不计空气阻力，重力加速度为g，设地面处重力势能为零，则小球到达地面时的机械能为（　　） A．0 B．mgh C． D． 3．如图所示，轻质动滑轮下悬挂质量为6m的重物A，绕过轻质定滑轮细绳的另一端悬挂质量为m的重物B，悬挂滑轮的轻质细线竖直。在外力约束下A、B静止且距地面高度均为h，解除约束后A、B开始运动。不计摩擦力和空气阻力，若B始终不与定滑轮相碰，重力加速度为g。则下列说法正确的是（　　） A．重物A在下落过程中机械能增加 B．重物A、B运动过程中，速率时刻相同 C．重物A刚要落地时，A的速度大小为 D．重物A刚要落地时，A的速度大小为 5．如图所示，A、B两点位于同一高度，细线的一端系有质量为M的物块，另一端绕过B处的定滑轮固定在A点，质量为m的小球固定在细线上C点。现将小球从图示水平位置由静止释放，小球运动到D点时速度恰好为零（此时物块未到达B点），图中△ABD为直角三角形，物块和小球均可视为质点，∠DBA＝37°，忽略一切摩擦和空气阻力，重力加速度为g，sin37°＝0.6，则（　　） A．M：m＝5：6 B．小球运动到D点时，AD段绳的拉力大小为 C．运动过程中存在3个位置使小球和物块速度大小相等 D．小球重力的功率一直增大 （多选）6．杂技表演中，一位杂技演员从高台跃下如图，在A点接住摆动的秋千后荡至B点，松手落至弹性网上，下落至最低点C后，在弹性网上多次往复弹跳，忽略空气阻力，该过程中下列说法正确的是（　　） A．杂技演员从高台跃下到A点过程中，加速度不变 B．杂技演员从A点荡至B点的过程中，先超重后失重 C．杂技演员从B点落至C点的过程中，先失重后超重 D．在弹性网上多次往复弹跳过程中，杂技演员机械能守恒 （多选）7．如图，固定在竖直面内的光滑轨道ABC由直线段AB和圆弧段BC组成，两段相切于B点，AB段与水平面夹角为θ，BC段圆心为O，最高点为C，A与C的高度差等于圆弧轨道的直径2R。小球从A点以初速度v0冲上轨道，能沿轨道运动恰好到达C点，下列说法正确的是（　　） A．小球从A到C的过程中，机械能不守恒 B．小球从A到B的过程中，对轨道的压力不变 C．小球的初速度 D．若小球初速度v0增大，小球有可能从B点脱离轨道 模型三 弹簧连接的机械能守恒 1. 常见图例: 2. 四点提醒 (1)含弹簧的系统内只有弹簧弹力和重力做功时, 物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能之间相互转化, 物体和弹簧组成的系统机械能守恒, 而单个物体或弹簧机械能都不守恒。 (2)对同一弹簧, 弹性势能的大小由弹簧的形变量决定, 弹簧的伸长量和压缩量相等时, 弹簧的弹性势能相等。 (3)弹簧弹力做功与路径无关,取决于初、末状态弹簧形变量的大小。 (4)由两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统, 当弹簧形变量最大时, 弹簧两端连接的物体速度相等; 弹簧处于自然长度时, 弹簧弹性势能最小(为零)。 【例题精讲】 1．如图所示，倾角为30°且足够长的固定光滑斜面底端有一固定挡板，轻弹簧一端与挡板连接，另一端与物块A连接，A上方放置另一物块B，B与物块C用跨过光滑轻质定滑轮的细线连接，B与定滑轮间的细线与斜面平行。开始时用手托住C，使细线处于伸直但不拉紧的状态，此时A、B静止在斜面上。某时刻突然释放C，一段时间后A、B分离，此时C未触地。已知A、B分离时，B的速度大小为v，A、B、C的质量均为m，弹簧劲度系数为k，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．刚释放C时，A的加速度为零 B．物块A、B分离时，B的加速度大小为 C．物块A、B分离时，弹簧处于原长状态 D．物块A速度最大时，A沿斜面上升的距离为 2．如图所示，一竖直放置的半径R＝1m的固定光滑圆环上穿有一个质量m＝1kg的小环，小环通过一根原长也为R、劲度系数k＝100N/m的轻质弹簧与圆环的最高点A相连，弹簧弹性势能Epkx2（x为形变量），取重力加速度大小g＝10m/s2，小环从与A点相距为R的B点由静止开始下滑，之后的运动过程中小环获得的最大动能为（　　） A． B． C． D． 3．如图所示，倾角为θ的固定斜面，其顶端固定一劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧处于原长时下端位于O点。质量为m的滑块Q（视为质点）与斜面间的动摩擦因数μ＝tanθ。过程I：Q以速度v0从斜面底端P点沿斜面向上运动恰好能滑至O点；过程Ⅱ：将Q连接在弹簧的下端并拉至P点由静止释放，Q通过M点（图中未画出）时速度最大，过O点后能继续上滑。弹簧始终在弹性限度内，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，忽略空气阻力，重力加速度为g。则（　　） A．P、M两点之间的距离为 B．过程Ⅱ中，Q在从P点单向运动到O点的过程中损失的机械能为 C．过程Ⅱ中，Q从P点沿斜面向上运动的最大位移为 D．连接在弹簧下端的Q无论从斜面上何处释放，最终一定静止在M点以下 4．如图所示，倾角为30°且足够长的固定光滑斜面底端有一固定挡板，轻弹簧一端与挡板连接，另一端与物块A接触但不连接，A上方放置另一物块B，B与物块C用跨过光滑轻质定滑轮的细线连接，B与定滑轮间的细线与斜面平行。开始时用手托住C，使细线处于伸直但不拉紧的状态，此时A、B静止在斜面上。某时刻突然释放C，一段时间后A、B分离，此时C未触地。已知A、B分离时，B的速度大小为v，A、B、C的质量均为m，弹簧劲度系数为k，弹簧的形变始终在弹性限度内，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．刚释放C时，A、B间的弹力大小为 B．分离时刻弹簧处于伸长状态 C．A的速度最大时沿斜面上升的距离为 D．A、B分离时，B的加速度大小为 5．如图所示，弹簧的左端固定，将小球套在水平杆上，装置的各种摩擦均不计。a点是压缩弹簧后小球静止释放的位置，b点是弹簧原长时小球的位置，c点是小球到达最右端的位置。小球由a点运动到c点的过程中（水平面光滑），下列说法中错误的是（　　） A．在a点时，弹簧的弹性势能最大 B．在b点时，小球的运动速度最大 C．从a点到b点，小球的机械能逐渐增大 D．从b点到c点，小球处于加速滑动过程 （多选）6．如图所示，P、Q两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，P放在固定的光滑斜面上，斜面倾角为53°，Q、M两小球通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，放在倾角为37°带有挡板的另一固定光滑斜面上。现用手控制住P，使细线刚好拉直但无拉力，保证滑轮两侧细线均与斜面平行，且M球与挡板接触。开始时整个系统处于静止状态，现释放P球，在运动过程中M球恰好不离开挡板。已知P的质量为3m，Q的质量为2m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。则（　　） A．初始时，弹簧形变量大小为 B．M球的质量为6m C．P沿斜面下滑的最大位移大小为 D．Q沿斜面上滑时的最大动能为 （多选）7．如图所示，倾角为θ＝37°的固定斜面体顶端固定一光滑定滑轮，质量为m＝1kg的物块A与物块B（质量未知）通过轻绳连接后跨过定滑轮，轻绳与斜面体平行，物块A放在斜面体上的a点，物块A刚好不下滑。已知ab段粗糙，b点下侧光滑，轻弹簧固定在斜面体的底端，原长时上端位于b点，某时刻剪断轻绳，物块A运动到b点的速度大小为vb＝2m/s，最终物块A把轻弹簧压缩到最低点c，随后物块A能沿斜面上滑到最高点d（d点未画出），物块A在c点的加速度大小为ac＝1.8g，ab＝1m，弹性势能表达式为EkΔx2，Δx为形变量，轻弹簧始终处在弹性限度内，重力加速度为g＝10m/s2，sin37°＝0.6。下列说法正确的是（　　） A．物块A与ab段的动摩擦因数为0.5 B．轻弹簧的劲度系数为144N/m C．物块A下滑的最大速度为m/s D．物块B的质量为0.2kg 模型四 轻杆连接的机械能守恒 一．角速度相等 1. 常见图例 2. 模型特点 ( 1 )转动时两物体的角速度相等；所以各物体满足: 。 (2)杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向,杆能对物体做功,单个物体机械能不守恒。 (3)对于杆和物体组成的系统,若忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功,则系统的机械能守恒。: (4)杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向,杆能对物体做功,单个物体机械能不守恒。 (5)由 知, 与 成正比。 二．角速度不等 1. 常见图例 2. 某一方向分速度相等情景(关联速度情景) (1)两物体速度的关联实质:沿杆方向的分速度大小相等。 (2)杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向,杆能对物体做功,单个物体机械能不守恒。 (3)对于杆和物体组成的系统,若忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功,则系统的机械能守恒。 【例题精讲】 1．如图所示，长为L的轻质硬杆中点和末端各固定一小球1、2，两小球的质量相等，硬杆可以绕顶端O点在竖直面内转动。若小球2从最低点获得初速度v0，恰好能通过最高点，重力加速度为g，忽略所有阻力，则v0为（　　） A． B． C． D． 2．如图所示，滑块A、B的质量均为m、A套在倾斜固定的直杆上，倾斜杆与水平面成45°角，B套在水平固定的直杆上，两杆分离不接触，两直杆间的距离忽略不计，两直杆足够长，A、B通过铰链用长度为L的刚性轻杆（初始时轻杆与水平面成30°角）连接，A、B从静止释放，B开始沿水平杆向右运动，不计一切摩擦，滑块A、B视为质点，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．当A到达B所在的水平面时，B速度为零 B．B到达最右端时，A的速度大于 C．当A到达B所在的水平面时，A的速度为 D．B的最大速度为 3．如图所示，质量均为m的物块A和B用不可伸长的轻绳连接，A放在倾角为θ的固定光滑斜面上，而B能沿光滑竖直杆上下滑动，杆和轻质滑轮中心间的距离为L，物块B从与滑轮等高处由静止开始下落，斜面与杆足够长，不计滑轮的摩擦，重力加速度为g。在物块B下落到绳与水平方向的夹角为θ的过程中，下列说法正确的是（　　） A．物块B的重力势能的减少量等于物块A的重力势能的增加量 B．物块B的末速度为 C．物块A的速度大小等于物块B的速度大小 D．物块A的速度大小vA与物块B的速度大小vB的关系为：vB＝vAsinθ 4．如图所示，一根质量可以忽略不计的刚性轻杆，O端为固定转轴，杆可在竖直平面内无摩擦地转动，杆的中心点及另一端各固定一个小球A和B。已知两球质量相同，现用外力使杆静止在水平方向，然后撤去外力，杆将摆下，从开始运动到杆处于竖直方向的过程中（　　） A．两球重力做功相等 B．杆的弹力对A球做正功，对B球做负功 C．杆的弹力对A球做负功，对B球做正功 D．杆的弹力对A球和B球均不做功 5．如图所示，质量为m的小环A套在光滑竖直细杆上，小环A经由跨过光滑固定轻质定滑轮的不可伸长的轻绳与质量为3m的重物B相连。开始时在M位置用手按住A，轻绳处于绷紧状态，现释放A，小环A从图中M位置上升至与定滑轮的连线处于水平的N位置，已知∠NMO＝45°，NO＝d，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．小环A的机械能守恒 B．重物B的机械能守恒 C．N位置，小环A的动能为 D．当∠NAO＝60°时，小环A与重物B的速度关系为vAvB （多选）6．如图所示，质量为m的小环A套在光滑竖直细杆上，小环A经由跨过光滑固定轻质定滑轮的不可伸长的轻绳与质量为3m的重物B相连。小环A从图中M位置上升至与定滑轮的连线处于水平的N位置，已知∠NMO＝45°，NO＝d，下列说法正确的是（　　） A．小环A由M到N位置，重物B做加速运动 B．小环A由M到N位置，重物B先失重后超重 C．N位置，小环A的动能为 D．∠NAO＝60°时，小环A与重物B速度关系 （多选）7．