3.6 直线和圆的位置关系（第1课时直线和圆的位置关系及切线的性质）（导学案）数学北师大版九年级下册

3.6直线和圆的位置关系 导学案 第1课时 直线和圆的位置关系及切线的性质 1.理解直线和圆的相交、相切、相离三种位置关系。 2.掌握直线和圆的三种位置关系的判定方法。 3.掌握切线的性质定理，会用切线的性质解决问题。 学习重点：三种位置关系的判定及切线的性质。 学习难点：用切线垂直于半径的性质进行推理论证与解题。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 1. 知识回顾 点和圆的位置关系有三种： ①当圆心 到点 的距离 满足 （ 为圆半径）时，点 在圆内； ②当 时，点 在圆上； ③当 时，点 在圆外。 2.情景引入 ①如图，如果我们把太阳看作一个圆，把地平线看作一条直线，太阳升起的过程中，太阳和地平线会有几种位置关系？ ②观察三幅太阳升起的照片,地平线与太阳的位置关系是怎样的? 新知自研：自研课本第89--91页的内容． 【学法指导】 自研课本P89-91页的内容，思考： ●探究一：直线和圆的位置关系 ◆1.做一做 作一个圆，将直尺的边缘看成一条直线.固定圆，平移直尺. 从直线与圆的交点个数这一角度进行思考，如何对直线与圆的位置关系进行分类？ ◆2.想一想 圆心O到直线l的距离d与☉O的半径的大小有什么关系？你能根据d与r的大小关系确定直线与圆的位置关系呢？ ◆3.知识归纳 ◎直线和圆的位置关系： 当直线与圆有 公共点时，这时直线与圆相交； 当直线与圆有 公共点时，这时直线与圆相切； 当直线与圆 公共点时，这时直线与圆相离． ◎圆的切线: 直线和圆有 的公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做圆的切线（如图直线l），这个唯一的公共点叫做切点（如图点A）. ◎直线和圆的位置关系: 直线和圆相交： 直线和圆相切： 直线和圆相离： （d为圆心O到直线的距离，r为圆的半径.） 数形结合：位置关系 关系 ◆4.练一练 ①下列说法正确的是（ ） A.直线与圆最多有两个公共点 B.若直线与圆相交，则直线上的点都在圆上 C.若A是☉O上一点，则直线AB与☉O相切 D.若C为☉O外一点，则过点C的直线与☉O相交或相离 ②已知⊙O半径为3，M为直线AB上一点，若MO＝3，则直线AB与⊙O的位置关系为(　　) A．相切   B．相交 C．相切或相离   D．相切或相交 ●探究二：圆的切线的性质 ◆1.议一议 (1)下图中的三个图形是轴对称图形吗？如果是，你能画出它们的对称轴吗？ (2)如图，直线CD与⊙O相切于点A，直径AB与直线CD有怎样的位置关系?说说你的理由. ◆2.知识归纳 圆的切线的性质： 圆的切线垂直于 的半径. 几何语言： ∵直线l是⊙O 的切线，A是切点， ∴ . ◆3.练一练 如图：在⊙O中，OA、OB为半径，直线MN与⊙O相切于点B，若∠ABN=30°，则∠AOB=______. 【例题导析】 自研下面典例的内容，回答问题： 典例分析 例1 如图，已知Rt△ABC的斜边AB＝8 cm，AC＝4 cm. (1)以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB与⊙C相切？ 【提示】(1)要使AB与⊙C相切，则过点C作AB的垂线，垂足为D，求出CD的长即可； 【解答】 (2)以点C为圆心，分别以2 cm和4 cm的长为半径作两个圆，这两个圆与AB分别有怎样的位置关系？ 【提示】(2)根据直线与圆的位置关系进行判断． 【解答】 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.讨论直线和圆的位置关系以及圆的切线的性质； B.交流例题的解题思路，总结方法和易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则反映直线l与⊙O的位置关系的图形是（ ） 2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，若以点C为圆心，以2cm长为半径的圆与斜边AB相切，那么BC的长等于(　　) A．2cm   B．2cm    C．2cm  D．4cm 3.⊙O的半径为5,直线l上的一点到圆心O的距离是5，则直线l与⊙O的位置关系是（ ） A. 相交或相切 B. 相交或相离 C. 相切或相离 D. 上三种情况都有可能 4.如图，在平面直角坐标系中，已知⊙O的半径为1，动直线AB与x轴交于点P(x，0)，且满足直线AB与x轴正方向夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x的取值范围是(　　) A．－1≤x≤1   B．－＜x＜ C．0≤x≤   D．－≤x≤ 5. 已知⊙O半径R＝3，O点到l的距离为d，且d是方程－5x＋6＝0的一个根，则l与⊙O的位置关系是_____. 6.如图：在⊙O中，OA、OB为半径，直线MN与⊙O相切于点B，若∠ABN=30°，则∠AOB=_____. 7. 如图AB为⊙O的直径，D为AB延长线上一点，DC与⊙O相切于点C，∠DAC=30°， 若⊙O的半径长1cm，则CD=_____cm. 8. 如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B.已知∠A＝34°，求∠C的度数. 9.如图，已知AB是⊙O的切线，半径OC的延长线与AB相交于点B，且OC=BC. （1）求证： AC=OB. （2）求∠B的度数. 题型一：判断直线和圆的位置关系 1．若圆心O到直线l的距离等于⊙O的直径，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 2．已知⊙O的半径是10，圆心O到直线l的距离是13，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 3．已知点A在半径为3的圆O上，如果点A到直线a的距离是6，那么圆O与直线a的位置关系是（　　） A．相交 B．相离 C．相切 D．以上答案都不对 3．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，判断以点C为圆心，下列r为半径的⊙C与AB的位置关系： （1）r＝2cm； （2）r＝2.4cm； （3）r＝3cm． 题型二： 根据直线和圆的位置关系确定公共点个数或取值范围 5．已知⊙O的半径为5，点O到直线a的距离为4，则直线a与⊙O公共点的个数为（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 6．已知⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离为2cm，则l与⊙O的交点个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，若以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线相离，则r的取值范围为 　 ； 8．如图，∠AOB＝45°，点M是射线OB上一点，OM＝2，以点M为圆心，r为半径作⊙M，若⊙M与射线OA有两个公共点，则半径r的取值范围是 　 　． 题型三： 利用切线的性质求角度 9．如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC．若∠BCD＝48° 则∠AOC的度数为（　　） A．42° B．48° C．84° D．106° 10．如图，AB是⊙O的直径，DB，DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝18°，则∠D的度数是（　　） A．18° B．36° C．48° D．72° 11．如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD垂直AB于点P，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点E．若∠ABC＝63°，则∠E等于 　°． 12．如图，已知点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点C，BE与⊙O相切，交直线CD于点E． （1）判断BE与DE的数量关系，并说明理由； （2）若∠C＝20°，求∠EBD的度数． 题型四 利用切线的性质求线段长 13．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，连接AO交⊙O于点C，延长AO交⊙O于点D，连接BD，若∠A＝2∠D，且AB＝4，则AC的长是（　　） A．1 B． C． D． 14．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为2，则BD的长为（　　） A．2 B．2 C．2 D．4 15．如图，BC与⊙O相切于点C，线段BO交⊙O于点A，过点A作⊙O的切线交BC于点D．若CD＝3，AB＝4，则⊙O的半径等于（　　） A．4 B．5 C．6 D．12 16．如图，AB是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的弦，过O作OH⊥AC于点H．若OH＝3，AB＝12，BO＝13，求：⊙O的半径和AC的长． ▲1.直线与圆的位置关系 直线和圆的位置关系 相离 相切 相交 定义 直线和圆没有公共点，这时这条直线和圆相离 直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切 直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交 图形 公共点个数 圆心O到直线的距离d与圆的半径r的关系 公共点名称 切点 交点 直线名称 切线 割线 总结 直线与圆相离 ⇔ 直线与圆相切 ⇔ 直线与圆相交 ⇔ ▲1.知识归纳 圆的切线的性质：圆的切线垂直于 的半径. 几何语言： ∵直线l是⊙O 的切线，A是切点， ∴ . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.6直线和圆的位置关系 导学案 第1课时 直线和圆的位置关系及切线的性质 1.•理解直线和圆的相交、相切、相离三种位置关系。 •掌握直线和圆的三种位置关系的判定方法。 •掌握切线的性质定理，会用切线的性质解决问题。 学习重点：三种位置关系的判定及切线的性质。 学习难点：用切线垂直于半径的性质进行推理论证与解题。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 1. 