江苏省泰州市靖江外国语学校2025-2026学年九年级上学期周测 数学试题（2026.1.21）

外国语期末复习 九年级数学限时训练6 参考答案 1.要判断小强同学的数学考试成绩是否稳定，那么需要知道他最近几次数学考试成绩的() A.方差 B.众数 C.平均数 D.中位数 【考点】方差；统计量的选择. 【分析】根据方差的意义作出判断即可. 【解答】解：要判断小强同学的数学考试成绩是否稳定，只需要知道他最近几次数学考试成绩的方差即可. 故选: A. 【点评】本题考查方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定. 2.当b+c=1时，关于x的一元二次方程 的根的情况为() A.有两个实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有两个相等的实数根 D.没有实数根 【考点】根的判别式. 【分析】利用c=1-b得到 然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断. 【解答】解: ∵b+c=1, ∴c=1-b, ∴△=b²-4×(-c) =b²+4(1-b) = (b-2)²≥0, ∴方程有两个实数解. 故选: A. 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程. 的根与 有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根. 3.下列各式中不成立的是 () C. tan45°>sin45° 【考点】互余两角三角函数的关系；特殊角的三角函数值；锐角三角函数的增减性. 【分析】根据特殊锐角三角函数值，代入计算即可. 【解答】解： 因此选项A不符合题意； 所以 因此选项B不符合题意； 所以 因此选项C不符合题意； 因此选项D符合题意； 故选: D. 【点评】本题考查特殊锐角三角函数值，掌握特殊锐角三角函数值是正确解答的前提. 4. 如图, 在菱形ABCD中, DE ,则tan∠DBE的值是( ) B. 2 A. 【考点】菱形的性质；解直角三角形. 【分析】欲求tan∠DBE的值，只需通过解直角三角形 ADE求得DE的值即可. 【解答】解:设菱形 ABCD边长为 t, ∵BE=3, ∴AE=t-3, ∴t=7.5, ∴AE=7.5-3=4.5, 故选: B. 【点评】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，难度适中. 5. 如图, PA、PB与⊙O相切, 切点分别为A、B,PA=3, ∠P=60°, 若AC为⊙O的直径, 则图中阴影部分的面积为( ) A.π2 D. π 【考点】扇形面积的计算；切线的性质. 【分析】阴影部分的面积=扇形 OBC的面积. 【解答】解: ∵PA、PB与⊙O相切, ∴PA=PB, ∠PAO=∠PBO=90° ∵∠P=60°, ∴△PAB为等边三角形, ∠AOB=120° ∴AB=PA=3, ∠OBC=60° ∵OB=OC ∴△OBC为等边三角形 ∴∠OCB=60° ∵AC为⊙O的直径, ∴∠ABC=90°. ∵OA=OC, 故选: A. 【点评】阴影部分的面积往往能整理为一个规则图形的面积. 6. 如图, 在△ABC中, AD是 BC边上的中线, E在AC边上, 且AE: EC=1:2, BE交AD于 P, 则AP; PD等于( ) A. 1: 1 B. 1: 2 C. 2: 3 D. 4: 3 【考点】平行线分线段成比例；三角形中位线定理. 【分析】首先过点 D作 DF∥BE，由AD是BC边上的中线，根据平行线分线段成比例定理，即可得 EF=FC，又由AE; EC=1: 2, 即可得AE=EF=FC, 然后根据平行线分线段成比例定理, 即可求得AP; PD的值. 【解答】解: 过点 D作 DF∥BE, 交 AC于 F, ∴AD是 BC边上的中线, 即 BD=CD, ∴EF=CF, ∵AE; EC=1: 2, ∴AE=EF=FC, ∴AE; EF=1: 1, ∴AP: PD=AE: EF=1: 1. 故选: A. 【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理.此题难度适中，解题的关键是注意辅助线的作法与数形结合思想的应用，注意比例线段的对应关系. 7.若线段x是3和6的比例中项，则x的值为 () 【考点】比例线段. 【分析】根据线段比例中项的概念，可得 依此即可求解. 【解答】解：∵线段的长x是3和6的比例中项， ∵线段是正数， 故选: A. 【点评】此题考查了比例中项的定义.此题比较简单，注意掌握比例中项的定义是解此题的关键. 8. 设 a、b是方程 的两个实数根, 则(a-1)(b-1) 的值为 -2024 . 【考点】根与系数的关系. 【分析】对于一元二次方程 若 x₁，x₂是该方程的两个实数根，则 据此可得a+b=-1, ab=-2026, 再由(a-1)(b-1) = ab-(a+b) +1进行求解即可. 【解答】解: ∵a、b是方程 的两个实数根， ∴a+b=-1, ab=-2026, ∴(a-1)(b-1) = ab-a-b+1 = ab - (a+b) +1 =-2026 - (-1) +1 =-2024, 故答案为: - 2024. 【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系是关键. 9.已知二次函数 ，当0≤x≤a时，函数值y的最大值为-1，则a的值为 【考点】二次函数的性质；二次函数的最值. 【分析】将二次函数解析式化为顶点式，从而可得抛物线开口方向及顶点坐标，将y=1代入函数解析式求出x的值，进而求解. 【解答】解:‘ ∴抛物线开口向上，顶点坐标为 (1，-4)， 将y=-1代入. 得 解得 ∴当 时, y=-1, 故答案为： 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系. 10.小李和小林练习射箭，射完10箭后两人的成绩如图所示，通常新手的成绩不太稳定，根据图中的信息，估计这两人中的新手是 小李 . 【考点】方差；折线统计图. 【分析】根据图中的信息找出波动性大的即可. 【解答】解：根据图中的信息可知，小李的成绩波动性大， 则这两人中的新手是小李； 故答案为：小李. 【点评】本题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定. 11.沿一条母线将圆锥的侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的母线/长为5cm，底面圆的半径r=3cm，则展开的扇形的圆心角θ的度数是 【考点】圆锥的计算；圆周角定理. 【分析】先求出圆锥底面圆的周长，再根据扇形弧长公式计算，得到答案. 【解答】解: ∵底面圆的半径r=3cm, ∴底面圆的周长为6πcm， ∴展开的扇形的弧长为6πcm， 则 解得: θ=216°, 【点评】本题考查的是圆锥的计算，熟记圆锥的侧面展开图是扇形以及扇形弧长公式是解题的关键. 12.如图,已知点 O是等腰直角三角形ABC的重心,过点O作 OD⊥BC于点 D,OE⊥AC于点 E,则 的值是 【考点】三角形的重心；等腰直角三角形. 【分析】根据三角形的重心和等腰直角三角形的性质解答即可. 【解答】解: 延长 BO交 AC于 H, 连接AO, 则A、O、D在同一条直线上， 设AB=x, 则AC=x, 由勾股定理得， ∵点O是等腰直角三角形ABC的重心, 过点 O作 OD⊥BC于点D, OE⊥AC于点 E, ∵OE⊥AC, ∠BAC=90°, ∴OE∥AB, 贝 故答案为： 【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍. 13.如图,正六边形 OABCDE与正六边形 OA'B C D E 是关于原点O的位似图形,相似比为2:1,且点A',E'分别在 OA, OE上, 点 C, C在 x轴正半轴上. 已知AB=4, 则点C的坐标为(4, 0) . 【考点】位似变换；坐标与图形性质. 【分析】利用正六边形的性质得到OC=2AB=8，则C(8，0)，然后根据以原点为位似中心的点的坐标特征，把C点的横纵坐标都乘以 得到点 C '的坐标. 【解答】解: ∵正六边形 OABCDE的边 AB=4, ∴OC=8, ∴C(8, 0) ∵正六边形 OABCDE与正六边形 OA B C D E'是关于原点O的位似图形,相似比为2:1, ∴点C'的坐标为(4, 0). 故答案为 (4, 0). 【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k或-k.也考查了正六边的性质. 14. 已知AB, CD分别是⊙O的内接正十边形和正五边形的边, AD, BC交于点P, 则∠APC的度数为 126° . 【考点】正多边形和圆；圆周角定理. 【分析】连接O4、OB、OC、OD、BD，根据正多边形的性质分别求出∠AOB、∠COD，再根据圆周角定理分别求出∠ADB、∠CBD，根据三角形内角和定理、对顶角相等解答即可. 【解答】解: 如图, 连接OA、OB、OC、OD、BD, ∵AB，CD分别是⊙O的内接正十边形和正五边形的边， 故答案为: 126°. 【点评】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的求法、圆周角定理是解题的关键. 15.若抛物线 的顶点在x轴上，且不等式 的解集为x<-1或x>3, 则m的值为 4 . 【考点】二次函数与不等式(组). 【分析】根据抛物线 的顶点在 x轴上得出 再根据不等式 的解集为x<-1或x>3可以得出x=﹣1或x=3是关于x的方程. 的解，然后解方程组即可求出 m的值. 【解答】解：∵抛物线 的顶点在x轴上， ∵不等式. 的解集为x<-1或x>3, ∴x=-1或x=3是关于x的方程 的解， 解得 ∴m的值为4, 故答案为：4. 【点评】本题考查了二次函数与不等式以及二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是对二次函数性质的熟练掌握. 16.如图，一次函数 y=2x与反比例函数 的图象交于A，B两点，点M在以C(2，0)为圆心，半径为1 的⊙C上，N是AM的中点，已知ON长的最大值为 ，则k的值是 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题. 【分析】由反比例函数性质可以得到，A，B两点关于原点O对称，所以O是线段AB的中点，又N是线段AM的中点，所以ON是△ABM的中位线，当OV取得最大值时，BM也取得最大值，由于M在⊙C上运动，所以当B，C，M三点共线时，BM最大值为3，此时BC=2，根据BC=2列出方程即可求解. 【解答】解：方法一、联立 ∴A与B关于原点O对称， ∴O是线段 AB的中点， ∵N是线段AM的中点， 连接BM, 则 ON∥BM, 且 ∵QV的最大值为 ∴BM的最大值为3， ∵M在⊙C上运动, ∴当B, C, M三点共线时, BM最大,此时 BC=BM-CM=2, ∴k=0或 ∵k>0, 方法二、设点B(a, 2a), ∵一次函数y=2x与反比例函数 的图象交于A，B两点， ∴A与B关于原点 O对称， ∴O是线段AB的中点， ∵N是线段AM的中点， 连接BM, 则 ON∥BM, 且 ∵QV的最大值为 ∴BM的最大值为3， ∵M在⊙C上运动, ∴当B, C, M三点共线时, BM最大,此时 BC=BM-CM=2, 或 (不合题意舍去)， ∴点 故答案为： 【点评】此题是反比例和一次函数的交点问题，考查了点到圆上一点的最值问题，对此类模型结论要非常熟悉才可解决问题. 17. (1) 计算: (2) 解方程: x(2x-5) =4x-10. 【考点】解一元二次方程-因式分解法：特殊角的三角函数值；实数的运算；二次根式的性质与化简. 【分析】(1)代入特殊角的三角函数值，再利用二次根式的混合运算法则计算即可； (2)整理后，利用因式分解法求解即可. 【解答】解： (2) x(2x-5) =4x-10, 整理得x(2x-5) - 2(2x-5) =0, 即(2x-5)(x-2) =0, ∴2x-5=0或x-2=0, 解得 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，因式分解法解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解答本题的关键. 18.有四张大小和背面完全相同的不透明卡片：正面分别印有“前”、“程”、“朤(lǎng)”、“朤(lǎng)”四个汉字，将这四张卡片背面朝上洗匀. (1)若甲随机抽出一张，恰好是“朋(lǎng)”的概率是 (2)甲随机抽出一张并放回，洗匀后、乙再从中随机抽出一张，求两人抽到汉字可以组成“關關”的概率. 【考点】列表法与树状图法；概率公式. 【分析】(1)根据简单的概率公式求解即可； (2)利用列表法或树状图法求解即可. 【解答】解： (1) 甲随机抽出一张， 恰好是“朋(lǎng)”的概率是 故答案为： (2)甲随机抽出一张并放回，洗匀后、乙再从中随机抽出一张，画树状图如下： 一共有16种等可能的情况，其中两人抽到汉字可以组成“朤朤”有4中可能的结果， ∴概率 【点评】本题考查列表法或树状图法求概率，简单的概率公式，掌握列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键. 19.按要求作图：(不写作法，保留作图痕迹) (1)如图1，正方形网格中的圆经过格点 A、B，请利用无刻度直尺画出该圆的圆心. (2)如图2,△ABC的顶点 A、B在圆O上,点C在圆O内,∠ACB=90°,利用无刻度直尺在图中画圆O的内接三角形ADE, 使△ADE与△ABC相似. 【考点】作图-相似变换；垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心. 【分析】(1)设过A的格线交圆于M,N,过B的格线交圆于 K,T,连接MN,KT交于 P,点 P即为所求; (2) 延长BC交⊙O于 D, 连接DO并延长交⊙O于 E, 连接AE, AD, △ADE即为所求. 【解答】解：(1)如图1中：点P即为所求； 理由: 由图可知. ∠MAN=90°=∠KBT. ∴MN, KT是圆的直径. ∴P为圆心； (2)如图2中，△ADE即为所求(答案不唯一)； 理由: ∵DE为⊙O的直径. ∴∠DAE=90°=∠ACB. ∴∠E=∠B, ∴△DEA∽△ABC; 【点评】本题考查作图-相似变换，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定，三角形的外接圆与外心，解题的关键是掌握相关知识解决问题. 20.太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排.某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度.如图，太阳能电池板宽为AB，点O是 AB的中点，OC是灯杆.地面上三点 D，E与 C在一条直线上，DE=1.5m，EC=5m.该校学生在D处测得电池板边缘点B的仰角为37°，在E处测得电池板边缘点B的仰角为45°.此时点 A、B与E在一条直线上.求太阳能电池板宽AB的长度.(结果精确到0.1m.参考数据： 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题. 【分析】过点B作 BH⊥DC于点 H,过点 B作 BF⊥OC于点 F,先证△BEH和△OEC均为等腰直角三角形,四边形BHCF为矩形, △OBF为等腰直角三角形, 设 BF= xm, 则OF=CH= xm, EH=BH= (5-x) m, DH= (6.5-x) m,然后在Rt△BDH中, 利用tan∠BDH=BH/DH得 由此解出 x=0.5，再利用勾股定理求出 OB即可得 AB的长. 【解答】解: 过点B作 BH⊥DC于点 H, 过点 B作 BF⊥OC于点 F, 如图, 依题意得: OC⊥DC, ∠BDH=37°, ∠BEH=45°, 又BH⊥DC ∴△BEH和△OEC均为等腰直角三角形， ∴EH=BH, EC=OC, ∵DE=1.5m, EC=5m, ∴OC=EC=5m, ∵BH⊥DC, BF⊥OC, OC⊥DC, ∴四边形BHCF为矩形， ∴BF=CH, BH=CF, BF∥CH, ∴∠OBF=∠BEH=45°, ∴△OBF为等腰直角三角形， ∴BF=OF=CH, 设BF= xm, 则 OF=CH= xm, ∴EH=BH=EC-CH= (5-x) m, ∴DH=DE+EH=1.5+5-x= (6.5-x) m, 在Rt△BDH中, 即： 解得: x=0.5, 检验后知道x=0.5是原方程得根. ∴BF=OF=0.5(m), 在等腰Rt△OBF中，由勾股定理得： ∵点O为AB的中点， ∴AB=2OB≈2×0.705≈1.4(m), 答：太阳能电池板宽AB的长度约为 1.4m. 【点评】此题主要考查了解直角三角形，理解题意，正确的作出辅助线构造直角三角形的，灵活运用锐角三角函数及勾股定理进行计算是解答此题的关键. 21. 问题: 某兴趣小组开展综合实践活动: 如图, 在Rt△ABC中, ∠C=90°, D为AC上一点,( 动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形 DPEF，设点P的运动时间为 t秒，正方形 DPEF的面积为S，探究 S与t的关系. 探究:(1) [初步感知]: 如图1, 当点P由点C运动到点 B时. ①当 t=1时, S= 3 . ②求出 S关于 t的函数解析式； (2)[建立模型]：当点 P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于 t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，请根据图象信息，求S关于 t的函数解析式及线段AB的长. (3)[延伸探究]：若存在3个不同时刻分别为 ，这3个时刻分别对应的正方形DPEF的面积均相等，求 t₁+t₂的值. 【考点】二次函数综合题. 【分析】(1) ①当 t=1时, 即 PC=1, CD= 即可求解； ②在Rt△PCD中,CD= , PC=t, 则 即可求解； (2)用待定系数法求出函数表达式，进而求解； (3) 从图象看, t₁、t₂关于 x=2对称, 则 即可求解. 【解答】解: (1) ①当 t=1时, 即 PC=1, 则 S=PD=3, 故答案为：3； ②在Rt△PCD中, CD= , PC=t, 则S=PD²=t²+2, 当S=6时, 即 t²+2=6(0≤t<2), 解得：t=2(负值已舍去)， 即BC=2, 当 t=1时, (2) 由(1) 知, 抛物线过点 (2, 6), 顶点为:(4, 2), 则抛物线的表达式为： 将(2，6)代入上式得： 解得: a=1, 则抛物线的表达式为： 当S=18时,则 解得: t=0(舍去) 或8, 则AB=8-2=6; (3)在题干图中画出 如图： 从两个函数表达式看，两个函数a相同，都为1， 若存在3个时刻 对应的正方形DPEF的面积均相等，则 t₁，t₂，t₃如图所示，此时符合题意. 从图象看, t₁、t₂关于 t=2对称, 则 则 【点评】本题为二次函数综合题，涉及到动点问题、面积的计算，读懂函数图象、正确理解题意，利用数形结合和分类求解是本题解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $ 外国语学校 期末复习 九年级数学限时训练 6 一、选择题(每题3分) 1.要判断小强同学的数学考试成绩是否稳定，那么需要知道他最近几次数学考试成绩的() A.方差 B.众数 C.平均数 D.中位数 2.当b+c=1时，关于x的一元二次方程 的根的情况为() A.有两个实数根]B.有两个不相等的实数根 C.有两个相等的实数根 D.没有实数根 3.下列各式中不成立的是 () 4. 如图, 在菱形ABCD中, DE⊥AB, cosA= BE=3, 则tan∠DBE的值是 ( ) A.4/3 B. 2 第6题 5. 如图, PA、PB与⊙O相切, 切点分别为A、B, PA=3, ∠P=60°, 若AC为⊙O的直径, 则图中阴影部分的面积为( ) A.π/2 D. π 6. 如图, 在△ABC中, AD是BC边上的中线,E在AC边上,且AE: EC=1:2,BE交AD于P, 则AP: PD等于( ) A. 1: 1 B. 1: 2 C. 2: 3 D. 4: 3 7.若线段x是3和6的比例中项，则x的值为() 二、填空题(每题3分) 8. 设a、b是方程 的两个实数根, 则(a-1)(b-1) 的值为 . 9.已知二次函数 当0≤x≤a时，函数值y的最大值为-1，则a的值为 . 10.小李和小林练习射箭，射完10箭后两人的成绩如图所示，通常新手的成绩不太稳定，根据图中的信息，估计这两人中的新手是 . 11.沿一条母线将圆锥的侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的母线l长为5cm，底面圆的半径r=3cm，则展开的扇形的圆心角θ的度数是 12.如图,已知点O是等腰直角三角形ABC 的重心,过点O作 OD⊥BC 于点D,OE⊥AC于点E,则 的值是 . 13. 如图, 正六边形OABCDE 与正六边形 OA'B'C'D'E'是关于原点O的位似图形, 相似比为2: 1, 且点A', E'分别在OA, OE上, 点C, C'在x轴正半轴上. 已知AB=4, 则点C'的坐标为 . 学科网（北京）股份有限公司 14.已知AB，CD分别是⊙O的内接正十边形和正五边形的边，AD，BC交于点P，则∠APC的度数为 . 15.若抛物线 的顶点在x轴上，且不等式 的解集为x<﹣1或x>3,则m的值为 . 16.如图，一次函数y=2x与反比例函数 的图象交于A，B两点，点M在以C(2，0)为圆心，半径为1的⊙C上，N是AM的中点，已知ON长的最大值为 ，则k的值是 . 三、解答题(共52分) 17. (12分)(1) 计算: (2) 解方程: x(2x-5) =4x-10. 18.(10分) 有四张大小和背面完全相同的不透明卡片: 正面分别印有“前”、“程”、“關(lǎng)”、“關 (lǎng)”四个汉字，将这四张卡片背面朝上洗匀. (1)若甲随机抽出一张，恰好是“朋(lǎng)”的概率是 ； (2)甲随机抽出一张并放回，洗匀后、乙再从中随机抽出一张，求两人抽到汉字可以组成“朤朤”的概率. 19.(8分)按要求作图：(不写作法，保留作图痕迹) (1)如图1，正方形网格中的圆经过格点A、B，请利用无刻度直尺画出该圆的圆心. (2)如图2，△ABC的顶点A、B在圆O上，点C在圆O内，∠ACB=90°，利用无刻度直尺在图中画圆O的内接三角形ADE, 使△ADE与△ABC相似. 学科网（北京）股份有限公司 20.(10分)太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排.某校组织学生进行综合实践活动—一测量太阳能路灯电池板的宽度.如图，太阳能电池板宽为AB，点O是AB的中点，OC是灯杆.地面上三点D，E与C在一条直线上，DE=1.5m，EC=5m.该校学生在D处测得电池板边缘点B的仰角为37°，在E处测得电池板边缘点B的仰角为45°.此时点A、B与E在一条直线上.求太阳能电池板宽AB的长度.(结果精确到0.1m.参考数据： 21.(12分) 问题: 某兴趣小组开展综合实践活动: 如图, 在Rt△ABC中, ∠C=90°,D为AC上一点,( 动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF，设点P的运动时间为t秒，正方形DPEF 的面积为S，探究S与t的关系. 探究:(1) [初步感知]:如图1, 当点P由点C运动到点B时. ①当t=1时, S= . ②求出S 关于 t 的函数解析式； (2)[建立模型]：当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段AB的长. (3)[延伸探究]：若存在3个不同时刻分别为 这3个时刻分别对应的正方形DPEF 的面积均相等，求 t₁+t₂的值. 学科网（北京）股份有限公司 $