如图所示，长度为L的轻杆一端连接质量为3m的小球A，另一端固定在水平转轴P上，轻杆可以在竖直面内自由转动。质量为m的物块B由绕过小定滑轮Q的细绳与小球相连，定滑轮Q与转轴P间的水平距离，初始时轻杆水平，滑轮与小球间的细绳跟轻杆共线。已知细绳足够长，忽略一切摩擦，取重力加速度为g。由静止释放小球，在轻杆转过30°角的过程中，下列说法正确的是（　　） A．物块B的重力势能增加 B．轻杆转过30°角时，小球A与物块B的瞬时速度大小之比为 C．轻绳对小球A做的功为 D．物块B的机械能增加了 模型五 轻绳连接的机械能守恒 一．速度大小相等 解题要点: 1. 常见图例 2. 三点提醒 (1)明确两物体沿绳方向的分速度大小相等。 (2)用好两物体的位移大小关系或竖直方向的高度变化的关系。 (3)对于单个物体,一般绳上的力会做功,机械能不守恒,但对于绳连接的系统,机械能则可能守恒。 二．速度大小不等 解题要点: 因两物体速度大小不相等,需分析物体速度关系,根据第一讲考点四相关知识,对速度进行分解, 再利用机械能守恒定律进行求解。 【例题精讲】 1．如图，质量分别为mA＝1kg、mB＝2kg的A、B小球由轻绳贯穿并挂于定滑轮两侧，初始A、B两球等高距离地面H＝25m，两侧轻绳的下端都恰好触地。两球同时由静止开始向下运动，已知两球与轻绳间的最大静摩擦力均等于其重力的0.5倍，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g＝10m/s2，不计细绳与滑轮间的摩擦，则下列说法正确的是（　　） A．A和B与细绳间都为滑动摩擦力 B．A比B先落地 C．A球与绳脱离时为2s末 D．B落地时的动能为375J 2．如图所示，轻质定滑轮固定在天花板上，轻质动滑轮下方悬挂重物A。轻绳一端固定在天花板上，另一端绕过两滑轮与重物B相连，悬挂滑轮的轻绳均竖直。已知A、B的质量均为m、摩擦阻力和空气阻力均忽略不计，重力加速度大小为g。由静止释放A、B，当B的位移为h时，则B机械能的减少量为（　　） A．mgh B．mgh C．mgh D．mgh 3．如图所示，光滑斜面固定在水平地面上，质量相等的物块A、B通过一根不可伸长的轻绳跨过光滑定滑轮连接，一轻质弹簧下端固定在斜面底端，另一端连接在A上。开始时B被托住，轻绳伸直但没有弹力，现使B由静止释放，在B运动至最低点的过程中（设B未落地，A未与滑轮相碰，弹簧始终在弹性限度内）（　　） A．A和B总的重力势能先减小后增大 B．轻绳拉力对A做的功等于A机械能的增加 C．当A受到的合外力为零时，A的速度最大 D．当A和B的速度最大时，A和B的总机械能最大 4．如图，AB等高，B为可视为质点的光滑定滑轮，C为大小可忽略的轻质光滑动滑轮。AB之间距离为2d，一根足够长的轻质不可伸长的细绳一端系在A点，穿过光滑动滑轮C再绕过定滑轮B，动滑轮下挂着质量为m的小球P，绳另一端吊着质量为m的小球Q。初始时整个系统都静止，然后在外力作用下，将动滑轮C缓慢上移到与AB等高并由静止释放。已知重力加速度为g，整个过程中Q未与滑轮B相撞，不计空气阻力和一切摩擦则下列说法正确的是（　　） A．初始时刻，AC与BC夹角为60° B．C可以下降的最大高度为2d C．P下降高度为d时系统的动能最大 D．系统运动过程中最大动能为 5．如图所示，一条弹性轻绳（其弹力大小正比于伸长量）跨过定滑轮，绳的两端各系一个小球A和B，球A的质量为m，球B的质量为3m。在距离地面高h处用手托住球B，使轻绳恰好不拉伸，球A静止于地面。空气阻力、定滑轮的质量及轮与轴间的摩擦均不计，重力加速度为g。由静止释放球B，当球B下落时，球A开始运动。球B与地面碰撞后立即静止，弹性绳始终在弹性限度内，下列说法正确的是（　　） A．球A一定无法上升到高h处 B．球B下落过程先加速后减速 C．球B落地时的动能大小为2mgh D．球B落地前的过程中，其减小的重力势能等于两球增加的动能与球A增加的重力势能之和 （多选）6．如图甲所示，可视为质点的a、b两球通过轻绳连接跨过光滑轻质定滑轮，b球在外力作用下静止悬空。以地面为重力势能的零势能面，从静止释放b球，在b球落地前的过程中，a、b两球的重力势能随时间t的变化关系如图乙所示，图中两图像交点对应时刻t＝0.4s，a球始终没有与定滑轮相碰，a、b始终在竖直方向上运动，忽略空气阻力，重力加速度g＝10m/s2。则（　　） A．b球的质量为2kg B．b球落地前a球的动能为2J C．b球下落前距地面的高度为0.4m D．b球重力势能与动能相等时，b离地面的高度为 （多选）7．如图所示，一弹性轻绳（绳的弹力与其伸长量成正比）左端固定在A点，自然长度等于AB。弹性绳跨过由固定轻杆OB固定的定滑轮连接一个质量为m的小球，小球穿过竖直固定的杆，初始时弹性绳ABC在一条水平线上，小球从C点由静止释放，当滑到E点时速度恰好为零，已知C、E两点间距离为h，D为CE的中点，小球在C点时弹性绳的拉力为，小球与杆之间的动摩擦因数为0.4，弹性绳始终处在弹性限度内，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．对于由弹性绳和小球组成的系统，在CD阶段损失的机械能等于在DE阶段损失的机械能 B．小球从C到E克服弹性绳弹力做功 C．在E点给小球一个竖直向上的速度小球恰好能回到C点 D．若只把小球质量变为2m，则小球从C点由静止开始运动，到达E点时的速度大小为 课时精练 一．选择题（共8小题） 1．如图所示，倾角θ＝30°的光滑斜面上有一光滑轨道ABC，它是由长为3R的直轨道和半径为R的圆弧轨道平滑连接而成。已知斜面边缘的D点与C点等高，DF＝CG，DC＝FG＝3R，E是DF的中点。一小球以某一初速度v0发射后沿轨道运动，下列说法正确的是（　　） A．若，小球一定会从FG边离开斜面 B．若，小球一定会从GA边离开斜面 C．若，小球可能会从DE边离开斜面 D．若，小球可能会从EF边离开斜面 2．如图所示，斜面OQ固定在水平地面上，P为斜面的中点，OP段光滑，PQ段粗糙且粗糙程度一致，现让滑块（看作质点）从顶点O由静止滑下，滑至斜面底端Q点时速度减为零。以平行于斜面向下为正方向，滑块的位移—时间（x﹣t）图像、速度—时间（v﹣t）图像、加速度—位移（a﹣x）图像或机械能—位移（E﹣x）图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，足够长的传送带与水平面夹角为θ，以恒定速度v1逆时针匀速转动，一物块（可视为质点）以平行于传送带向上的初速度v0从底端滑上传送带。已知v0＞v1且物块与传送带之间的动摩擦因数μ＞tanθ，规定沿传送带向上为正方向，取传送带底端为零势能参考平面，则物块的加速度a、速度v、动能Ek、重力势能Ep随时间t变化的图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 4．如图所示，倾角θ＝37°的传送带以v0＝1m/s的速度沿顺时针方向匀速转动，现将物块B轻放在传送带下端的同时，物块A从传送带上端以v1＝2m/s的初速度沿传送带下滑，结果两物块恰好没有在传送带上相碰，已知两物块与传送带间的动摩擦因数均为0.8，两物块（均可视为质点）质量均为1kg，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。下列说法正确的是（　　） A．两物块刚开始在传送带上运动时的加速度大小均为0.8m/s2 B．物块B从放上传送带到刚好要与物块A相碰所用的时间为7.5s C．两物块与传送带之间由于摩擦产生的热量为64J D．传送带上下端间的距离为6.25m 5．如图，一细绳的上端固定在天花板上靠近墙壁的O点，下端拴一小球。S点是小球下垂时的平衡位置。Q点代表一固定在墙上的细长钉子，位于OS直线上。N点在Q点正上方，且LQN＝LQS＝LQM。M点与Q点等高。现将小球从竖直位置（保持绳绷直）拉开到与N等高的P点，释放后任其向S摆动。运动过程中空气阻力可忽略不计。小球到达S后，因细绳被长钉挡住，将开始沿以Q为中心的圆弧继续运动。在这以后（　　） A．小球恰能沿圆弧摆到N点 B．小球向右摆到M点，然后就摆回来 C．小球沿圆弧摆到M和N之间某处后做斜抛运动 D．小球沿圆弧摆到M和N之间某处后竖直下落 6．如图所示，两个完全相同的小球1和小球2，分别从光滑的AOB管和COD管由静止下滑，两管在同一竖直平面内，管径略大于小球直径，转弯处无能量损失，A、C等高，B、D等高，AO平行于OD且长度相等，CO平行于OB且长度相等，设两球运动到O处所用时间分别为TAO、TCO，全程的所用时间分别为TAB、TCD，则（　　） A．TAO＝TCO B．TAO＞TCO C．TAB＜TCD D．TAB＞TCD 7．如图所示，质量为m的足球从水平地面上位置1被踢出后落在位置3，在空中达到最高点位置2的高度为h，则足球（　　） A．在位置2足球的速度方向水平 B．在位置2足球的加速度方向竖直向下 C．从位置2到位置3足球的动能增加mgh D．从位置1到位置2过程中足球的机械能不变 8．如图所示，倾角为37°的斜面固定在水平面上，下端固定挡板，质量均为m＝1kg的滑块P、Q用劲度系数k＝30N/m的轻质弹簧相连放置在斜面上，滑块Q与挡板接触。不可伸长的细线一端与滑块P相连，另一端跨过光滑定滑轮与质量M＝0.4kg的小圆环N相连，小圆环N套在倾斜固定的光滑直杆上，将小圆环N锁定在A点，此时拉直的细线恰好水平且与直杆的夹角为37°，轻质弹簧处于伸长状态，弹簧弹力大小F＝3N。现解除锁定，将小圆环N从A点由静止释放，小圆环N滑到C点时速度刚好为零。已知AC＝0.8m，B为AC的中点，OB垂直于AC，重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。小圆环N从A点运动到C点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小圆环N下滑过程中，经过B点时的速度最大 B．小圆环N下滑过程中，经过B点时的加速度最大 C．滑块P与斜面间的动摩擦因数为0.6 D．小圆环N从A点运动到B点的过程中弹簧的弹性势能一直减小 二．多选题（共3小题） （多选）9．如图所示，一长为L的光滑细圆管，固定在竖直方向上，底端距离地面高度为h。用轻绳穿过细圆管将甲、乙两球连接在一起。轻绳的最大拉力为甲球重力的2倍。甲球以某一角速度绕细圆管在水平面内做匀速圆周运动时，乙球静止在细圆管底端，且与细圆管之间恰好没有弹力。此时小球甲到细圆管顶点O的距离也为L。已知甲、乙两球质量分别为m1和m2且m1：m2＝1：，乙球的直径大于细圆管的直径，甲球视为质点，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．此时圆周运动的半径为 B．此时圆周运动的角速度大小为 C．增大角速度至轻绳拉力最大时，甲球的重力势能增加量为 D．增大角速度，当轻绳恰好断开时，甲球落地瞬间速度大小为 （多选）10．如图所示，倾角为30°的光滑斜面体固定在水平面上，轻弹簧放在斜面上，下端与斜面底端的固定挡板连接，上端与放在斜面上的物块A连接，绕过斜面顶端光滑定滑轮的轻绳一端连接在物块A上，另一端吊着物块B。已知物块A的质量为m，物块B的质量为3m，斜面足够长，牵引物块A的轻绳与斜面平行，用手托着物块B，改变B的高度，使轻弹簧刚好处于原长。已知重力加速度为g，弹簧的劲度系数为，弹簧的弹性势能Epkx2，k表示弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量，弹簧始终在弹性限度内，快速撤去手。下列说法正确的是（　　） A．快速撤去手的一瞬间，物块B的加速度大小为g B．当物块A的速度达到最大时，弹簧的伸长量为x0 C．物块A沿斜面向上运动的最大速度大小为 D．物块A沿斜面向上运动过程中，弹簧具有的最大弹性势能为2mgx0 （多选）11．传送带转动的速度大小恒为1m/s，顺时针转动。两个物块A、B，A、B用一根轻弹簧连接，开始弹簧处于原长，A的质量为1kg，B的质量为2kg，A与传送带的动摩擦因数为0.5，B与传送带的动摩擦因数为0.25。t＝0时，将两物块放置在传送带上，给A一个向右的初速度v0＝2m/s，B的速度为零，弹簧自然伸长。在t＝t0时，A与传送带第一次共速，此时弹簧弹性势能Ep＝0.75J，传送带足够长，A可在传送带上留下痕迹，重力加速度g＝10m/s2，则（　　） A．在t时，B的加速度大小大于A的加速度大小 B．t＝t0时，B的速度为0.5m/s C．t＝t0时，弹簧的压缩量为0.2m D．0～t0过程中，A与传送带的痕迹小于0.05m 三．解答题（共5小题） 12．