1.3直角三角形寒假预习课时练-2025-2026学年北师大版数学八年级下册

1.3直角三角形寒假预习课时练 一、单选题 1.下列四组线段中，不能构成直角三角形的是（) A.a=1,b=V5c=2 B.a=1.b=v2 c=1 C.a=1,b=2c=2 a=3,b=4,c=5 D. 2.古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、 5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是() (1)13) (12) (2)F (11) (10) (3) (9) (4) (5)(6)(7)(8) A.直角三角形两个锐角互余 B.勾股定理的逆定理 C.三角形内角和等于180 D.勾股定理 3.如图，直线AE∥BF,BC平分∠ABF,AC⊥BC,∠I=40°，则∠2的度数为() C B A.20° B.40° C.70° D.140° △ABC BC=13,AC=5,AB=12 4.若在 则下列判断正确的是() A.∠A=90° B.DB=90° C.∠C=90° D.△ABC是锐角三角形 5.如图，在△ABC和△CDE中，点E在BC上.若∠ACB=∠CED=90°，∠B=32°，AB=CD,CE=AC,则 ∠ACD=() 1/6 B A.30° B.32° C.52 D.58 6.具备下列条件的△ABC,不是直角三角形的是() A.∠A=∠B=3∠C B.∠A-∠B=∠C C.∠A=2∠B=2∠C D.∠A:∠B:∠C=1:2:3 7.如图，D为△ABC 内一点， ∠ADB=90°AD=6BD=8AC=10BC=10N2 ,则图中阴影部分的面 积为() A D A.12 B.14 C.24 D.26 8.如图，AB⊥CD于点O,点E,F分别是射线OA,OC上的动点（不与点O重合），延长FE至点G, ∠BOF的角平分线及其反向延长线分别交∠FEO、∠GEO的角平分线于点M,N.若△MEN中有一个角是另一 个角的4倍，则∠EFO为(). F D A.36°或45° B.30°或60° C.45°或60° D.72°或45 9. 如图，在2×3的正方形网格中，∠1+∠2=() A.45° B.55° C.60° D.65 2/6 10.如图，在等边AAC中，AD LBC于D延长BC到E,使CE=BC,F是AC的中，点连接Er并延长， 交AB于G,BG的垂直平分线分别交BG、AD于点M、点N,连接CN、GN,下列结论：①EG⊥AB;② BG=EF:③∠GNC=120°，④aGc=4Sw,其中正确的结论序号是（） G M A.①② B.①③ C.①③④ D.①②③④ 二、填空题 11.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=20°，则∠B的度数为. 12.在直角三角形ABC中，∠A比∠B的3倍还多10°，则∠A的大小为 13.如图，AB∥CD,∠BAE=∠DCE=45°.填空： B 450 E 45o D..AB CD .∠1+45°+∠2+45°=一， .∠1+∠2=-， .LE=- 14.如图所示，四边形 BCD中，BM1D4,48=2,D=25,CD=3,Bc=5,则四边形 BCD 的面积为 B 316 15.如图，在四边形ABCD中，AC、BD为对角线，且AC=AB,∠ACD=∠ABD,AE⊥BD于点E.若 BD=3,CD=2,则DE的长度为一· B 16.如图，在△MBC中，BC边上的高D=BD,点E为边AD上的点，且BE=4C,若S0-Sam=18 ,则 图中阴影部分面积为一。 B D 三、解答题 I7.如图，已知AB=AC,且DC⊥AC,DB⊥AB,求证：∠CAD=∠BAD. B 18.请列举两个已学过的基本事实. 19.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，点E在BC上，点F在AB的延长线上，连接AE,CF且AE=CF, BF=BE.求证：AB=CB. E F B 20.如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O,∠C=70°. 4/6 A B ED C (I)若∠ABC=60°，求∠DAE的度数； (2)求∠BOE的度数， 21.如图，在四边形ABCD中，DB=90°，∠ACB=30°，AB=2,AD=5,CD=3, C (I)求∠BCD的大小： (2)求四边形ABCD的面积. 22.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D,AF平分∠CAB交CD于E,交BC于F. E D B (1)如果∠CFE=70°，求∠B的度数： (2)试说明：∠CEF=∠CFE, 23.已知：在△ABC中，∠C>∠B,AE平分∠BAC交BC于点E. 5/6 F G ■ B E D B PE ① ② ③ (I)如图①，AD⊥BC于点D,若∠C=60°，∠B=30°，求∠DAE的度数： C于点D,若B=a,∠C= AD IBC ,B (2)如图①， ，求∠D1E的度数（用含a, 的式子表示)： (3)如图②，在△ABC中，AD⊥BC于点D,F是AE上的任意一点（不与点A,E重合），过点F作 FG L BC于点G,且∠B=30，°∠C=80°，请你运用(2)中的结论求出∠EFG的度数： (4)在(3)的条件下，若点F在AE的延长线上（如图③），其他条件不变，则∠EFG的度数会发生改变吗？说 明理由. 24.为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织八 年级数学研学小组，进行了“测量花园面积”的项目式学习活动，小组测量方案示意图及测量数据如表所示： 项目主题 为校园空地设计创意花坛 项目背景 “综合与实践”小组的同学为学校一块空地设计创意花坛. 实践工具 卷尺、铅笔等。 如图，四边形ABCD是校园里的一块空 D 地，线段AC是将该空地分割成两块区 设计说明 域的栅栏（宽度忽略不计），其中 △ACD区域内种植矮牵牛，△ABC种植 B 三色堇. 测量数据 ∠BAC=90°，AB=CD=4m,BC=9m,AD=7m, 项目任务 分别求种植矮牵牛和种植三色堇的面积. 请你完成项目任务. 6/6 1.3直角三角形寒假预习课时练 一、单选题 1．下列四组线段中，不能构成直角三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的逆定理．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可判断． 由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，故能组成直角三角形，不符合题意； B、，故能组成直角三角形，不符合题意； C、，故不能组成直角三角形，符合题意； D、，故能组成直角三角形，不符合题意． 故选：C． 2．古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是（    ） A．直角三角形两个锐角互余 B．勾股定理的逆定理 C．三角形内角和等于 D．勾股定理 【答案】B 【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断． 【详解】解：设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为、、， ∵， ∴以、、为边长的三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形） 故选：B． 【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，属于基础题，注意仔细阅读题目所给内容，得到解题需要的信息，比较简单． 3．如图，直线，平分，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线定义，平角定义，直角三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 由，，得，，再通过角平分线定义得，然后由直角三角形的性质，最后由角度和差即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 4．若在中，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D．是锐角三角形 【答案】A 【分析】，，正好是一组勾股数，根据勾股定理的逆定理即可判断是直角三角形，从而求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴是直角三角形，． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，，满足，那么这个三角形就是直角三角形，且最长边所对的角是直角． 5．如图，在和中，点在上．若，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的全等判定定理，以及直角三角形两个锐角互余，解题的关键是判定出≌，从而得出，再利用互余的两个角相加等于，即可求出，最后求出； 【详解】解：，， ≌， ， ， ， 故选：B ． 6．具备下列条件的，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和等于，，得到，，得到具备条件A的不是直角三角形；根据，得到，得到具备条件B的是直角三角形；根据得到，得到具备条件C的是直角三角形；根据得到，得到具备条件D的是直角三角形． 【详解】A、由及可得，，不是直角三角形，故符合题意； B、由及可得，是直角三角形，故不符合题意； C、由及可得，，是直角三角形，故不符合题意； D、由及可得，，，是直角三角形，故不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了直角三角形．熟练掌握三角形内角和定理，直角三角形定义，是解决问题的关键． 7．如图，为内一点，，，，，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．12 B．14 C．24 D．26 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形面积，熟练掌握勾股定理是解题关键．在直角三角形中，，，再利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，从而求出，即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：，，， ，， ，， ， 是直角三角形，， ， 图中阴影部分的面积为， 故选：D 8．如图，于点O，点E，F分别是射线上的动点（不与点O重合），延长至点G，的角平分线及其反向延长线分别交的角平分线于点M，N．若中有一个角是另一个角的4倍，则为（   ）． A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的定义、直角三角形的性质、三角形内角和定理及外角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．先根据角平分线和平角的定义可得：，分4种情况讨论，①当时，②当时，③当时，④当时，根据三角形内角和及外角的性质可得结论． 【详解】解：平分平分， ， ， ； ①当时 ， 平分， ， ， ， ； ②当时， ， ， 此种情况不成立； ③当时， 设， ， ， ， ， ； ④当时， 设， ， ， 此种情况不成立； 综上所述，的度数为或； 故选：A． 9．如图，在2×3的正方形网格中，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形等知识点．取格点，连接，利用证明，推出，再根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据可得，进而可得，再利用等量代换即可解答． 【详解】解：如图：取格点，连接，    ∵，，， ∴， ∴， 由题意得：，，， ∴， ∴是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 10．如图，在等边中，于，延长到，使，是的中点，连接并延长，交于，的垂直平分线分别交、于点、点，连接、，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论序号是（   ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握勾股定理和等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．根据等边三角形的性质和三角形外角的性质得，由，可得，可判断①正确；设，则，表示和的长，可判断②正确；③作辅助线，构建三角形全等，先根据角平分线的性质得，由线段垂直平分线的性质得，证明，可判断③正确；设设则，，再表示出与即可判断④不正确． 【详解】解：是等边三角形， ，， ，是的中点， ， ， ， ， ， ，故①正确； 设，则， ，， 中，，， ， 故②不正确； ③如图，过作于，连接， 在等边三角形中， ， 平分，， ， ， 是的垂直平分线， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，故③正确； 设 在中，， ，是的中点，，则， 设则，， 是等边三角形，， ， ， ， ， ， 故④错误， 故①③正确． 故选：B． 二、填空题 11．在中，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键． 根据直角三角形的性质直接求解即可． 【详解】解：在中，， ， ， ． 故答案为：． 12．在直角三角形中，比的3倍还多，则的大小为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，解题的关键是注意进行分类讨论，分两种情况：当为直角时，当为直角时，分别求出结果即可． 【详解】解：当为直角时，， 当为直角时，， ∵比的3倍还多， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或． 13．如图，，．填空： ， ， ， ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，直角三角形的性质，根据两直线平行，同旁内角互补，以及直角三角形的两个锐角互余，进行作答即可． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：，，． 14．如图所示，四边形中，，，，，，则四边形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理判断出的形状，根据即可得出结论． 【详解】解：∵，，， ∴． ∵，，， ∴是直角三角形， ． 故答案为：． 15．如图，在四边形中，、为对角线，且，，于点．若，，则的长度为 ．    【答案】 【分析】过点A作交的延长线于点F，根据证明，得到，，再根据证明，得到，最后根据线段的和差即可求解． 【详解】解：过点A作交的延长线于点F，     ， ， ， 在和中， ， ， ∴，， 在和中， ， ， ， ，，， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关键． 16．如图，在中，边上的高，点E为边上的点，且，若，则图中阴影部分面积为 ． 【答案】18 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，证明得到，进而得到即可求解． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：18． 三、解答题 17．如图，已知，且，，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握直角三角形中运用斜边直角边判定三角形全等是解题的关键． 根据题意，运用“”判定，即可求解． 【详解】证明：，， ， 在和中， ， ， ． 18．请列举两个已学过的基本事实． 【答案】两点确定一条直线；两点之间，线段最短．（答案不唯一） 【分析】本题考查对“基本事实”的认知，解题关键是明确基本事实是学科中无需证明的基础结论． 明确“基本事实”的定义（学科中无需证明的基础结论），结合已学知识列举对应实例． 【详解】解：两点确定一条直线；两点之间，线段最短．（答案不唯一） 19．如图，在中，，点在上，点在的延长线上，连接，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键；求出，根据全等三角形的判定定理推出，根据全等三角形的性质得出，即可得证． 【详解】解：， ， 在和中 ， ， ． 20．如图，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点，． (1)若，求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和是是解题的关键． （1）先根据是高，得出的度数，再由得出的度数，由是的平分线得出的度数，由即可得出结论； （2）由得出的度数，再由、是角平分线可得出的度数，由三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：是高，， ， ， ， 是的平分线， ， ； （2）解：， ， 、是角平分线， ， 是的外角， ． 21．如图，在四边形中，，，，，， (1)求的大小； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理和逆定理，直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理，说明为直角三角形，，是解题的关键． （1）先根据直角三角形性质求出，再根据勾股定理的逆定理证明为直角三角形，，最后求出结果即可； （2）根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出，，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ∴为直角三角形，， ． （2）解：，， ， ，， 四边形的面积为． 22．如图，在中，，于，平分交于，交于F．    (1)如果，求的度数； (2)试说明：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． （1）根据三角形内角和 可得的度数，根据角平分线的定义可得的度数，根据直角三角形的性质可得的度数； （2）根据直角三角形的两锐角互余可得，，根据角平分线的定义可得，从而可得，即可得证． 【详解】（1）解：，， ， 平分交于， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， 平分交于， ， ， ， ． 23．已知：在中，，平分交于点．    (1)如图①，于点，若，求的度数； (2)如图①，于点，若，求的度数（用含的式子表示）； (3)如图②，在中，于点，是上的任意一点（不与点，重合），过点作于点，且，请你运用（2）中的结论求出的度数； (4)在（3）的条件下，若点在的延长线上（如图③），其他条件不变，则的度数会发生改变吗？说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)的度数不会发生改变，理由见解析 【分析】（1）首先根据三角形内角和定理可得，再结合角平分线的定义可知，然后由“直角三角形两锐角互余”可得，进而可得，即可获得答案； （2）结合（1）可得结论； （3）结合，易得，再证明，由“两直线平行，同位角相等”可得，即可获得答案； （4）证明，由“两直线平行，内错角相等”可得，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时， ； （2）由（1）可知，， ∴当时， ∴； （3）∵，而， ∴， ∵，， ∴， ∴； （4）的度数大小不发生改变．理由如下： ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、直角三角形两锐角互余、平行线的性质、角平分线的定义、垂直的定义等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 24．为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织八年级数学研学小组，进行了“测量花园面积”的项目式学习活动．小组测量方案示意图及测量数据如表所示： 项目主题 为校园空地设计创意花坛 项目背景 “综合与实践”小组的同学为学校一块空地设计创意花坛． 实践工具 卷尺、铅笔等． 设计说明 如图，四边形是校园里的一块空地，线段是将该空地分割成两块区域的栅栏（宽度忽略不计），其中区域内种植矮牵牛，种植三色堇． 测量数据 ，，，． 项目任务 分别求种植矮牵牛和种植三色堇的面积． 请你完成项目任务． 【答案】种植矮牵牛的面积为，种植三色堇的面积为 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，由勾股定理求得，进而由勾股定理的逆定理可证明是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵，， 在中，， 由勾股定理可得：， ∴， 又∵， ∴，则是直角三角形，， ∴种植矮牵牛的面积为， 种植三色堇的面积为． 试卷第2页，共21页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $