1.4线段的垂直平分线寒假预习课时练-2025-2026学年北师大版数学八年级下册

1.4线段的垂直平分线寒假预习课时练 一、单选题 1．如图，中，，使，那么符合要求的作图痕迹是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 由和可得，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点在的垂直平分线上，进而得出结论． 【详解】解：，， ， 点在的垂直平分线上， 即点为的垂直平分线与的交点． 故选：D． 2．如图，某景区有，，三处景点，景点之间均以最短路线修建公路，为了便于游客游玩与休息，现计划建设一座游客休息厅提供给游客休息，为了确保各个景点到游客休息厅的距离相等，则游客休息厅应建设在（    ） A．三条中线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点 【答案】B 【分析】本题主要考查的是线段垂直平分线的性质在实际生活中的应用； 由于各个景点到游客休息厅的距离相等，所以根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知是三边垂直平分线的交点．由此即可确定休息厅的位置． 【详解】解∶ ∵各个景点到游客休息厅的距离相等， ∴休息厅选择三边垂直平分线的交点， 故选：B． 3．如图，线段，垂足为点，，则下列说法正确的有（    ） ①垂直平分； ②垂直平分； ③的垂直平分线是； ④的垂直平分线是所在的直线； ⑤的垂直平分线是所在的直线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查线段垂直平分线的定义，根据线段垂直平分线的定义逐个判断即可． 【详解】解：①∵线段，， ∴垂直平分，故①正确； ②不能证明垂直平分，故②④错误； ③的垂直平分线是所在的直线．故③错误，⑤正确； 说法正确的有2个， 故选：B． 4．如图，在中，，分别以点A，B为圆心，5为半径画弧，两弧分别交于点M，N，直线交于点D，连接，则的周长为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【分析】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，利用线段的垂直平分线的性质证明，可得结论． 【详解】由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴的周长． 故选：D． 5．在中，小明的作图痕迹如图所示，他作出的两条线的交点为O，下列说法正确的是（   ） A．点O是的重心 B．的垂直平分线一定不经过点0 C．点O到三边距离相等 D．点O到三个顶点距离相等 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，利用三线合一的性质可得为的平分线，又是底边上的高和中线，即可解答，熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，由题意可得为的平分线，为的垂直平分线， ， ， 为的垂直平分线， 交点O为三角形垂直平分线的交点， 点O到三个顶点距离相等， 故选：D． 6．如图，在中，分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点，作直线分别交于点，连接．若，的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图——作垂直平分线，垂直平分线的性质，由作图可知是的边的垂直平分线，则有，，即，然后通过的周长为，则有，再代入即可求解，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：由作图步骤可得是的边的垂直平分线， ∴，，即， ∵， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长为， 故选：． 7．如图，在中，，，以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线交于点F，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查作图—基本作图、等腰三角形的性质，由作图过程可知，直线，则．由等腰三角形的性质可得，则，再根据可得答案． 【详解】解：由作图过程可知，直线， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 8．如图，在中，，为内一点，过点的直线分别交，于点，，若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．由，可得，根据线段垂直平分线的性质可得：，，推出，，再结合三角形的外角性质可得，最后根据，即可求解． 【详解】解：， ， 在的垂直平分线上，在的垂直平分线上， ，， ，， ，，， ， ， 故选：B． 9．如图，分别以的顶点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，连接交于，再以为圆心，为半径画弧，交于点，连接．若，则下列说法：①；②；③；④．其中不一定正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图，等腰三角形的性质，连接，根据题意得，，即可得，则，，根据得，可得，即可得，，利用等腰三角形的性质可得，，即可得，掌握尺规作图，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：如图所示，连接， ∵分别以的顶点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点， ∴垂直平分， ∴， ∵以为圆心，为半径画弧，交于点，连接， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ， , ∴， ∴，故①一定成立，不符合题意； ∵， ∴，，故②④一定成立，不符合题意； 无法说明，故③不一定成立，符合题意； 综上分析可知，不一定成立的有1个． 