如图（a）为游乐场水上乐园的水滑梯，质量为50kg的游客由最高点静止下滑，从滑梯末端飞出，可简化如图（b）所示的模型，其中A为斜面的最高点，B点处斜面与圆弧平滑连接，C点为圆弧轨道的最低点并与水面相切，D点为滑梯的末端，并与B点等高。圆弧轨道的半径R＝10m，圆弧对应的圆心角θ＝106°，AB的竖直高度差为5m。游客可视为质点，忽略一切阻力，已知重力加速度大小g＝10m/s2，sin53°＝0.8。求： （1）游客运动到滑梯末端D点时，对轨道的压力大小； （2）游客刚落入水中时距D点的水平距离。 13．如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的粗糙半圆形导轨BC在B点平滑相接，导轨半径为R。质量为m的物块将弹簧压缩至A点后由静止释放，脱离弹簧时速度为v1，沿半圆形导轨到达C点时速度为v2。物块可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g。求： （1）弹簧压缩至A点时的弹性势能Ep； （2）物块在C点时受到导轨对它的弹力FN的大小； （3）物块从B点到C点的过程中，导轨BC对物块做的功W。 14．如图所示，倾角θ＝30°的斜面底端O点与光滑水平面平滑连接，轻弹簧的一端固定在M处，另一自由端恰位于斜面的底端O点，质量m＝0.5kg的物块（视为质点）从斜面上的A点由静止开始下滑，此后多次挤压弹簧，弹簧被压缩的过程中始终在弹性限度内，其最大的弹性势能Ep＝4J，物块与斜面间的动摩擦因数，取重力加速度大小g＝10m/s2，求： （1）物块从A点第一次到达O点所用的时间t； （2）物块沿斜面上滑能到达的最大高度h； （3）物块第三次到达O点时的速度大小v。 15．如图所示，大猴自高台A处握住长为l的藤蔓从静止下摆，营救位于低台上的小猴。藤蔓另一端固定于O点，B点位于O点正下方，OA与竖直方向的夹角θ＝53°。大猴质量为4m，小猴质量为m，两者均可视为质点。小猴静坐在B处，当大猴摆至最低点B时，小猴立即抱住它。此后，大猴每次向左离开低台时蹬台借力，每次借力使系统机械能增加mgl。藤蔓质量、空气阻力可忽略不计，整个过程中藤蔓始终保持伸直状态。重力加速度为g，取sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，求： （1）大猴刚到B点时（小猴抱住之前），大猴对藤蔓的拉力大小F； （2）小猴抱住大猴时，两者的共同速度大小v共； （3）大猴至少需借力多少次方能荡回高台A处。 16．如图所示，质量分别为m和的两个物块用一根不可伸长的轻绳通过定滑轮连接，其中质量为m的物块穿过固定竖直杆并可沿杆无摩擦地滑动。已知杆与定滑轮间的距离为L＝3m，A点与定滑轮等高，不计滑轮质量、大小及任何摩擦。轻绳足够长，重力加速度g取10m/s2。（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8） （1）当m在竖直杆B位置时，两物块恰好能静止，此时绳与杆的夹角α； （2）将m由A点静止释放，m下降的最大高度； （3）将m由A点静止释放，m获得的最大速度。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 机械能守恒模型 模型一 判断机械能是否守恒 1．重力做功的特点 (1)重力做功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。 (2)重力做功不引起物体机械能的变化。 2．重力势能 (1)表达式Ep＝mgh。 (2)重力势能的特点 ①系统性：重力势能是物体和地球所共有的。 ②相对性：重力势能的大小与参考平面的选取有关，但重力势能的变化量与参考平面的选取无关。 (3)ΔEp与WG的关系 ①定性关系：重力对物体做正功，重力势能减小；重力对物体做负功，重力势能增大。 ②定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减小量，即WG＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp。 3．弹性势能 (1)定义：发生弹性形变的物体的各部分之间由于有弹力的相互作用而具有的势能。 (2)ΔEp与W弹的关系：弹力做正功，弹性势能减少；弹力做负功，弹性势能增加。定量表达式为W弹＝－ΔEp。 4．机械能守恒定律 (1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，总的机械能保持不变。 (2)表达式：＝。 (3)守恒条件 ①系统只受重力或弹簧弹力的作用，不受其他外力。 ②系统除受重力或弹簧弹力作用外，还受其他内力和外力，但这些力对系统不做功。 ③系统内除重力或弹簧弹力做功外，还有其他内力和外力做功，但这些力做功的代数和为零。 【例题精讲】 1．2025年7月12日，浙江省第五届体育大会在台州市体育中心网球馆开幕。如图甲所示是嗒嗒球比赛的场景，图乙为嗒嗒球在空中飞行的轨迹图，图中C、D为同一轨迹上等高的两点，A为该轨迹的最高点，则下列关于嗒嗒球的说法正确的是（　　） A．嗒嗒球从C点经最高点A到达D点的过程中机械能守恒 B．嗒嗒球在最高点A的加速度方向竖直向下 C．在嗒嗒球飞行的整个过程中，最高点A的动能最小 D．上升阶段CA段的飞行时间小于下降阶段AD段的运动时间 【答案】D 【解答】解：A．由轨迹图可知，嗒嗒球运动过程中受到空气阻力作用，且空气阻力做负功，导致机械能减小，因此机械能不守恒。故A错误； B．嗒嗒球在最高点A时，受到重力和水平方向的空气阻力作用，合力方向不是竖直向下，根据牛顿第二定律，所以加速度方向不是竖直向下，故B错误； C．分析在嗒嗒球飞行的整个过程中，最高点A的动能是否最小。嗒嗒球在最高点A时，所受重力和空气阻力的合力方向斜向下偏左，此时合力方向与速度方向的夹角大于90°，嗒嗒球继续做减速运动，所以最高点A的动能不是最小，故C错误；， D．上升阶段空气阻力的竖直分力向下，下降阶段空气阻力的竖直分力向上，所以上升阶段竖直方向的平均加速度大于下降阶段竖直方向的平均加速度，根据可知，上升阶段CA段的飞行时间小于下降阶段AD段的运动时间，故D正确。 故选：D。 2．日前，长春市中小学生度过了愉快的冰雪假期。如图，某同学穿戴滑雪装备在雪场沿山坡加速下滑，下列说法正确的是（　　） A．研究滑行姿态时可将该同学视为质点 B．速度增大会导致该同学惯性增大 C．雪地对滑板的摩擦力沿坡面向下 D．该同学（含滑雪装备）机械能不守恒 【答案】D 【解答】解：A、研究滑行姿态时，运动员的身材大小、姿态（即形状）对研究结果有影响，不能忽略，所以不可以将运动员看作质点，故A错误； B、惯性只与质量有关，与运动状态无关，加速滑行时运动员的质量不变，则其惯性不变，故B错误； C、根据滑动摩擦力的方向特点，可知雪地对滑板的摩擦力方向与运动员运动方向相反，故C错误； D、该同学（含滑雪装备）除重力做功，还有雪地对滑板的摩擦力做负功，所以其机械能会减小，不守恒，故D正确。 故选：D。 3．如图所示，物体沿30°的固定斜面以（g为本地的重力加速度大小）的加速度匀减速上升，则在此过程中，物体的机械能（　　） A．不变 B．减小 C．增加 D．不能判断 【答案】A 【解答】解：由牛顿第二定律可知 方向沿斜面向下；对m受力分析，m受重力、支持力的作用，重力沿斜面向下的分力 恰好等于物体受到的合力，说明物体不受摩擦力；只有重力做功，则机械能守恒，故A正确，BCD错误。 故选：A。 4．蹦极运动是一项非常刺激的户外休闲活动。利用一根长橡皮绳一端固定，另一端系在跳跃者身上。某次跳跃者从最高点下落到最低点过程中，人的动能Ek随重心高度h（最低点为h＝0）变化的图像如图所示，图中h2～h3段为直线，其余部分为曲线，已知橡皮绳始终处于弹性限度内，空气阻力忽略不计，则下列说法正确的是（　　） A．在高度h1时，人的重心最高 B．从最高点下落到高度h1的过程中，人的机械能守恒 C．高度h＝0时，人处于失重状态 D．从最高点下落到高度h2的过程中，人的机械能不变 【答案】D 【解答】解：A．图像中0到h1段为直线，说明此阶段只有重力做功，机械能守恒，动能随高度线性变化。h1是橡皮绳开始拉伸的临界点，此后弹力参与做功，动能变化转为曲线，机械能转化为弹性势能。高度为h1时，人的动能最大，速度最大，加速度为零，开始位置即h3时人的重心最高，故A错误； BD．图中h2～h3段为直线，人只受重力作用，即从最高点下落到h2的过程中，人的机械能守恒，h2～h1阶段人向下做加速度减小的加速运动，此时有弹力作用，橡皮绳处于拉伸状态，弹力对人做负功，人的机械能减小，故B错误，D正确； C．高度为h＝0时，下降到最低点，人的动能为零，速度向下减为零，加速度向上，故人处于超重状态，故C错误。 故选：D。 5．2025年12月11日，我国自主创新的“九天”无人机已经圆满完成首飞任务，不论从载荷上还是航程上都遥遥领先于世界其他国家。假设“九天”无人机在某次试飞中加速上升时，下列说法正确的有（　　） A．所受的合外力为零 B．机械能守恒 C．重力做正功 D．处于超重状态 【答案】D 【解答】解：A．根据牛顿第二定律，有F合＝ma，加速上升时加速度a＞0（向上），故合外力不为零，故A错误； B．机械能守恒的条件是只有重力或弹力做功，无其他外力做功。无人机加速上升时，发动机推力做正功，机械能不守恒，故B错误； C．重力方向竖直向下，位移方向竖直向上，重力与位移方向相反，故重力做负功，即WG＝﹣mgh，故C错误； D．加速上升时，加速度方向竖直向上，符合超重状态的判定条件，故D正确。 故选：D。 （多选）6．关于甩手动作的物理原理研究，如图所示，这幅图片是由每秒25帧的摄像机拍摄视频后制作的，图中A、B、C是甩手动作最后3帧照片指尖的位置，M、N分别是最后1帧照片中肘关节、腕关节的位置。指尖从A到C的运动过程，可以看作：指尖先以肘关节为圆心做圆周运动，再以腕关节为圆心做圆周运动。测得A，B之间的真实距离为32cm，AM的真实长度为40cm，CN的真实长度为16cm，重力加速度为g。结合以上信息，下列判断中正确的是（　　） A．指尖在A、B之间运动的速度比在B、C之间的小 B．指尖在A、B之间运动的速度大小约为10m/s C．指尖的最大向心加速度大小约为16g D．若手指尖C上有一水滴，水滴未被甩出，则图中显示的甩手全过程中，水滴的机械能增加 【答案】AC 【解答】解：A、根据题图分析可知，B、C间的距离小于A、B间的距离，经过的时间相同，故指尖在B、C之间运动的速度小于在A、B之间的速度，故A正确； B、根据题意分析可知，指尖在A、B之间运动的速度大小约为，代入数据解得vAB＝8m/sm/s，故B错误； C、根据题意分析可知，图中B、C之间的距离接近C、N的距离，故指尖在B、C之间运动的速度大小约为，代入数据解得vBC＝4m/sm/s。由此可得指尖在A、B之间和B、C之间运动的加速度大小分别为，代入数据解得m/s2，以及，代入数据解得m/s2，故C正确； D、根据题意分析可知，若水滴未被甩出，则在图中显示的甩手全过程中，手对水滴先做正功后做负功，水滴的机械能先增大后减小，故D错误。 故选：AC。 （多选）7．如图所示，箱子悬挂在水平地面正上方h处，小球通过轻弹簧连接在箱子顶部中点。现将箱子和小球由静止释放，箱子落地瞬间速度减为零，此后整个过程小球未碰到箱底，箱子对地面压力的最小值恰好为零。已知弹簧劲度系数为k，弹簧始终在弹性限度内，弹簧弹性势能Epkx2，x为弹簧的形变量，箱子质量为M，小球质量为m，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．释放瞬间，箱子加速度大小为g B．箱子落地后对地面压力的最大值为2（M+m）g C．箱子落地后，小球运动的最大速度为 D．整个装置损失的机械能为（M+m）gh 【答案】ABC 【解答】解：A、在释放瞬间，箱子与小球整体仅受重力作用，系统处于自由落体状态。根据牛顿第二定律，整体的加速度大小为g，故箱子的加速度大小为g，故A正确； B、箱子落地后，小球以后的运动可视为简谐运动。设小球在平衡位置时弹簧的伸长量为x0，由受力平衡得kx0＝mg。当小球运动到最高点时，箱子对地面的压力恰好为零，说明弹簧对箱子有向上的弹力且大小为Mg，此时弹簧处于伸长状态，伸长量满足kx1＝Mg。小球振动的振幅A＝x0+x1，解得：。根据简谐运动的对称性，小球运动到最低点时，弹簧的伸长量最大，此时x2＝x0+A，解得：。地面受到的最大压力Nmax＝Mg+kx2，代入数据解得Nmax＝2（M+m）g，故B正确； C、小球在振动过程中，经过平衡位置时速度最大。根据简谐运动最大速度公式vmax＝Aω，其中角频率，代入振幅A的表达式解得，化简得，故C正确； D、整个装置损失的机械能等于箱子落地瞬间损耗的动能。设落地瞬间速度为v，根据v2＝2gh可知。由于落地后小球做振幅为A的简谐运动，根据能量守恒有，代入A和x0解得，则损失的机械能，该表达式与选项中给出的函数形式不符，故D错误。 故选：ABC。 模型二 单体机械能守恒 1．单物体机械能守恒的常用表达式 2．求解单个物体机械能守恒问题的基本思路 (1)选对象：选取研究对象——物体。 (2)析受力、判守恒：根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒。 (3)析运动、明状态：在当地选取参考平面，确定研究对象在初、末状态时的机械能。 (4)列方程、解方程：选取方便的机械能守恒定律的方程形式(Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2，ΔEk＝－ΔEp)进行求解。 3．注意：单物体机械能守恒的问题，往往也能用动能定理解决。 【例题精讲】 1．如图所示，水平面上固定放置一半径为R且表面光滑的半球体，一质量为m的小球从半球体的最高点由静止开始下滑，重力加速度为g，不计空气阻力，小球可视为质点，关于该过程下列说法正确的是（　　） A．小球将沿着半球表面下滑到底端 B．小球脱离半球体时，小球与半球体球心连线和竖直方向间夹角为45° C．小球脱离半球体时的速度大小为 D．小球脱离半球体时的速度大小为 【答案】C 【解答】解：ABC、当小球运动至某一位置时，将脱离半球体表面，设此时小球与球心连线同竖直方向的夹角为θ，根据机械能守恒定律有，且此刻由法向动力学方程得，联立两式解得，进而求得，故AB错误，C正确； D、脱离瞬间小球的竖直分速度为vsinθ，此后小球竖直方向做匀加速运动，满足关系，重力的瞬时功率表达式为P＝mgv'y，联立计算可得，故D错误。 故选：C。 2．如图所示，桌面高为h，质量为m的小球从桌面上方某一高度处自由落下，经过桌面时速度为v。不计空气阻力，重力加速度为g，设地面处重力势能为零，则小球到达地面时的机械能为（　　） A．0 B．mgh C． D． 【答案】D 【解答】解：由于地面处重力势能为零，可知小球经过桌面时的机械能为 不计空气阻力，则小球下落过程的机械能守恒，故到达地面时的机械能为 故ABC错误，D正确。 故选：D。 3．如图所示，轻质动滑轮下悬挂质量为6m的重物A，绕过轻质定滑轮细绳的另一端悬挂质量为m的重物B，悬挂滑轮的轻质细线竖直。在外力约束下A、B静止且距地面高度均为h，解除约束后A、B开始运动。不计摩擦力和空气阻力，若B始终不与定滑轮相碰，重力加速度为g。则下列说法正确的是（　　） A．重物A在下落过程中机械能增加 B．重物A、B运动过程中，速率时刻相同 C．重物A刚要落地时，A的速度大小为 D．重物A刚要落地时，A的速度大小为 【答案】C 【解答】解：A、对重物A进行受力分析，重物A受到竖直向下的重力以及绳子提供的竖直向上拉力，A的重力大于绳子拉力，故A向下运动，则绳子的拉力对A做负功，A的机械能减少，故A错误； BCD、A从图示位置下降h的过程中，对A和B组成的系统分析，因只有重力做功，故A、B组成的系统机械能守恒。A下降h时，B上升2h，设重物A刚要落地时，A的速度为v，则B的速率为2v，由系统机械能守恒得 解得：，故BD错误，C正确。 故选：C。 4．东京奥运会田径女子铅球决赛现场，巩立姣以20米58的成绩夺得冠军。这是中国田径队在本届奥运的首枚金牌。在铅球在空中飞行的过程中，下列说法正确的是（　　） A．铅球的惯性大小随着速度大小变化而变化 B．铅球受到空气阻力的方向与速度方向无关 C．由于空气阻力的原因，铅球的机械能不断减小 D．在研究铅球的旋转对飞行距离的影响时可以把铅球看成质点 【答案】C 【解答】解：A、惯性是物体保持原有运动状态的性质，其大小只与物体的质量有关，与速度无关。因此，铅球的惯性不会随速度变化而变化，故A错误； B、空气阻力是物体在空气中运动时受到的与运动方向相反的力，因此空气阻力的方向与速度方向是相反的，故B错误； C、铅球在飞行过程中，除了重力做功外，还受到空气阻力的作用，空气阻力做负功，会将机械能转化为内能，因此铅球的机械能会不断减小，故C正确； D、研究铅球旋转对飞行距离的影响时，需要考虑铅球的形状、旋转状态，不能将其简化为质点（质点忽略物体的形状与大小），故D 错误。 故选：C。 5．如图所示，A、B两点位于同一高度，细线的一端系有质量为M的物块，另一端绕过B处的定滑轮固定在A点，质量为m的小球固定在细线上C点。现将小球从图示水平位置由静止释放，小球运动到D点时速度恰好为零（此时物块未到达B点），图中△ABD为直角三角形，物块和小球均可视为质点，∠DBA＝37°，忽略一切摩擦和空气阻力，重力加速度为g，sin37°＝0.6，则（　　） A．M：m＝5：6 B．小球运动到D点时，AD段绳的拉力大小为 C．运动过程中存在3个位置使小球和物块速度大小相等 D．小球重力的功率一直增大 【答案】B 【解答】解：小球固定在细线上，由于A点固定，线段AC的长度在运动过程中保持不变，即小球m以A为圆心做圆周运动。 A、设A、B两点间的距离为L。在末位置D点，△ABD为直角三角形且∠ADB＝90°，∠DBA＝37° 根据几何关系可知AD＝Lsin37°＝0.6L，BD＝Lcos37°＝0.8L 由于AC段绳长固定，初位置C到A的距离AC＝AD＝0.6L 因C在AB连线上，初始时BC＝L﹣0.6L＝0.4L 从C到D过程中，物块M上升的高度ΔhM＝BD﹣BC＝0.8L﹣0.4L＝0.4L 小球m下落的高度h＝BDsin37°＝0.8L×0.6＝0.48L 根据系统机械能守恒，初末状态速度均为零，有 Mg•0.4L＝mg•0.48L 解得M：m＝1.2＝6：5，故A错误； B、小球m运动到D点时速度恰好为零，其向心加速度为零，此时小球的合加速度沿圆周切线方向（即垂直AD方向）。在AD方向上合力为零，设AD段绳的拉力为TAD，则有TAD﹣mgcos37°＝0 解得TAD＝0.8mg 代入 可得，故B正确； C、物块M的速度大小vM等于小球m的速度vm沿绳子mB方向的分量 若vM＝vm 则小球的速度方向必须沿绳子mB 又因vm⊥Am 故需Am⊥mB 即∠AmB＝90° 在运动过程中，该角度从180°减小到90°，仅在D点满足此条件，此时速度均为0，不存在3个位置，故C错误； D、小球重力的功率P＝mgvy，初位置C和末位置D的速度均为零，功率也均为零，故功率先增大后减小，并非一直增大，故D错误。 故选：B。 （多选）6．杂技表演中，一位杂技演员从高台跃下如图，在A点接住摆动的秋千后荡至B点，松手落至弹性网上，下落至最低点C后，在弹性网上多次往复弹跳，忽略空气阻力，该过程中下列说法正确的是（　　） A．杂技演员从高台跃下到A点过程中，加速度不变 B．杂技演员从A点荡至B点的过程中，先超重后失重 C．杂技演员从B点落至C点的过程中，先失重后超重 D．在弹性网上多次往复弹跳过程中，杂技演员机械能守恒 【答案】AC 【解答】解：A、杂技演员从高台跃下到A点过程中只受重力作用，根据牛顿第二定律，其加速度为重力加速度，保持不变，故A正确； B、杂技演员从A点荡至B点的过程中在竖直方向内做圆周运动，加速度一直有竖直向上的分量，因此此过程杂技演员一直处于超重状态，故B错误； C、杂技演员从B点落至C点的过程中，在接触网前只受重力作用，处于失重状态；接触网后至最低点过程，杂技演员先向下做加速运动后向下做减速运动，加速度方向先向下后向上，先处于失重状态后处于超重状态，故C正确； D、在弹性网上多次往复弹跳过程中，网会对杂技演员做功，导致杂技演员的机械能不守恒，故D错误。 故选：AC。 （多选）7．如图，固定在竖直面内的光滑轨道ABC由直线段AB和圆弧段BC组成，两段相切于B点，AB段与水平面夹角为θ，BC段圆心为O，最高点为C，A与C的高度差等于圆弧轨道的直径2R。小球从A点以初速度v0冲上轨道，能沿轨道运动恰好到达C点，下列说法正确的是（　　） A．小球从A到C的过程中，机械能不守恒 B．小球从A到B的过程中，对轨道的压力不变 C．小球的初速度 D．若小球初速度v0增大，小球有可能从B点脱离轨道 【答案】BD 【解答】解：A、小球从A运动到C的过程仅重力做功，机械能守恒，故A错误； B、小球由A至B过程中，轨道对其支持力为N＝mgcosθ，该力大小恒定。依据牛顿第三定律，小球对轨道的压力与支持力等大，故压力大小亦不变，故B正确； C、由题意，小球恰能到达C点，可知C点速度vC＝0。从A到C过程机械能守恒，有，解得，故C错误； D、若小球在B点恰脱离轨道，满足，解得。 因此，若初速度v0增大，使B点速度达到，则小球可能从B点脱离轨道，故D正确。 故选：BD。 模型三 弹簧连接的机械能守恒 1. 常见图例: 2. 四点提醒 (1)含弹簧的系统内只有弹簧弹力和重力做功时, 物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能之间相互转化, 物体和弹簧组成的系统机械能守恒, 而单个物体或弹簧机械能都不守恒。 (2)对同一弹簧, 弹性势能的大小由弹簧的形变量决定, 弹簧的伸长量和压缩量相等时, 弹簧的弹性势能相等。 (3)弹簧弹力做功与路径无关,取决于初、末状态弹簧形变量的大小。 (4)由两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统, 当弹簧形变量最大时, 弹簧两端连接的物体速度相等; 弹簧处于自然长度时, 弹簧弹性势能最小(为零)。 【例题精讲】 1．如图所示，倾角为30°且足够长的固定光滑斜面底端有一固定挡板，轻弹簧一端与挡板连接，另一端与物块A连接，A上方放置另一物块B，B与物块C用跨过光滑轻质定滑轮的细线连接，B与定滑轮间的细线与斜面平行。开始时用手托住C，使细线处于伸直但不拉紧的状态，此时A、B静止在斜面上。某时刻突然释放C，一段时间后A、B分离，此时C未触地。已知A、B分离时，B的速度大小为v，A、B、C的质量均为m，弹簧劲度系数为k，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．刚释放C时，A的加速度为零 B．物块A、B分离时，B的加速度大小为 C．物块A、B分离时，弹簧处于原长状态 D．物块A速度最大时，A沿斜面上升的距离为 【答案】B 【解答】解：释放物块C前，系统处于静止状态，设弹簧压缩量为Δx0，由平衡条件得kΔx0＝（mA+mB）gsin30°，代入数据解得：。 A、刚释放C瞬间，对A、B、C整体应用牛顿第二定律，有mCg﹣（mA+mB）gsin30°+kΔx0＝（mA+mB+mC）a，代入数据解得此时A的加速度，故A错误； BC、当物块A、B恰好分离时，两者间相互作用力为零且加速度相同。对B、C整体分析，由牛顿第二定律得mCg﹣mBgsin30°＝（mB+mC）aB，解得：；此时对A分析，有kΔx1﹣mAgsin30°＝mAaB，解得弹簧压缩量，表明弹簧仍处于压缩状态，故B正确，C错误； D、在A、B分离前，系统所受合力为kΔx，因Δx＞0，故加速度a＞0，速度持续增加。分离后，A的加速度满足，当aA＝0时A的速度达到最大，此时kΔx2＝mgsin30°，解得压缩量；从释放至A速度最大的过程中，A沿斜面上升的距离d＝Δx0﹣Δx2，解得：，故D错误。 故选：B。 2．如图所示，一竖直放置的半径R＝1m的固定光滑圆环上穿有一个质量m＝1kg的小环，小环通过一根原长也为R、劲度系数k＝100N/m的轻质弹簧与圆环的最高点A相连，弹簧弹性势能Epkx2（x为形变量），取重力加速度大小g＝10m/s2，小环从与A点相距为R的B点由静止开始下滑，之后的运动过程中小环获得的最大动能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：以圆心O为重力势能零点。根据几何关系，小环在B点时与最高点A的连线AB为弦，已知AB＝R，则△OAB为等边三角形，此时小环相对于A点的转角θ＝60°。 根据机械能守恒定律，系统总机械能表达式为。 代入初始条件θ＝60°及Ek＝0，解得系统总机械能E＝mgRcos60°，计算得：E＝5J。 令，则有cosθ＝1﹣2s2，代入能量守恒方程整理，得到动能表达式。 当时，解得，此时动能Ek取得最大值。 代入数据计算最大动能。故A正确，BCD错误。 故选：A。 3．如图所示，倾角为θ的固定斜面，其顶端固定一劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧处于原长时下端位于O点。