专题5.1 导数的概念及几何意义导学案-2025-2026学年高二数学必备知识与考点专练（人教A版选择性必修第二册）

该高中数学导学案以“导数的概念和几何意义”为核心，围绕导数的概念、几何意义、运算及应用构建学习目标，通过“必备知识梳理-考点分类专练-达标综合检测”的递进式设计，形成从基础概念到综合应用的完整学习路径，体现知识建构的系统性与连贯性。 亮点在于“考点专练”中“求曲线在某点与过某点切线方程”的对比探究任务，结合经典例题与变式训练，培养学生数学思维（推理能力、运算能力）和数学语言（模型观念）。达标检测涵盖选择、填空及综合解答题，分层设计促进深度学习，为教师单元复习提供系统的知识框架和针对性教学指导。

专题5.1 导数的概念和几何意义 高中数学导学案 专题5.1 导数的概念和几何意义 考点预览 一、必备知识 1.导数的概念 （1）函数y＝f(x)在x＝x0处的导数: 一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝． （2）导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． （3）函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝为f(x)的导函数． 2.导数的运算 （1）基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝axln_a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(x>0，a>0且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x (x>0) f′(x)＝ （2）导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． (3)′＝(g(x)≠0)． 3.复合函数的导数 （1）复合函数的概念：一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为和的复合函数，记作． （2）复合函数的求导法则：一般地，复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 规律：从内到外层层求导，乘法连接． ·易错点：复合函数求导漏层，如求的导数时，只对求导，忘记乘以内层函数 4.求曲线“在”某点处的切线方程步骤： 第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率 第二步（写方程）：用点斜式 第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。 5.求曲线“过”某点处的切线方程步骤： 第一步：设切点为； 第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为． 二、考点专练： 地 城 考点01 导数的概念 【经典例题】 1．(23-24高二下·安徽滁州·期中)已知函数在处的导数为2，则（   ） A． B．2 C． D． 2．(24-25高二下·广西南宁武鸣区武鸣高级中学·期中)已知某容器的高度为20 cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位:cm）与时间t（单位:s）的函数关系式为.当时，液体上升高度的瞬时变化率为cm/s，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为（    ） A．2 cm/s B．4 cm/s C．6 cm/s D．8 cm/s 3．(21-22高二下·北京顺义区·期末)已知函数的部分图象如图所示，其中，，为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．(24-25高二下·山东部分学校·)已知函数在处可导，若，则 . 2．(24-25高二下·广西南宁武鸣高级中学·期中)函数在区间上的平均变化率等于 . 3．(22-23高二下·江苏苏州·期中)设函数，则在处的瞬时变化率为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【经典例题】地 城 考点02 导数的计算 1．(24-25高二下·四川达州·期中)下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 2．(22-23高二下·江西·期中)已知函数的导函数为，若，则（  ） A．1 B． C． D． 3．(22-23高二下·天津河北区·期中)下列四个图象中，有一个图象是函数的导数的图象，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．(22-23高二下·河南豫东四校·)设函数，则（    ） A． B． C． D．0 2．(24-25高二上·北京朝阳区·期末)已知函数，则（    ） A． B． C． D． 3．下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．(23-24高二下·四川绵阳三台县·期中)下列函数求导正确的是（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高二下·广西南宁第二十一中学·期中)下列求导正确的是（   ） A． B． C． D． 6．若函数，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【经典例题】地 城 考点03 求切线方程 1．(24-25高二下·贵州六盘水水城区·)函数的图象在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·广西南宁武鸣区武鸣高级中学·期中) （多选）已知直线l经过点，且与曲线相切，则直线l的方程可以为（    ） A． B． C． D． 3．(21-22高二下·江西信丰中学·月考)已知点是直线上的动点，点是曲线上的动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．(23-24高二下·广西桂林·月考)函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．(23-24高二下·广东深圳宝安中学·月考)已知曲线在点处的切线与直线垂直，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D． 3．(20-21高三上·湖南三湘名校教育联盟·)曲线在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二下·广西南宁武鸣区武鸣高级中学·期中) （多选）曲线的切线的倾斜角为，则该切点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高二下·广西南宁武鸣区武鸣高级中学·期中)设点A在直线上，点B在函数的图象上，则的最小值为 . 【经典例题】地 城 考点04 由切线方程求参 1．(24-25高二下·广西南宁武鸣区武鸣高级中学·期中)若直线与曲线相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．(23-24高二下·广西南宁第三中学·期中)“”是“直线与曲线相切”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练】 1．(24-25高二下·广西南宁武鸣区武鸣高级中学·期中)已知函数的图象在处的切线在y轴上的截距为2，则实数（    ） A． B．3 C．1 D． 2．(24-25高二下·广西南宁武鸣区武鸣高级中学·期中)已知函数，若曲线在处的切线也与曲线相切，则实数 . 3．若函数与直线相切，则实数的值为 . 三、达标检测 1．(22-23高二下·上海曹杨中学·期末)已知，则 ． 2．(23-24高二下·广西桂林奎光学校·期中)函数的导数为 3．(21-22高二下·黑龙江哈尔滨第一二二中学校·期末) （多选下列求导运算错误的是（    ） A． B． C． D． 4．(23-24高二下·重庆铜梁一中等重点中学·月考) （多选下列选项正确的是（ ） A．，则 B．，则 C．，则 D．设函数，且，则 5．(20-21高二下·广东潮州·期末)曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 6．若点P是曲线上任一点，则点P到直线的最小距离是 ． 7．(22-23高二下·江苏苏州常熟·期中)已知函数，若过点的直线与曲线相切，则该直线斜率为 ． 8．(23-24高二下·广西南宁第三中学·期中)如图是函数的导函数的图象，则下列命题错误的是（    ） A．函数在内，当越来越大时的图象越来越陡峭 B．2不是函数的极值点 C．在处切线的斜率小于零 D．在区间上单调递增 9．(21-22高二下·河北石家庄·)（多选）若曲线与存在公共切线，则实数a的可能取值是（    ） A．－1 B． C． D． 10．(24-25高二下·广西南宁武鸣区武鸣高级中学·期中)已知函数. (1)当，且时，求函数的增量Δy和平均变化率; (2)设，分析（1）问中的平均变化率的几何意义. 11．(24-25高二下·广西南宁邕宁高级中学·期中)已知函数. (1)求的导数； (2)求 (3)求函数的图象在处的切线方程. 12．(24-25高二下·广西南宁武鸣区武鸣高级中学·期中)已知函数.(1)若曲线在点处的切线与x轴、y轴分别交于点，求的面积（O为坐标原点）;(2)求与曲线相切，并过点的直线方程. 13．(24-25高二下·广西南宁武鸣区武鸣高级中学·期中)已知函数和，其中为常数且. (1)过x轴上一点作曲线的切线，若有且只有一条切线，求此时的切线方程; (2)若存在斜率为1的直线与曲线和都相切，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $专题5.1 导数的概念和几何意义 高中数学导学案 专题5.1 导数的概念和几何意义 考点预览 一、必备知识 1.导数的概念 （1）函数y＝f(x)在x＝x0处的导数: 一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝． （2）导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． （3）函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝为f(x)的导函数． 2.导数的运算 （1）基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝axln_a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(x>0，a>0且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x (x>0) f′(x)＝ （2）导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． (3)′＝(g(x)≠0)． 3.复合函数的导数 （1）复合函数的概念：一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为和的复合函数，记作． （2）复合函数的求导法则：一般地，复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 规律：从内到外层层求导，乘法连接． ·易错点：复合函数求导漏层，如求的导数时，只对求导，忘记乘以内层函数 4.求曲线“在”某点处的切线方程步骤： 第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率 第二步（写方程）：用点斜式 第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。 5.求曲线“过”某点处的切线方程步骤： 第一步：设切点为； 第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为． 二、考点专练： 地 城 考点01 导数的概念 【经典例题】 1．(23-24高二下·安徽滁州·期中)已知函数在处的导数为2，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】．故选:A． 2．(24-25高二下·广西南宁武鸣区武鸣高级中学·期中)已知某容器的高度为20 cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位:cm）与时间t（单位:s）的函数关系式为.当时，液体上升高度的瞬时变化率为cm/s，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为（    ） A．2 cm/s B．4 cm/s C．6 cm/s D．8 cm/s 【答案】B 【详解】由有，当时，，即，所以，解得或（舍去）， 当时，，即当时，液体上升高度的瞬时变化率为， 故选：B. 3．(21-22高二下·北京顺义区·期末)已知函数的部分图象如图所示，其中，，为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图可知函数在点的切线斜率小于，即，在点的切线斜率等于，即，在点的切线斜率大于，即，所以，故选：B. 【变式训练】 1．(24-25高二下·山东部分学校·)已知函数在处可导，若，则 . 【答案】 【详解】因为，所以. 故答案为： 2．(24-25高二下·广西南宁武鸣区武鸣高级中学·期中)函数在区间上的平均变化率等于 . 【答案】 【详解】由函数，可得函数在上的平均变化率为. 故答案为：. 3．(22-23高二下·江苏苏州·期中)设函数，则在处的瞬时变化率为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【详解】，，.故选：A 【经典例题】地 城 考点02 导数的计算 1．(24-25高二下·四川达州·期中)下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，因为是常数，所以，所以A错误，对于B，因为，所以B错误，对于C，因为，所以C错误，对于D，因为，所以D正确，故选D. 2．(22-23高二下·江西·期中)已知函数的导函数为，若，则（  ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，所以，解得.故选：B. 3．(22-23高二下·天津河北区·期中)下列四个图象中，有一个图象是函数的导数的图象，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数，求导得，于是函数的图象是开口向上，对称轴为的抛物线，①②不满足，又，即函数的图象对称轴不是y轴，④不满足，因此符合条件的是③，函数的图象过原点，且，显然，从而，，所以.故选：D 【变式训练】 1．(22-23高二下·河南豫东四校·)设函数，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【详解】因为为常数，所以.故选：D. 2．(24-25高二上·北京朝阳区·期末)已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以. 故选：C. 3．下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误.故选：C. 4．(23-24高二下·四川绵阳三台县·期中)下列函数求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对A, ,故A错误；对B, ,故B正确；对C, ,故C错误；对D, ,故D错误.故选：B 5．(24-25高二下·广西南宁第二十一中学·期中)下列求导正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A, ,A错误，对于B, ,B正确，对于C, ,C错误， 对于D, ,D错误，故选：B 6．若函数，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由题意可得，则，解得，所以 所以．故选：C． 【经典例题】地 城 考点03 求切线方程 1．(24-25高二下·贵州六盘水水城区·)函数的图象在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则，求导可得，则， 所以切线方程为，化简可得.故选：B. 2．(24-25高二下·广西南宁武鸣区武鸣高级中学·期中) （多选）已知直线l经过点，且与曲线相切，则直线l的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由题意的导数为，设切点为，则切线斜率为，所以切线方程为，又切线过点，所以或或，所以代入切线方程整理得切线方程为或或.故选ACD 3．(21-22高二下·江西信丰中学·月考)已知点是直线上的动点，点是曲线上的动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设曲线上切点为， ，到直线的距离为即的最小值为.故答案为B 【变式训练】 1．(23-24高二下·广西桂林·月考)函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据，有.所以，.从而所求切线经过，且斜率为，从而方程为，即.故选：B. 2．(23-24高二下·广东深圳宝安中学·月考)已知曲线在点处的切线与直线垂直，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】由题直线的斜率为，故曲线在处的切线斜率为2，而，所以，则，即，故点的坐标为或.故选：C. 3．(20-21高三上·湖南三湘名校教育联盟·)曲线在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】曲线为，所以；当时，，曲线在点处的切线方程为，即，故选：D. 4．(24-25高二下·广西南宁武鸣区武鸣高级中学·期中) （多选）曲线的切线的倾斜角为，则该切点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】，设切点坐标为，则，解得，当时，，切点的坐标为，当时，，切点的坐标为.故选：CD 5．(24-25高二下·广西南宁武鸣区武鸣高级中学·期中)设点A在直线上，点B在函数的图象上，则的最小值为 . 【答案】 【详解】设切点为，则切线与平行，即有，所以，所以切点为，当点为切点时，点到直线距离最小，由点到直线的距离公式有，故答案为：. 【经典例题】地 城 考点04 由切线方程求参 1．(24-25高二下·广西南宁武鸣区武鸣高级中学·期中)若直线与曲线相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数，得其定义域为，且，由直线与曲线相切，设切点坐标为，可得，所以实数的取值范围为.故选：A. 2．(23-24高二下·广西南宁第三中学·期中)“”是“直线与曲线相切”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】设在处的切线为，由，可得，所以，所以，，所以，所以或，所以或.”是“直线与曲线相切”的充分不必要条件.故选：A. 【变式训练】 1．(24-25高二下·广西南宁武鸣区武鸣高级中学·期中)已知函数的图象在处的切线在y轴上的截距为2，则实数（    ） A． B．3 C．1 D． 【答案】A 【详解】由题设，则，而，所以处切线为，令，则，可得.故选：A 2．(24-25高二下·广西南宁武鸣区武鸣高级中学·期中)已知函数，若曲线在处的切线也与曲线相切，则实数 . 【答案】 【详解】，故，又，故，故在处的切线为：，也即；设与曲线切于点，又，故，则，且，则可得，解得， 故.故答案为：. 3．若函数与直线相切，则实数的值为 . 【答案】 【详解】设切点为，由得，，故切线斜率，由直线可知切线过，故，∴，解得，∴.故答案为：. 三、达标检测 1．(22-23高二下·上海曹杨中学·期末)已知，则 ． 【答案】 【详解】因为，则，则.故答案为：. 2．(23-24高二下·广西桂林奎光学校·期中)函数的导数为 【答案】 【详解】令，则变形为，所以， 故答案为： 3．(21-22高二下·黑龙江哈尔滨第一二二中学校·期末) （多选下列求导运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，，故选项A错误；对于B，，故选项B正确； 对于C，，故选项C错误；对于D，，故选项D错误， 所以导数运算错误的是：，故选：. 4．(23-24高二下·重庆铜梁一中等重点中学·月考) （多选下列选项正确的是（ ） A．，则 B．，则 C．，则 D．设函数，且，则 【答案】AD 【详解】因为，则，则，故A正确；因为，则，故B错误；因为，则，故C错误；因为，则，又，则，即，所以，故D正确；故选：AD 5．(20-21高二下·广东潮州·期末)曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，，曲线在点处的切线方程为，即.故选：D. 6．若点P是曲线上任一点，则点P到直线的最小距离是 ． 【答案】 【详解】由可得，设与直线平行，且与曲线相切的直线，对应切点坐标为，则，解得，则，则点到直线的距离，即为点P到直线的最小距离，即为.故答案为：. 7．(22-23高二下·江苏苏州常熟·期中)已知函数，若过点的直线与曲线相切，则该直线斜率为 ． 【答案】3 【详解】∵点不在曲线上，设切点坐标为．又∵，所以∴在处的切线方程为，∵切线过点，∴，解得，∴切线斜率为.故答案为：3． 8．(23-24高二下·广西南宁第三中学·期中)如图是函数的导函数的图象，则下列命题错误的是（    ） A．函数在内，当越来越大时的图象越来越陡峭 B．2不是函数的极值点 C．在处切线的斜率小于零 D．在区间上单调递增 【答案】C 【详解】对于A，由图知，当时，函数的图象呈递增趋势，即越来越大时，导数值越来越大，函数上的切线斜率越来越大，则其图象越来越陡峭，故A正确；对于B，因无论从的左边还是右边接近2时，导函数的值均为正数，故2不是函数的极值点，故B正确；对于C，由图知，，即在处切线的斜率大于零，故C错误；对于D，由图知，当时，恒成立，故在区间上单调递增，即D正确.故选：C. 9．(21-22高二下·河北石家庄·)（多选）若曲线与存在公共切线，则实数a的可能取值是（    ） A．－1 B． C． D． 【答案】ABC 【详解】设曲线在点A（，）处的切线与在B（，）处的切线是公共切线， 曲线，，则，所以切线方程为，即，，，则，所以切线方程为，即，∴，可得，令，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，∴，又时，，时，，又，∴，解得.故选：ABC． 10．(24-25高二下·广西南宁武鸣区武鸣高级中学·期中)已知函数. (1)当，且时，求函数的增量Δy和平均变化率; (2)设，分析（1）问中的平均变化率的几何意义. 【详解】（1）解：由函数， 当且时，可得，即函数的增量为， 则平均变化率. （2）解：由，可得， 且， 表示曲线上两点和所在的直线的斜率为. 11．(24-25高二下·广西南宁邕宁高级中学·期中)已知函数. (1)求的导数； (2)求 (3)求函数的图象在处的切线方程. 【详解】（1）因为函数， 所以； （2），，， （3）因为，则切线斜率， 又因为，所以切点坐标为, 所以函数在处的切线方程为，即. 12．(24-25高二下·广西南宁武鸣区武鸣高级中学·期中)已知函数.(1)若曲线在点处的切线与x轴、y轴分别交于点，求的面积（O为坐标原点）;(2)求与曲线相切，并过点的直线方程. 【详解】（1）解：由函数，可得，则， 所以在的切线方程为，即， 令，可得，令，可得，即， 所以的面积为. （2）解：设过点的直线与相切于点， 因为，可得，所以切线的方程为， 又因为切线过点，所以，解得， 所以切线方程为，即. 13．(24-25高二下·广西南宁武鸣区武鸣高级中学·期中)已知函数和，其中为常数且. (1)过x轴上一点作曲线的切线，若有且只有一条切线，求此时的切线方程; (2)若存在斜率为1的直线与曲线和都相切，求的取值范围. 【详解】（1）解：由函数，可得， 设切点坐标为，可得， 所以切线方程为， 因为切线过点，所以， 则关于的方程只有一个实数解， 即只有一个实数解， 由，解得或， 当时，，此时切线方程为； 当时，，此时切线方程为. （2）解：由，且定义域为， 函数的定义域为，且， 设曲线在点处的切线的斜率为， 则，所以，则点， 设曲线在店处的切线的斜率为， 可得，解得，则点， 因为直线的斜率为，所以， 又因为，所以，即的取值范围为. 试卷第1页，共3页 9 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $