福建省厦门第一中学2025-2026学年高二上学期数学限时训练13

厦门一中2024级高二（上)数学限时训练13 (满分：150分时间：120分钟) 班号姓名 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正 确的选项填涂在答题卡相应的位置上， 1.直线x+√3y-2=0的倾斜角为 晋 B君 D. 2.等差数列{a}的前3项和为39,4=25，则a= A.30 B.31 C.32 D.33 3.己知a=(1,0,1),b=(2,2,-1),则a在b上的投影向量的模长是 B② D.V3 6 3 4平行六面体16CD-4BGD中，MB1AD,AMB=∠AAD-,4=3,AB=AD=1,则4C A.2√2 B.7 C.√6 D.5 5.己知函数f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=(2x+a)2,若曲线y=f(x)在(-1，f(1)处的切线与直线 x-2y+3=0垂直，则实数a的值为 A.-1 B.-3 n月 6.己知实数mn满足m2=4,则m+1+√m2+(n-1)的最小值为 A.√5 B.5 C.2 D.5 7.{a}为公差不为0且各项均是正整数的等差数列，b}为公比不为1且各项均是正整数的等比数列，则 A.{a}可能是等差数列 B.{b,}一定不是等比数列 C.{a}可能不是等差数列 D.{b}一定不是等比数列 .x2y2 8设P为双曲线E:元=1(a>0)在第一象限内的点，1(-a0),B(a,0),若APB=45°，则PB的斜率为 A.√2+1 B.2 C.2√2 D.2+V2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对 的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9己知函数f)=血 ,下列叙述正确的是 A.f(x)在(3，+o)上单调递减 B.f(x)的单调递增区间是(-o,e) C.f(x)的极大值是e1 D.若关于x的方程f(x)=a有两个解，则a∈0， e 10.己知圆C:(x-1)2+(y-1)=1,圆C2:(x-3)+(y-2)=2(r>0),则 A.r=1时，圆C1与圆C,外离 B.r=2时，圆C1与圆C2相交 C.若圆C与圆C2相切，则r=√5-1 D7-2时，图C与园C,有一条公切线的斜率为 11.如图，空间中不共线的三点A,B,C确定了平面x,且直线AB,AC,BC将该平面划分为①，②，③，④，⑤， ⑥，⑦七个区域（不包含边界）.P为平面内一点，O为平面x外一点，且OP=xOA+vOB+zOC.则 ① C ② A a P ⑦ ③ ⊙ B ④ 0 A.x+y+z=1 B.若P在区域①内，则x>0,z<0 C.若P在区域④内，则y>0 D.若z<0,则P可能落在的区域为②或④. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知Sn=2-23m+1为等比数列{a}的前n项和，则实数的值为 13.设P为椭圆r:+y=1上一点，R,R为r的左右焦点，则PP的取值范围是 2 14.已知函数f()=口-(a>0,a≠)有两个极值点名，出(6<)，且是f()的极小值点，则a的取值范 2 围为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.已知函数f(x)=x2-2alnx-2a,a∈R. (1)求f(x)的单调区间： (2)当a>0时，若关于x的不等式f(x)≥-2alna恒成立，求a的取值范围 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，AB=AD=PA=√2，BC=CD=√5.AC与BD交于点O,平面PBD⊥平 面ABCD,平面PAC⊥平面ABCD (1)证明：PO1平面ABCD; P (2)当BD=2时，求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值. DA- ka 17.已知数列a,}满足4=1，a,=1+a (k∈R,n≥2). (1)若k=2 (i)证明：数列 2-2 为等比数列； i)求数列 2-1n-1)的前n项和S (2)若k:0,且对于任意mR,数列仁-m均不是等比数列，求k的所有可能取值 a. 18.在平面直角坐标系xOy中，己知P(m,2-m)(m>0),过点P作圆C:(x+1)2+y2=1的两条切线，切点分别 为A和B.设直线PA,PB分别与y轴交于E,F两点. (1)当=1时，求△PEF的周长： (2)证明：直线AB过定点； (3)设PC交△PEF的外接圆于点T(异于P),证明：点T在定直线上 19.己知a}是由非负整数组成的无穷数列.该数列前n项的最大值记为A，第n项之后各项a+1,a+2,…的最小 值记为Bn,设dn=A-Bn,n∈Nt. (1)若数列{a}前4项为2,0,2,6，且以4为周期（即对任意neN+,a4=a),写出d,d,d,d,的值： (2)设d是非负整数.证明：dn=-d(n=1,2,…)的充要条件是{a}是公差为d的等差数列： (3)证明：若4=2，d=1(n=1,2,…),则{a}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1. 厦门一中2024级高二（上)数学限时训练13参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分 1.A 2.B 3.C 4.D 5.D 6.A 7.D 8.A 6解析：设P(m,m),则P在抛物线y=4x上，设F(1,o),A(0,1),则m++V2+(n-1)2表示点P到抛物 线准线与到点A的距离之和，再利用PF+PA≥AF=√2即可 区好折：设直线APB的衡车分别为，，则4=1，由AP845知年点1，解符名=51 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分， 9.ACD 10.ABD 11.AC 10的D选项解析：当r=2时，注意到y=0为圆C与圆C2的一条公切线，又由B选项知此时两圆相交，还 有另外一条外公切线，设其斜率为k.注意到两条公切线关于直线CC,轴对称，故k= 2kc6-4 1833 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.6 13.1,2] 14解析：f'(x)=adna-ex,设8(x)=f'(x),则g(x)=ad(na)2-e.若a>1,则8'(x)递增，又由 m8'()=-e,in8()=+0知存在唯一的实数t使得g()=0,当x<t时，g(x)<0,g(x)递减，当x>t时， g'(x)>0,8(x)递增.又x,x2为g(x)的零点，lim8(x)=limg(x)=+o,从而必有g(t)<0,且x<t.但当 x∈(x,t)时，g(x)<0,这与x是f(x)的极小值点矛盾.若a∈(0,1)，类似分析可知，存在唯一实数S使得g'(s)=0, 且当x<s时，g'(x)>0,g(x)递增，当x>5时，g'(x)<0,g(x)递减.1im8(x)=lim8w)=-o,欲使x是 f(的极小值点，只需保证g()=aha-es>0即可，又c(a=e,故>5，于是8 <0,也即 aa(na2-e<0,解得ae 四、解答题：共77分 15.解： (1)f'（(GX)）=2X0g>0）…2分 (i)当a≤0时，f'(x)>0恒成立，f(x)在(0，+o)上单调递增： 4分 (i)当a>0时，令f'(x)=0得x=√a …5分 当x∈(0，Va时，f(x)<0,(x)递减；当x∈(Va,+o∞）时，f”(x)>0,f()递增…7分 综上，a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，+o),无单调递减区间： a>0时，∫(x)的单调递增区间为(a,十m）,单调递减区间为(0，Va..8分 (2)a>0时，由(1)知x=Va时f(x)取最小值f(V同=-ana-a, 10分 依题意-alna-a≥-2alna,也即alna-a≥0，又a>0,故ha21,a≥e.. 12分 所以a的取值范围为[犯，十0）… 13分 15,解：(1)由AB=AD,BC=CD及AC=AC知△ABC≌△ADC,故∠BAO=∠DAO,又AB=AD, 从而0为BD中点，且AC1BD.…2分 又平面PBD⊥平面ABCD,且平面PBD∩平面ABCD=BD,ACC平面ABCD,故AC⊥平面PBD 又P0C平面PBD，所以ACLP04分 同理，由平面PAC⊥平面ABCD可得BD1A0…5分 再由AC∩BD=O,AC,BDC平面ABCD可知POL平面ABCD 7分 (2)由(1)可知，OB,OC,OP两两垂直，故可以O为原点，OB,OC,OP.的方向分别为x轴，y轴，二轴的正方 向建立如图所示的空间直角坐标系… …8分 由BD=2及已知条件知OA=OP=1,OC=2, 故P(0,0,1),B(1,0,0),C(0,2,0),A(0,-1,0),D(-1,0,0) PB=(（10,-1),PC=(0,2,-1),pA=(0,-1,-1）,PD=(10,-1）B…9分 2y-三=0'取3=2得平面P8C的一个法向 x-3=0 设平面PBC的法向量=(x,y1,),则由PB.m=0,PC·=0得 量m=(2,1,2),设平面PAD的法向量n=(x2,y2,z2)，则由PA·n=0,PD.n=0得 -y2-22=0 -3-3=0,取，=1得平面 PAD的一个法向量=(1,1，-1)，… …13分 设平面PAD与平面PBC的夹角为6，则cos6=cos(m,n) 2+1-25 339 即平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为 15分 17解，(D当=2时，4=1,8产32≥2斗，放易知ma0 1分 当212--2 -2a-1 24-1 3分 区20，心石一2外是首项为1，公比为的等比数列 5分 a 6分 a. 01 n-11 01 S= 22+… ,n-2,n-1 20+21 +…+ 2-1， 21 2-1 2 7分 -1 两式相减得 111n-11 1-2 22 +…+ n- 2 2-1 2” 2 1 、2 从而S,=2-+1 2归-l心… 10分 (2)当k=1时， =1+1，数列-m 的前三项为1-，2-m,3-m,若存在∈R, 使 -m为等比 aan-1 数列，则(2-m)=(（1-m)(3-m),该方程无实数解，矛盾. 。。。。。。。。。。。。。 12分 当k1时， 1k11k 1k1 (n≥2)，且 是首项为 a k-1 k a-k-1 4k一1k0,故存在m= 使得 一公比为号的等比数到 1 14分 综上k的值为1 15分 18.解： M◆ (1)EF与圆C相切，由切线长定理有EA=EO,FB=FO,进一步得 PE+EF+PFP+A+P+BFPA+PB=2PA........... 2分 x 当m=1时，PA=P-1=V0+1)'+1-1=2 从而△PEF的周长为4.… 4分 (2)设以OP为直径的圆为⊙2，则⊙Q:(x+1)(x-m)+y(y+-2)=0.6分 AB为⊙C与⊙Q的公共弦，两圆方程相减得AB:(+1)x+(2-加)y+L+1=0.8分 2 x-y+1=0 X=- 21 也即m(x-y++(+2)=0,令K+2y=0,解得 1 故AB过定点 3’3 .10分 (3)易知PA,PB的斜率均存在，不妨分别设为k,k2,于是PA:y+-2=k(x-m),PB:y+L-2=k,(x-) (m+)+m-2 由PA与圆C相切知C到PA距离为1，故 V+1 11分 整理得(m+2)k2+2(m-2)(m+1)k+(m-1)(-3)=0 同理有(m+2)mk22+2(m-2)(m+1)k2+(m-1)(m-3)=0,所以k,k2为关于k的方程 m+2m+26m-20m+1k+(m-10m-3)=0的两根，放+长=-2-2m+ (+2)m …13分 由PC平分∠EPF知，TE=T,故T在EF中垂线上.14分 又B(0,-m-m+2),F(0,-k,m-m+2）,-m名 (-2)(+1) 2 2-m+2=m (m+2)m -m+2=2-m 2+L ,故EF中垂线 2- 方程为y= 2十》…15分 又加方程为-).两宜线联立消去m,秋1=0，即7在定直线杠+1=0上.17分 19.解： (1）=☑2=☑3=2，d4=6…4分 (2)（充分性)由{a}是公差为d的等差数列且d20知a≤a2≤…≤a,≤a+1≤….因此 A=a,B。=0+H,d。=A-B。=a.-01=-d(n=1,2,…）6分 （必要性)由于dn=-d≤0，所以A=Bn+dn≤Bn.又因为an≤A,A+1之Bn,所以4.≤4+1，…8分 故4≤4≤…，于是A=a4,Bn=a+1·从而4+1-4.=B。-A,=-dn=d,即{a}是公差为d的等差数列.…10分 (3)因为4=2，d=1,所以A=2,B=1.故对于任意的n21,4.≥B1=1.…12分 假设{a}中存在大于2的项，设m为满足a.>2的最小正整数，则≥2，对于任意1≤k<,a≤2.又因为a=2, 所以An-1=2,且An=am>2.于是，Bnm=A-dm>2-1=1,Bm-1=nin{an,Bm}≥2，故 dm-1=Anm-1-Bnm-1≤2-2=0，这与dnm-1=1矛盾，故n∈N+,4n≤2，{an}中的项只能是1或2.…15分 又a=2,所以当n≥1时，必有A=2,B,=1.这说明对于任意的正整数n,存在正整数m使得>n,且an=1, 所以{}中有无穷多项为1.… 。00。。。。。7