质量为m的滑块Q（视为质点）与斜面间的动摩擦因数μ＝tanθ。过程I：Q以速度v0从斜面底端P点沿斜面向上运动恰好能滑至O点；过程Ⅱ：将Q连接在弹簧的下端并拉至P点由静止释放，Q通过M点（图中未画出）时速度最大，过O点后能继续上滑。弹簧始终在弹性限度内，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，忽略空气阻力，重力加速度为g。则（　　） A．P、M两点之间的距离为 B．过程Ⅱ中，Q在从P点单向运动到O点的过程中损失的机械能为 C．过程Ⅱ中，Q从P点沿斜面向上运动的最大位移为 D．连接在弹簧下端的Q无论从斜面上何处释放，最终一定静止在M点以下 【答案】C 【解答】解：A、设PO的距离为L，过程I中，根据动能定理有。设MO的距离为L1，过程Ⅱ中，当Q速度最大时，根据平衡条件kL1＝mgsinθ+μmgcosθ。P、M两点之间的距离L2＝L﹣L1，联立可得，故A错误； B、根据功能关系，过程Ⅱ中，Q从P点单向运动到O点时，Q和弹簧组成的系统损失的机械能ΔE＝μmgcosθ•L。结合，解得：。但在过程Ⅱ中，单独对Q而言其机械能是增加的，故B错误； D、无论Q从何处释放，其在斜面上运动时，弹簧与Q初始时的势能最终转化为摩擦热。当在M点时，满足kL1＝mgsinθ+μmgcosθ；当在O点时，满足mgsinθ＝μmgcosθ。因此在OM（含O、M点）之间速度减为零时，Q将保持静止，故D错误； C、设过程Ⅱ中，Q从P点沿斜面向上运动的最大位移为x，根据能量守恒定律有。结合，解得：，故C正确。 故选：C。 4．如图所示，倾角为30°且足够长的固定光滑斜面底端有一固定挡板，轻弹簧一端与挡板连接，另一端与物块A接触但不连接，A上方放置另一物块B，B与物块C用跨过光滑轻质定滑轮的细线连接，B与定滑轮间的细线与斜面平行。开始时用手托住C，使细线处于伸直但不拉紧的状态，此时A、B静止在斜面上。某时刻突然释放C，一段时间后A、B分离，此时C未触地。已知A、B分离时，B的速度大小为v，A、B、C的质量均为m，弹簧劲度系数为k，弹簧的形变始终在弹性限度内，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．刚释放C时，A、B间的弹力大小为 B．分离时刻弹簧处于伸长状态 C．A的速度最大时沿斜面上升的距离为 D．A、B分离时，B的加速度大小为 【答案】D 【解答】解：A．刚开始时细线的张力为零，以AB整体为研究对象，根据受力可知，此时弹簧的弹力大小为F弹＝2mgsin30° 刚释放C时，设A、B间的弹力大小为N，细线拉力大小为T，此时的加速度为a，以C为研究对象，根据牛顿第二定律得mg﹣T＝ma 以B为研究对象，根据牛顿第二定律可得T+N﹣mgsin30°＝ma 以A为研究对象，根据牛顿第二定律可得F弹﹣mgsin30°﹣N＝ma 解得A、B间的弹力，故A错误； B．A、B分离瞬间，A、B具有共同沿斜面向上的加速度，且加速度大小相同，合外力沿斜面向上，对A进行受力分析，可知弹簧仍处于压缩状态，故B错误； C．初始时弹簧的压缩量为 当A的速度最大时，加速度为零，即弹簧的弹力与A的重力沿斜面向下的分力平衡，则此时弹簧的压缩量为 可知A的速度最大时它沿斜面上升的距离为 故C错误； D．A、B分离时，两者之间的弹力为零，设此时的加速度为a′，细线的拉力大小为T′，以C为研究对象，物体受到重力和细线的拉力，根据牛顿第二定律可得mg﹣T′＝ma′ 以B为研究对象，物体受到细线的拉力和物体自身的重力以及垂直于斜面的弹力，根据牛顿第二定律可得T′﹣mgsin30°＝ma′ 联立解得，故D正确。 故选：D。 5．如图所示，弹簧的左端固定，将小球套在水平杆上，装置的各种摩擦均不计。a点是压缩弹簧后小球静止释放的位置，b点是弹簧原长时小球的位置，c点是小球到达最右端的位置。小球由a点运动到c点的过程中（水平面光滑），下列说法中错误的是（　　） A．在a点时，弹簧的弹性势能最大 B．在b点时，小球的运动速度最大 C．从a点到b点，小球的机械能逐渐增大 D．从b点到c点，小球处于加速滑动过程 【答案】D 【解答】解：A．在a点，弹簧被最大程度压缩，弹簧弹性势能最大，故A正确； B．在b点，弹簧处于原长，弹力瞬时为零，小球动能（速度）达到最大值，故B正确； C．a到b的过程中，弹簧弹力对小球做正功，小球的机械能逐渐增大，故C正确； D．b到c的过程中，弹簧被拉伸形成的弹力与小球运动方向相反，小球做减速运动，故D错误。 本题选错误的，故选：D。 （多选）6．如图所示，P、Q两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，P放在固定的光滑斜面上，斜面倾角为53°，Q、M两小球通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，放在倾角为37°带有挡板的另一固定光滑斜面上。现用手控制住P，使细线刚好拉直但无拉力，保证滑轮两侧细线均与斜面平行，且M球与挡板接触。开始时整个系统处于静止状态，现释放P球，在运动过程中M球恰好不离开挡板。已知P的质量为3m，Q的质量为2m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。则（　　） A．初始时，弹簧形变量大小为 B．M球的质量为6m C．P沿斜面下滑的最大位移大小为 D．Q沿斜面上滑时的最大动能为 【答案】BD 【解答】解：初始时P球受手力作用平衡，Q球处于静止状态，由Q球平衡条件kx1＝mQgsin37°，代入数据解得弹簧初始压缩量；释放P后，P沿斜面向下加速，Q沿斜面向上加速，系统重力分量的合力作为动力F引＝mPgsin53°﹣mQgsin37°，代入数据解得F引＝1.2mg。 A、根据初始平衡状态的分析，弹簧处于压缩状态，形变量大小为，故A错误； BC、M球恰好不离开挡板，说明当Q球运动到最高点时，弹簧对M的拉力恰好等于其重力沿斜面的分力，即kx2＝mMgsin37°；在此过程中，对P、Q及弹簧组成的系统应用动能定理，有，其中d＝x1+x2为位移，整理得，解得，联立解得；将x2代入M球受力平衡方程，解得mM＝6m；此时P沿斜面下滑的最大位移，故B正确，C错误； D、当系统加速度为零时，Q球动能最大，此时F引+F弹＝0，解得此时弹簧伸长量为；该位置与初始位置关于弹簧原长对称，弹性势能变化量为零，根据动能定理，系统最大总动能Ekm＝F引•（x1+x），代入数据解得；由于P与Q速率相等，Q球动能占总动能的，解得Q球最大动能，故D正确。 故选：BD。 （多选）7．如图所示，倾角为θ＝37°的固定斜面体顶端固定一光滑定滑轮，质量为m＝1kg的物块A与物块B（质量未知）通过轻绳连接后跨过定滑轮，轻绳与斜面体平行，物块A放在斜面体上的a点，物块A刚好不下滑。已知ab段粗糙，b点下侧光滑，轻弹簧固定在斜面体的底端，原长时上端位于b点，某时刻剪断轻绳，物块A运动到b点的速度大小为vb＝2m/s，最终物块A把轻弹簧压缩到最低点c，随后物块A能沿斜面上滑到最高点d（d点未画出），物块A在c点的加速度大小为ac＝1.8g，ab＝1m，弹性势能表达式为EkΔx2，Δx为形变量，轻弹簧始终处在弹性限度内，重力加速度为g＝10m/s2，sin37°＝0.6。下列说法正确的是（　　） A．物块A与ab段的动摩擦因数为0.5 B．轻弹簧的劲度系数为144N/m C．物块A下滑的最大速度为m/s D．物块B的质量为0.2kg 【答案】AD 【解答】解：AD、物块A在ab段做匀加速直线运动，根据，代入数据解得：；在ab段运动时，根据牛顿第二定律有mAgsinθ﹣μmAgcosθ＝mAa1，代入数据解得：μ＝0.5；剪断轻绳前，物块A处于静止状态且刚好不下滑，说明此时静摩擦力达到最大且沿斜面向上，由平衡条件得mAgsinθ＝T+μmAgcosθ，其中T＝mBg，代入数据解得：mB＝0.2kg，故AD正确； B、物块A压缩弹簧至最低点c时速度为零，根据牛顿第二定律kΔx﹣mAgsinθ＝mAac，解得弹簧弹力kΔx＝24N；物块从b到c过程机械能守恒，由可知，解得形变量，则劲度系数k＝72N/m，故B错误； C、物块A下滑至合力为零时速度达到最大值vmax，此时mAgsinθ＝kΔx1，解得；从b到平衡位置过程机械能守恒，由代入数据解得，故C错误。 故选：AD。 模型四 轻杆连接的机械能守恒 一．角速度相等 1. 常见图例 2. 模型特点 ( 1 )转动时两物体的角速度相等；所以各物体满足: 。 (2)杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向,杆能对物体做功,单个物体机械能不守恒。 (3)对于杆和物体组成的系统,若忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功,则系统的机械能守恒。: (4)杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向,杆能对物体做功,单个物体机械能不守恒。 (5)由 知, 与 成正比。 二．角速度不等 1. 常见图例 2. 某一方向分速度相等情景(关联速度情景) (1)两物体速度的关联实质:沿杆方向的分速度大小相等。 (2)杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向,杆能对物体做功,单个物体机械能不守恒。 (3)对于杆和物体组成的系统,若忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功,则系统的机械能守恒。 【例题精讲】 1．如图所示，长为L的轻质硬杆中点和末端各固定一小球1、2，两小球的质量相等，硬杆可以绕顶端O点在竖直面内转动。若小球2从最低点获得初速度v0，恰好能通过最高点，重力加速度为g，忽略所有阻力，则v0为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由于两球的角速度相等，且小球2的圆周运动半径为小球1的2倍，故当小球2的速度为v0时，小球1的速度为。 小球2恰好能通过最高点，此时杆可提供支持力，故在最高点时两球速度均为零，即v1＝v2＝0。 整个过程中系统机械能守恒，则有，解得：，故ACD错误，B正确。 故选：B。 2．如图所示，滑块A、B的质量均为m、A套在倾斜固定的直杆上，倾斜杆与水平面成45°角，B套在水平固定的直杆上，两杆分离不接触，两直杆间的距离忽略不计，两直杆足够长，A、B通过铰链用长度为L的刚性轻杆（初始时轻杆与水平面成30°角）连接，A、B从静止释放，B开始沿水平杆向右运动，不计一切摩擦，滑块A、B视为质点，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．当A到达B所在的水平面时，B速度为零 B．B到达最右端时，A的速度大于 C．当A到达B所在的水平面时，A的速度为 D．B的最大速度为 【答案】B 【解答】解：AC、不计一切摩擦，滑块A、B组成的系统机械能守恒。从开始到A到达B所在水平面的过程中，有，又由关联速度关系得vAcos45°＝vB，联立解得：，。故AC错误； B、当B到达最右端时速度为零，此时轻杆与斜杆垂直，由机械能守恒得，解得：。故B正确； D、B的加速度为零时速度最大，当轻杆与水平杆垂直时B的合力为零，此时A的速度为零，由机械能守恒得，解得：。故D错误。 故选：B。 3．如图所示，质量均为m的物块A和B用不可伸长的轻绳连接，A放在倾角为θ的固定光滑斜面上，而B能沿光滑竖直杆上下滑动，杆和轻质滑轮中心间的距离为L，物块B从与滑轮等高处由静止开始下落，斜面与杆足够长，不计滑轮的摩擦，重力加速度为g。在物块B下落到绳与水平方向的夹角为θ的过程中，下列说法正确的是（　　） A．物块B的重力势能的减少量等于物块A的重力势能的增加量 B．物块B的末速度为 C．物块A的速度大小等于物块B的速度大小 D．物块A的速度大小vA与物块B的速度大小vB的关系为：vB＝vAsinθ 【答案】B 【解答】解：A、在物块B下落过程中，对于A、B组成的系统只有重力做功，所以系统机械能守恒，可知物块B的重力势能的减少量等于物块A的重力势能的增加量与物块A、B动能的增加量之和，故A错误； CD、在物块B下落到绳与水平方向的夹角为θ时，设此时物块A的速度大小为vA，物块B的速度大小为vB，将物块B的速度分解为沿绳方向的速度和垂直绳方向的速度，如图所示。 则有vA＝vBsinθ，故CD错误； B、在物块B下落到绳与水平方向的夹角为θ时，物块B下降的高度为h＝Ltanθ 物块A沿斜面上升的距离为 根据系统机械能守恒有 联立可得，故B正确。 故选：B。 4．如图所示，一根质量可以忽略不计的刚性轻杆，O端为固定转轴，杆可在竖直平面内无摩擦地转动，杆的中心点及另一端各固定一个小球A和B。已知两球质量相同，现用外力使杆静止在水平方向，然后撤去外力，杆将摆下，从开始运动到杆处于竖直方向的过程中（　　） A．两球重力做功相等 B．杆的弹力对A球做正功，对B球做负功 C．杆的弹力对A球做负功，对B球做正功 D．杆的弹力对A球和B球均不做功 【答案】C 【解答】解：A．两球重力相同，下落高度不同，故两球重力做功不相等，故A错误； BCD．两球同轴转动，角速度相等，由线速度和角速度的关系：v＝ωr知，B球的速度总是等于A球速度的2倍，由于杆在转动过程中无摩擦，故系统机械能守恒，设杆长为2l，A球运动到竖直方向时的速度为v，则根据机械能守恒定律有 解得动能 A球获得的动能小于减少的重力势能mgl，其机械能减少，故杆对A球做负功，同理可判定杆对B球做正功，故BD错误，C正确。 故选：C。 5．如图所示，质量为m的小环A套在光滑竖直细杆上，小环A经由跨过光滑固定轻质定滑轮的不可伸长的轻绳与质量为3m的重物B相连。开始时在M位置用手按住A，轻绳处于绷紧状态，现释放A，小环A从图中M位置上升至与定滑轮的连线处于水平的N位置，已知∠NMO＝45°，NO＝d，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．小环A的机械能守恒 B．重物B的机械能守恒 C．N位置，小环A的动能为 D．当∠NAO＝60°时，小环A与重物B的速度关系为vAvB 【答案】C 【解答】解：AB、小环A和重物B均受到轻绳的拉力作用，轻绳对小环A做正功，小环A的机械能增大。轻绳对重物B做负功，重物B的机械能减少，故AB错误； C、设∠NAO＝θ，将小环A的速度沿绳方向和垂直绳方向进行分解，根据关联速度可得vAcosθ＝vB 则当小环A运动到N点时，因θ＝90°，故vB＝0 对A、B组成的系统，因只有重力做功，故系统机械能守恒。小环A从M位置到N位置过程，根据小环A和重物B组成的系统机械能守恒，有 解得小环A运动到N位置时的动能，故C正确； D、当θ＝60°时，根据vAcosθ＝vB，可得vA＝2vB，故D错误。 故选：C。 （多选）6．如图所示，质量为m的小环A套在光滑竖直细杆上，小环A经由跨过光滑固定轻质定滑轮的不可伸长的轻绳与质量为3m的重物B相连。小环A从图中M位置上升至与定滑轮的连线处于水平的N位置，已知∠NMO＝45°，NO＝d，下列说法正确的是（　　） A．小环A由M到N位置，重物B做加速运动 B．小环A由M到N位置，重物B先失重后超重 C．N位置，小环A的动能为 D．∠NAO＝60°时，小环A与重物B速度关系 【答案】BC 【解答】解：AB、设轻绳AO与竖直方向的夹角为θ，将小环A的速度正交分解，结合关联速度可得vAcosθ＝vB。最初小环A与重物B的速度均为零，当小环A运动至N点时θ＝90°，故此时重物B的速度也为零，因此重物B先加速下降后减速下降，其状态先失重后超重，故A错误，B正确； D、在△NAO 中，设绳子与竖直杆之间的夹角为 θ＝∠NAO。由几何关系可知，vB＝vAcosθ。当 θ＝60° 时，代入三角函数值可得 vB＝vA•cos60°，即，整理得 vA＝2vB。故D错误； C、小环A从M位置运动到N位置的过程中，小环A与重物B组成的系统机械能守恒，有，解得小环A运动到N位置时的动能，故C正确。 故选：BC。 （多选）7．如图所示，长度为L的轻杆一端连接质量为3m的小球A，另一端固定在水平转轴P上，轻杆可以在竖直面内自由转动。质量为m的物块B由绕过小定滑轮Q的细绳与小球相连，定滑轮Q与转轴P间的水平距离，初始时轻杆水平，滑轮与小球间的细绳跟轻杆共线。已知细绳足够长，忽略一切摩擦，取重力加速度为g。由静止释放小球，在轻杆转过30°角的过程中，下列说法正确的是（　　） A．物块B的重力势能增加 B．轻杆转过30°角时，小球A与物块B的瞬时速度大小之比为 C．轻绳对小球A做的功为 D．物块B的机械能增加了 【答案】ABC 【解答】解：A．如图 根据几何关系可知，当在轻杆转过30°角的过程中，此时细绳与水平方向夹角也为30°角，所以物块B的重力势能增加 故A正确； B．轻杆转过30°角时，将小球A的速度分解为沿细绳方向的速度和垂直细绳方向的速度，则 所以轻杆转过30°角时，小球A与物块B的瞬时速度大小之比为 故B正确； CD．对整个系统，根据机械能守恒定律 解得 物块B的机械能增加了 所以细绳对B做功为WB＝ΔE 细绳对系统不做功，则细绳对A做功为 故C正确，D错误。 故选：ABC。 模型五 轻绳连接的机械能守恒 一．速度大小相等 解题要点: 1. 常见图例 2. 三点提醒 (1)明确两物体沿绳方向的分速度大小相等。 (2)用好两物体的位移大小关系或竖直方向的高度变化的关系。 (3)对于单个物体,一般绳上的力会做功,机械能不守恒,但对于绳连接的系统,机械能则可能守恒。 二．速度大小不等 解题要点: 因两物体速度大小不相等,需分析物体速度关系,根据第一讲考点四相关知识,对速度进行分解, 再利用机械能守恒定律进行求解。 【例题精讲】 1．如图，质量分别为mA＝1kg、mB＝2kg的A、B小球由轻绳贯穿并挂于定滑轮两侧，初始A、B两球等高距离地面H＝25m，两侧轻绳的下端都恰好触地。两球同时由静止开始向下运动，已知两球与轻绳间的最大静摩擦力均等于其重力的0.5倍，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g＝10m/s2，不计细绳与滑轮间的摩擦，则下列说法正确的是（　　） A．A和B与细绳间都为滑动摩擦力 B．A比B先落地 C．A球与绳脱离时为2s末 D．B落地时的动能为375J 【答案】C 【解答】解：A、由于绳为轻质的，分析可知球B与绳的作用力为静摩擦力，球A与绳的作用力为为滑动摩擦力，故A错误； C、对球B由牛顿第二定律有 解得 对球A由牛顿第二定律有 得 由运动关系得 解得t1＝2s，A与绳子脱离，故C正确； D、A与绳子脱离后，以后A、B球做竖直下抛运动，A球下落的高度为 B球下落的高度为 此时A球的速度为vAO＝aAt1＝10m/s 15B球的速度为vBO＝aBt1＝15m/s 对A球有 解得vA＝20m/s 对B球有 解得vB＝5m/s B球落地的动能，故D错误； B、A球还需时间tA落地，则有 B球还需时间tA落地，则有 所以B球先落地，故B错误。 故选：C。 2．如图所示，轻质定滑轮固定在天花板上，轻质动滑轮下方悬挂重物A。轻绳一端固定在天花板上，另一端绕过两滑轮与重物B相连，悬挂滑轮的轻绳均竖直。已知A、B的质量均为m、摩擦阻力和空气阻力均忽略不计，重力加速度大小为g。由静止释放A、B，当B的位移为h时，则B机械能的减少量为（　　） A．mgh B．mgh C．mgh D．mgh 【答案】C 【解答】解：对重物A和B组成的系统进行运动学与能量分析。设重物B下落高度为h，根据滑轮绳长约束关系，重物A上升高度为，且速度关系满足vB＝2vA。系统仅重力做功，机械能守恒，由，将代入得，解得。重物B机械能减少量为，计算得，故C正确，ABD错误。 故选：C。 3．如图所示，光滑斜面固定在水平地面上，质量相等的物块A、B通过一根不可伸长的轻绳跨过光滑定滑轮连接，一轻质弹簧下端固定在斜面底端，另一端连接在A上。开始时B被托住，轻绳伸直但没有弹力，现使B由静止释放，在B运动至最低点的过程中（设B未落地，A未与滑轮相碰，弹簧始终在弹性限度内）（　　） A．A和B总的重力势能先减小后增大 B．轻绳拉力对A做的功等于A机械能的增加 C．当A受到的合外力为零时，A的速度最大 D．当A和B的速度最大时，A和B的总机械能最大 【答案】C 【解答】解：A、设A、B的质量均为m，斜面倾角为θ。当B下降高度为h时，B减少的重力势能为mgh，而A增加的重力势能为mghsinθ，易知在B下降的过程中B减少的重力势能大于A增加的重力势能，即A和B总的重力势能一直减小，故A错误； B、根据功能关系，可知轻绳拉力对A做的功等于A和弹簧组成的整体的机械能的增加量，故B错误； C、A先做加速运动后做减速运动，当A的加速度为零，即A受到的合外力为零时，A的速度最大，故C正确； D、由于A、B和弹簧组成的系统机械能守恒，所以弹簧弹性势能最小时，即弹簧处于原长状态，弹力为零时，A和B的总机械能最大，而弹簧弹力为零时，AB整体受到的合外力大小为mg﹣mgsinθ，即AB整体受到的合外力和加速度不为零，故A和B的速度不是最大的，故D错误。 故选：C。 4．如图，AB等高，B为可视为质点的光滑定滑轮，C为大小可忽略的轻质光滑动滑轮。AB之间距离为2d，一根足够长的轻质不可伸长的细绳一端系在A点，穿过光滑动滑轮C再绕过定滑轮B，动滑轮下挂着质量为m的小球P，绳另一端吊着质量为m的小球Q。初始时整个系统都静止，然后在外力作用下，将动滑轮C缓慢上移到与AB等高并由静止释放。已知重力加速度为g，整个过程中Q未与滑轮B相撞，不计空气阻力和一切摩擦则下列说法正确的是（　　） A．初始时刻，AC与BC夹角为60° B．C可以下降的最大高度为2d C．P下降高度为d时系统的动能最大 D．系统运动过程中最大动能为 【答案】D 【解答】解：A、初始时刻整个系统都静止，绳子中拉力大小T＝mg，设AC、BC与竖直方向的夹角为α。对动滑轮C，根据平衡条件可得2Tcosα＝mg，解得α＝60°，则AC与BC夹角为120°，故A错误； B、设C可以下降的最大高度为h，由系统机械能守恒可得，解得，故B错误； CD、P和Q总动能最大时系统的总势能最小，即总势能取极小值，对应系统静止时的平衡位置，即AC与BC夹角为120°，此时P下降高度，Q上升高度，由系统机械能守恒，此时总动能Ek＝mgh﹣mgh′＝mg•d﹣mg•2（1）d，故C错误，D正确。 故选：D。 5．如图所示，一条弹性轻绳（其弹力大小正比于伸长量）跨过定滑轮，绳的两端各系一个小球A和B，球A的质量为m，球B的质量为3m。在距离地面高h处用手托住球B，使轻绳恰好不拉伸，球A静止于地面。空气阻力、定滑轮的质量及轮与轴间的摩擦均不计，重力加速度为g。由静止释放球B，当球B下落时，球A开始运动。球B与地面碰撞后立即静止，弹性绳始终在弹性限度内，下列说法正确的是（　　） A．球A一定无法上升到高h处 B．球B下落过程先加速后减速 C．球B落地时的动能大小为2mgh D．球B落地前的过程中，其减小的重力势能等于两球增加的动能与球A增加的重力势能之和 【答案】A 【解答】解：D、球B落地前的过程中，其减小的重力势能等于两球增加的动能与球A增加的重力势能、弹性绳的弹性势能之和，故D错误。 B、设弹性绳的劲度系数为k，因球B下落时，球A开始运动，则有： 变形可得：kh＝2mg 由此可知，当球B未落地时，弹性绳的伸长量小于h，弹性绳的弹力小于2mg，故球B下落过程一直加速，故B错误； C、设球B下落时的速度为v1，则该过程对球B根据动能定理有 解得： 设球B落地时的动能为Ek，球B恰要落地时，弹性绳的伸长量小于h，弹力小于2mg，则球B由下落到落地的过程根据动能定理有 而 联立得：Ek＞2mgh，故C错误； A、球B落地时，球B重力势能减少了3mgh，而球B的动能大于2mgh，则球A的机械能和弹性绳的弹性势能之和小于mgh，设小球A上升到最高点时距地面的高度为h'，此时动能为零，则mgh'＜mgh 即h'＜h 故球A一定无法上升到高h处，故A正确。 故选：A。 （多选）6．如图甲所示，可视为质点的a、b两球通过轻绳连接跨过光滑轻质定滑轮，b球在外力作用下静止悬空。以地面为重力势能的零势能面，从静止释放b球，在b球落地前的过程中，a、b两球的重力势能随时间t的变化关系如图乙所示，图中两图像交点对应时刻t＝0.4s，a球始终没有与定滑轮相碰，a、b始终在竖直方向上运动，忽略空气阻力，重力加速度g＝10m/s2。则（　　） A．b球的质量为2kg B．b球落地前a球的动能为2J C．b球下落前距地面的高度为0.4m D．b球重力势能与动能相等时，b离地面的高度为 【答案】BD 【解答】解：B、设b球下落前距地面的高度为H，则当b球下洛高度H落到地面时，a球上升高度H，由题图乙可知：b球最大重力势能为： Epbm＝mbgH＝12J a球最大重力势能为： Epam＝magH＝4J 解得： ma：mb＝1：3 对a、b组成的系统由机械能守恒定律得： Epbm 联立解得b球落地前瞬间a球的动能为： 故B正确； C、对两球组成的整体进行受力分析，由牛顿第二定律可得： mbg﹣mag＝（ma+mb）a 解得： a＝5m/s2 则0.4s时，a球上升的高度为： 解得： h＝0.4m 由题图乙可知t＝0.4s时两球重力势能相等，则有： magh＝mbg（H﹣h） 解得： 故C错误； D、设b离地面的高度为h1时，b球重力势能与动能相等，则有： 可得： 此时a上升的高度为（H﹣h1），则有： 2a（H﹣h1 ） 联立解得： 解得： 故D正确； A、由上述分析可知 Epbm＝mbgH＝12J 解得 mb＝2.25kg 故A错误。 故选：BD。 （多选）7．如图所示，一弹性轻绳（绳的弹力与其伸长量成正比）左端固定在A点，自然长度等于AB。弹性绳跨过由固定轻杆OB固定的定滑轮连接一个质量为m的小球，小球穿过竖直固定的杆，初始时弹性绳ABC在一条水平线上，小球从C点由静止释放，当滑到E点时速度恰好为零，已知C、E两点间距离为h，D为CE的中点，小球在C点时弹性绳的拉力为，小球与杆之间的动摩擦因数为0.4，弹性绳始终处在弹性限度内，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．对于由弹性绳和小球组成的系统，在CD阶段损失的机械能等于在DE阶段损失的机械能 B．小球从C到E克服弹性绳弹力做功 C．在E点给小球一个竖直向上的速度小球恰好能回到C点 D．若只把小球质量变为2m，则小球从C点由静止开始运动，到达E点时的速度大小为 【答案】AD 【解答】解：A．当小球运动到某点P点，弹性绳的伸长量是xBP，小球受到如图所示的四个力作用 其中FT＝kxBP 将FT正交分解，则FT的水平分量为： 小球水平方向平衡，则FN＝FT 又知摩擦力满足： FT的竖直分量为：FTy＝FTcosθ＝kxBPcosθ＝kxCP 可知小球受到的摩擦力为恒力，则CD段与DE段摩擦力所做的功相同，则在DE段弹性绳和小球组成的系统机械能的减小量等于CD段弹性绳和小球组成的系统机械能的减小量，故A正确； B．小球从C到E，根据动能定理有： 解得克服弹性绳弹力做功为： 故B错误； C．对小球从C运动到E过程，应用动能定理得： 若小球恰能从E点回到C点，应用动能定理得： 联立求解得 故在E点给小球一个竖直向上的速度时，小球恰好能回到C点 故C错误； D．若只把小球质量变为2m，小球从C点由静止开始运动，到达E点时根据动能定理有： 解得小球到达E点时的速度大小： 故D正确。 故选：AD。 课时精练 一．选择题（共8小题） 1．如图所示，倾角θ＝30°的光滑斜面上有一光滑轨道ABC，它是由长为3R的直轨道和半径为R的圆弧轨道平滑连接而成。已知斜面边缘的D点与C点等高，DF＝CG，DC＝FG＝3R，E是DF的中点。一小球以某一初速度v0发射后沿轨道运动，下列说法正确的是（　　） A．若，小球一定会从FG边离开斜面 B．若，小球一定会从GA边离开斜面 C．若，小球可能会从DE边离开斜面 D．若，小球可能会从EF边离开斜面 【答案】C 【解答】解：A、若小球恰能通过C点，重力分力提供向心力 解得 小球从A到C机由械能守恒得 解得 若，小球通过C点后做类平抛运动，也有可能是从DF边离开斜面，即小球不一定会从FG边离开斜面，故A错误； B、若，小球到达C点以前就离开轨道做类斜抛运动，也有可能是从FG边离开斜面，故B错误； C、设小球通过C点后做类平抛运动恰能通过F点，3R＝vC't 解得 机械能守恒 解得 若，小球可能会从DE边离开斜面，故C正确； D、若，小球一定会从FG边离开斜面，不可能从EF边离开，故D错误。 故选C。 2．如图所示，斜面OQ固定在水平地面上，P为斜面的中点，OP段光滑，PQ段粗糙且粗糙程度一致，现让滑块（看作质点）从顶点O由静止滑下，滑至斜面底端Q点时速度减为零。以平行于斜面向下为正方向，滑块的位移—时间（x﹣t）图像、速度—时间（v﹣t）图像、加速度—位移（a﹣x）图像或机械能—位移（E﹣x）图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：ABC．根据题意可知滑块从O到P做匀加速运动，从P到Q做匀减速运动，两段位移相等，平均速度相等，则时间相等，加速度等大反向，物体在光滑的斜面上做初速度为零的匀加速直线运动，位移，x﹣t图线的开口向上抛物线的一部分，过P点后物体做匀减速直线运动，则x−t图像的斜率先增加后减小；v−t图像是两段斜率大小相等符号相反的直线（关于t1左右对称的线段）；a−t图像是先在正半轴的水平线段，后在负半轴的水平线段，故A正确，BC错误； D．在OP段机械能守恒，图像是平行x轴的直线；在PQ段由能量关系机械能 E＝E0﹣fx 图线是向下倾斜的直线，故D错误。 故选：A。 3．如图，足够长的传送带与水平面夹角为θ，以恒定速度v1逆时针匀速转动，一物块（可视为质点）以平行于传送带向上的初速度v0从底端滑上传送带。已知v0＞v1且物块与传送带之间的动摩擦因数μ＞tanθ，规定沿传送带向上为正方向，取传送带底端为零势能参考平面，则物块的加速度a、速度v、动能Ek、重力势能Ep随时间t变化的图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A、物块以初速度v0沿传送带向上运动，所受摩擦力方向沿传送带向下，做匀减速直线运动，加速度满足mgsinθ+μmgcosθ＝ma。故A错误 B、当物块速度减为零后，将反向沿传送带向下做匀加速直线运动，加速度大小仍为a，加速至与传送带速度相等后，由于μ＞tanθ，物块与传送带保持相对静止，共同匀速运动至传送带底端，故B错误； C、在物块相对地面向上运动阶段，其动能表达式为，展开得，该阶段Ek与t的关系为开口向上的抛物线的一部分；在物块相对地面向下加速阶段，其动能为，该阶段Ek与t的关系同样为开口向上的抛物线的一部分；当物块与传送带共速后匀速运动时，其动能保持不变，故C正确； D、取传送带底端为零势能面，在物块相对地面向上运动阶段，其重力势能表达式为，该阶段Ep与t的关系为开口向下的抛物线的一部分，故D错误。 故选：C。 4．如图所示，倾角θ＝37°的传送带以v0＝1m/s的速度沿顺时针方向匀速转动，现将物块B轻放在传送带下端的同时，物块A从传送带上端以v1＝2m/s的初速度沿传送带下滑，结果两物块恰好没有在传送带上相碰，已知两物块与传送带间的动摩擦因数均为0.8，两物块（均可视为质点）质量均为1kg，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。下列说法正确的是（　　） A．两物块刚开始在传送带上运动时的加速度大小均为0.8m/s2 B．物块B从放上传送带到刚好要与物块A相碰所用的时间为7.5s C．两物块与传送带之间由于摩擦产生的热量为64J D．传送带上下端间的距离为6.25m 【答案】B 【解答】解：A、两物块刚开始在传送带上运动时，根据牛顿第二定律可得0.4m/s2，故A错误； B、物块B在传送带上加速的时间为2.5s 由于mgsinθ＜μmgcosθ，物块B随后跟着传送到一起匀速向上运动，物块A从冲上传送带到速度为零所用时间为 物块A从速度为零向上加速到与传送带速度相同所用时间为 两物块恰好没有在传送带上相碰，A、B、传送带速度相同时，故物块B从放上传送带到刚好要与物块A相碰所用的时间为Δt＝t2+t3＝5s+2.5s＝7.5s，故B正确； C、两物块与传送带之间由于摩擦产生的热量为Q＝QA+QB ， 解得Q＝80J，故C错误； D、在7.5s内物块A的位移大小为（m）＝3.75m 物块B的位移大小为（m）＝6.25m 所以传送带下端到上端的距离为x＝xA+xB＝3.75m+6.25m＝10m，故D错误。 故选：B。 5．如图，一细绳的上端固定在天花板上靠近墙壁的O点，下端拴一小球。S点是小球下垂时的平衡位置。Q点代表一固定在墙上的细长钉子，位于OS直线上。N点在Q点正上方，且LQN＝LQS＝LQM。M点与Q点等高。现将小球从竖直位置（保持绳绷直）拉开到与N等高的P点，释放后任其向S摆动。运动过程中空气阻力可忽略不计。小球到达S后，因细绳被长钉挡住，将开始沿以Q为中心的圆弧继续运动。在这以后（　　） A．小球恰能沿圆弧摆到N点 B．小球向右摆到M点，然后就摆回来 C．小球沿圆弧摆到M和N之间某处后做斜抛运动 D．小球沿圆弧摆到M和N之间某处后竖直下落 【答案】C 【解答】解：A、小球在摆动过程中，只有重力做功，机械能守恒，小球在P点动能为零，P和N等高，则小球若能到N点，在N点时动能也应为零； 由图可知，小球在有半部分做圆周运动，若圆周运动可通过最高点N，根据：，可知其最小速度不为零，则从P到N，机械能不守恒，故不可能摆到N点，故A错误； B、若小球向右摆到M点，就摆回来，则其在M点的速度减为零，而M点比P点低，重力势能比P低，从P到M，机械能不守恒，故小球在M的速度不为零，会继续向上圆周运动一段，故B错误； CD、结合AB选项分析，小球可到达MN之间某处，根据曲线运动的特点，可知小球的速度沿切线方向，即斜向左上方，受到重力作用，即小球做斜抛运动，故C正确，故D错误。 故选：C。 6．如图所示，两个完全相同的小球1和小球2，分别从光滑的AOB管和COD管由静止下滑，两管在同一竖直平面内，管径略大于小球直径，转弯处无能量损失，A、C等高，B、D等高，AO平行于OD且长度相等，CO平行于OB且长度相等，设两球运动到O处所用时间分别为TAO、TCO，全程的所用时间分别为TAB、TCD，则（　　） A．TAO＝TCO B．TAO＞TCO C．TAB＜TCD D．TAB＞TCD 【答案】C 【解答】解：由机械能守恒定律可知，两球从出发滑到O处时，速度大小相等；滑到B、D处时，末速度的速度大小和路程相等，而小球在AO（OD）段加速度比CO（OB）段加速度大，作出两球的速率—时间图像如图所示 若要保证两球的路程相等，即图像与横轴所围的面积相等，则有 TAO＜TCO TAB＜TCD 故ABD错误，C正确。 故选：C。 7．如图所示，质量为m的足球从水平地面上位置1被踢出后落在位置3，在空中达到最高点位置2的高度为h，则足球（　　） A．在位置2足球的速度方向水平 B．在位置2足球的加速度方向竖直向下 C．从位置2到位置3足球的动能增加mgh D．从位置1到位置2过程中足球的机械能不变 【答案】A 【解答】解：A、在位置2足球的竖直速度为零，所以速度方向水平，故A正确； B、由足球的运动轨迹可知，足球在空中运动时一定受到空气阻力作用，在位置2足球的合外力是阻力和重力的合力，不是竖直向下，根据牛顿第二定律可知，加速度方向也不是竖直向下，故B错误； D、由于空气阻力作用，从位置1到位置2过程中足球的机械能减小，故D错误； C、从2到3由于空气阻力作用，机械能减小，重力势能减少mgh，则动能增加量小于mgh，故C错误。 故选：A。 8．如图所示，倾角为37°的斜面固定在水平面上，下端固定挡板，质量均为m＝1kg的滑块P、Q用劲度系数k＝30N/m的轻质弹簧相连放置在斜面上，滑块Q与挡板接触。不可伸长的细线一端与滑块P相连，另一端跨过光滑定滑轮与质量M＝0.4kg的小圆环N相连，小圆环N套在倾斜固定的光滑直杆上，将小圆环N锁定在A点，此时拉直的细线恰好水平且与直杆的夹角为37°，轻质弹簧处于伸长状态，弹簧弹力大小F＝3N。现解除锁定，将小圆环N从A点由静止释放，小圆环N滑到C点时速度刚好为零。已知AC＝0.8m，B为AC的中点，OB垂直于AC，重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。小圆环N从A点运动到C点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小圆环N下滑过程中，经过B点时的速度最大 B．小圆环N下滑过程中，经过B点时的加速度最大 C．滑块P与斜面间的动摩擦因数为0.6 D．小圆环N从A点运动到B点的过程中弹簧的弹性势能一直减小 【答案】C 【解答】解：A、小圆环N下滑过程中，当所受合力为零时速度最大，滑块在B点下方的某点合力才为零，故滑块在B点速度未达到最大，故A错误； B、对小圆环N受力分析可知，小圆环N在A点时的合力最大，加速度最大，而不是在B点，故B错误； C、分析可知，小圆环N从A点运动到B点过程中，滑块P的向下滑动距离为。根据几何关系，小圆环N运动到C点时，弹簧的形变量与小圆环N在A点状态相同，即弹簧伸长量相同，小滑块P回到原位置，故弹力做功为零，绳子拉力做功为零。对P、N组成的系统，根据机械能守恒定律有，解得：μ＝0.6，故C正确； D、根据弹簧弹力F＝kx，解得：x＝0.1m，由此可知弹簧由伸长到压缩再伸长，故弹性势能先减小后增大，故D错误。 故选：C。 二．多选题（共3小题） （多选）9．如图所示，一长为L的光滑细圆管，固定在竖直方向上，底端距离地面高度为h。用轻绳穿过细圆管将甲、乙两球连接在一起。轻绳的最大拉力为甲球重力的2倍。甲球以某一角速度绕细圆管在水平面内做匀速圆周运动时，乙球静止在细圆管底端，且与细圆管之间恰好没有弹力。此时小球甲到细圆管顶点O的距离也为L。已知甲、乙两球质量分别为m1和m2且m1：m2＝1：，乙球的直径大于细圆管的直径，甲球视为质点，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．此时圆周运动的半径为 B．此时圆周运动的角速度大小为 C．增大角速度至轻绳拉力最大时，甲球的重力势能增加量为 D．增大角速度，当轻绳恰好断开时，甲球落地瞬间速度大小为 【答案】AC 【解答】解：AB、初始乙受力平衡，且乙与细管间恰好没有弹力，可得到轻绳上的拉力大小与乙的重力相等； 对甲受力分析，如下图： 根据其在水平面内做匀速圆周运动，可得：m2gcosα＝m1g，，解得圆周运动的角速度大小， 结合几何关系，可得到圆周运动的半径为：r＝Lsinα，解得：，故A正确，B错误； C、增大角速度，至轻绳拉力增大到恰好断开时，对甲球受力分析如下图： 可得到竖直方向：Tcosθ＝m1g，水平方向：， 根据几何关系，可知甲与O间距不变，绳和竖直方向夹角满足：h2＝Lcosθ，即可得到甲球的高度升高了：Δh＝Lcosα﹣h2， 则重力势能增大了：ΔEp＝m1gΔh，解得：，，故C正确； D、绳断开后，甲球做平抛运动，水平方向做匀速运动，竖直方向：， 球落地瞬间的速度大小满足：，解得：，故D错误。 故选：AC。 （多选）10．如图所示，倾角为30°的光滑斜面体固定在水平面上，轻弹簧放在斜面上，下端与斜面底端的固定挡板连接，上端与放在斜面上的物块A连接，绕过斜面顶端光滑定滑轮的轻绳一端连接在物块A上，另一端吊着物块B。已知物块A的质量为m，物块B的质量为3m，斜面足够长，牵引物块A的轻绳与斜面平行，用手托着物块B，改变B的高度，使轻弹簧刚好处于原长。已知重力加速度为g，弹簧的劲度系数为，弹簧的弹性势能Epkx2，k表示弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量，弹簧始终在弹性限度内，快速撤去手。下列说法正确的是（　　） A．快速撤去手的一瞬间，物块B的加速度大小为g B．当物块A的速度达到最大时，弹簧的伸长量为x0 C．物块A沿斜面向上运动的最大速度大小为 D．物块A沿斜面向上运动过程中，弹簧具有的最大弹性势能为2mgx0 【答案】BC 【解答】解：A、撤去手瞬间，对物块A与B分别列牛顿第二定律方程，有3mg﹣T＝3ma与T﹣mgsin30°＝ma，联立解得：，故A错误； B、当物块A加速度为零时，其速度达到最大，此时弹簧弹力与A重力沿斜面分力之和等于B的重力，即kx+mgsin30°＝3mg，代入，解得弹簧形变量：，故B正确； C、从开始运动至A速度最大过程，系统机械能守恒，以初始位置为重力势能零点，有，代入k值，解得最大速度：，故C正确； D、设弹簧最大伸长量为xm，当A运动到最低点时速度为零，由机械能守恒得，代入k值，解得：xm＝x0，则弹簧最大弹性势能，解得：，故D错误。 故选：BC。 （多选）11．传送带转动的速度大小恒为1m/s，顺时针转动。两个物块A、B，A、B用一根轻弹簧连接，开始弹簧处于原长，A的质量为1kg，B的质量为2kg，A与传送带的动摩擦因数为0.5，B与传送带的动摩擦因数为0.25。t＝0时，将两物块放置在传送带上，给A一个向右的初速度v0＝2m/s，B的速度为零，弹簧自然伸长。在t＝t0时，A与传送带第一次共速，此时弹簧弹性势能Ep＝0.75J，传送带足够长，A可在传送带上留下痕迹，重力加速度g＝10m/s2，则（　　） A．在t时，B的加速度大小大于A的加速度大小 B．t＝t0时，B的速度为0.5m/s C．t＝t0时，弹簧的压缩量为0.2m D．0～t0过程中，A与传送带的痕迹小于0.05m 【答案】BD 【解答】解：AB．传送带对AB的滑动摩擦力大小相等都为f＝0.5×1×10N＝0.25×2×10N＝5N 初始时A向右减速，B向右加速，故可知在A与传送带第一次共速前，AB整体所受合外力为零，以初速度方向为正方向，系统动量守恒有mAv0＝mAv+mBvB，v＝1m/s 代入数值解得t＝t0时，vB＝0.5m/s 在A与传送带第一次共速前，对任意时刻对AB根据牛顿第二定律有 f+F弹＝mAaA，f+F弹＝mBaB 由于质量关系满足mA＜mB，故可知aA＞aB 故A错误，B正确； C．在t0时间内，设AB向右的位移分别为xA，xB； 由能量守恒有 解得弹簧的压缩量xA﹣xB＝0.1m 故C错误； D．A与传送带的相对位移为x相A＝xA﹣vt0 B与传送带的相对为x相B＝vt0﹣xB 故可得x相A+x相B＝xA﹣xB＝0.1m 由于0﹣t0时间内A向右做加速度逐渐增大的减速运动，B向右做加速度逐渐增大的加速运动，且满足aA＝2aB，作出AB的v﹣t图像如下图所示 x相A等于图形MNA的面积，x相B等于图形NOBA的面积，故可得x相A＜x相B 结合x相A+x相B＝0.1m 可知x相A＜0.05m，故D正确。 故选：BD。 三．解答题（共5小题） 12．如图（a）为游乐场水上乐园的水滑梯，质量为50kg的游客由最高点静止下滑，从滑梯末端飞出，可简化如图（b）所示的模型，其中A为斜面的最高点，B点处斜面与圆弧平滑连接，C点为圆弧轨道的最低点并与水面相切，D点为滑梯的末端，并与B点等高。圆弧轨道的半径R＝10m，圆弧对应的圆心角θ＝106°，AB的竖直高度差为5m。游客可视为质点，忽略一切阻力，已知重力加速度大小g＝10m/s2，sin53°＝0.8。求： （1）游客运动到滑梯末端D点时，对轨道的压力大小； （2）游客刚落入水中时距D点的水平距离。 【答案】（1）游客对轨道的压力大小为800N。 （2）游客刚落入水中时距D点的水平距离为12m。 【解答】解：（1）游客从A点运动到D点的过程中，忽略一切阻力，机械能守恒。由于B、D两点等高，下落高度h＝5m，根据，解得：vD＝10m/s。 在D点，根据牛顿第二定律有，解得：FN＝800N。依据牛顿第三定律，游客对轨道的压力大小为800N。 （2）D点距水面的高度等于D点相对于圆弧最低点C的竖直位移，即H＝R（1﹣cos53°），解得：H＝4m。 游客飞出后做斜抛运动，水平分速度vx＝vDcos53°，解得：vx＝6m/s，竖直分速度vy＝vDsin53°，解得：vy＝8m/s。 设从D点运动到水面的时间为t，取竖直向上为正方向，由位移公式得，即5t2﹣8t﹣4＝0，解得：t＝2s。落入水中时距D点的水平距离x＝vxt，解得：x＝12m。 答：（1）游客对轨道的压力大小为800N。 （2）游客刚落入水中时距D点的水平距离为12m。 13．如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的粗糙半圆形导轨BC在B点平滑相接，导轨半径为R。质量为m的物块将弹簧压缩至A点后由静止释放，脱离弹簧时速度为v1，沿半圆形导轨到达C点时速度为v2。物块可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g。求： （1）弹簧压缩至A点时的弹性势能Ep； （2）物块在C点时受到导轨对它的弹力FN的大小； （3）物块从B点到C点的过程中，导轨BC对物块做的功W。 【答案】（1）弹簧压缩至A点时的弹性势能为； （2）物块在C点时受到导轨对它的弹力FN的大小为mmg； （3）物块从B点到C点的过程中，导轨BC对物块做的功为2mgR。 【解答】解：（1）物体从A点到B点，弹簧的弹性势能转化为物体的动能，由弹簧和物体组成的系统机械能守恒可知，弹簧压缩至A点时的弹性势能为： Ep； （2）物体经过C点时，根据牛顿第二定律有：FN+mg＝m 物体在C点时受到的导轨给它的弹力大小为：FN＝mmg； （3）物块从B点到C点的过程中，根据动能定理可得：﹣mg•2R+W 解得导轨BC对物块做的功：W2mgR。 答：（1）弹簧压缩至A点时的弹性势能为； （2）物块在C点时受到导轨对它的弹力FN的大小为mmg； （3）物块从B点到C点的过程中，导轨BC对物块做的功为2mgR。 14．如图所示，倾角θ＝30°的斜面底端O点与光滑水平面平滑连接，轻弹簧的一端固定在M处，另一自由端恰位于斜面的底端O点，质量m＝0.5kg的物块（视为质点）从斜面上的A点由静止开始下滑，此后多次挤压弹簧，弹簧被压缩的过程中始终在弹性限度内，其最大的弹性势能Ep＝4J，物块与斜面间的动摩擦因数，取重力加速度大小g＝10m/s2，求： （1）物块从A点第一次到达O点所用的时间t； （2）物块沿斜面上滑能到达的最大高度h； （3）物块第三次到达O点时的速度大小v。 【答案】（1）物块从A点第一次到达O点所用的时间为2s； （2）物块沿斜面上滑能到达的最大高度为0.5m； （3）物块第三次到达O点时的速度大小为2m/s。 【解答】解：（1）设物块在斜面上下滑的过程中加速度大小为a1，对物块受力分析，根据牛顿第二定律有mgsinθ一μmgcosθ＝ma1 设物块第一次到达O点时的速度为v1，根据机械能守恒定律有 根据运动规律有v1＝a1t 解得t＝2s （2）对物块第一次上滑的过程，根据能量守恒定律有 解得h＝0.5m （3）对于物块整个下滑的过程，根据动能定理有m 解得v＝2m/s 答：（1）物块从A点第一次到达O点所用的时间为2s； （2）物块沿斜面上滑能到达的最大高度为0.5m； （3）物块第三次到达O点时的速度大小为2m/s。 15．如图所示，大猴自高台A处握住长为l的藤蔓从静止下摆，营救位于低台上的小猴。藤蔓另一端固定于O点，B点位于O点正下方，OA与竖直方向的夹角θ＝53°。大猴质量为4m，小猴质量为m，两者均可视为质点。小猴静坐在B处，当大猴摆至最低点B时，小猴立即抱住它。此后，大猴每次向左离开低台时蹬台借力，每次借力使系统机械能增加mgl。藤蔓质量、空气阻力可忽略不计，整个过程中藤蔓始终保持伸直状态。重力加速度为g，取sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，求： （1）大猴刚到B点时（小猴抱住之前），大猴对藤蔓的拉力大小F； （2）小猴抱住大猴时，两者的共同速度大小v共； （3）大猴至少需借力多少次方能荡回高台A处。 【答案】（1）大猴对藤蔓的拉力大小为。 （2）两者的共同速度大小为。 （3）大猴至少需借力3次方能荡回高台A处。 【解答】解：（1）设大猴到B点时的速度大小为vB，藤蔓对大猴的拉力为F1，大猴从A到B过程，由机械能守恒定律可得 在B点时，根据牛顿第二定律可得 解得 由牛顿第三定律得大猴对藤蔓的拉力大小F＝F1，即。 （2）小猴抱住大猴时，系统在水平方向不受外力，规定水平向右为正方向，根据动量守恒有4mvB＝（4m+m）v共 解得共同速度。 （3）设需要借力n次能荡回高台A处，根据机械能守恒有 解得，n只能取整数，因此需要借力3次方能荡回高台A处。 答：（1）大猴对藤蔓的拉力大小为。 （2）两者的共同速度大小为。 （3）大猴至少需借力3次方能荡回高台A处。 16．如图所示，质量分别为m和的两个物块用一根不可伸长的轻绳通过定滑轮连接，其中质量为m的物块穿过固定竖直杆并可沿杆无摩擦地滑动。已知杆与定滑轮间的距离为L＝3m，A点与定滑轮等高，不计滑轮质量、大小及任何摩擦。轻绳足够长，重力加速度g取10m/s2。（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8） （1）当m在竖直杆B位置时，两物块恰好能静止，此时绳与杆的夹角α； （2）将m由A点静止释放，m下降的最大高度； （3）将m由A点静止释放，m获得的最大速度。 【答案】（1）当m在竖直杆B位置时，两物块恰好能静止，此时绳与杆的夹角为37°； （2）将m由A点静止释放，m下降的最大高度为； （3）将m由A点静止释放，m获得的最大速度为。 【解答】解：（1）对m，由平衡条件有Tcosα＝mg 对M，由平衡条件有T＝Mg 联立解得α＝37° （2）当m到达最低点时速度为零，对M和m组成的系统由机械能守恒有 解得 （3）在该系统下降的过程中，当m获得最大速度时，即合外力等于零时，可知此时m恰好在B位置处，由动能定理有 解得 答：（1）当m在竖直杆B位置时，两物块恰好能静止，此时绳与杆的夹角为37°； （2）将m由A点静止释放，m下降的最大高度为； （3）将m由A点静止释放，m获得的最大速度为。 1 学科网（北京）股份有限公司 $