故选：A． 10．如图，在中，以点A为圆心，以AC长为半径画弧交BC于点Q，分别以点C，Q为圆心，以大于长为半径画弧交于点P，连接AP交BC于点D，则一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作图步骤判断所作线段的性质，进而分析各选项． 【详解】解：根据作图步骤， ∵分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧交于点，则是线段的垂直平分线， ∴，即：． 故选：C． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图及性质，解题关键是明确作图步骤所得到的是线段的垂直平分线，利用垂直平分线的性质进行判断． 二、填空题 11．如图，已知是线段的垂直平分线，E是上的一点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到线段的端点距离相等，进行作答即可． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， 故答案为：． 12．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，则的长为 ．    【答案】/6厘米 【分析】根据中垂线的性质，得到，进而得到，再根据，进行求解即可． 【详解】解：∵是的中垂线， ∴， ∵， ∴， 又， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查中垂线的性质，熟练掌握中垂线上的点到线段两端点的距离相等，是解题的关键． 13．一个等腰三角形的一个内角为，则它的顶角的度数为 ；等腰三角形的两边长为和，则该等腰三角形的周长为 ；定理“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆定理是 ． 【答案】 或 到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质的逆定理等知识点，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据三角形内角和定理结合等腰三角形两底角相等，求出它的顶角度数即可；由等腰三角形的性质结合三角形三边关系即可求出等腰三角形的周长；再根据线段垂直平分线的性质的逆定理求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个内角的度数为， 当等腰三角形的底角为时，则顶角为； 当等腰三角形的顶角为时，则顶角为； ∴它的顶角度数为：或； 等腰三角形的两边长和， 当腰长为，则等腰三角形三边长为， ∵，不能构成三角形，故舍去； 当腰长为，则等腰三角形三边长为， ∵，能构成三角形， ∴该等腰三角形的周长为； 定理“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆定理是“到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”； 故答案为：或；；到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 ． 14．如图，在中，点在上，且，的垂直平分线分别与，相交于点，，若的三个内角都不相等，则在，，，中，相等的角为 用“”连接． 【答案】 【分析】由垂直平分线的性质可得，即有，再根据三角形外角的定义得到，，进而得到，再得到，，得到． 【详解】解：，的垂直平分线分别与，相交于点，， ， ， ，， ， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等边对等角，三角形的内角和定理等知识，熟练掌握垂直平分线的性质和等边对等角是关键． 15．如图，直线l是线段的垂直平分线，交于点O，P为直线l上一点，则下列说法：①点O是线段的中点；②直线l是线段的对称轴；③线段是的垂线，其中正确的有 ． 【答案】①②/②① 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．根据垂直平分线的性质进行判断即可． 【详解】解：直线是的垂直平分线， 点为的中点，故①正确， 直线是的垂直平分线， 直线l是线段的对称轴，故②正确， 直线是的垂直平分线， 直线是的垂线，故③不正确 故答案为：①②． 16．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点D和E，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键；由题意易得，，则有，然后根据含30度直角三角形的性质可进行求解． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 故答案为：6． 三、解答题 17．如图所示，有一个三角形的运动跑道，点和点是两个设置了休息站的特殊位置，现市政府想新规划一条线路，使得点到点的距离与点到点的距离相等且点在跑道上，请你用尺规作图法找出点的位置（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，作线段的垂直平分线交于点E，连接即可． 【详解】解：如图，点即为所求． 18．如图，在中，利用尺规作图作出的中线．不写作法，但要保留作图痕迹．    【答案】图见解析 【分析】本题考查尺规作图，作垂线．作的中垂线，交于点，连接，即为所求．掌握垂线的作图方法，是解题的关键． 【详解】解：如图，直线即为所求；    19．如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为．    (1)点关于轴的对称点的坐标为______，点关于轴的对称点的坐标为_____，线段的垂直平分线与轴的交点的坐标为_____； (2)求以（1）中的点为顶点的的面积． 【答案】(1)，， (2)6 【分析】（1）根据已知点A，点B，点C的坐标，后利用关于x，y轴对称点的性质得出对应点位置即可； （2）根据点，点，点D的坐标求出所在长方形的面积，后利用所在长方形的面积减去周围三角形面积进而得出答案． 【详解】（1）解：根据题意作图如图所示，   ； 由图象得可得； 故答案为：，，； （2）解：根据所作图形可知： ． 【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质及关于x轴、y轴对称的点的坐标，解题关键在于掌握对称点及线段垂直平分线的性质的运用． 20．尺规作图（不要求写作法，但需保留作图痕迹，并写出结论）． (1)作，使； (2)作边上的中线； (3)在上述中，由公理______（填符号）可以直接证得______． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)， 【分析】本题考查作图—复杂作图，全等三角形的判定，等边三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）作射线，在射线上截取线段，使得，分别以A，B为圆心，a为半径作弧，两弧交于点C，连接即为所求； （2）作垂足为D，线段即为所求； （3）根据证明三角形全等即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，线段即为所求； （3）解：由题意， 由公理可知． 故答案为：，． 21．如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，连接． (1)若，则的度数是 度； (2)若，的周长是． ①求的长度； ②若点为直线上一点，请你直接写出周长的最小值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可求解； （）①根据线段垂直平分线的性质可得，然后求出的周长，再代入数据进行计算即可得解；②当点与重合时，周长的值最小，据此解答即可求解； 本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的三边关系掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∵，的周长是， ∴； ②当点与重合时，周长的值最小， 理由：∵，， ∴与重合时，，此时最小， ∴周长的最小值． 22．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】连接、，三角形内角和定理得出，根据垂直平分线的性质以及等角对等边得出，得出是等边三角形，继而即可得证． 【详解】证明：如图所示，连接、， 在中， 与分别是、的垂直平分线， 是等边三角形，即 又 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理，等边三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 23．如图所示，在中，，，的面积是，的垂直平分线分别交，边于E，F两点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，求周长的最小值． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质及垂直平分线的性质，根据等腰三角形的性质及面积求出，结合垂直平分线的性质找到最小距离点即可得到答案 【详解】解：如图13-4-12所示，连接，， ∵， ∴是等腰三角形． 又∵点D为边的中点， ∴，， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴． ∴， ∴的长为的最小值， ∴周长的最小值为． 24．如图，在中，边，的垂直平分线交于点，连接，和．求证：点在的垂直平分线上． 【答案】见解析 【分析】本题考查垂直平分线的性质及判定，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等及到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．根据到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上即可得到答案； 【详解】证明：∵点在的垂直平分线上， ∴， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上． 试卷第2页，共18页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $1.4线段的垂直平分线寒假预习课时练 一、单选题 L.如图，△ABC中，AB<AC<BC,使PA+PB=BC,那么符合要求的作图痕迹是() 2.如图，某景区有A,B,C三处景点，景点之间均以最短路线修建公路，为了便于游客游玩与休息，现计划 建设一座游客休息厅提供给游客休息，为了确保各个景点到游客休息厅的距离相等，则游客休息厅应建设在( A.△ABC三条中线的交点 B.△ABC三边垂直平分线的交点 C.△ABC三条高的交点 D.△ABC三条角平分线的交点 3.如图，线段AB⊥CD,垂足为点O,CO=DO,则下列说法正确的有() ①AB垂直平分CD: ②CD垂直平分AB: ③CD的垂直平分线是AB; ④AB的垂直平分线是CD所在的直线： ⑤CD的垂直平分线是AB所在的直线. 1/7 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如图，在△ABC中，AB=AC=8,BC=6,分别以点A,B为圆心，5为半径画弧，两弧分别交于点 M,N,直线MN交AC于点D,连接BD,则△BCD的周长为() M A.11 B.12 C.13 D.14 5.在△ABC中AB=AC,小明的作图痕迹如图所示，他作出的两条线的交点为O,下列说法正确的是() A.点O是△ABC的重心 B.AC的垂直平分线一定不经过点0 C.点O到△ABC三边距离相等 D.点O到△ABC三个顶点距离相等 6.如图，在AABC中，分别以点AB为圆心，大于2AB长为半径画弧，两弧分别交于点F,G,作直线FG分 别交 C,B于点DE,连接4D.若MC=7,△1CD的周长为24，则△C 于点 的周长为() E 米G A.38 B.40 C.42 D.48 7.如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=56°，以点C为圆心，CA长为半径作弧交AB于点D,分别以点A和 点D为圆心，大于2AD的长为半径作弧，两弧相交于点E,作直线CE交AB于点F,则∠ACF的度数是 217 D A.16 B.22 C.24° D.26 8.如图，在△ABC中，∠ABC=52°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB,BC于点M,N,若 M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数为() A M A.104° B.116° C.128° D.142° 9.如图，分别以△ABC的顶点AC为圆心，以大于24C的长为半径画弧，两弧相交于D,E两点，连接ED交 AC于F,再以F为圆心，FC为半径画弧，交BC于点G,连接AG.若AB=AC,则下列说法：①AG⊥BC: ②∠BAG=∠CAG;③AG=BG;④BG=CG.其中不一定正确的有() E B G A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10.如图，在△ABC中，以点A为圆心，以AC长为半径画弧交BC于点Q,分别以点C,Q为圆心，以大于 CQ长为半径画弧交于点P,连接AP交BC于点D,则一定有(） 2 317 D A PA=PC B.PA=PQ C.∠ADC=90 D.∠OPC=90 二、填空题 I1.如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点，若EC=TCm,则ED的长为一· 12.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=16cm,AB的垂直平分线MN交AC于点D,交AB于点E,连接BD. 若CD:BD=3:5,则CD的长为一· IM C D 13.一个等腰三角形的一个内角为40°，则它的顶角的度数为一；等腰三角形的两边长为2cm和5cm,则该等 腰三角形的周长为一；定理“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆定理是一 14.如图，在△ABC中，点D在BC上，且BD,CD的垂直平分线分别与AB,AC相交于点E,F,若 △1BC的三个内角都不相等，则在4,2,3,4中，相等的角为（用。=”连接. 417 15.如图，直线I是线段AB的垂直平分线，交AB于点O,P为直线I上一点，则下列说法：①点O是线段AB 的中点：②直线1是线段AB的对称轴：③线段OP是AB的垂线，其中正确的有一· —B 16.如图，在△AB BC中，∠C=90,线段B的垂直平分线交 CB、AB B于点D和E, ∠B=30°，CD= 3,则BD的 长为一 D 三、解答题 17.如图所示，有一个三角形的运动跑道ABC,A点和B点是两个设置了休息站的特殊位置，现市政府想新规 划一条线路AE,使得E点到A点的距离与E点到B点的距离相等且点E在跑道BC上，请你用尺规作图法找出 E点的位置·（不写作法，保留作图痕迹） 18.如图，在△ABC中，利用尺规作图作出△ABC的中线AD.不写作法，但要保留作图痕迹. 5/7 19.如图，在平面直角坐标系O中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为1-l4B4,2,C-0) D B CO ()点A关于y轴的对称点A的坐标为一，点B关于轴的对称点B的坐标为一，线段AC的垂直平分线 与y轴的交点D的坐标为： (2)求以(1)中的点A,B,D为顶点的△A'B'D的面积. 20.尺规作图（不要求写作法，但需保留作图痕迹，并写出结论）· a (I)作△ABC,使AB=BC=CA=a; (2)作△ABC边AC上的中线BD: (3)在上述△ABC中，由公理（填符号）可以直接证得△ABD≌△」 21.如图，在△ABC中，已知AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点N,交AC于点M,连接MB (1)若∠ABC=70°，则∠NMA的度数是度： (2)若AB=8cm,△MBC的周长是l4cm. 617 ①求BC的长度： ②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值. 22.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=120°，AB的垂直平分线交BC于点M,交AB于点E,AC的垂直平 分线交BC于点N,交AC于点F,求证：BM=MN=NC. M B 23.如图所示，在△ABC中，AB=AC,BC=4,△ABC的面积是16，AC的垂直平分线EF分别交AC,AB 边于E,F两点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，求ACDM周长的最小值. M 24.如图，在△ABC中，边AB,BC的垂直平分线交于点P,连接PB,PC和PA,求证：点P在AC的垂直 平分线上. 717