3.6 直线和圆的位置关系（第2课时切线的判定及三角形的内切圆）（导学案）数学北师大版九年级下册

3.6直线和圆的位置关系 导学案 第2课时 切线的判定及三角形的内切圆 1.理解并掌握切线的判定定理，能够熟练运用切线的性质和判定解决相关证明与计算。 2.了解三角形的内切圆的概念及性质，并能灵活应用。 学习重点：切线的判定与性质、三角形内切圆的作法与性质。 学习难点：恰当运用切线判定思想和三角形内心与角平分线等知识综合解题。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情境： 1.知识回顾 ①圆和直线的位置关系有三种：相交 、相切和相离. ，则直线与圆相离； ，则直线与圆相切； ，则直线与圆相交 ②切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 2.情景引入 下图中让你感受到了直线与圆的哪种位置关系？如何判断一条直线是否为切线呢？ 砂轮上打磨工件时飞出的火星 新知自研：自研课本第92--93页的内容． 【学法指导】 自研课本P92-93页的内容，思考： ●探究点一：圆的切线的判定 ◆1.议一议 如图,AB是⊙O的直径,直线l经过点A,l与AB的夹角为∠α,当l绕点A顺时针旋转时, （1）随着∠α的变化，点O到l的距离d如何变化？直线l与⊙O的位置关系如何变化？ 解：如图，直线与AB的夹角为α,点O到的距离为，<r，这时直线与⊙O的位置关系是相交；当把直线沿顺时针方向旋转到l位置时，∠α由锐角变为直角，点O到l的距离为d，d=r，这时直线l与⊙O的位置关系是相切；当把直线l再继续旋转到位置时，∠α由直角变为钝角，点O到的距离为，<r，这时直线与⊙O的位置关系是相交． (2)当∠α等于多少度时，点O到l的距离d等于半径r? 此时，直线l与⊙O有怎样的位置关系?为什么? 解：（2）当∠α＝90°时，点O到l的距离d等于半径． 此时，直线l与⊙O的位置关系是相切，因为从上一节课可知，当圆心O到直线l的距离d＝r时，直线与⊙O相切． ◆2.知识归纳 切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线. 几何语言： ∵OA是⊙O的半径,BC⊥OA于A, ∴BC是⊙O的切线. 这个定理实际上就是: d=r直线和圆相切的另一种说法. ◆3.练一练 如图，AT是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT＝AB． 求证：AB是⊙O的切线． 【分析】AT经过直径的一端，因此只要证AT垂直于AB即可说明AB是⊙O的切线． 【解答】解：证明：∵ AB=AT，∠ABT＝45°， ∴ ∠ATB＝∠ABT＝45°． ∴ ∠TAB=180°－∠ABT－∠ATB＝90°． ∴ AT⊥AB， 即AB是⊙O的切线． ◆4.做一做 用三角尺过圆上一点画圆的切线. 如下图所示，已知⊙O 上一点A，过点A画⊙O 的切线． 画法：（1）连接OA，将三角尺的直角顶点放在点A处， 并使一直角边与半径OA重合； （2） 过点A 沿着三角尺的另一条直角边画直线l，则l 就是所要画的切线.如图所示. ●探究点二：三角形的内切圆及内心 ◆1.做一做 如何作圆，使它和已知三角形的各边都相切？ 已知：△ABC（如图）. 求作：⊙O，使它和△ABC的三边都相切. 【分析】如果圆O与△ABC的三条边都相切，那么圆心O到三条边的距离都等于半径，从而这些距离相等. 到一个角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，因此圆心O是∠A 的平分线与∠B的平分线的交点. 【解答】解：作法： 1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O. 2.过点O作OD⊥BC.垂足为D. 3.以O为圆心，OD为半径作圆O. ☉O就是所求的圆. ◆2.想一想 观察并思考，与△ABC的三条边都相切的圆有几个？ 【解答】解：因为∠B和∠C的平分线的交点只有一个,并且交点O到△ABC三边的距离相等且唯一，所以与△ABC三边都相切的圆有且只有一个. ◆3.知识归纳 三角形的内切圆及内心： 1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心. 3.三角形的内心到三角形的三边的距离相等. 4.三角形的内心就是三角形的三条角平分线的交点. ⊙O是△ABC的内切圆，点O是△ABC的内心. ◆4.练一练 如图，⊙O内切于△ABC，切点D、E、F分别在BC、AB、AC上．已知∠B＝50°，∠C＝60°，连接OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于(　　)  A．40° B．55° C．65° D．70° 解：B ●探究点三：三角形内切圆的半径求法 ◆1.