知识回顾 点和圆的位置关系有三种： ①当圆心 到点 的距离 满足 （ 为圆半径）时，点 在圆内； ②当 时，点 在圆上； ③当 时，点 在圆外。 2.情景引入 ①如图，如果我们把太阳看作一个圆，把地平线看作一条直线，太阳升起的过程中，太阳和地平线会有几种位置关系？ ②观察三幅太阳升起的照片,地平线与太阳的位置关系是怎样的? 解： 新知自研：自研课本第89--91页的内容． 【学法指导】 自研课本P89-91页的内容，思考： ●探究一：直线和圆的位置关系 ◆1.做一做 作一个圆，将直尺的边缘看成一条直线.固定圆，平移直尺. 从直线与圆的交点个数这一角度进行思考，如何对直线与圆的位置关系进行分类？ 解：（1）直线和圆有两个交点；（2）直线和圆有一个交点；（3）直线和圆没有交点． ◆2.想一想 圆心O到直线l的距离d与☉O的半径的大小有什么关系？你能根据d与r的大小关系确定直线与圆的位置关系呢？ ◆3.知识归纳 ◎直线和圆的位置关系： 当直线与圆有两个公共点时，这时直线与圆相交； 当直线与圆有唯一公共点时，这时直线与圆相切； 当直线与圆没有公共点时，这时直线与圆相离． ◎圆的切线: 直线和圆有唯一的公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做圆的切线（如图直线l），这个唯一的公共点叫做切点（如图点A）. ◎直线和圆的位置关系: 直线和圆相交：d< r 直线和圆相切：d= r 直线和圆相离：d> r （d为圆心O到直线的距离，r为圆的半径.） 数形结合：位置关系数量关系公共点个数 ◆4.练一练 ①下列说法正确的是（ ） A.直线与圆最多有两个公共点 B.若直线与圆相交，则直线上的点都在圆上 C.若A是☉O上一点，则直线AB与☉O相切 D.若C为☉O外一点，则过点C的直线与☉O相交或相离 解：A ②已知⊙O半径为3，M为直线AB上一点，若MO＝3，则直线AB与⊙O的位置关系为(　　) A．相切   B．相交 C．相切或相离   D．相切或相交 解：D ●探究二：圆的切线的性质 ◆1.议一议 (1)下图中的三个图形是轴对称图形吗？如果是，你能画出它们的对称轴吗？ 解：三个图形都是轴对称图形，对称轴经过圆心且与直线l垂直. (2)如图，直线CD与⊙O相切于点A，直径AB与直线CD有怎样的位置关系?说说你的理由. 解：直径AB垂直于直线CD. 理由是: ∵右图是轴对称图形，AB所在直线是对称轴, ∴沿直线AB对折图形时，AC与AD重合, ∴∠BAC=∠BAD=90°， ∴AB⊥CD. ◆2.知识归纳 圆的切线的性质： 圆的切线垂直于过切点的半径. 几何语言： ∵直线l是⊙O 的切线，A是切点， ∴直线l ⊥OA. ◆3.练一练 如图：在⊙O中，OA、OB为半径，直线MN与⊙O相切于点B，若∠ABN=30°，则∠AOB=______. 解: 60° 【例题导析】 自研下面典例的内容，回答问题： 典例分析 例1 如图，已知Rt△ABC的斜边AB＝8 cm，AC＝4 cm. (1)以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB与⊙C相切？ 【提示】(1)要使AB与⊙C相切，则过点C作AB的垂线，垂足为D，求出CD的长即可； 【解答】解：(1)如图，过点C作AB的垂线，垂足为D. ∵AC＝4 cm，AB＝8 cm， ∴BC＝＝4（cm）. ∵＝AC×BC＝AB×CD， ∴CD＝＝2（cm）， ∴当半径长为2cm时，AB与⊙C相切． (2)以点C为圆心，分别以2 cm和4 cm的长为半径作两个圆，这两个圆与AB分别有怎样的位置关系？ 【提示】(2)根据直线与圆的位置关系进行判断． 【解答】(2)由(1)可知，圆心C到AB的距离d＝2cm， 当r＝2 cm时，d>r，⊙C与AB相离； 当r＝4 cm时，d＜r，⊙C与AB相交． 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.讨论直线和圆的位置关系以及圆的切线的性质； B.交流例题的解题思路，总结方法和易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则反映直线l与⊙O的位置关系的图形是（ ） 解：B． 2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，若以点C为圆心，以2cm长为半径的圆与斜边AB相切，那么BC的长等于(　　) A．2cm   B．2cm    C．2cm  D．4cm 解：B． 3.⊙O的半径为5,直线l上的一点到圆心O的距离是5，则直线l与⊙O的位置关系是（ ） A. 相交或相切 B. 相交或相离 C. 相切或相离 D. 上三种情况都有可能 解：A. 4.如图，在平面直角坐标系中，已知⊙O的半径为1，动直线AB与x轴交于点P(x，0)，且满足直线AB与x轴正方向夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x的取值范围是(　　) A．－1≤x≤1   B．－＜x＜ C．0≤x≤   D．－≤x≤ 解：D． 5. 已知⊙O半径R＝3，O点到l的距离为d，且d是方程－5x＋6＝0的一个根，则l与⊙O的位置关系是_____. 解：相切或相交 6.如图：在⊙O中，OA、OB为半径，直线MN与⊙O相切于点B，若∠ABN=30°，则∠AOB=_____. 解:60° 7. 如图AB为⊙O的直径，D为AB延长线上一点，DC与⊙O相切于点C，∠DAC=30°， 若⊙O的半径长1cm，则CD=_____cm. 解 8. 如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C、D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B.已知∠A＝34°，求∠C的度数. 解：连接OB，如图． ∵AB与⊙O相切， ∴OB⊥AB， ∴∠ABO＝90°， ∴∠AOB＝90°-∠A＝90°-34°＝56°. ∵∠AOB＝∠C＋∠OBC， ∴∠C＋∠OBC＝56°. 又∵OB＝OC， ∴∠C＝∠OBC， ∴∠C＝×56°＝28°. 9.如图，已知AB是⊙O的切线，半径OC的延长线与AB相交于点B，且OC=BC. （1）求证： AC=OB. （2）求∠B的度数. 解：(1)证明：∵AB是⊙O的切线，OA为半径， ∴∠OAB=90°， 在Rt△OAB中，∵OC=CB， ∴AC=OC=OB. （2）由(1)可知OA=OC=AC， ∴△OAC为等边三角形， ∴∠AOB=60°， ∴在Rt△OAB中， ∠B=90°-60°=30°. 题型一：判断直线和圆的位置关系 1．若圆心O到直线l的距离等于⊙O的直径，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【分析】由题意得出d＞r，根据直线和圆的位置关系的判定方法判断即可 【解答】解：若圆心O到直线l的距离d等于⊙O的直径， 那么圆心O到直线l的距离d大于半径r， 即d＞r， 所以线l与⊙O的位置关系是相离， 故选：C． 【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，熟记：已知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离是d，当d＞r时，直线和圆相离，当d＝r时，直线和圆相切，当d＜r时，直线和圆相交是解决问题的关键． 2．已知⊙O的半径是10，圆心O到直线l的距离是13，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【分析】运用直线与圆的三种位置关系，结合10＜13，即可解决问题． 【解答】解：∵⊙O的半径为10，圆心O到直线l的距离是13，而10＜13， ∴点O到直线l的距离大于半径， ∴直线l与⊙O相离． 故选：A． 【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定． 3．已知点A在半径为3的圆O上，如果点A到直线a的距离是6，那么圆O与直线a的位置关系是（　　） A．相交 B．相离 C．相切 D．以上答案都不对 【分析】根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答． 【解答】解：∵点A在圆O上，已知圆O的半径是3，点A到直线a的距离是6， ∴圆O与直线a的位置关系可能是相切或相离， 故选：D． 【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离． 3．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，判断以点C为圆心，下列r为半径的⊙C与AB的位置关系： （1）r＝2cm； （2）r＝2.4cm； （3）r＝3cm． 【分析】CD⊥AB于D，如图，先利用勾股定理计算出AB＝5，再利用面积法计算出CD＝2.4，然后根据直线与圆的位置关系判定方法解决（1）、（2）、（3）． 【解答】解：作CD⊥AB于D，如图， ∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB5， ∵BC•ACCD•AB， ∴CD＝2.4， （1）当r＝2时，CD＞r，所以⊙C与AB相离； （2）当r＝2.4时，CD＝r，所以⊙C与AB相切； （3）当r＝3时，CD＜r，所以⊙C与AB相交． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r． 题型二： 根据直线和圆的位置关系确定公共点个数或取值范围 5．已知⊙O的半径为5，点O到直线a的距离为4，则直线a与⊙O公共点的个数为（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【分析】根据直线和圆的位置关系判断方法，可得结论． 【解答】解：∵⊙O的半径为5，点O到直线a的距离为4， ∴d＝4＜r＝5， ∴直线a与圆相交， ∴直线a与⊙O公共点的个数为2个， 故选：B． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，掌握直线和圆的位置关系判断方法是解题的关键． 6．已知⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离为2cm，则l与⊙O的交点个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】由2cm＜3cm，可知圆心O到直线l的距离小于⊙O的半径，所以直线l与⊙O相交，则直线l与⊙O有两个交点，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离为2cm，且2cm＜3cm， ∴圆心O到直线l的距离小于⊙O的半径， ∴直线l与⊙O相交， ∴直线l与⊙O有两个交点， 故选：C． 【点评】此题重点考查直线与圆的位置关系，根据圆心O到直线l的距离小于⊙O的半径证明直线l与⊙O相交是解题的关键． 7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，若以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线相离，则r的取值范围为 　 ； 【分析】如图，作CH⊥AB于H．利用勾股定理求出AB，再利用面积法求出CH即可判断． 【解答】解：如图，作CH⊥AB于H． 在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝6， ∴AB10， ∵S△ABC•AC•BC•AB•CH， ∴CH， ∵以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线相离， ∴r的取值范围为r， 故答案为：r． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 8．如图，∠AOB＝45°，点M是射线OB上一点，OM＝2，以点M为圆心，r为半径作⊙M，若⊙M与射线OA有两个公共点，则半径r的取值范围是 　 　． 【分析】作MD⊥OA于点D，由∠DMO＝∠DOM＝45°，得OD＝MD，则OMMD＝2，所以MD，若⊙M与射线OA有两个公共点，则MD＜r≤OM，所以半径r的取值范围是r≤2，于是得到问题的答案． 【解答】解：作MD⊥OA于点D，则∠ODM＝90°， ∵∠AOB＝45°， ∴∠DMO＝∠DOM＝45°， ∴OD＝MD， ∴OMMD＝2， ∴MD， ∵当r＝MD时，⊙M与射线OA相切，此时与射线OA只有一个公共点；当r＝OM时，⊙M与射线OA有两个公共点， ∴若⊙M与射线OA有两个公共点，则MD＜r≤OM， ∴半径r的取值范围是r≤2， 故答案为：r≤2． 【点评】此题重点考查直线与圆的位置关系，正确地作出辅助线是解题的关键． 题型三： 利用切线的性质求角度 9．如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC．若∠BCD＝48° 则∠AOC的度数为（　　） A．42° B．48° C．84° D．106° 【分析】根据切线的性质得出∠OCD＝90°，进而得出∠OCB＝40°，再利用圆心角等于圆周角的2倍解答即可． 【解答】解：在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线， ∴∠OCD＝90°， ∵∠BCD＝48°， ∴∠OCB＝42°， ∴∠AOC＝84°， 故选：C． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径，切线的性质：切线垂直于过切点的半径． 10．如图，AB是⊙O的直径，DB，DE分别切⊙O于点B、C，若∠ACE＝18°，则∠D的度数是（　　） A．18° B．36° C．48° D．72° 【分析】连接BC，由圆周角定理的推论得∠ACB＝90°，再由切线长定理得BD＝DC，从而得∠DBC＝∠DCB＝90°−18°＝72°，进而即可求解． 【解答】解：连接BC， ∵DB、DE分别切⊙O于点B、C， ∴BD＝DC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠DBC＝∠DCB＝90°−18°＝72°， ∴∠D＝180°﹣72°×2＝36°． 故选：B． 【点评】本题主要考查切线长定理和圆周角定理的推论，掌握切线长定理，是解题的关键． 11．如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD垂直AB于点P，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点E．若∠ABC＝63°，则∠E等于 　°． 【分析】连接OD，根据直角三角形的性质求出∠PCB，根据切线的性质得到∠ODE＝90°，根据直角三角形的性质计算，得到答案． 【解答】解：连接OD， ∵弦AB⊥CD， ∴∠CPB＝90°． ∵∠ABC＝63°， ∴∠PCB＝90°﹣63°＝27°， 由圆周角定理得，∠EOD＝2∠PCB＝54°， ∵DE是⊙O的切线， ∴∠ODE＝90°， ∴∠E＝90°﹣54°＝36°； 故答案为：36． 【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 12．如图，已知点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点C，BE与⊙O相切，交直线CD于点E． （1）判断BE与DE的数量关系，并说明理由； （2）若∠C＝20°，求∠EBD的度数． 【分析】（1）连接OD，根据切线的性质可得∠OBE＝∠ODE＝90°，从而可得∠OBD+∠EBD＝90°，∠ODB+∠EDB＝90°，再根据等腰三角形的性质可得∠OBD＝∠ODB，然后利用等角的余角相等可得∠EBD＝∠EDB，再根据等角对等边可得EB＝ED； （2）先根据直角三角形的两个锐角互余可得∠E＝70°，然后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）BE＝DE， 理由：连接OD， ∵BE与⊙O相切于点B，CD与⊙O相切于点D， ∴∠OBE＝∠ODE＝90°， ∴∠OBD+∠EBD＝90°，∠ODB+∠EDB＝90°， ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB， ∴∠EBD＝∠EDB， ∴EB＝ED； （2）∵∠EBC＝90°，∠C＝20°， ∴∠E＝90°﹣∠C＝70°， ∵EB＝ED， ∴∠EBD＝∠EDB55°， ∴∠EBD的度数为55°． 【点评】本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 题型四 利用切线的性质求线段长 13．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，连接AO交⊙O于点C，延长AO交⊙O于点D，连接BD，若∠A＝2∠D，且AB＝4，则AC的长是（　　） A．1 B． C． D． 【分析】由圆周角定理可得∠BOC＝2∠D，等量代换可得∠A＝∠BOC，进而可得OB＝AB＝4，根据切线的定义得出AB⊥OB，利用勾股定理求出，则． 【解答】解：如图，连接OB． 由圆周角定理可得∠BOC＝2∠D， ∵∠A＝2∠D， ∴∠A＝∠BOC， ∴OB＝AB， ∵AB＝4， ∴OB＝OC＝4． ∵AB是⊙O的切线， ∴AB⊥OB， ∴． ∴． 故选：D． 【点评】本题考查圆周角定理，切线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定等，难度不大，解题的关键是先利用圆周角定理得出∠BOC＝2∠D，进而利用上述知识点逐步求解． 14．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为2，则BD的长为（　　） A．2 B．2 C．2 D．4 【分析】连接OB，根据切线的性质定理得到∠OBD＝90°，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到△OAB为等边三角形，得到∠AOB＝60°，根据直角三角形的性质、勾股定理计算，得到答案． 【解答】解：如图：连接OB， ∵BD是⊙O的切线， ∴∠OBD＝90°， ∵四边形OABC为菱形， ∴OA＝AB， ∵OA＝OB， ∴OA＝OB＝AB， ∴△OAB为等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∴∠ODB＝30°， ∴OD＝2OB＝4， 由勾股定理得，BD2， 故选：C． 【点评】本题考查的是切线的性质、菱形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 15．如图，BC与⊙O相切于点C，线段BO交⊙O于点A，过点A作⊙O的切线交BC于点D．若CD＝3，AB＝4，则⊙O的半径等于（　　） A．4 B．5 C．6 D．12 【分析】根据切线的性质得到AD＝CD＝3，∠BCO＝∠BAD＝90°，根据勾股定理得到BD5，求得BC＝8，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：∵DA，CD是⊙O的切线， ∴AD＝CD＝3，∠BCO＝∠BAD＝90°， ∵AB＝4， ∴BD5， ∴BC＝8， ∵OC2+BC2＝OB2， ∴OA2+82＝（OA+4）2， 解得OA＝6， ∴⊙O的半径等于6， 故选：C． 【点评】本题考查的是切线的性质、切线长定理、勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 16．如图，AB是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的弦，过O作OH⊥AC于点H．若OH＝3，AB＝12，BO＝13，求：⊙O的半径和AC的长． 【分析】利用切线的性质得∠OAB＝90°，则根据勾股定理可计算出OA＝5，再根据垂径定理得到AH＝CH，接着利用勾股定理计算出AH，从而得到AC的长． 【解答】解：∵AB为切线， ∴OA⊥AB， ∴∠OAB＝90°， 在Rt△OAB中，OA5， ∵OH⊥AC， ∴AH＝CH， 在Rt△OAH中，AH4， ∴AC＝2AH＝8， 答：⊙O的半径为5，AC的长为8． 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理． ▲1.直线与圆的位置关系 直线和圆的位置关系 相离 相切 相交 定义 直线和圆没有公共点，这时这条直线和圆相离 直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切 直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交 图形 公共点个数 0 1 2 圆心O到直线的距离d与圆的半径r的关系 d＞ r d＝ r d＜ r 公共点名称 切点 交点 直线名称 切线 割线 总结 直线与圆相离 ⇔ d＞r 直线与圆相切 ⇔ d = r 直线与圆相交 ⇔ d＜r ▲1.知识归纳 圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径. 几何语言： ∵直线l是⊙O 的切线，A是切点， ∴直线l ⊥OA. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $