精品解析：上海市上海交通大学附属中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷

2025-2026学年度第一学期高二数学期末考试卷 （满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上.） 命题：李琛冰审核：杨逸峰 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 不等式的解集可用区间表示为_____. 2. 已知，则__________. 3. 设事件A、B相互独立，若且，则______. 4. 经过点且与直线垂直的直线的方程为_______. 5. 在正方体中，异面直线与所成角的大小为________. 6. 在中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若，则________． 7. 函数，的值域是______. 8. 设集合，（其中，为虚数单位）.若，则实数的取值范围是_____. 9. 如图所示，四棱锥的底面是边长为3的正方形，平面且，Q是棱上一点.若，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为_____. 10. 盒子中有散落的黑白棋子若干粒，已知从中取出2粒都是黑子的概率是，从中取出2粒都是白子的概率是，则从中取出2粒棋子恰好颜色不同的概率为____. 11. 已知椭圆上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率e的最大值为___________. 12. 在棱长为1的正方体中，点P、Q分别是棱、上的点，满足.若过线段中点且垂直于的平面与正方体的棱、均有公共点，则这两个公共点之间距离的取值范围为_____. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13、14题每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 下列幂函数中，既是偶函数，又是上的严格增函数的是（ ）. A. B. C. D. 14. 在一次男子10米气手枪射击比赛中，甲运动员的成绩（单位：环）为7.5、7.8、…、10.9；乙运动员的成绩为8.3、8.4、…、10.1，如下茎叶图所示．从这组数据来看，下列说法正确的是（ ） A. 甲的平均成绩和乙一样，且甲更稳定 B. 甲的平均成绩和乙一样，但乙更稳定 C. 甲的平均成绩高于乙，且甲更稳定 D. 乙的平均成绩高于甲，且乙更稳定 15. 在空间直角坐标系中，点集中至少有三个点，且点.设，若对于点集中任意三个点、、，“”都是“”的充分条件，则下列选项中的两点不能同时属于的是（ ）. A. 点与点 B. 点与点 C. 点与点 D. 点与点 16. 设双曲线：（其中常数），点是双曲线右支上一动点（异于顶点），点与关于轴对称；点是轴右侧一点且不在双曲线上.给出以下两个命题：①当时，对任意点，存在点使得；②若关于的函数是在上的严格减函数，则；下列说法正确的是（ ）. A. ①是真命题②是假命题 B. ①是假命题②是真命题 C. ①②都是真命题 D. ①②都是假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 设数列是首项为，公差为的等差数列. （1）若，求数列的前项和； （2）记，证明数列是等比数列；并求出当时，数列的前项和. 18. 如图所示，在长方体中，，，、分别是、的中点. （1）求证：、、、四点共面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 19. A校高一年级共有330名学生，为了解该校高一年级学生的身高情况，学校按照性别采用分层抽样的方法抽取了66名学生，测量他们的身高并记录，将样本数据分成了11组：、、…、.（单位：厘米），得到如图所示的频率分布表. 身高分组区间 频数 频率 累积频数 3 0.05 3 6 0.09 9 6 0.09 15 4 0.06 19 12 0.18 31 8 0.12 39 8 0.12 47 7 0.11 54 8 0.12 62 2 0.03 64 2 0.03 66 （1）如果该校有220名男生，110名女生，求样本中男生和女生的人数； （2）以区间的中点值给区间内的每个数据赋值，试估计该校高一学生的平均身高（精确到0.1厘米）； （3）在该样本中身高不低于178.5的学生中随机取2名学生测量体重，求这2名学生身高均在区间中的概率. 20. 如图所示，已知抛物线：，点是x轴正半轴上一点，过T的直线、分别与抛物线交于点、和点、，其中、在轴上方且在右侧，、在轴下方. （1）若点到抛物线焦点的距离为4，求点的坐标； （2）若直线的斜率为2且，求实数的值和的面积； （3）分别记、的面积为、，直线、的斜率为、.若且，求证：垂直于轴. 21. 李华同学用如下左图所示的炒勺做蛋饺，在学习立体几何后，他打算研究炒勺（不考虑勺柄，下同）的容积与表面积.如图所示，取定球面上一点N，连接N与球心，在线段上取一点，过垂直于的平面（记作）将球面分成了两部分；李华同学将炒勺抽象为其中含有点N的那部分曲面，并设球面半径为R. （1）若将炒勺简化为一个半球面（即与重合），求炒勺的容积； （2）李华记得必修三教材中，半球体积是利用如图所示的圆柱、圆锥以及祖暅原理推导所得.模仿教材中的方法，，求炒勺的容积V，并写出推导过程； （3）设厘米，厘米，利用必修三教材中近似地推导球的表面积公式的方法，帮助李华同学推测炒勺的内表面面积S（近似到0.01平方厘米），并写出推导过程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期高二数学期末考试卷 （满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上.） 命题：李琛冰审核：杨逸峰 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 不等式的解集可用区间表示为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用绝对值的性质去绝对值，解不等式即可. 【详解】由，得到，解得. 故答案为：  2. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用余弦的二倍角公式计算即可. 【详解】由，则. 故答案为：. 3. 设事件A、B相互独立，若且，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】由相互独立事件同时发生的概率公式即可求解. 【详解】因为事件A、B相互独立，所以，. 故答案为： 4. 经过点且与直线垂直的直线的方程为_______. 【答案】 【解析】 【分析】由垂直关系及所过的点，应用点斜式写出直线方程. 【详解】与直线垂直的直线斜率为，且过点， 所以，所求直线为，即. 故答案为： 5. 在正方体中，异面直线与所成角的大小为________. 【答案】 【解析】 【分析】连接，证明出，可得出结果. 【详解】连接，如下图所示： 因为四边形为正方形，则， 在正方体中，平面，平面，则， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，则， 因此，异面直线与所成角的大小为. 故答案为：. 6. 在中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】直接利用余弦定理计算可得； 【详解】解：因为，由余弦定理可得，因为，所以 故答案为： 7. 函数，的值域是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式得出，由的范围得出的范围，再利用余弦函数的基本性质可得出答案. 【详解】，且，， ，， 因此函数，的值域是. 故答案为：. 8. 设集合，（其中，为虚数单位）.若，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的几何意义，把问题转化为两个圆有交点即可. 【详解】设，得：，即， 由，得：， 即， 集合  和  分别以 和 为圆心， 半径均为 的圆盘上的点组成的集合， 由，知两圆盘有交点， 即， 解得 . 故答案为： 9. 如图所示，四棱锥的底面是边长为3的正方形，平面且，Q是棱上一点.若，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，应用向量法求面面角的余弦值. 【详解】由题意，可构建如下空间直角坐标系，则， 所以，若平面的一个法向量为， 所以，取，则， 而是平面的一个法向量， 所以， 即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 故答案为： 10. 盒子中有散落的黑白棋子若干粒，已知从中取出2粒都是黑子的概率是，从中取出2粒都是白子的概率是，则从中取出2粒棋子恰好颜色不同的概率为____. 【答案】##0.4 【解析】 【分析】利用互斥事件的加法公式可得答案. 【详解】设事件 A 为取出的两粒棋子都是黑子，事件 B 为取出的两粒棋子都是白子， 事件 C 为取出的两粒棋子颜色不同（一黑一白）， 根据题意：， 又因为，， 所以， 即. 故答案为： 11. 已知椭圆上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率e的最大值为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用已知条件设出椭圆的左焦点，进一步根据垂直的条件得到长方形，则，再根椭圆的定义，由离心率的公式得到，即可求解答案. 【详解】已知椭圆 上一点A关于原点的对称点为点B、F为其右焦点， 设椭圆的左焦点为，连接，所以四边形为长方形， 根据椭圆的定义，且，则， 所以， 又由离心率的公式得， 由，则， 所以，即椭圆的离心率的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：把椭圆的离心率转化为的三角函数，利用三角函数的值域求解是解答的关键. 12. 在棱长为1的正方体中，点P、Q分别是棱、上的点，满足.若过线段中点且垂直于的平面与正方体的棱、均有公共点，则这两个公共点之间距离的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设参数表示点的坐标，推导平面方程，再分析平面与棱的交点距离的取值范围. 【详解】设正方体的顶点坐标为：，， 设（），则点和的坐标为：，， 中点的坐标：由中点公式，， 向量， 设为法向量，为平面内任一点，由点法式平面方程， 展开得：， 化简后，平面方程为：， 棱的交点：上的点满足，代入平面方程得：， 因在线段上（），故，此时， 棱的交点：上的点满足，代入平面方程得：，故， 在平面上，方向距离为方向距离为，由两点间距离公式：， 当时，，故，因此：， 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13、14题每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 下列幂函数中，既是偶函数，又是上的严格增函数的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的性质，分别判断每个选项中函数的奇偶性和在上的单调性，从而得出符合条件的函数. 【详解】选项A：，，所以是偶函数； ，在上，随着增大，减小，所以是严格减函数，不符合在上严格增的条件； 选项B：，，所以是奇函数，不符合偶函数的条件； 选项C：，，所以是偶函数； ，指数，所以在上是严格增函数，符合条件； 选项D：，，所以是偶函数； ，是常数函数，在上不具有严格单调性，不符合条件. 故选：C. 14. 在一次男子10米气手枪射击比赛中，甲运动员的成绩（单位：环）为7.5、7.8、…、10.9；乙运动员的成绩为8.3、8.4、…、10.1，如下茎叶图所示．从这组数据来看，下列说法正确的是（ ） A. 甲的平均成绩和乙一样，且甲更稳定 B. 甲的平均成绩和乙一样，但乙更稳定 C. 甲的平均成绩高于乙，且甲更稳定 D. 乙的平均成绩高于甲，且乙更稳定 【答案】B 【解析】 【分析】分别计算甲乙的平均值和方差，对比得到答案. 【详解】甲的平均值为：， 甲的方差为： 乙的平均值为：， 乙的方差为：. 故甲的平均成绩和乙一样，但乙更稳定 故选：B 15. 在空间直角坐标系中，点集中至少有三个点，且点.设，若对于点集中任意三个点、、，“”都是“”的充分条件，则下列选项中的两点不能同时属于的是（ ）. A. 点与点 B. 点与点 C. 点与点 D. 点与点 【答案】D 【解析】 【分析】先根据题意分析得到线性无关，对于各个选项进行验证即可； 【详解】因为对于点集中任意三个点、、，“”都是“”，即这三点对应的向量线性无关. 对于A，三个向量， 设，得方程组， 即，线性无关，可以同时属于.A错误； 对于B，三个向量， 设，得方程组， 即，线性无关，可以同时属于.B错误； 对于C，三个向量， 设，得方程组， 即，线性无关，可以同时属于.C错误； 对于D，三个向量， 设，得方程组， 即，线性相关，不能同时属于.D正确； 故选：D. 16. 设双曲线：（其中常数），点是双曲线右支上一动点（异于顶点），点与关于轴对称；点是轴右侧一点且不在双曲线上.给出以下两个命题：①当时，对任意点，存在点使得；②若关于的函数是在上的严格减函数，则；下列说法正确的是（ ）. A. ①是真命题②是假命题 B. ①是假命题②是真命题 C. ①②都是真命题 D. ①②都是假命题 【答案】C 【解析】 【分析】把表示成关于的函数，对于①，利用一元二次方程实根分布，分析在上有解即可；对于②，利用二次函数的单调性分类讨论即可. 【详解】双曲线 （），点  在右支上（）， 点  与  关于  轴对称，即 ，点  满足  且不在  上， 命题①：当  时，， 代入 ，整理得： 记 ， 由于 ，二次项系数 ，开口向下， 计算 ，因为  不在  上，所以 ，故 ， 当  时，， 由连续性可知，存在  使得 ，即存在点  满足垂直条件，因此命题①为真； 命题② ， 记， 当  时，，二次函数开口向上，对称轴为 ， 此时  在对称轴左侧递减，右侧递增，不可能在  上整体严格递减，不满足题意， 当  时， 为一次函数，斜率 ，在  上严格递减，满足题意， 当  时，，开口向下，对称轴 ， 在  上 单调 递减，满足题意， 综上：若  在  上严格递减，必有 ，命题②为真. 因此：①②均为真命题. 故选：C 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 设数列是首项为，公差为的等差数列. （1）若，求数列的前项和； （2）记，证明数列是等比数列；并求出当时，数列的前项和. 【答案】（1） （2） 已知，则，那么， 因为是等差数列，所以，则，由于为常数，所以为常数，且， 根据等比数列的定义可得数列是以为首项，为公比的等比数列； 当时，等比数列的首项，公比， 得：， 因此，数列是以为首项，为公比的等比数列；当时，数列的前项和. 【解析】 【分析】（1）先根据等差数列的通项公式求出公差，再利用等差数列的前$n$项和公式求出； （2）根据等比数列的定义，证明为常数；再根据等比数列的前项和公式求出. 【小问1详解】 已知数列是首项，公差为的等差数列，可得， 因为，所以，解得， 根据等差数列的前项和公式可得：， 因此，数列的前项和； 【小问2详解】 略 18. 如图所示，在长方体中，，，、分别是、的中点. （1）求证：、、、四点共面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 因为、分别是、的中点， 所以，又， 则， 所以、、、四点共面. （2） 【解析】 【分析】（1）证明，即可证明、、、四点共面； （2）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和，利用向量法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 由题意得，，，，， 则，，， 设平面的法向量， 则，令，则，， 则， 设直线与平面所成角为， 则, 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19. A校高一年级共有330名学生，为了解该校高一年级学生的身高情况，学校按照性别采用分层抽样的方法抽取了66名学生，测量他们的身高并记录，将样本数据分成了11组：、、…、.（单位：厘米），得到如图所示的频率分布表. 身高分组区间 频数 频率 累积频数 3 0.05 3 6 0.09 9 6 0.09 15 4 0.06 19 12 0.18 31 8 0.12 39 8 0.12 47 7 0.11 54 8 0.12 62 2 0.03 64 2 0.03 66 （1）如果该校有220名男生，110名女生，求样本中男生和女生的人数； （2）以区间的中点值给区间内的每个数据赋值，试估计该校高一学生的平均身高（精确到0.1厘米）； （3）在该样本中身高不低于178.5的学生中随机取2名学生测量体重，求这2名学生身高均在区间中的概率. 【答案】（1）样本中男生人数为44人，女生人数为22人. （2）167.4厘米 （3） 【解析】 【分析】（1）求出抽样比，根据抽样比分别计算男生、女生在样本中的人数. （2）计算每组中值点与频数的乘积之和，再除以样本总数即可估计平均身高. （3）确定样本中身高不低于178.5的学生总数及各组人数，结合组合方法求解即可. 【小问1详解】 抽样比为. 样本中男生人数为人，样本中女生人数为人. 【小问2详解】 样本中学生身高总和为， 该校高一学生的平均身高为（厘米） 【小问3详解】 身高不低于178.5的学生在和，分别为2人，2人， 则这2名学生身高均在区间中的概率：. 20. 如图所示，已知抛物线：，点是x轴正半轴上一点，过T的直线、分别与抛物线交于点、和点、，其中、在轴上方且在右侧，、在轴下方. （1）若点到抛物线焦点的距离为4，求点的坐标； （2）若直线的斜率为2且，求实数的值和的面积； （3）分别记、的面积为、，直线、的斜率为、.若且，求证：垂直于轴. 【答案】（1） （2）； （3） 设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 则，，，， 又，，， 则， 又，则① 设直线的方程为， 联立，则，， 则， 同理可得，则②， 由①②得，，， 由得，即， 化简得， 将，代入得， 所以，即，即， 所以直线垂直于轴. 【解析】 【分析】（1）根据焦半径公式即可求解； （2）联立直线方程与抛物线方程求出，根据题目信息即可求出，根据即可求出； （3）由可得，将直线方程与抛物线方程联立得到，同理，可得，进而得到，，根据得到，将，代入得到，即，即证明. 【小问1详解】 根据抛物线的定义，点到抛物线焦点的距离为， 由题意得，所以， 代入抛物线方程得或（舍去）， 所以点的坐标为. 【小问2详解】 由题意得直线的方程为， 联立，则，， 则，，又，则，解得， . 【小问3详解】 略 21. 李华同学用如下左图所示的炒勺做蛋饺，在学习立体几何后，他打算研究炒勺（不考虑勺柄，下同）的容积与表面积.如图所示，取定球面上一点N，连接N与球心，在线段上取一点，过垂直于的平面（记作）将球面分成了两部分；李华同学将炒勺抽象为其中含有点N的那部分曲面，并设球面半径为R. （1）若将炒勺简化为一个半球面（即与重合），求炒勺的容积； （2）李华记得必修三教材中，半球体积是利用如图所示的圆柱、圆锥以及祖暅原理推导所得.模仿教材中的方法，，求炒勺的容积V，并写出推导过程； （3）设厘米，厘米，利用必修三教材中近似地推导球的表面积公式的方法，帮助李华同学推测炒勺的内表面面积S（近似到0.01平方厘米），并写出推导过程. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用球的体积公式即可求解； （2）先证明等高的横截面面积相等，再来计算相等部分的体积即可； （3）利用分割思想，把每一个锥体的高近似看成，再利用体积相等，来近似计算求出炒勺的表面积. 【小问1详解】 若将炒勺简化为一个半球面（即与重合），则炒勺的容积为； 【小问2详解】 如图：先证明对任意高度，图中的阴影部分面积相等， 图（1）中阴影部分圆的半径设为，则由垂径定理可知：， 所以图（1）中阴影部分圆的面积为：， 图（2）中阴影部分为圆环，设内圆半径为，则， 所以图（2）中阴影部分圆环的面积为：， 此时对任意的高度，都有，则根据祖暅原理， 可知炒勺的容积V等于一个高为的圆柱体积减去一个圆台体积， 即 ， 故炒勺的容积； 【小问3详解】 当厘米，厘米，先计算炒勺的容积， 再计算阴影部分圆的半径 图中阴影部分下方的圆锥体积， 再根据推导球的表面积公式的方法，将炒勺的球面分割成微小的 n 个部分，每一个部分与球心形成的锥体的高都近似看成球的半径， 从而可将这 n 个锥体的体积之和等于炒勺和圆锥组成的几何体体积，最后可近似求出炒勺的表面积，设炒勺的表面积为， 则 故炒勺的表面积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $