上海市控江中学2025-2026学年高一上学期期末质量调研数学试卷

控江中学2025学年度第一学期高一年级期末质量调研 数学试卷（2026年1月） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 设集合 ，，则 __________. 2. 若，，则角 ________. 3. 关于x的不等式 的解集为___________. 4. 若函数 是指数函数，则的取值范围是__________. 5. 已知一个扇形的周长为 ，若该扇形的弧长为 ，则该扇形的圆心角为___________. 6. 已知定义在上的奇函数 ，当 时，有 ，则 __________. 7. 已知 ，则 __________. 8. 函数 的严格减区间是_________. 9. 已知 ，且 是方程 的两个根，则 __________. 10. 已知为常数，函数 ，设 ，若函数 恰有两个零点，则的取值范围是___________. 11. 已知 ，函数 ，若该函数存在最小值，则实数的取值范围是___________. 12. 已知 ，且 恒成立，则实数的最大值是____________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且仅有一个正确答案 13. 已知为第一象限的角，则所在象限为（ ） A. 第一象限 B. 第一、二象限 C. 第一、三象限 D. 第一、四象限 14. “且”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 15. 已知的三个内角A，B，C满足，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 16. 对于函数，常数，若自变量在区间上变化时，函数值的取值范围恰为，则称区间是函数的倍值区间，区间长度为。已知定义域为的函数的表达式为，给出下列结论： ① 函数恰有2个1倍值区间； ② 函数的所有倍区间长度之和为。 下列说法正确的是（ ） A. 结论①成立，结论②不成立 B. 结论①不成立，结论②成立 C. 两个结论都成立 D. 两个结论都不成立 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，其中第17-19题每题14分，第20-21题每题18分） 17.（本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分） 设常数，集合，集合 (1) 全集，若，求； (2) 若，求的取值范围。 18.（本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分） 在中，角A、B、C所对应的边分别是a、b、c，已知，，。 (1) 求c的值； (2) 求与的面积。 19.（本题满分14分，其中第1小题7分，第2小题7分） 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得36万元~1600万元的投资收益（包含36万元和1600万元），现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，奖金不低于5万元，不超过95万元，同时奖金不超过投资收益的20%。 (1) 请用数学语言列出该公司对奖励方案函数模型的要求，判断函数是否能作为奖励方案，并说明理由； (2) 已知函数符合该公司奖励方案函数模型要求，求实数的取值范围。 20.（本题满分18分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 已知 (1) 当，时，化简并计算的值； (2) 当，时，若为锐角，且，求的值； (3) 当，时，若关于x的方程在上有两个不相等的实数根 (i)直接写出c的取值范围； (ii) 求的值。 21.（本题满分18分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 已知为定义在实数集上的函数，把关于x的方程称为函数的“衍生”方程，记为函数的“衍生”方程的两个实根。 (1) 根据m的值，讨论函数的奇偶性，并说明理由； (2) 已知m为给定实数，求的表达式； (3) 把函数（）的最大值记作，最小值记作。 (i)判断并证明函数（）的单调性； (ii) 令，若恒成立，求的取值范围。 学科网（北京）股份有限公司 $