做一做 (1)分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的内切圆,并说明它们内心的位置情况. 【解答】解：三角形的内心均在三角形内部. (2)如图，△ABC的内切圆的半径为r, △ABC的周长为l,求△ABC的面积S. 【解答】解：设△ABC的内切圆与三边相切于D、E、F， 连接OA、OB、OC、OD、OE、OF， 则OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC. ∴＝＋＋ ＝AB·OD＋BC·OE＋AC·OF ＝l·r ◆2.知识归纳 三角形内切圆的半径求法： 设△ABC的三边为a、b、c，面积为S，则△ABC的内切圆的半径r＝; 当△ABC为直角三角形，a，b为直角边时，r=. ◆3.练一练 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，CB＝8，则△ABC的内切圆半径r为(　　 ) A．1   B．2  C．1.5  D．2.5 解：B 【例题导析】 自研下面典例的内容，回答问题： 典例分析 例1 如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠D＝30°，求证：CD是⊙O的切线． 证明：如图连接OC， ∵AC＝CD，∠D＝30°， ∴∠A＝∠D＝30°. ∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠A＝30°， ∴∠COD＝60°， ∴∠OCD＝90°，即OC⊥CD. ∴CD是⊙O的切线． 例2 △ABC中，⊙O是△ABC的内切圆，∠ A=70°，求∠ BOC的度数. 解：∵∠ A=70°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠ A=110°， ∵⊙O是△ABC的内切圆， ∴BO,CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线， ∴∠ OBC=∠ABC ∠OCB= ∠ACB， ∴∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠OCB) =180°- ( ∠ABC +∠ACB)=180° - ×110°= 125°. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.讨论切线的判定定理以及三角形内切圆的性质； B.交流例题的解题思路，总结方法和易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.下列说法正确的是( ) A.与圆有公共点的直线是圆的切线 B.过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C.垂直于半径的直线是圆的切线 D.与圆心的距离小于半径的直线是圆的切线 解：B． 2.如图，圆O是△ABC的内切圆，分别切BA，BC，AC于点E，F，D，点P在弧DE上，如果∠EPF＝70°，那么∠B＝(　　) A．40° B．50° C．60° D．70° 解：A． 3.如图，点B在☉A上，点C在☉A外，以下条件不能判定BC是☉A的切线的是( ) A.∠A= 50°，∠C = 40° B.∠B-∠C = ∠A C. + = D.☉A与AC的交点是AC中点 解：D. 4.若☉O是ΔABC的内切圆，则点O是ΔABC的( ) A.三条边的垂直平分线的交点 B三条角平分线的交点 C三条中线的交点 D.三条高的交点 解：B． 5. 如图，在△ABC中，点O是内心， （1）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，则∠BOC的度数是______. （2）若∠A=80°，则∠BOC=_________ . （3）若∠BOC=110°，则∠A=_________. 解：120°,130°,40° 6.已知:如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C是直角， AC=3，BC=4.则⊙O的半径r=_____. 解：1 7. 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB. 求证：直线AB是⊙O的切线. 证明：连接OC. ∵ OA＝OB,CA＝CB, ∴ OC是等腰△OAB底边AB上的中线.　 ∴ AB⊥OC. ∵ OC是⊙O的半径, ∴ AB是⊙O的切线. 8. 如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与△ABC的外接圆相交于点D. (1)若∠BAC＝70°，求∠CBD的度数； (2)求证：DE＝DB. (1)解：∵ 点E是△ABC的内心，∠BAC＝70°， ∴ ∠CAD＝∠BAC＝35°， ∴ ∠CBD＝∠CAD＝35°. （2）证明：∵ 点E是△ABC的内心， ∴ ∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD. ∵ ∠CBD＝∠CAD，∴ ∠CBD＝∠BAD. ∵ ∠BAD＋∠ABE＝∠BED，∠CBE＋∠CBD＝∠DBE， ∴ ∠DBE＝∠BED，∴ DE＝DB. 题型一： 切线的判定---连半径证垂直 1.如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，与BC交于点D，过D作AC的垂线，垂足为E． 求证：DE是⊙O切线． 【分析】连接OD，由于∠BAC＝2∠BAD，∠BOD＝2∠BAD，那么∠BAC＝∠BOD，可得OD∥AC，而DE⊥AC，易证∠ODB＝90°，从而可证DE是⊙O切线． 【解答】证明：连接OD， ∵∠BAC＝2∠BAD，∠BOD＝2∠BAD， ∴∠BAC＝∠BOD， ∴OD∥AC， 又∵DE⊥AC， ∴∠AED＝90°， ∴∠ODE＝∠AED＝90°， ∴半径OD⊥DE， ∴DE是⊙O的切线． 【点评】本题考查了等腰三角形三线合一定理、平行线的判定和性质、圆周角定理、切线的判定．解题的关键是连接OD、AD，并证明OD∥AC． 2.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CD，垂足为D，AC平分∠DAB．求证：DC为⊙O的切线． 【分析】由于C是⊙O上一点，连接OC，证OC⊥CD即可；利用角平分线的性质和等边对等角，可证得∠OCA＝∠CAD，即可得到OC∥AD，由于AD⊥CD，那么OC⊥CD，由此得证． 【解答】证明：如图，连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∵AC平分∠DAC， ∴∠DAC＝∠OAC， ∴∠DAC＝∠OCA， ∴AD∥OC， ∵AD⊥CD， ∴OC⊥CD， ∵C在⊙O上， ∴CD是⊙O的切线． 【点评】本题主要考查的是切线的判定方法．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可． 3.如图，⊙O的直径AB＝4，∠ABC＝30°，BC交⊙O于点D，D是BC的中点． （1）求BC的长； （2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线． 【分析】（1）根据圆周角定理求得∠ADB＝90°，然后解直角三角形即可求得BD，进而求得BC即可； （2）要证明直线DE是⊙O的切线只要证明∠EDO＝90°即可． 【解答】解：（1）连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， 又∵∠ABC＝30°，AB＝4， ∴BD＝2， ∵D是BC的中点， ∴BC＝2BD＝4； （2）连接OD． ∵D是BC的中点，O是AB的中点， ∴DO是△ABC的中位线， ∴OD∥AC，则∠EDO＝∠CED 又∵DE⊥AC， ∴∠CED＝90°，∠EDO＝∠CED＝90° ∴DE是⊙O的切线． 【点评】此题主要考查了切线的判定以及含30°角的直角三角形的性质．解题时要注意连接过切点的半径是圆中的常见辅助线． 题型二 切线的判定---作半径证垂直 4.如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线． 【分析】过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，根据切线的性质得出AB⊥OD，根据等腰三角形三线合一的性质得出AO是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质得出OE＝OD，从而证得结论． 【解答】证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA， ∵AB与⊙O相切于点D， ∴AB⊥OD， ∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点， ∴AO是∠BAC的平分线， ∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径， ∵圆心到直线的距离等于半径， ∴AC是⊙O的切线． 【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 5. 如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．求证：CD与⊙O相切． 【分析】利用正方形的性质得出AC平分角∠BCD，再利用角平分线的性质得出OM＝ON，即可得出答案． 【解答】证明：如图所示，连接OM，过点O作ON⊥CD于点N， ∵⊙O与BC相切于点M， ∴OM⊥BC， 又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点， ∴OM＝ON， ∴ON为⊙O的半径， ∴CD与⊙O相切． 【点评】此题主要考查了正方形的性质以及角平分线的性质，得出OM＝ON是解题关键． 6.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3． （1）求证：AC是⊙D的切线； （2）求线段AC的长． 【分析】（1）过点D作DF⊥AC于F，求出BD＝DF等于半径，得出AC是⊙D的切线． （2）先证明△BDE≌△DCF（HL），根据全等三角形对应边相等及切线的性质的AB＝AF，得出AB+EB＝AC． 【解答】证明：（1）过点D作DF⊥AC于F； ∵AB为⊙D的切线， ∴∠B＝90° ∴AB⊥BC ∵AD平分∠BAC，DF⊥AC ∴BD＝DF ∴AC与⊙D相切； （2）在△BDE和△DCF中； ∵BD＝DF，DE＝DC， ∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL）， ∴EB＝FC． ∵AB＝AF， ∴AB+EB＝AF+FC， 即AB+EB＝AC， ∴AC＝5+3＝8． 【点评】本题考查的是切线的判定、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质；熟练掌握切线的判定方法，证明三角形全等得出EB=FC是解决问题（2）的关键． 题型三 与三角形内切圆有关的计算 7．如图，已知⊙I是△ABC的内切圆，点I是内心，若∠A＝28°，则∠BIC等于（　　） A．99° B．102° C．104° D．152° 【分析】先利用三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB＝152°，再利用点I是△ABC的内心可得BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，从而可求出∠IBC+∠ICB，最后再利用三角形内角和定理进行计算即可解答． 【解答】解：∵∠A＝28°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝152°， ∵⊙I是△ABC的内切圆，点I是内心， ∴BI平分∠ABC，CI平分∠ACB， ∴∠IBC∠ABC，∠ICB∠ACB， ∴∠IBC+∠ICB∠ABC∠ACB （∠ABC+∠ACB） ＝76°， ∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB） ＝180°﹣76° ＝104°， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形内切圆与内心，熟练掌握三角形内心的意义是解题的关键． 8．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，点M是△ABC的内心，∠AMC＝128°，则∠CDE的度数为（　　） A．52° B．64° C．76° D．78° 【分析】由点M是△ABC的内心，得∠OAC∠BAC，∠OCA∠BCA，则∠OAC+∠OCA（∠BAC+∠BCA），而∠OAC+∠OCA＝180°﹣∠AMC＝52°，所以（∠BAC+∠BCA）＝52°，求得∠BAC+∠BCA＝104°，则∠B＝76°，由∠CDE+∠ADC＝180°，∠B+∠ADC＝180°，得∠CDE＝∠B＝76°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵点M是△ABC的内心，∠AMC＝128°， ∴AM平分∠BAC，CM平分∠BCA， ∴∠OAC∠BAC，∠OCA∠BCA， ∴∠OAC+∠OCA（∠BAC+∠BCA）， ∵∠OAC+∠OCA＝180°﹣∠AMC＝180°﹣128°＝52°， ∴（∠BAC+∠BCA）＝52°， ∴∠BAC+∠BCA＝104°， ∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠BCA）＝180°﹣104°＝76°， ∵∠CDE+∠ADC＝180°，∠B+∠ADC＝180°， ∴∠CDE＝∠B＝76°， 故选：C． 【点评】此题重点考查三角形的内切圆的定义与性质、圆内接四边形的对角互补、同角的补角相等、三角形内角和定理等知识，求得∠BAC+∠BCA＝104°是解题的关键． 9．如图所示，⊙O是等边三角形ABC的内切圆，若AB＝4，则⊙O的半径是（　　） A． B．1 C． D．2 【分析】由切线的性质得到OM⊥BC，ON⊥AB，又OM＝ON，推出OB平分∠ABC，同理：OC平分∠ACB，由等边三角形的性质推出△OBC是等腰三角形，由等腰三角形的性质求出BM的长，由锐角的正切即可求出OM的长． 【解答】解：如图，⊙O分别与AB、BC相切于N、M， 连接OB，OC，OM，ON， ∴OM⊥BC，ON⊥AB， ∵OM＝ON， ∴OB平分∠ABC， 同理：OC平分∠ACB， ∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB， ∵△ABC是等边三角形， ∴BC＝AB＝4，∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠OBC＝∠OCB＝30°， ∴OB＝OC， ∵OM⊥BC， ∴BMBC＝2， ∵tan∠OBM， ∴OM， ∴⊙O的半径是． 故选：C． 【点评】本题考查三角形的内切圆与内心，等边三角形的性质，角平分线的判定，解直角三角形，关键是由切线的性质，角平分线性质定理的逆定理推出OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，得到△OBC是等腰三角形． 10．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D． （1）求证：BD＝DE； （2）连接OD交BC于点G，若OD⊥BC，DG＝2，BC＝10，求圆的半径． 【分析】（1）根据内心的性质得到∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠DAC，根据圆周角定理解答即可； （2）连接OD，结合（1）根据垂径定理可得OD垂直平分BC，然后根据勾股定理列方程求解即可． 【解答】解：（1）证明：连接BE， ∵点E是△ABC的内心， ∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠DAC， ∵∠CAD＝∠CBD， ∴∠BAD＝∠DBC， ∴∠DBE＝∠DBC+∠EBC， ∵∠DEB＝∠ABE+∠BAD， ∴BD＝BE； （2）解：连接OD， 由（1）可知，∠BAD＝∠DAC， ∴， ∴OD垂直平分BC， ∴BGBC10＝5， 设OD＝OB＝x， 则OG＝x﹣DG＝x﹣2， 在Rt△OBG中，由勾股定理可得： OG2+BG2＝OB2， ∴（x﹣2）2+52＝x2， 解得． ∴圆的半径为． 【点评】本题考查的是三角形的内切圆与内心、外接圆与外心的概念和性质，掌握三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点是解题的关键． 11．如图，已知⊙O是Rt△ABC的外接圆，点D是Rt△ABC的内心，BD的延长线与⊙O相交于点E，过E作直线l∥AC． （1）求证：l是⊙O的切线； （2）连接CE，若AB＝3，AC＝4，求CE的长． 【分析】（1）连接OE，利用角平分线的性质和等腰三角形可得AB∥OE，再利用平行线的性质说明OE⊥l，即可证明结论； （2）利用垂径定理和勾股定理可得CGAC＝2，OGAB，在Rt△CEG中，利用勾股定理可得CE的长． 【解答】（1）证明：连接OE， ∵点D是Rt△ABC的内心， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵OB＝OE， ∴∠EBC＝∠OEB， ∴∠ABE＝∠OEB， ∴AB∥OE， ∴∠BAC＝∠OGC＝90°， ∵l∥AC， ∴OE⊥l， ∴OE为半径， ∴l是⊙O的切线； （2）解：在Rt△ABC中，由勾股定理得， BC5， ∴OC， ∵OG⊥AC， ∴CGAC＝2，OGAB， ∴EG1， 在Rt△CEG中，由勾股定理得， CE． 【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，垂径定理，圆的切线的证明等知识，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键． 题型五 切线的性质与判定综合运用 12．如图，AE是⊙O的直径，弦CB与AE交于点F，过点A的切线交CB的延长线于点D，点B是DF的中点． （1）求证：∠AFB＝∠C； （2）若AB＝5，AF＝6，求⊙O半径的长． 【分析】1）由切线性质可知，EA⊥AD，即∠EAD＝90°，根据点B是DF的中点，可知，进而可知∠BAE＝∠AFB，由可知∠C＝∠BAE，即可证得结论； （2）连接AC，则∠EAC＝∠ECF+∠ACD＝90°，由（1）可知，∠EAD＝90°，则∠AFB+∠D＝90°，可得∠ACD＝∠D，∠CFE＝∠ECF进而可知AC＝AD，EC＝EF，由AB＝5，AF＝6，，易知DF＝10，AD＝AC＝8，则设⊙O半径的长为r，则AE＝2r，由勾股定理可知：AC2+CE2＝AE2，即：82+（2r﹣6）2＝（2r）2，即可求得⊙O半径的长． 【解答】（1）证明：∵AD是⊙O的切线， ∴EA⊥AD，即∠EAD＝90°， ∵点B是DF的中点， ∴， ∴∠BAE＝∠AFB， ∵， ∴∠C＝∠BAE， ∴∠AFB＝∠C； （2）解：连接AC，则∠ECA＝∠ECF+∠ACD＝90°， 由（1）可知，∠EAD＝90°，则∠AFB+∠D＝90°， ∵∠AFB＝∠ECF，∠AFB＝∠CFE， ∴∠ACD＝∠D，∠CFE＝∠ECF ∴AC＝AD，EC＝EF， ∵AB＝5，AF＝6，， ∴DF＝10，则， 则设⊙O半径的长为r，则AE＝2r，CE＝EF＝AE﹣AF＝2r﹣6， 由勾股定理可知：AC2+CE2＝AE2，即：82+（2r﹣6）2＝（2r）2， 解得：， 即：⊙O半径的长为． 【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，熟悉相关性质是解决问题的关键． 13．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E． （1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若BC＝3，CD＝3，求ED的长． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，角平分线的定义可得出OD∥AE，再根据AE⊥CD，得出OD⊥CD，进而得出结论； （2）利用勾股定理求出半径OD，进而得出∠C＝30°，∠COD＝60°，再根据等腰三角形的性质得出∠OAD＝∠ODA60°＝30°＝∠C，进而得出AD＝CD，即可求解． 【解答】（1）证明：连接OD， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∵AD平分∠CAE， ∴∠EAD＝∠OAD， ∴∠EAD＝∠ODA， ∴OD∥AE， 又∵AE⊥CD， ∴OD⊥CD， ∵OD是半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：设OD＝x＝OB，在Rt△COD中，由勾股定理得，OD2+CD2＝OC2， 即x2+（3）2＝（x+3）2， 解得x＝3， 即OD＝3，OC＝6， ∴∠C＝30°，∠COD＝60°， ∴∠EAD＝∠DAC60°＝30°＝∠C， ∴AD＝CD＝3， ∴DEAD． 【点评】本题考查切线的判定和性质，掌握切线的判定方法，等腰三角形的性质，平行线的性质以及角平分线的定义是解决问题的关键． 14．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作DE⊥AC交AC于点E． （1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长． 【分析】（1）连接AD，根据圆周角定理求出∠ADB＝90°，根据等腰三角形的性质求出BD＝CD，根据三角形的中位线求出OD∥AC，求出DE⊥OD，根据切线的判定得出即可； （2）由等腰三角形的性质求出BD＝CD＝8，由勾股定理求出AD的长，根据三角形的面积得出答案． 【解答】解：（1）直线DE与⊙O的位置关系是相切， 理由是：连接AD，OD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， 即AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴BD＝CD， ∵AO＝BO， ∴DO∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∵OD是⊙O的半径， ∴直线DE与⊙O的位置关系是相切； （2）∵⊙O的半径为5， ∴AC＝AB＝10， ∵BC＝16，BD＝CD， ∴CD＝8， 在Rt△ACD中， AD6， ∵S△ADCAC•DEAD•CD， ∴DE． 【点评】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的面积等知识，正确作出辅助线，熟练掌握掌握切线的判定与性质是解题的关键． ▲1.切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线. 几何语言： ∵OA是⊙O的半径,BC⊥OA于A, ∴BC是⊙O的切线. ▲2.三角形的内切圆及内心： 1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心. 3.三角形的内心到三角形的三边的距离相等. 4.三角形的内心就是三角形的三条角平分线的交点. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.6直线和圆的位置关系 导学案 第2课时 切线的判定及三角形的内切圆 1.理解并掌握切线的判定定理，能够熟练运用切线的性质和判定解决相关证明与计算。 2.了解三角形的内切圆的概念及性质，并能灵活应用。 学习重点：切线的判定与性质、三角形内切圆的作法与性质。 学习难点：恰当运用切线判定思想和三角形内心与角平分线等知识综合解题。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 问题情境： 1.知识回顾 ①圆和直线的位置关系有三种：相交 、相切和相离. ，则直线与圆 ； ，则直线与圆 ； ，则直线与圆 . ②切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的 ． 2.情景引入 下图中让你感受到了直线与圆的哪种位置关系？如何判断一条直线是否为切线呢？ 砂轮上打磨工件时飞出的火星 新知自研：自研课本第92--93页的内容． 【学法指导】 自研课本P92-93页的内容，思考： ●探究点一：圆的切线的判定 ◆1.议一议 如图,AB是⊙O的直径,直线l经过点A,l与AB的夹角为∠α,当l绕点A顺时针旋转时, （1） 随着∠α的变化，点O到l的距离d如何变化？直线l与⊙O的位置关系如何变化？ （2） 当∠α等于多少度时，点O到l的距离d等于半径r? 此时，直线l与⊙O有怎样的位置关系?为什么? ◆2.知识归纳 切线的判定定理：过半径 且垂直于 的直线是圆的切线. 几何语言： ∵OA是⊙O的半径, , ∴BC是⊙O的切线. 这个定理实际上就是: d=r直线和圆相切的另一种说法. ◆3.练一练 如图，AT是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT＝AB． 求证：AB是⊙O的切线． 【分析】AT经过直径的一端，因此只要证 即可说明AB是⊙O的切线． 【解答】 ◆4.做一做 用三角尺过圆上一点画圆的切线. 如下图所示，已知⊙O 上一点A，过点A画⊙O 的切线． ●探究点二：三角形的内切圆及内心 ◆1.做一做 如何作圆，使它和已知三角形的各边都相切？ 已知：△ABC（如图）. 求作：⊙O，使它和△ABC的三边都相切. 【分析】如果圆O与△ABC的三条边都相切，那么圆心O到三条边的距离都等于半径，从而这些距离相等. 到一个角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，因此圆心O是∠A 的平分线与∠B的平分线的交点. 【解答】 ◆2.想一想 观察并思考，与△ABC的三条边都相切的圆有几个？ ◆3.知识归纳 三角形的内切圆及内心： 1.与三角形各边都 的圆叫做三角形的内切圆. 2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的 . 3.三角形的内心到三角形的 相等. 4.三角形的内心就是三角形的 的交点. ⊙O是△ABC的内切圆，点O是△ABC的内心. ◆4.练一练 如图，⊙O内切于△ABC，切点D、E、F分别在BC、AB、AC上．已知∠B＝50°，∠C＝60°，连接OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于(　　)  A．40° B．55° C．65° D．70° ●探究点三：三角形内切圆的半径求法 ◆1.做一做 (1)分别作出锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的内切圆,并说明它们内心的位置情况. (2)如图，△ABC的内切圆的半径为r, △ABC的周长为l,求△ABC的面积S. ◆2.知识归纳 三角形内切圆的半径求法： 设△ABC的三边为a、b、c，面积为S，则△ABC的内切圆的半径 ; 当△ABC为直角三角形，a，b为直角边时， . ◆3.练一练 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，CB＝8，则△ABC的内切圆半径r为(　　 ) A．1   B．2  C．1.5  D．2.5 【例题导析】 自研下面典例的内容，回答问题： 典例分析 例1 如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠D＝30°，求证：CD是⊙O的切线． 例2 △ABC中，⊙O是△ABC的内切圆，∠ A=70°，求∠ BOC的度数. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.讨论切线的判定定理以及三角形内切圆的性质； B.交流例题的解题思路，总结方法和易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.下列说法正确的是( ) A.与圆有公共点的直线是圆的切线 B.过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C.垂直于半径的直线是圆的切线 D.与圆心的距离小于半径的直线是圆的切线 2.如图，圆O是△ABC的内切圆，分别切BA，BC，AC于点E，F，D，点P在弧DE上，如果∠EPF＝70°，那么∠B＝(　　) A．40° B．50° C．60° D．70° 3.如图，点B在☉A上，点C在☉A外，以下条件不能判定BC是☉A的切线的是( ) A.∠A= 50°，∠C = 40° B.∠B-∠C = ∠A C. + = D.☉A与AC的交点是AC中点 4.若☉O是ΔABC的内切圆，则点O是ΔABC的( ) A.三条边的垂直平分线的交点 B三条角平分线的交点 C三条中线的交点 D.三条高的交点 5. 如图，在△ABC中，点O是内心， （1）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，则∠BOC的度数是______. （2）若∠A=80°，则∠BOC=_________ . （3）若∠BOC=110°，则∠A=_________. 6.已知:如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C是直角， AC=3，BC=4.则⊙O的半径r=_____. 7. 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB. 求证：直线AB是⊙O的切线. 8. 如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与△ABC的外接圆相交于点D. (1)若∠BAC＝70°，求∠CBD的度数； (2)求证：DE＝DB. 题型一： 切线的判定---连半径证垂直 1.如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，与BC交于点D，过D作AC的垂线，垂足为E． 求证：DE是⊙O切线． 2.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CD，垂足为D，AC平分∠DAB．求证：DC为⊙O的切线． 3.如图，⊙O的直径AB＝4，∠ABC＝30°，BC交⊙O于点D，D是BC的中点． （1）求BC的长； （2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线． 题型二 切线的判定---作半径证垂直 4.如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线． 5. 如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．求证：CD与⊙O相切． 6.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3． （1）求证：AC是⊙D的切线； （2）求线段AC的长． 题型三 与三角形内切圆有关的计算 7．如图，已知⊙I是△ABC的内切圆，点I是内心，若∠A＝28°，则∠BIC等于（　　） A．99° B．102° C．104° D．152° 8．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，点M是△ABC的内心，∠AMC＝128°，则∠CDE的度数为（　　） A．52° B．64° C．76° D．78° 9．如图所示，⊙O是等边三角形ABC的内切圆，若AB＝4，则⊙O的半径是（　　） A． B．1 C． D．2 10．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D． （1）求证：BD＝DE； （2）连接OD交BC于点G，若OD⊥BC，DG＝2，BC＝10，求圆的半径． 11．如图，已知⊙O是Rt△ABC的外接圆，点D是Rt△ABC的内心，BD的延长线与⊙O相交于点E，过E作直线l∥AC． （1）求证：l是⊙O的切线； （2）连接CE，若AB＝3，AC＝4，求CE的长． 题型五 切线的性质与判定综合运用 12．如图，AE是⊙O的直径，弦CB与AE交于点F，过点A的切线交CB的延长线于点D，点B是DF的中点． （1）求证：∠AFB＝∠C； （2）若AB＝5，AF＝6，求⊙O半径的长． 13．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E． （1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若BC＝3，CD＝3，求ED的长． 14．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，过点D作DE⊥AC交AC于点E． （1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若⊙O的半径为5，BC＝16，求DE的长． ▲1.切线的判定定理：过半径 且垂直于 的直线是圆的切线. 几何语言： ∵OA是⊙O的半径, , ∴BC是⊙O的切线. ▲2.三角形的内切圆及内心： 1.与三角形各边都 的圆叫做三角形的内切圆. 2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的 . 3.三角形的内心到三角形的 相等. 4.三角形的内心就是三角形的 的交点. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $